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memorial de calculo escada em O

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
 CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TANGARÁ DA SERRA 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALANA COSTA 
PAULA DE PAULA 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DESCRITIVO E CÁLCULO – ESCADA EM O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TANGARÁ DA SERRA – MT 
2017 
ALANA COSTA 
PAULA DE PAULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEMORIAL DESCRITIVO E CÁLCULO – ESCADA EM O 
 
 
 
Trabalho de CONCRETO II do Curso de 
Engenharia Civil da Universidade do 
Estado de Mato Grosso – Campus 
Universitário de Tangará da Serra, com a 
orientação do Prof. Sérgio Lourenço. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TANGARÁ DE SERRA – MT 
JUNHO/2017 
 
1. CÁLCULO ESCADA EM O 
 
1.1. LAJES 
Dados: 
 Escada em O – 4 lances 
 Concreto c30 
 Aço ca50A 
 Parede 17 cm de espessura 
 Cobrimento = 2,5 cm 
 Pé direito – 7 m (altura entre pisos – 7,10 m) 
 
Figura 01 – Forma estrutural (dimensões em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02 – Vista das Lajes 
Para o cálculo de escada é necessário considerar algumas recomendações citadas 
em normas. De acordo com a ABNT NBR 9050:2004, as dimensões dos pisos e espelhos 
devem ser constantes em toda a escada, logo precisam atender os seguintes parâmetros: 
 Pisos (p) – 28 cm< p <32 cm 
 Espelhos (e) – 16 cm< e <18 cm 
 Condição de conforto – 63 cm < p+2e< 65 cm 
Sendo assim, realizou-se o cálculo de uma escada em O, levando em 
consideração que é constituída por 4 lances, que devem ser distribuídos em um pé direito 
de 7 m. Através de cálculos, identificou-se, inicialmente, as dimensões da escada e, por 
fim, a obtenção da armadura dos seus elementos. É visto em seguida o corte de uma 
escada, representando sua simbologia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02 – Corte escada e simbologia 
Tg α = 
𝑒
𝑠
 
 
Tg α = 
16,14
30
 
 
α = 28, 28° 
 
 
h m = h 1 + (e/2) 
 
hm=11,35+(16,14/2) 
 
h m = 19,42 cm 
e = 
𝑙𝑣
𝑛
 
e = 
177,5
11
 
e = 16,14 cm 
 
 
h 1 = 
ℎ
𝑐𝑜𝑠𝛼
 
 
h 1 = 
10
𝑐𝑜𝑠28,28°
 
 
h 1 = 11,35 cm 
 
l h = s*(n-1) 
300 = 30*(n-1) 
n = 11 degraus 
 
ne = 
7,1
0,1614
 
ne = 44 degraus 
 
n lances = 
44
11
 
nl = 4 lances 
 
1.1 Cálculo da espessura da laje 
Para esse cálculo de lajes apoiadas, deve-se saber o valor de λ e assim estimar a 
altura útil (d): 
λ = 
ly
lx
 = 
458,5
158,5
 
λ = 2,89 
d = 
𝑙𝑥
𝛹2∗𝛹3
 
d= 
158,5
25∗1,1
 
d = 7 cm 
Ψ2 = coeficiente que depende da vinculação ( tabela 2.1a – material 
de lajes, professor libânio) 
Ψ3= coeficiente que depende do aço utilizado, neste caso CA50A (tabela 2.1a) 
lx = menor vão 
Com a altura útil definida, pode-se então saber a altura da laje. 
h = d+d’ 
h = 9,39 cm 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, a espessura mínima para lajes maciças que 
estão em balanço deve ser de 10 cm, então: 
h = 10 cm 
 
1.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
 
 Peso Próprio – Pp = 
ɣc ∗(hm∗Al+h∗2Ap)
𝐴𝑡
 
Al (área do lance) = 3*1,5= 4,5 𝑚2 
Ap (área do patamar) = 1,5*1,5 = 2,25 𝑚2 
At = área do quadrado – área vazada 
At = (6*6) – (3*3)= 27 𝑚2 
Pp = 
25∗(0,1942∗4,5+0,10∗2∗2,25)
27
 = 1,2258 Kn/𝑚2*4 lances = 4,9 Kn/𝑚2 
Pp = 4,9 Kn/𝒎𝟐 
 Revestimento 
Considera-se 1 Kn/𝒎𝟐. 
 Ação Variável 
De acordo com a NBR 6120:1980, escadas com acesso ao público deve-se 
considerar carga variável de 3 Kn/𝑚2. 
 
AÇÕES ATUANTES NA LAJE 
Peso próprio 4,9 Kn/𝑚2 
Revestimento 1 Kn/𝑚2 
Ação Variável 3 Kn/𝑚2 
TOTAL 8,9 Kn/𝒎𝟐 
 
1.3 CÁLCULO DOS MOMENTOS FLETORES 
 
Para o cálculo dos momentos fletores, utilizou-se as tabelas de lajes, atualizadas 
(ano 2007), do Professor e Doutor Libânio M. Pinheiro, da Universidade de São Paulo. A 
tabela utilizada foi a 2.3d - Momentos Fletores em lajes com cargas uniformes. 
Sendo assim, considerou a laje estudada como sendo do tipo 7. 
 
ɣ = 
la
lb
 = 
158,5
458,5
 = 0,35 
ɣ = 0,35 
Logo: 
μx = 10,63 μy = 15,60 μyb = 27,19 
O cálculo dos momentos é dado pela seguinte expressão: 
m = μ* 
𝒑∗𝒍𝟐
𝟏𝟎𝟎
 
 
mx = 10,63 * 
8,9∗1,5852
100
 = 2,37 kn.m = 237 Kn.cm 
 
my = 15,60 * 
8,9∗1,5852
100
 = 3,48 kn.m = 348 Kn.cm 
myb = 27,19 * 
8,9∗1,5852
100
 = 6,07 kn.m = 607 Kn.cm 
 
1.4 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
As ações atuantes na laje são distribuídas paras as vigas de apoio. Para execução 
desses cálculos foi utilizada o mesmo material referenciado anteriormente, no cálculo de 
momentos, a tabela é a 2.2a – Reações de apoio em lajes com carga uniforme. 
A laje considerada, de acordo com seus vínculos, é a do tipo 1. 
 
λ = ly/lx = 458,5/158,5 = 2,89 
λ = 2,89 
Logo: 
νx = 5 νy = 2,5 
O cálculo das reações de apoio é dado pela seguinte expressão: 
V = ν* 
𝒑∗𝒍
𝟏𝟎
 
Vx = 5* 
8,9∗1,585
10
 = 7,05 Kn 
Vy = 2,5* 
8,9∗1,585
10
 = 3,52 Kn 
 
1.5 DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 
Para este dimensionamento, será utilizado o método que utiliza os coeficientes 
Kc e Ks. É preciso determinar o momento fletor de cálculo, multiplicando os valores 
encontrados anteriormente por 1,4. Além de admitir a largura de 100 cm, para obtenção 
de uma armadura por metro linear. Todos os valores tabelados serão encontrados nas 
Tabelas Gerais, material disponibilizado pelo Professor e Doutor Libânio M. Pinheiro. 
 Armadura transversal (Asx) – 
Kcx = 
𝒃𝒘∗𝒅𝟐
𝑴𝒅
 Asx = 
𝑴𝒅∗𝑲𝒔
𝒅
 
Kcx = 
100∗72
(237∗1,4)
 = 14,77 𝑐𝑚2/Kn 
Sabendo o Aço utilizado, o concreto e o valor de Kcx, obtêm-se na tabela 1.1 o 
valor de ks. 
Ks = 0,023 
Asx = 
331,8∗0,023
7
 = 1,09 𝑐𝑚2 
 
 
 
 Armadura Longitudinal (Asy, Asyb) – 
 
Kc = 
𝒃𝒘∗𝒅𝟐
𝑴𝒅
 As = 
𝑴𝒅∗𝑲𝒔
𝒅
 
- Kcy 
Kcy = 
100∗72
(348∗1,4)
 = 10,05 𝑐𝑚2/Kn 
Sabendo o Aço utilizado, o concreto e o valor de Kcx, obtêm-se na tabela 1.1 o 
valor de ks. 
Ks = 0,024 
Asy = 
487,2∗0,024
7
 = 1,67 𝑐𝑚2 
- Kcyb 
Kcyb = 
100∗72
(607∗1,4)
 = 5,76 𝑐𝑚2/Kn 
Sabendo o Aço utilizado, o concreto e o valor de Kcx, obtêm-se na tabela 1.1 o 
valor de ks. 
Ks = 0,024 
Asy = 
849,8∗0,024
7
 = 2,9 𝑐𝑚2 
 
 Armadura longitudinal mínima 
As,min = 0,15%*bw*h 
As,min = 0,0015*100*10 
As,min= 1,5 𝑐𝑚2 
 
 Armadura transversal mínima 
As,min = 0,15%*bw*h1 
As,min = 0,0015*100*11,35 
As,min = 1,70 𝑐𝑚2 
Conhecendo as armaduras mínimas, na direção transversal e longitudinal, é 
possível definir as áreas de aço utilizadas. Considerando sempre que se As < As,min, 
utiliza a seção de aço mínima. 
 
 
As,min (𝑐𝑚2) As (𝑐𝑚2) Área de aço considerada 
(𝑐𝑚2) 
1,70 Asx = 1,09 Asx = 1,70 
1,50 Asy = 1,67 Asy = 1,67 
1,50 Asyb = 2,9 Asyb = 2,9 
 
Portanto, definida as áreas de aço, utiliza-se o material de Tabelas Gerais, tabela 
1.3a e encontra o número de barras e o diâmetro. 
Para: 
Asx = 1,70 𝒄𝒎𝟐 6 ᴓ 6,3 mm → s = 18 cm 
Asy = 1,67 𝒄𝒎𝟐 6 ᴓ 6,3 mm → s = 18 cm 
Asyb = 2,90 𝒄𝒎𝟐 6 ᴓ 8 mm → s = 10 cm 
 
TABELA FINAL 
 Mk 
(kn.cm/m) 
Md 
(kn.cm/m) 
kc ks As 
(cm2/m) 
Ø (mm) s (cm) 
Mx 237 331,8 14,77 0,023 1,70 6,3 18 
My 348 487,2 10,05 0,024 1,67 6,3 18 
Myb 607 849,8 5,76 0,024 2,90 8 10 
 
 
1.2 VIGAS 
 
Para essa escada em O, as vigas ficam no contornoexterno. Para o cálculo dessas 
foi utilizado como base materiais disponibilizados pelo professor Libânio M. Pinheiro 
(USP) e o professor Paulo S. S. Bastos (Unesp). 
A partir da representação do desenho das vigas, podemos afirmar que todas são 
iguais, logo; 
V1 = V2 = V3 = V4 
 
1.2.1 Pré-dimensionamento da viga – altura e largura 
Geralmente, as vigas não podem apresentar uma base menor que 12 cm, sendo 
viável que a mesma sempre fique embutida na parede. Quanto à altura, é indicado que 
seja superior a 25 cm, no entanto a altura depende do concreto utilizado, o vão e o 
carregamento. De acordo com os materiais citados acima, foi definido fazer um pré-
dimensionamento da largura e altura com as seguintes fórmulas: 
 
ℎ =
𝑙 𝑒𝑓
12
 
ℎ =
600
12
= 50 𝑐𝑚 
𝑏 =
1
3
∗ ℎ 
𝑏 =
1
3
∗ 50 = 17𝑐𝑚 
 Sendo: 
l ef = vão efetivo 
 
Para o cálculo da altura útil temos: 
h = d +c+ϴt+ϴl/2 
50 = d+2,5+0,63+2/2 
d = 45,87 cm 
 
1.2.2 AÇÕES 
As cargas consideradas nas vigas serão: peso próprio, as reações de apoio nas 
lajes e o peso das paredes. São cargas uniformemente distribuídas. 
 Peso próprio 
Para a definição do peso próprio, considera-se a massa específica do concreto 
armado sendo 25 Kn/𝑚3, de acordo com a NBR 6118:2014, item 8.2.2. Dessa forma, 
multiplica-se a largura da viga, pela altura e a massa específica do concreto armado. 
 
𝑃. 𝑃 = 0,17 ∗ 0,5 ∗ 25 = 2,125 𝐾𝑁/𝑚 
Pp = 2,125 KN/m 
 Reações de apoio das lajes 
Utiliza-se o valor resultante do cálculo de reações de apoio nas lajes, logo 
descarregarão nas vigas. 
 𝐕𝐱 = 𝟕, 𝟎𝟓 𝐊𝐍 
 Peso de paredes 
 
Para a execução deste cálculo, não se desconta vãos menores que 1/3 da área 
total. 
𝑃. 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑𝑒 = 0,17 ∗ 1,775 ∗ 13 = 3,92 𝐾𝑁/𝑚 
𝐐𝐓 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟗𝟓 𝐊𝐍/𝐦 
 
→Reações 
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 =
𝑄 ∗ 𝑙
2
 
𝑅𝐴 = 𝑅𝐵 = 40,4 𝐾𝑁 
 
Diagrama de Cortante (KN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento Fletor (Kn.m) 
 
 
→Momento máximo 
𝑃 ∗ 𝑙2
24
= 20,77 𝐾𝑁. 𝑚 
 
 
𝑀𝑑, 𝑙𝑖𝑚 =
𝑏∗𝑑2
𝑘𝑐
 kc = 1,7 
 
→Se momento de cálculo, ultrapassar o Md,lim, a viga terá armadura dupla. 
 
𝑀𝑑, 𝑙𝑖𝑚 =
17 ∗ 45,872
1,7
= 21040,57 𝐾𝑛. 𝑐𝑚 
𝑀𝑑 = 2077 ∗ 1,4 = 2907,8 𝐾𝑁. 𝑐𝑚 
 
Md ≤ Md,lim , logo, 2907,8 ≤ 21040,57 → OK! 
 
1.2.3 Armadura Longitudinal Mínima 
𝐴𝑠, 𝑚í𝑛 = 0,0015 ∗ 𝑏 ∗ ℎ = 0,0015 ∗ 17 ∗ 50 = 1,275 𝑐𝑚2 
 
1.2.4 Armadura Transversal Mínima 
𝐴𝑠𝑤, 𝑚𝑖𝑛 =
20𝑓𝑐𝑡𝑚 ∗ 𝑏𝑤
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
 
𝐴𝑠𝑤, 𝑚í𝑛 =
20 ∗ 0,28964 ∗ 17
50
= 1,9695 𝑐𝑚2 
 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,51 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,51 ∗ 17 ∗ 45,87 = 397,6929 𝐾𝑁 
 
𝑉𝑠𝑑, 𝑚í𝑛 = 0,132 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 
𝑉𝑠𝑑, 𝑚í𝑛 = 0,132 ∗ 17 ∗ 45,87 = 102,93 𝐾𝑁 
 
 
→Apoios externos (negativo) 
Nos apoios externos os momentos são iguais. 
 
*Armadura Longitudinal 
𝑘𝑐 =
17∗45,872
4154,27∗1,4
=6,15 
 
𝐴𝑠 =
5815,98 ∗ 0,024
45,87
= 3,04 𝑐𝑚2 → 𝟒∅𝟏𝟎𝐦𝐦 
 
 
 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,3 ∗ √302
3
= 2,8964 𝑀𝑃𝑎 
𝑓𝑐𝑡𝑚 = 0,28964 𝐾𝑁 
 
𝑘𝑠 = 0,024 
 
𝐴𝑠 > 𝐴𝑠, 𝑚í𝑛 
→Apoio Central (positivo) 
No apoio central se concentra o momento máximo. 
 
*Armadura Longitudinal 
𝑘𝑐 =
17 ∗ 45,872
2077 ∗ 1,4
= 12,30 𝑘𝑠 = 0,023 
 
𝐴𝑠 =
2907,8 ∗ 0,023
45,87
= 1,46 𝑐𝑚2 → 𝟐∅𝟏𝟎𝐦𝐦 
 
*Armadura Transversal 
𝑉𝑑 = 40,4 ∗ 1,4 = 56,56 𝐾𝑁 
𝑉𝑑 ≤ 𝑉𝑑, 𝑚í𝑛 
56,56 ≤ 102,93 𝐾𝑁 Adota armadura mínima 
 
 
𝑆𝑚á𝑥 = 0,6 ∗ 𝑑 = 0,6 ∗ 45,87 = 27,52 𝑐𝑚 
Utiliza: 
𝐴𝑠𝑤 = 1,969 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠𝑤
2
= 1
𝑐𝑚2
𝑚
 
 
Bitola: 
∅6,3 c/ 24 cm ou ∅5 c/ 18 cm 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BASTOS, P.S.S. Vigas De Concreto Armado. Bauru/SP, Unesp - Departamento de 
Engenharia Civil, Notas de aula, Fev/2015, disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm 
 
BASTOS, P.S.S. Lajes De Concreto. Bauru/SP, Unesp - Departamento de Engenharia 
Civil, Notas de aula, Fev/2015, disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto1.htm 
 
PINHEIRO, L.M. Lajes. USP. Set/2003, disponível em: 
http://www.fec.unicamp.br/~almeida/au405/ 
 
PINHEIRO, L.M. Vigas. USP. Set/2003, disponível em: 
http://www.fec.unicamp.br/~almeida/cv714/ 
 
NBR 6118:2014 Projeto de estruturas de concreto. Associação Brasileira de Normas 
Técnicas 
 
NBR 6120:1980 Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro, 
Associação Brasileira de Normas Técnicas.

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