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Cálculo Diferencial e Integral II-vetores-estacio

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Cálculo Diferencial e Integral II
Prof. Fernando Cesar Coelho França
Grandezas Escalares
Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é dada. Tais grandezas são chamadas escalares e são modeladas por números reais.
Grandezas vetoriais
Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos: deslocamento, velocidade e força. Tais grandezas são chamadas vetoriais e são modeladas por vetores.
Vetores
Vetores são representados por segmentos orientados e são caracterizados por
direção,
sentido,
magnitude.
São iguais: mesma norma
 mesma direção
 mesmo sentido
Independentemente de serem aplicados em pontos diferentes.
6
Operações:
Adição
Multiplicação por um escalar
7
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
1)
2)
Representação Simbólica:
Representação Geométrica
8
A ordem não importa!
A figura é um paralelogramo: 
 Vetores se somam pela regra do paralelogramo:
	Consiste na obtenção do vetor resultante graficamente.
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
9
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
 Mais de 2 vetores
10
Procedimento geométrico: MULTIPLICAÇÃO
Se 
 a mesma direção de 
 o mesmo sentido
 o módulo igual a
 mesma direção de 
 
 sentido oposto ao de 
 módulo igual a
Se 
11
Procedimento geométrico: ADIÇÃO
 Módulo:
 
 Direção: ângulo que o vetor faz com um eixo de referência.
 
12
1)
A comutatividade da soma de vetores já foi demonstrada. 
Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma.
2)
O vetor 
 é o elemento neutro da soma de vetores. 
Ele é um vetor com módulo zero. 
Existe
tal que
3)
tal que
Existe
O vetor 
 é o vetor simétrico da soma de vetores. 
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
13
A soma de
4)
É a propriedade de Associatividade da soma de vetores já mencionada.
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
de um vetor 
com um vetor simétrico 
define a subtração de vetores. Para realizá-la é suficiente aplicar a
regra do paralelogramo a esses vetores 
14
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
As propriedades 1 (comutativa) e 4 (associativa) permitem escrever a soma de 
vetores sem os parênteses, uma vez que a ordem em que os vetores são 
somados não altera o resultado, isto é, 
5)
A comparação entre os módulos, as direções e os sentidos dos vetores 
 e 
 mostram que eles são iguais. 
onde a e b são dois números reais. 
15
Algumas propriedades da ADIÇÃO de vetores e da MULTIPLICAÇÃO de um vetor por um número real
6)
onde a é um número real. 
É a propriedade de distributiva.
16
O vetor v=<a,b> pode ser escrito como combinação linear
de dois vetores unitários padrão.
i=<1,0> e j=<0,1>
v=<a,b> = <a,0> + <0,b> = a<1,0> + b<0,1> = ai+bj
v = ai+bj

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