3 Pilares Parte 2 (1)

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1
Pilares
Prof. Romel Dias Vanderlei
Notas de Aulas
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
C
ap
ítu
lo
 3
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.º Semestre de 2008
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
Bibliografia:
„ ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado: 
projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de aula – USP –
EESC – SET. Fevereiro de 2008
„ ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003. 
Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
„ CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto 
armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São Carlos, 
2002.
„ FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora 
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
„ FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São 
Paulo, 1976.
„ MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón armado. 
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
„ PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios. 
capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, 2007.
„ PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado: 
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
„ VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto 
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP, 1987.
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i
Sumário (2ª Parte)
3.11- Exemplos
3.11.1- Pilar Interno – P5
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
3.11.3- Pilar de Canto – P1
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3.11- Exemplos
Projetar os pilares:
P5 - pilar interno;
P4 - pilar de 
extremidade;
P1 - pilar de canto.
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3.11- Exemplos
Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício:
„ Para a determinação dos efeitos de 2ª ordem, emprega-se:
Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
4
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
Nk = 2.720kN
Nd = 1,4 x 2.720 = 3.808kN
Mk = 0kN e Md = 0kN
1- Características Geométricas
„ Comprimentos equivalentes:
⎩⎨
⎧ +≤
l
hl
le
0
Na direção x:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
533
560
533
560
53335498
49862560
0
0
0
=⇒
⎩⎨
⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
5
P
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om
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
560
560
568
560
56860508
50852560
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=+≤
=
=+=+
=−=
P
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
3,32
60
1256012 =⋅=⋅==
y
ey
y
ey
y h
l
i
lλ
„ Índices de Esbeltez:
Na direção x:
8,52
35
1253312 =⋅=⋅==
x
ex
x
ex
x h
l
i
lλ
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Como os momentos nas seções de extremidades (topo e 
Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades 
iniciais também são nulas.
2- Excentricidades:
„ Excentricidade Inicial
d
topo
topoi N
M
e =,
d
base
basei N
Me =,
d
meio
meioi N
Me =,
0
808.3
0
, ==topoie 0808.3
0
, ==baseie0808.3
0
, ==meioie
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Sendo:
2- Excentricidades:
„ Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00423,0
60,5100
1
100
1 
00433,0
33,5100
1
100
1 
1y
1x
===
===
θ
θ
2
 
2
 
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
le
⋅=
⋅=
θ
θ
7
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3.11.1- Pilar Interno – P5
rad00333,0
300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00423,0
(OK) 00433,0 
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cmle
ey
y
ex
x
18,1
2
56000423,0
2
 
15,1
2
53300433,0
2
 
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
P
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3.11.1- Pilar Interno – P5
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(
0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015 )(
55,235,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cme
cme
y
x
30,3 
55,2 
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(0
55,2)(0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(18,118,10
55,2)(15,115,10
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
„ Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
30,3 
55,2 
1
1
=
=
P
ro
f. 
R
om
el
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3.11.1- Pilar Interno – P5
9035 e 
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λααλ b
h
e
cmheh
e
xxi
xb
x
xi
x 35 0 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 25
0,1
35
05,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λαλ
Na direção x:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =xbα
9
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
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de
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i
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 60 0 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 25
0,1
60
05,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λαλ
Na direção y:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
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3.11.1- Pilar Interno – P5
358,52 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de 
2ª ordem na direção x.
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
353,32 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário 
considerar o efeito de 2ª ordem 
na direção y.
10
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om
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s 
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cml
cmkNeNMM
xe
xmíndmíndAd
b
533
.4,710.955,2808.3)(0
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥=
=α
Ad
xe
dAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
85,0
4,1
0,3)6035(
808.3 =
⋅⋅
=⋅= cdc
sd
fA
Nν
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν
( ) 55 103,1435
005,01058,10
5,085,035
005,01 −− ⋅=<⋅=+=r (OK)11
P
ro
f. 
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om
el
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s 
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i
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
4,134.21
4,710.91058,10
10
533808.34,710.90,1
,
5
2
,
Ad
xe
dAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 55,5808.3
4,134.21,
, ===
P
ro
f. 
R
om
el
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V
an
de
rle
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3.11.1- Pilar Interno – P5
3- Situações de Projeto e de Cálculo:
12
P
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om
el
 D
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s 
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rle
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
55,5
808.3
4,134.21
4,134.21
808.3
,
,
===
⋅=
=
4- Dimensionamento das armaduras 
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária
Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.
cmee
kNN
yy
d
30,3
808.3
1 ==
=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
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s 
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras 
b) Equações adimensionais:
Direção x:
13,0
35
55,585,0
85,0
4,1
0,36035
808.3
=×=⋅=
=
××
=⋅=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
13
P
ro
f. 
R
om
el
 D
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s 
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de
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras 
b) Equações adimensionais:
Direção y:
05,0
60
30,385,0
85,0
4,1
0,36035
808.3
=×=⋅=
=
××
=⋅=
y
y
ddy
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
P
ro
f. 
R
om
el
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,36
13,0
85,0
10,011,0
35
0,4
=
=
≅==′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
14
P
ro
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
ω = 0,36
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
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de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ20 - As,efe = 37,68cm2;
- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
226,37
15,1
50
4,1
0,3)6035(
36,0 cm
f
fAA
yd
cdc
s =
××
×=⋅⋅= ω
15
P
ro
f. 
R
om
el
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ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18 
[d’/h=0,10] 
- Taxa de armadura: ω = 0,13
05,0
85,0
07,0
60
0,4
=
=
==′
dy
d
y
y
h
d
μ
ν
P
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s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Como ωx = 0,36 > ωy = 0,13:
- O arranjo para a direção “x” (12φ20 ) atende as duas 
situações de cálculo da armadura;
16
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
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de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK) 75,43
8
3502010
8
10
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
%4,0%63,085,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,015,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%79,101794,0
6035
68,37 ==×== c
s
A
Aρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8 ==máxρ
17
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
20
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
703522
≤
⎩⎨
⎧ =×=⋅≤
P
ro
f. 
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om
el
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ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
mm
mm
mm
tlt
5 
5
4
20
4
5
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 20 
242,01212
35cmseção da dimensãomenor 
20
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/20
18
P
ro
f. 
R
om
el
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ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 404,83,2
4,8
16
0,265,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
ncha
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−
⋅−⋅−⋅−= φφ
P
ro
f. 
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s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de 
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser 
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =10,4cm ≈ 20φt = 10cm, é necessário 
proteção contra flambagem apenas nas duas barras 
centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
19
P
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f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
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de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,223525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
400,525,2235
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
P
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s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
)180( 20/ 529
291
20
5601
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=++=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]40 20/ 5292 cφ×
180
20
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção 
transversal
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅
≥=⋅⋅=
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅
≥≥⋅⋅=
mm
l
lll
mm
l
l
A
A
ll
b
bbnecb
b
b
efs
calcs
bnecb
100
10
3,0
0,10,1
100
10
3,0
,
min,
,
,
1,
φ
φα
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ⋅
≥≥=
mm
l
lll
b
ocnecboc
200
15
6,0
min,, φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
21
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
bd
yd
b f
f
l ⋅=
4
φ
3
2
3
2
3375,0
21,00,10,125,2
321
ckbd
c
ck
bd
ctdbd
ff
ff
ff
⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
γ
ηηη
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎩⎨
⎧≥=
mm
ll boc 200
15φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
3
2
3
2 35,13375,04ck
yd
ck
yd
b f
f
f
f
l ⋅⋅=⋅⋅= φ
φ
22
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
7071,66
3035,1
15,1
500
0,2
35,1
3
2
3
2
≈=⋅⋅=
⋅⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩⎨
⎧ =×=≥==
mm
cm
cmll boc 200
300,21515
70
φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
cml
lhll ocviga
63070 560 
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais
23
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Desenho do Pilar P5:
63
0
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
24
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
46
0
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
Nk = 1.670kN
Nd = 1,4 x 1.670 = 2.338kN
Na direção x:
⎩⎨
⎧ +≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩⎨
⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas
„ Comprimentos equivalentes do Pilar:
25
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
478
460
47870408
40852460
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=+≤
=
=+=+
=−=
„ Comprimentos equivalentes do Pilar:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
„ Vão efetivo da Viga V2:
cml
aall
viga
vigaovigaef
570
2
35
2
25600,0
21,,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
2,21
4,
1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
26
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
„ Vão efetivo da Viga V2:
A medida a2 relativa ao pilar P5:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,17
6,18623,03,0
5,17
2
35
2 2
2,22
5,
2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
viga
vigaovigaef
6005,175,12570,0
21,,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V2:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
Modelo Simplificado NBR 6118:2003:
27
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
3
3
sup
sup 293.14232
1
12
25703
2
1
3
cm
l
I
r pilar =⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1293cm3
Rigidez da viga:
3
3
648.2
600
12
622044
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅⋅
=⋅=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
cmkNkNm
lqg
M vigaeng ⋅==⋅=⋅+= 700.55712
0,619
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MM
viga
eng ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⋅= 408.1293.1293.1648.2
293.1700.5
infsup
sup
sup
Guilherme Wen
Highlight
28
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:
Minf = Msup = 1.408kN.cm
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
8,22
70
1246012 =⋅=⋅==
y
ey
y
ey
y h
l
i
lλ
„ Índices de Esbeltez:
Na direção x:
6,58
25
1242312 =⋅=⋅==
x
ex
x
ex
x h
l
i
lλ
29
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
2- Excentricidades:
„ Excentricidade Inicial
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 84,0338.2
408.14,1,
,, =⋅===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
34,0
34,084,04,017,0)84,0(4,084,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Na direção y: cm
N
M
eee
d
Ady
meioiybaseiytopoiy 0,0338.2
0,0,
,,, =====
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Sendo:
2- Excentricidades:
„ Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1 
00486,0
23,4100
1
100
1 
1y
1x
===
===
θ
θ
2
 
2
 
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
le
⋅=
⋅=
θ
θ
30
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
rad00333,0
300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00466,0
(OK) 00486,0 
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cmle
ey
y
ex
x
07,1
2
46000466,0
2
 
03,1
2
42300486,0
2
 
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(
0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
60,370,003,0015,00,03h0,015 )(
25,225,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
31
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
8,416.860,3338.2)(
5,260.525,2338.2)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
„ Excentricidades acidentais:
Momentos mínimos:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cme
cme
y
x
60,3 
25,2 
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
60,3)(0
25,2)(84,0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
60,3)(07,107,10
25,2)(37,103,134,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
„ Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
60,3 
25,2 
1
1
=
=
32
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
9035 e 
5,1225
1
b
1 ≤≤
⋅+
= λααλ b
i
h
e
cmheh
e
xxi
xb
x
xi
x 25 84,0 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 4,25
0,1
25
84,05,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λαλ
Na direção x:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.971,2kNcm < M1dx,mín = 5.260,5kNcm 0,1, =xbα
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 70 0 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 25
0,1
70
05,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λαλ
Na direção y:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
33
P
ro
f.R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de 
2ª ordem na direção x.
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
358,22 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário 
considerar o efeito de 2ª ordem 
na direção y.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cml
cmkNeNMcmkNM
xe
xmíndmíndAd
b
423
.5,260.525,2338.2)(2,971.1
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥⋅=
=α
Ad
xe
dAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
34
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
62,0
4,1
0,3)7025(
338.2 =
⋅⋅
=⋅= cdc
sd
fA
Nν
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01 ≤+= ν
( ) 44 100,225
005,01079,1
5,062,025
005,01 −− ⋅=<⋅=+=r (OK)
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
7,748.12
5,260.51079,1
10
423338.25,260.50,1
,
4
2
,
Ad
xe
dAdbtotd Mr
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 45,5338.2
7,748.12,
, ===
35
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
3- Situações de Projeto e de Cálculo:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
45,5
338.2
7,748.12
7,748.12
338.2
,
,
===
⋅=
=
4- Dimensionamento das armaduras 
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta
Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua
cmee
cmee
kNN
yy
topoixx
d
60,3
84,0
338.2
1
,
==
==
=
36
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
b) Equações adimensionais:
Direção x:
14,0
25
45,562,0
62,0
4,1
0,37025
338.2
=×=⋅=
=
××
=⋅=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
b) Equações adimensionais:
Direção y:
03,0032,0
70
60,362,0
02,0021,0
25
84,062,0
62,0
4,1
0,37025
338.2
≅=×=⋅=
≅=×=⋅=
=
××
=⋅=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν
37
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,25
14,0
62,0
15,016,0
25
0,4
=
=
≅==′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
ω = 0,25
38
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ16 - As,efe = 24,12cm2;
- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
252,21
15,1
50
4,1
0,3)7025(
25,0 cm
f
fAA
yd
cdc
s =
××
×=⋅⋅= ω
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
03,0032,0
70
60,362,0
02,0021,0
25
84,062,0
62,0
15,016,0
25
0,4
05,006,0
70
0,4
≅=⋅=⋅=
≅=⋅=⋅=
=
≅==′
≅==′
y
y
ddy
x
x
ddx
d
x
x
y
y
h
e
h
e
h
d
h
d
νμ
νμ
ν
39
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Como não há arranjo para 12φ, escolhe-se os ábaco A-16 
[20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994)
- Taxa de armadura: ω = 0,0
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
40
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Como ωx = 0,25 > ωy = 0,0:
- O arranjo para a direção “x” (12φ16 ) atende as duas 
situações de cálculo da armadura;
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK) 25,31
8
2501610
8
10
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
41
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
%4,0%46,062,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,0
15,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
⋅==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%38,10138,0
7025
12,24 ==×== c
s
A
Aρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8 ==máxρ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
16
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩⎨
⎧ =×=⋅≤
42
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mm
mm
mm
tlt 5 4
4
16
4
5
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 19 
2,191,61212
25cmseção da dimensãomenor 
20
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/19
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 409,103,2
9,10
16
6,165,025,2270
1
22
cmacmacma
cma
n
ncha
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−
⋅−⋅−⋅−= φφ
43
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de 
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser 
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =12,5cm > 20φt = 10cm, é necessário 
proteção contra flambagem em todas as barras centrais 
(estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
P
ro
f. 
R
om
elD
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,222525,22702
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
44
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
)180( 19/ 525
251
19
4601
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=++=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]30 19/ 5254 cφ×
180C/19
C/19
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção 
transversal
45
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
5537,53
3035,1
15,1
500
6,1
35,1
3
2
3
2
≈=⋅⋅=
⋅⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩⎨
⎧ =×=≥==
mm
cm
cmll boc 200
246,11515
55
φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cml
lhll ocviga
51555 460 
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais
46
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Desenho do Pilar P4:
180
51
5
C/19
C/19
C
/1
9
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
47
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
Nk = 1.230kN
Nd = 1,4 x 1.230 = 1.722kN
Na direção x:
⎩⎨
⎧ +≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩⎨
⎧
=
=+≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas
„ Comprimentos equivalentes do Pilar:
48
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
468
460
46860408
40852460
0
0
0
=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=+≤
=
=+=+
=−=
„ Comprimentos equivalentes do Pilar:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
„ Vão efetivo das Vigas V1 e V4:
a) Viga V1:
cml
aall
V
VoVef
5,557
2
60
2
256001,0
211,1,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
11
1,
1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
49
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
a) Viga V1:
A medida a2 relativa ao pilar P2:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
6,18
6,18623,03,0
0,30
2
60
2 2
12
2,
2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
6,5886,185,125,5571,
211,1,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V1:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
cml
aall
V
VoVef
0,315
2
7060
2
204004,0
214,4,
=−−+=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,30
2
60
2 1
41
1,
1 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
50
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
A medida a2 relativa ao pilar P4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,35
2
70
2 2
42
4,
2 =⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
2,3466,156,150,3154,
214,4,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V4:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
Eixo “x”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
51
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
3
3
sup
sup 108.14232
1
12
25603
2
1
3
cm
l
I
r pilar =⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1.108cm3
Rigidez da viga:
3
3
699.2
6,588
12
622044
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅⋅
=⋅=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
cmkNkNm
lqg
M vigaeng ⋅==⋅=
⋅+= 774.574,57
12
886,520
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⋅== 302.1108.1108.1699.2
108.1774.5
infsup
sup
infsup
52
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
Eixo “y”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
3
3
sup
sup 870.54602
1
12
60253
2
1
3
cm
l
I
r pilar =⋅
⋅⋅
=⋅
⋅=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 5.870cm3
Rigidez da viga:
3
3
625.1
2,346
12
521244
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅⋅
=⋅=
53
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
cmkNkNm
lqg
M vigaeng ⋅==⋅=
⋅+= 598.198,15
12
462,316
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⋅== 702870.5870.5625.1
870.5598.1
infsup
sup
infsup
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar P1
54
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
6,26
60
1246012 =⋅=⋅==
y
ey
y
ey
y h
l
i
lλ
„ Índices de Esbeltez:
Na direção x:
6,58
25
1242312 =⋅=⋅==
x
ex
x
ex
x h
l
i
lλ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:
„ Excentricidade Inicial
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 06,1722.1
302.14,1,
,, =⋅===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
42,0
42,006,14,021,0)06,1(4,006,16,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
55
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:
„ Excentricidade Inicial
Na direção y:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseiytopoiy 57,0722.1
7024,1,
,, =⋅===
cme
cmcme
eeee
meioiy
meioiy
iyiyiymeioiy
23,0
23,057,04,011,0)57,0(4,057,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Sendo:
2- Excentricidades:
„ Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1 
00486,0
23,4100
1
100
1 
1y
1x
===
===
θ
θ
2
 
2
 
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
le⋅=
⋅=
θ
θ
56
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
rad00333,0
300
1 min,11 ==≥ θθ
(OK) 00466,0
(OK) 00486,0 
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cmle
ey
y
ex
x
07,1
2
46000466,0
2
 
03,1
2
42300486,0
2
 
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015 )(
0,03h0,015 )(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
„ Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015 )(
25,225,003,0015,00,03h0,015 )(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
57
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
6,682.530,3722.1)(
5,874.325,2722.1)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
„ Excentricidades acidentais:
Momentos mínimos:
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cme
cme
y
x
30,3 
25,2 
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(57,0
25,2)(06,1
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(30,107,123,0
25,2)(45,103,142,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
„ Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
30,3 
25,2 
1
1
=
=
58
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
9035 e 
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λααλ b
h
e
cmheh
e
xxi
xb
x
xi
x 25 06,1 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 5,25
0,1
25
06,15,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λαλ
Na direção x:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.822,8kNcm < M1dx,mín = 3.874,5kNcm 0,1, =xbα
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 60 57,0 :onde 
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
= αλ
35
9035 que sendo 1,25
0,1
60
0575,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λαλ
Na direção y:
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 982,8 < M1dy,mín = 5.682,6kNcm 0,1, =ybα
59
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de 
2ª ordem na direção x.
„ Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
356,26 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário 
considerar o efeito de 2ª ordem 
na direção y.
Para pilares sob flexão oblíqua, se em pelo menos 
uma direção for necessário considerar o efeito de 2ª
ordem, deve-se considerar o efeito de 2ª ordem nas 
duas direções principais.
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧≥
⋅
−
⋅=
min,1
,1
2
,1
,
120
1 d
AdAdb
totd M
MM
M
ν
κ
λ
α νκ ⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅+⋅= d
totd
Nh
M ,5132
Solução única:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
a
cabbM totd ⋅
⋅⋅−+−=
2
42
,
Addb
Adb
d
d
MNhc
MNhNhb
a
,1
,1
2
2,0
19200
2,0
1
⋅⋅⋅⋅−=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=
α
αλ
60
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
míndx
Adx
d
x
x
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
75,38.0,875.3
23,180,823.1
722.1
25,025
6,58
0,1
,1
,1
λ
αDireção x:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
6,569.123,18722.125,00,12,0
2,0
126,923,180,1
19200
722.125,06,58722.125,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
−=⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
MNhNhb
a
Adxdxbx
Adxbx
dxx
dx
α
αλ
61
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪⎨⎧ ⋅=
⋅=>⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−−+−−=
⋅
⋅⋅−+−=
mkNM
mkNM
cmkNmkNM
M
a
cabbM
dx
Adx
totdx
totdx
totdx
875.3
823.1
3,444.4443,44
0,12
6,569.10,14126,9126,9
2
4
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdx
xtot 58,2722.1
3,444.4,
, ===
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
mínyd
Ayd
d
y
y
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
83,56.683.5
83,9983
722.1
60,060
6,26
0,1
,1
,1
λ
αDireção y:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
62
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
3,031.283,9722.160,00,12,0
2,0
73,15883,90,1
19200
722.160,06,26722.160,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
=⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅−⋅⋅−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
M
Nh
Nhb
a
Adxdxbx
Adyby
dyy
dy
α
αλ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
„ Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( )
cmkNM
cmkNM
cmkNM
cmkNmkNM
M
a
cabbM
totdy
dx
Adx
totdy
totdy
totdy
⋅=
⎪⎩
⎪⎨⎧ ⋅=
⋅=≥⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−+−=
⋅
⋅⋅−+−=
683.5
683.5
983
4,190.1904,11
0,12
3,031.20,1473,15873,158
2
4
,
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdy
ytot 30,3722.1
683.5,
, ===
63
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
58,2
722.1
=
=
=
cme
cme
kNN
y
x
d
57,0
25,2
722.1
=
=
=
4- Dimensionamento das armaduras 
a) Situação de cálculo:
Seção Intermediária – Flexão obíqua
Seção Extremidade – Flexão oblíqua
Direção x: Direção y:
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
06,1
722.1
=
=
=
Situação mais desfavorável
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
4- Dimensionamento das armaduras 
b) Equações adimensionais:
03,0
60
30,354,0
06,0
25
58,254,0
54,0
4,1
0,36025
722.1
=×=⋅=
=×=⋅=
=
××
=⋅=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν
64
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
15,016,0
25
0,4
05,007,0
60
0,4
≅==′
≅==′
x
x
y
y
h
d
h
d
4- Dimensionamento das armaduras 
c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [Pimheiro, 1994]
- Taxa de armadura: ω = 0,0
03,0
60
30,354,0
06,0
25
58,254,0
54,0
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=
y
y
ddy
x
x
ddxd
h
e
h
e
νμ
νμ
ν
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
65
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Área das barras:
A seção precisa ser armada com armadura mínima.
20,0 cm
f
fAA
yd
cdc
s =⋅⋅= ω
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
22
, 00,66025004,0%4,094,5
15,1
50
722.115,015,0 cmAcm
f
NA c
yd
d
míns =××=≥=⋅=⋅=
%0,4
2
%0,8%5,0
6025
36,7 ==<=×== máxc
s
A
A ρρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
Escolha das barras:
- 6φ12,5 - As,efe = 7,36cm2;
- 3 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
20,6 cmAs =
66
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Diâmetro das barras
(OK) 25,31
8
2505,1210
8
10
mmmmmm
bmm l
=<<
≤≤ φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
5,12
20
.,
≥
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩⎨
⎧ =×=⋅≤
67
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mm
mm
mm
tlt 5 1,3
4
5,12
4
5
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 15 
151,251212
25cmseção da dimensãomenor 
20
=⇒
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/15
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK) 4013,253,2
13,25
13
25,135,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
ncha
máxmín
ltnom
=<=<=
=−
⋅−⋅−⋅−=
−
⋅−⋅−⋅−= φφ
68
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de 
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser 
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =26,4cm > 20φt = 10cm, é necessário 
proteção contra flambagem na barra central (estribo 
suplementar)
d) Comprimento dos estribos
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1600,525,222525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
69
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
)160( 15/ 532
321
15
4601
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=++=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )30 15/ 532 cφ
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
55
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção 
transversal
6 φ 12,5 mm
26,4 cm
70
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
4570,41
3035,1
15,1
500
25,1
35,1
3
2
3
2
≈=⋅⋅=
⋅⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩⎨
⎧ =×=≥==
mm
cm
cmll boc 200
75,1825,11515
45
φ
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cml
lhll ocviga
50545 460 
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais
71
P
ro
f. 
R
om
el
 D
ia
s 
V
an
de
rle
i
3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- Detalhamento
Desenho do Pilar P1:
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
N
1 
-6
φ1
2,
5,
0 
C
 =
 5
05
32
 N
2 
 c
/1
5
55