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Questão 1/5 - Análise Matemática O primeiro fato a destacar sobre uma série de potências ∑∞nan(x−x0)n∑n∞an(x−x0)n é que o conjunto de valores de xx para os quais ela converge é um intervalo de centro x0x0. Esse intervalo pode ser limitado (aberto, fechado ou semi-aberto), igual a RR ou até mesmo reduzir-se a um único ponto. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p.159. Considere a expansão da série de potências ex=∑∞n=0xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R)ex=∑n=0∞xnn!=1+x1!+x22!+x33!+⋯(x∈R) Assinale a alternativa que contém os valores para x=1. A e=∑∞n=01n!=1−11+12−16+⋯e=∑n=0∞1n!=1−11+12−16+⋯ B e=∑∞n=01n!=1+11+12+16+⋯e=∑n=0∞1n!=1+11+12+16+⋯ C e=∑∞n=01n!=1+13+15+⋯e=∑n=0∞1n!=1+13+15+⋯ D e=∑∞n=01n!=1−13+15−⋯e=∑n=0∞1n!=1−13+15−⋯ E e=∑∞n=02nn!=1+23+34+⋯e=∑n=0∞2nn!=1+23+34+⋯ Questão 2/5 - Análise Matemática Consideremos a função f:R→Rf:R→R dada por f(x)={x2+1, x≤12x, x>1f(x)={x2+1, x≤12x, x>1. Com base nos conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito de funções contínuas e deriváveis, é correto afirmar que: A Em x=1x=1, ff é contínua, mas não é derivável. B Em x=1x=1, ff é derivável, mas não é contínua. C Em x=1x=1, ff possui limites laterais, mas são diferentes. D Em x=1x=1, ff é contínua e é derivável. E Em x=1x=1, ff não é contínua nem é derivável. Questão 3/5 - Análise Matemática Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x representado na figura a seguir. Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)xf(x)=(1+1x)x e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir. I. limx→∞f(x)=∞limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ II. limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞limx→−∞f(x)=−∞ III. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ IV. limx→0+f(x)=−∞limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞limx→0−f(x)=∞ V. limx→0+f(x)=1limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=elimx→∞f(x)=e São corretas apenas as afirmativas: A III e V B I e III C I e IV D II e V E II, III e V Questão 4/5 - Análise Matemática “Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1. PORQUE II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos 55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: A As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira. B As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira. C A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa. D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E As asserções I e II são proposições falsas. Questão 5/5 - Análise Matemática Leia o trecho de texto a seguir: “Quando limxn=alimxn=a, diz-se que a sequência (xn)(xn) converge para aa, ou tende para aa e escreve-se xn→axn→a. Uma sequência que possui limite chama-se convergente. Do contrário, ela se chama divergente. Explicitamente, uma sequência (xn)(xn) diz-se divergente quando, para nenhum número real aa, é verdade que se tenha limxn=alimxn=a”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 108-109. Levando em consideração o fragmento de texto dado e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a convergência de sequências numéricas, analise as afirmativas que seguem e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. I. Toda sequência que é crescente e limitada é convergente. II. Existem sequências que não são limitadas, mas são convergentes. III. Toda subsequência de uma sequência limitada é convergente. IV. Existem sequências limitadas que possuem subsequências convergentes. Agora marque a sequência correta: A F – V – F – V B V – F –V – F C V – F – F – V D F – V – V – F E F – F – V – V
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