P2 Edivaldo CALCULO 2
1 pág.

P2 Edivaldo CALCULO 2


DisciplinaCálculo II25.919 materiais725.014 seguidores
Pré-visualização1 página
Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas/DEMAT
Prova 2 de Cálculo II - IC242 Turma: T64
Aluno: Data: 24/10/2016
Questão 1: (2 pontos)
Seja z = f (x ,y), onde x = r cos(\u3b8 ) e y = r sen(\u3b8 ) .
(a) (1/2 ponto) Determine
\u2202 z
\u2202 r .
(b) (1/2 ponto) Determine
\u2202 z
\u2202 \u3b8 .
(c) (1 ponto) Verifique que
\u2202 f
\u2202 y
(x ,y) =
cos(\u3b8 )
r
\u2202 z
\u2202 \u3b8
(r,\u3b8 ) + sen(\u3b8 )
\u2202 z
\u2202 r
(r,\u3b8 )
Questão 2: (3 pontos)
Seja f (x ,y) = y(x\u22122)2\u2212 y+ y2 definida sobre a região triangular delimitada pelas retas x = 0 ,
y = 0 e x + y = 4.
(a) (1 ponto) Determine os pontos críticos de f .
(b) (2 pontos) Encontre o máximo e o mínimo da função f .
Questão 3: (2 pontos)
Mostre que lim
(x ,y)\u2192(0,0)
x2 + y
x2 + y2
não existe.
Questão 4: (2 pontos)
Considere uma função z = f (x ,y) diferenciável. O plano tangente ao gráfico de f no ponto
(1,\u2212 1,2) é dado por x \u2212 y + 2z = 6 .
(a) (1 ponto) Determine \u2207 f (1,\u2212 1).
(b) (1/2 ponto) Determine o vetor direção u para o qual obtemos
\u2202 f
\u2202 u
(1,\u2212 1) = 0.
Questão 5: (1 ponto)
Justifique a afirmação a seguir se for verdadeira ou apresente um contra-exemplo se for falsa.
[ ] Se mostramos que f (x ,y) tende a limites iguais, com valor L, quando (x ,y) tende a (a,b)
por pelo menos dois caminhos diferentes então podemos concluir que lim
(x ,y)\u2192(a,b) f (x ,y) = L.
Fórmulas:
-Teste das derivadas parciais de 2a ordem: D(x ,y) = fx x(x ,y) f y y(x ,y)\u2212
\ufffd
fx y(x ,y)
\ufffd2
sinal de D(a,b) sinal de fx x(a,b) comportamento em (a,b)
+ + mínimo relativo
+ - máximo relativo
- ponto de sela
-Equação do plano tangente ao gráfico de f passando pelo ponto (x0,y0,z0): z \u2212 z0 =\u2207 f (x0,y0) · (x \u2212 x0,y \u2212 y0)
Boa Prova!