slide01 Sistemas de Numeração e Conversões

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Sistemas de Numeração e Conversões entre bases
Patrick Cesar Alves Terrematte
UFERSA
26 de Janeiro de 2017
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 1 / 67
Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 2 / 67
Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
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Objetivos
Apresentar Sistemas de Numeração.
Conhecer os sistemas de numeração binário, octal, decimal e
hexadecimal;
Ver as principais características de cada um dos sistemas de
numeração;
Aprender a converter um número entre as diversas bases numéricas.
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Objetivos
Apresentar Sistemas de Numeração.
Conhecer os sistemas de numeração binário, octal, decimal e
hexadecimal;
Ver as principais características de cada um dos sistemas de
numeração;
Aprender a converter um número entre as diversas bases numéricas.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 4 / 67
Objetivos
Apresentar Sistemas de Numeração.
Conhecer os sistemas de numeração binário, octal, decimal e
hexadecimal;
Ver as principais características de cada um dos sistemas de
numeração;
Aprender a converter um número entre as diversas bases numéricas.
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Objetivos
Apresentar Sistemas de Numeração.
Conhecer os sistemas de numeração binário, octal, decimal e
hexadecimal;
Ver as principais características de cada um dos sistemas de
numeração;
Aprender a converter um número entre as diversas bases numéricas.
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Sistemas de Numeração
Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em
que um conjunto de números são representados por numerais de uma
forma consistente.
Uma base b disporá de b algarismos, variando entre 0 e b-1.
Representação do número 15
10
em diferentes bases numéricas:
Base 2: 1111
2
.
Base 8: 17
8
.
Base 10: 15
10
= 15.
Base 16: F
16
.
Pode-se ver que 10
10
6= 10
2
6= 10
16
.
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Contagem de sistemas de numeração
Para realizar a contagem em binário é importante o conceito de LSB
(Least Significant Bit) e (Most Significant Bit).
O LSB é o bit que se encontra mais à direita na palavra binária,
enquanto que o MSB é o bit que se encontra mais à esquerda.
Em binário: o LSB muda de valor a cada contagem;
o segundo bit muda de valor a cada duas contagens;
o terceiro bit muda de valor a cada quatro contagens; e assim em diante.
Assim, a contagem em binário de 0 a 7 é escrita como:
000
001
010
011
100
101
110
111
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Conversões: Relações entre bases numéricas
Decimal Binário Octal Hexadecimal
0 0000 00 0
1 0001 01 1
2 0010 02 2
3 0011 03 3
4 0100 04 4
5 0101 05 5
6 0110 06 6
7 0111 07 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
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Forma geral de um número em qualquer base
N
b
= a
b
.bn+ ...+ a
2
.b2+ a
1
.b1+ a
0
.b0+ a−1.b−1+ a−2.b−2+ ...+ a−n.b−n (1)
Nesta expressão, a
n
é o dígito do número em questão, b é a base do
sistema de numeração, e n é a posição do dígito em relação à vírgula.
A parte inteira é representada pelos algarismos com valor de n maior ou
igual a 0.
Os outros algarismos representam a parte fracionária do número.
Representação de números com bases diferentes:
167, 5
10
= 1.102 + 6.101 + 7.100 + 5.10−1
= 100+ 60+ 7+ 0, 5
= 167, 5
10
1001, 101
2
= 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2−1 + 0.2−2 + 1.2−3
= 8+ 1+ 0, 5+ 0, 125
= 9, 625
10
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Generalização
O processo pode ser generalizado com a seguinte equação:
k =
n∑
i=0
(a
i
× bi ) +
−1∑
j=−m
(a
j
× bj )
Em que a
i
e a
j
representam os dígitos octais das posições i e j que
estão sendo convertidos.
A posição mais à direita, antes da vírgula, a menos significativa, é a
posição 0.
A posição mais à esquerda, antes da vírgula, a mais significativa, é a
posição −1.
n representa o número de dígitos antes da vírgula, enquanto m o
número de dígitos depois da vírgula.
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Faixa de contagem
Tabela: Quantidade de elementos que podem ser contados.
N
o
de dígitos N
o
mínimo N
o
máximo N
o
que podem
ser contados
1 0.100 = 0
10
9.100 = 9
10
10
2 0.101 + 0.100 = 0
10
9.101 + 9.100 = 99
10
100
3 0.102 + 0.101 + 0.100 = 0
10
9.102 + 9.101 + 9.100 = 999
10
1000
N 0 10
N − 1 10N
Por exemplo, um número binário com N elementos permite contar 2
N
números diferentes. Qual o número máximo que pode ser representado em
um número binário que utiliza 3 bits?
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Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
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Conversão de decimal para binário
A técnica das divisões sucessivas consiste em dividir sucessivamente o valor
em decimal por B (base para a qual se deseja converter), até que um
quociente 0 seja encontrado. O resultado é a escrita inversa dos restos
obtidos nas divisões. Como deseja-se converter para base binária, devem-se
fazer divisões sucessivaspor 2.
23 2
1 11 2
1 5 2
1 2 2
0 1 2
1 0
23
10
= 10111
2
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Conversão de decimal fracionário para binário
Para converter 0, 4
10
, a parte fracionária deve-se multiplicá-la pelo valor da base que se
deseja obter. O número restante à vírgula é o dígito procurado. Se for diferente de zero,
ele é substituído por zero para a próxima multiplicação. A multiplicação é feita até que
se obtenha 0 como resultado, ou até que a dízima estabelecida seja atingida.
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Conversão de binário para decimal
k =
n∑
i=0
(a
i
× bi ) +
−1∑
j=−m
(a
j
× bj)
11101
2
= 1.24 + 1.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20 = 16+ 8+ 4+ 1 = 29
10
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Multiplicação binária
Semelhante à operação em sistemas de numeração decimal.
Dá-se por meio de produtos parciais entre os dígitos dos dois números
sendo multiplicados.
Os valores possíveis na multiplicação de dígitos binários, 0 e 1, são:
x 0 1
0 0 0
1 0 1
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Exemplo
Um exemplo da multiplicação de dois números em base binária, 1011
2
e
1010
2
, pode ser visto abaixo:
1 1 0 1 1 (A) (11, na base decimal)
2 x 1 0 1 0 (B) (10, na base decimal)
3
4 0 0 0 0 ←− Produto pelo dígito 0 em B
5 + 1 0 1 1 ←− Produto pelo dígito 1 em B
6 + 0 0 0 0
7 + 1 0 1 1
8
9 = 1 1 0 1 1 1 0 (110, na base decimal)
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Mutiplicação fracionária
As mesmas diretrizes se aplicam à multiplicação de números binários
com parte fracionária.
Assim, em 101, 101
2
× 110, 01
2
1 1 0 1 , 1 0 1 (A) (5,625, na base decimal)
2 x 1 1 0 , 0 1 (B) (6,25, na base decimal)
3
4 1 , 0 1 1 0 1 ←− Produto pelo dígito 1 em B
5 + 0 0 , 0 0 0 0 ←− Produto pelo dígito 0 em B
6 + 0 0 0 , 0 0 0
7 + 1 0 1 1 , 0 1
8 + 1 0 1 1 0 , 1
9
10 = 1 0 0 0 1 1 , 0 0 1 0 1 (35,15625, na base decimal)
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Divisão Binária
Também segue os mesmos princípios da operação em sistemas de
numeração decimal.
O fato de ter apenas dois dígitos possíveis no sistema facilita o
processo.
O procedimento tem como resultados o quociente e o resto, a partir
de um divisor e um dividendo.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 18 / 67
Exemplo
Um exemplo da divisão de dois números em base binária, 11011
2
e 101
2
:
1
2
1 1 0 1 1 1 0 1 ←− Dividendo e Divisor (27
10
e 5
10
, respectivamente)
3 - 1 0 1 1 0 1 ←− Quociente (Equivalente a 5
10
)
4
5 0 1 1
6
- 0 0 0
7
8 1 1 1
9 - 1 0 1
10
11 1 0 ←− Resto (Equivalente a 2
10
)
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Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 20 / 67
Sistema de Numeração Octal
Utiliza a base oito.
Assim, possui oito dígitos possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Um número na base octal possui a seguinte representação:
(...a
3
a
2
a
1
a
0
, a−1a−2a−3...)8
Em que a
i
pode ser qualquer valor entre 0 e 7, os dígitos possíveis
nesta base.
As posições mais significativas são as de maior índice, às mais à
esquerda.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 21 / 67
Contagem na base octal
Como o maior dígito nesta base é 7, na sua contagem uma posição e
incrementada de 0 até 7.
Uma vez que atinge 7, aquela posição deve voltar a 0 na próxima
contagem e a posição de dígito seguinte mais significativa deve ser
incrementada.
Dois exemplos de sequências de contagem:
65, 66, 67, 70, 71...
275, 276, 277, 300, 301...
Com n posições de dígitos octais pode-se contar até 8
n − 1, com um
total de 8
n
valores diferentes possíveis.
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Base octal para base decimal
Em um número na base octal, cada dígito, de acordo com sua posição,
incluindo a parte fracionária, possui a seguinte magnitude, em termos
de potência de 8:
... 8
4
8
3
8
2
8
1
8
0
8
−1
8
−2
8
−3
8
−4
...
,
O processo de conversão de um número octal para um em base
decimal é direto, seguindo esta tabela.
Basta multiplicar cada dígito pela respectiva magnitude de sua
posição.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 23 / 67
Exemplos
Assim, para os números 372
8
e 24, 6
8
, teríamos os seguintes
equivalentes na base decimal:
372
8
= 3× (82) + 7× (81) + 2× (80)
= 3× 64+ 7× 8+ 2× 1
= 250
10
24, 6
8
= 2× (81) + 4× (80) + 6× (8−1)
= 2× 8+ 4× 1+ 6× 1
8
= 20, 75
10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 24 / 67
Generalização
O processo pode ser generalizado com a seguinte equação:
k =
n∑
i=0
(a
i
× 8i ) +
−1∑
j=m
(a
j
× 8j )
Em que a
i
e a
j
representam os dígitos octais das posições i e j que
estão sendo convertidos.
A posição mais à direita, antes da vírgula, a menos significativa, é a
posição 0.
A posição mais à esquerda, antes da vírgula, a mais significativa, é a
posição −1.
n representa o número de dígitos antes da vírgula, enquanto m o
número de dígitos depois da vírgula.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 25 / 67
Base decimal para base octal
Utiliza-se o método de divisões sucessivas para a obtenção do
equivalente octal de um número na base decimal.
Segue-se o mesmo processo da conversão para a base binária, só que
utilizando-se 8 como divisor, em vez de 2.
Começando-se com o número sendo convertido, os quocientes das
divisões serão divididos sucessivamente, até que atinja-se zero como
resultado.
Os restos destas divisões serão os dígitos que comporão o número na
base octal.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 26 / 67
Conversão de decimal para octal
Como deseja-se converter para base octal, devem-se fazer divisões
sucessivas por 8.
223 8
7 27 8
3 3 8
3 0
223
10
= 337
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 27 / 67
Exemplos
Tomando o número 266
10
, as divisões sucessivas têm a seguinte forma:
266/8 = 33 ∗ 8 + resto 2. (2)
33/8 = 4 ∗ 8 + resto 1. (3)
4/8 = 0 ∗ 8 + resto 4. (4)
O resto da primeira divisão é o dígito menos significativo no número
resultante.
O resto seguinte é segundo menos significativo, e assim por diante.
Portanto:
266
10
= 412
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 28 / 67
Generalização
Este processo pode ser generalizado da seguinte forma:
D
0
= d mod 8
D
1
= bd/8c mod 8
D2
= bbd/8c/8c mod 8
...
bxc é a operação piso: tem como resultado a parte inteira de x .
d é o número na base 10 sendo convertido.
D
i
é o i-ésimo dígito do número resultante � que será da forma
(...D
3
D
2
D
1
D
0
)
8
�, do menos significativo (i = 0) ao mais significativo.
O método deve ser aplicado até que b...bbd/8c/8c.../8c = 0, representando
que todos os dígitos do de d já foram considerados para a conversão.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 29 / 67
Conversão de octal para decimal
Para a conversão de octal para decimal, deve-se utilizar a equação geral:
72
8
= 7.81 + 2.80 = 56+ 2 = 58
10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 30 / 67
Conversão de números fracionários
Para converter números fracionários o processo é diferente.
Utilizam-se multiplicações sucessivas:
Multiplica-se exclusivamente a parte fracionária de número,
repetidamente, por 8.
Tomam-se as partes não fracionárias dos resultados como os dígitos da
parte fracionária do número octal resultante.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 31 / 67
Exemplo
Tomando o número 0, 1640625
10
, as multiplicações sucessivas têm a
seguinte forma:
0, 1640625× 8 = 1, 3125 = 1+ 0, 3125 (1)
0, 3125× 8 = 2, 5 = 2+ 0, 5 (2)
0, 5× 8 = 4, 0 = 4+ 0 (3)
As partes não fracionárias dos resultados das multiplicações compõe o
número resultante, do dígito mais significativo ao menos significativo.
Portanto:
0, 1640625
10
= 0, 124
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 32 / 67
Conversão de decimal para octal
Para converter 223, 796
10
, a parte fracionária deve-se multiplicá-la pelo valor da base
que se deseja obter. O número restante à vírgula é o dígito procurado. Se for diferente
de zero, ele é substituído por zero para a próxima multiplicação. A multiplicação é feita
até que se obtenha 0 como resultado, ou até que a dízima estabelecida seja atingida.
223 8
7 27 8
3 3 8
3 0
0, 796
10
x 8
6,368
0, 368
10
x 8
2,944
0, 944
10
x 8
7,952
0, 952
10
x 8
4,416
223, 796
10
= 337, 6274
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 33 / 67
Generalização
Este processo pode ser generalizado da seguinte forma:
D−1 = bd
f
× 8c
D−2 = b{d
f
× 8} × 8c
D−3 = b{{d
f
× 8} × 8} × 8c
...
{x} denota xmod 1 = x − bxc: a operação tem como resultado,
exclusivamente, a parte fracionária de x .
d
f
é a parte fracionária do número na base 10 sendo convertido
D
j
é o j-ésimo dígito do número resultante � que sera da forma
(0,D−1D−2D−3...)16 �, do mais significativo (j = −1) ao menos
significativo.
O processo deve parar ao se atingir b{...{{d
f
× 8} × 8}...× 8} = 0.
Representação finita não e garantida.
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Conversão da base octal para a base binária
Uma das vantagens do sistema octal é a simplicidade de conversão
com a base binária.
Basta converter cada digito octal para o seu equivalente na base
binária, utilizando-se três dígitos.
O sistema é fixo, seguindo a tabela:
Dígito Octal 0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente binário 000 001 010 011 100 101 110 111
È possível converter qualquer número na base octal para a base binária
através da troca, individual, de cada dígito octal pelo seu equivalente.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 35 / 67
Exemplo
O processo é exemplificado abaixo para o número 472
8
, cujo
equivalente binário é 100111010
2
:
4 7 2
↓ ↓ ↓
100 111 010
O mesmo princípio é utilizado para a conversão da parte fracionária de
um número na base octal.
Assim, para 325, 67
8
, teríamos:
3 2 5 , 6 7
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
011 010 101 , 110 111
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Conversão da base binária para base octal
É o processo reverso do apresentado anteriormente.
Os dígitos binários são agrupados em grupos três a três e convertidos
para seus equivalentes octais.
A mesma tabela é utilizada.
Assim, para o número 100111010
2
, teríamos o seguinte equivalente
octal:
1 0 0︸ ︷︷ ︸ 1 1 1︸ ︷︷ ︸ 0 1 0︸ ︷︷ ︸
↓ ↓ ↓
4 7 2
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Conversão da base binária para base octal
Quando o número na base binária não tem dígitos suficientes para
realizar os agrupamentos três-a-três, basta acrescentar zeros à
esquerda do dígito mais significativo.
Assim sem alterar o número sendo convertido, até ter-se a quantidade
suficiente para realizar os agrupamentos.
Este procedimento pode ser visto abaixo, para o número 11010110
2
,
completado com zeros para realizar-se a conversão:
0 1 1︸ ︷︷ ︸ 0 1 0︸ ︷︷ ︸ 1 1 0︸ ︷︷ ︸
↓ ↓ ↓
3 2 6
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 38 / 67
Conversão da base binária para base octal
O processo para se obter o equivalente da parte fracionária segue o
mesmo princípio.
Tome, por exemplo, 11100, 01001
2
, com o seguinte equivalente octal:
0 1 1︸ ︷︷ ︸ 1 0 0︸ ︷︷ ︸ , 0 1 0︸ ︷︷ ︸ 0 1 0︸ ︷︷ ︸
↓ ↓ ↓ ↓
3 4 , 2 2
Observe-se que no caso da parte fracionária há também a necessidade
de se utilizar de zeros extras para se realizar os agrupamentos.
A diferença é que estes devem ser postos à direita do dígito menos
significativo, afim de não alterar o valor que está sendo convertido.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 39 / 67
Exercícios - conversão de octal
Realize as seguintes conversões:
1
5
8
= _____
10
2
23
8
= _____
16
3
1000
8
= _____
2
4
7710
8
= _____
2
5
10
8
= _____
2
6
1001
8
= _____
2
7
201
8
= _____
10
8
777
8
= _____
10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 40 / 67
Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 41 / 67
Sistema de Numeração Hexadecimal
Utiliza a base dezesseis.
Assim, possui dezesseis dígitos possíveis, sendo estes os de 0 a 9 mais
as letras A, B, C, D, E e F.
Um número na base hexadecimal possui a seguinte representação:
(...a
3
a
2
a
1
a
0
, a−1a−2a−3...)16
Em que a
i
pode ser qualquer valor entre os dezesseis dígitos possíveis
em um número hexadecimal.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 42 / 67
Sistema de Numeração Hexadecimal
Na tabela abaixo podemos ver as correspondências entre os dígitos
hexadecimais e números nas bases decimal, binária e octal.
Hexadecimal Decimal Octal Binário
0 0 0 0000
1 1 1 0001
2 2 2 0010
3 3 3 0011
4 4 4 0100
5 5 5 0101
6 6 6 0110
7 7 7 0111
8 8 10 1000
9 9 11 1001
A 10 12 1010
B 11 13 1011
C 12 14 1100
D 13 15 1101
E 14 16 1110
F 15 17 1111
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeirode 2017 43 / 67
Contagem na base hexadecimal
A contagem em hexadecimal leva cada posição de dígito,
incrementalmente, de 0 até F.
Um novo incremento deve retornar esta a 0, aumentando uma unidade
na posição seguinte mais significativa.
As duas sequências de contagem a seguir demonstram este processo:
38, 39, 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 40, 41...
6F8, 6F9, 6FA, 6FB, 6FC, 6FD, 6FE, 6FF, 700...
Perceba-se que quando o 9 é dígito em determinada posição, ele é
substituído por A quando incrementado.
Com n posições de dígitos octais pode-se contar até 16
n − 1, com um
total de 16
n
valores diferentes possíveis.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 44 / 67
Conversão de decimal para hexadecimal
637 16
13 39 16
7 2 16
2 0
63710 = 27D
16
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 45 / 67
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Cada posição de dígito hexadecimal possui uma magnitude associada
em termos de potência de 16, de acordo com a tabela:
... 16
4
16
3
16
2
16
1
16
0
16
−1
16
−2
16
−3
16
−4
...
,
O processo de conversão de um número octal para um em base
decimal é direto, seguindo esta tabela.
Basta multiplicar cada dígito pela respectiva magnitude de sua
posição.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 46 / 67
Exemplos
Assim, para o número 3A4C
16
, obteríamos os seus equivalentes na
base decimal de acordo com o seguinte processo:
3A4C
16
= 3× 163 + 10× 162 + 4× 161 + 12× 160 (1)
= 4096+ 320+ 64+ 12 (2)
= 4492
10
(3)
Para o número 1FB,A9D
16
, com parte fracionária, teríamos:
1FB,A9D
16
= 1× 162 + 15× 161 + 11× 160 + 10× 16−1 + 9× 16−2 + 13× 16−3 (1)
= 64+ 240+ 11+ 10× 1
16
+ 9× 1
64
+ 13× 1
4096
(2)
= 315, 769
10
(3)
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 47 / 67
Generalização
O processo pode ser generalizado de acordo com a equação:
k =
n∑
i=0
(a
i
× 16i ) +
−1∑
j=m
(a
j
× 16j )
Em que a
i
e a
j
representam os dígitos hexadecimais das posições i e j
que estão sendo convertidos.
A posição mais à direita, antes da vírgula, a menos significativa, é a
posição 0.
A posição mais à esquerda, antes da vírgula, a mais significativa, é a
posição −1.
n representa o número de dígitos antes da vírgula, enquanto m o
número de dígitos depois da vírgula.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 48 / 67
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Os métodos de divisões sucessivas (parte inteira) e multiplicações
sucessivas (parte fracionária) são também utilizados para a conversão
para a base hexadecimal.
A aplicação difere por utilizar 16 como divisor e como multiplicador,
para o primeiro e o segundo, respectivamente.
Assim, teríamos, para os número 456
10
e 0, 03125
1
0:
456/16 = 28 + resto 8. (1)
28/16 = 1 + resto 12. (2)
1/16 = 0 + resto 1. (3)
456
10
= 1C8
16
0, 03125
1
0× 16 = 0, 5 = 0+ 0, 5 (1)
0, 5× 16 = 8 = 8+ 0 (2)
0, 03125
10
= 0, 08
16
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 49 / 67
Generalização
A mesma fórmula representa a generalização do processo para a base
hexadecimal.
D
0
= d mod 16
D
1
= bd/16c mod 16
D
2
= bbd/16c/16c mod 16
...
D−1 = bd
f
× 16c
D−2 = b{d
f
× 16} × 16c
D−3 = b{{d
f
× 16} × 16} × 16c
...
O número resultante em base decimal é da seguinte forma:
(D
n
D
n−1...D2D1D0 , D−1D−2...D−m)10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 50 / 67
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão, como na base octal, dá-se pela equivalência de dígitos.
Seguindo a tabela mostrada anteriormente, então, podemos fazer a
conversão do número 9F2.A8
16
para seu equivalente binário da
seguinte maneira:
9 F 2 , A 8
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1001 1111 0010 , 1010 1000
Assim,
9F2,A8
16
= 100111110010, 10101000
2
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 51 / 67
Conversão da base binária para a base hexadecimal
Aplica-se processo equivalente, como na base octal, mas com
agrupamentos de quatro dígitos.
Se necessário, zeros devem ser acrescentados à esquerda, ou direita,
do dígito mais significativo, ou do menos, possibilitando os
agrupamento com quatro dígitos.
A posição de inserção do zero dependerá de se tratar da parte
fracionária ou não do número binário, respectivamente.
O processo é exemplificado com a conversão de 1110100110, 10
2
para
seu equivalente hexadecimal:
0 0 1 1︸ ︷︷ ︸ 1 0 1 0︸ ︷︷ ︸ 0 1 1 0︸ ︷︷ ︸ , 1 0 0 0︸ ︷︷ ︸
↓ ↓ ↓ ↓
3 A 6 , 8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 52 / 67
Conversão de octal para hexadecimal
7225
8
= 7︸︷︷︸ 2︸︷︷︸ 2︸︷︷︸ 5︸︷︷︸
111 010 010 101
7225
8
= 111010010101
2
111010010101
2
= 1110︸︷︷︸ 1001︸︷︷︸ 0101︸︷︷︸
E 9 5
7225
8
= E95
16
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 53 / 67
Conversão de hexadecimal para octal
O número hexadecimal é convertido para binário, e de binário para octal.
1A25
16
= 1︸︷︷︸ A︸︷︷︸ 2︸︷︷︸ 5︸︷︷︸
0001 1010 0010 0101
1A25
16
= 0001101000100101
2
0001101000100101
2
= 000︸︷︷︸ 001︸︷︷︸ 101︸︷︷︸ 000︸︷︷︸ 100︸︷︷︸ 101︸︷︷︸
0 1 5 0 4 5
1A25
16
= 15045
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 54 / 67
Conversão de hexadecimal para decimal
Para a conversão de hexadecimal para decimal, deve-se utilizar a equação
geral.
FC2
16
= F .162 + C .161 + 2.160 = 3840+ 192+ 2 = 4034
10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 55 / 67
Exercícios - conversão de hexadecimal
Realize as seguintes conversões:
1
10
16
= _____
2
2
1001
16
= _____
2
3
AF12
16
= _____
2
4
3524E
16
= _____
10
5
EF
16
= _____
10
6
189F
16
= _____
10
7
3524E
16
= _____
8
8
EF
16
= _____
8
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 56 / 67
Agenda
1
Introdução
2
Base Binária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 57 / 67
Aplicações
Os sistemas octais e hexadecimal são muito utilizados para uma
representação compacta de sequências de bits.
Menos sujeitos a erros ao manipular-se números com grande
quantidade de bits.
Conversão muito simples entre binários e octais ou hexadecimais.
Código ASCII:
�Ei, socorro!� =⇒
Bin Oct Dec Hex
E 100 0101 105 69 45
i 110 1001 151 105 69
, 010 1100 54 44 2C
(espaço) 010 0000 40 32 20
s 111 0011 163 115 73
o 110 1111 157 111 6F
c 110 0011 143 99 63
o 110 1111 157 111 6F
r 111 0010 162 114 72
r 111 0010 162 114 72
o 110 1111 157 111 6F
! 010 0001 41 33 21
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 58 / 67
Agenda
1
Introdução
2
BaseBinária
Conversões de números decimais
Conversões de números binários
Operações Aritméticas
Multiplicação
Divisão
3
Base Octal
Conversão da base octal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base octal
Conversão da base octal para a base binária
Conversão da base binária para a base octal
4
Base Hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base decimal
Conversão da base decimal para a base hexadecimal
Conversão da base hexadecimal para a base binária
Conversão da base binária para a base hexadecimal
5
Aplicações dos sistemas
6
Generalização da conversão de bases
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 59 / 67
Generalização da conversão de bases
Dessa forma, podemos generalizar a conversão de números entre suas
representações em diferentes bases.
A partir de uma base b para uma base B , utilizando a aritmética de B :
k
B
=
n∑
i=0
(a
i
× bi ) +
−1∑
j=m
(a
j
× bj )
Utilizando a aritmética de b:
D
0
= d mod b
D
1
= bd/bc mod b
D
2
= bbd/bc/bc mod b
...
D−1 = bd
f
× bc
D−2 = b{d
f
× b} × bc
D−3 = b{{d
f
× 3} × b} × bc
...
(D
n
D
n−1...D2D1D0 , D−1D−2...D−m)
B
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 60 / 67
Exemplo
Convertendo 44
5
para seu equivalente na base 7, utilizando aritmética
desta base:
k
7
= 4
7
× 50 + 4
7
× 51
= 4
7
+ 26
7
= 33
7
Converter 1524
6
para a base 4, utilizando a aritmética da base 4.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 61 / 67
Resumo
Sistemas de numeração são sistemas nos quais os conjuntos de números
são representados de uma forma sempre constante.
O sistema binário, ou sistema de base 2, é aquele no qual só são utilizados
dois dígitos: 0 e 1. Este sistema é muito utilizado em computadores.
Um bit é o valor de um dígito binário. Um conjunto de 8 bits é um byte.
Os sistemas octal e hexadecimal são sistemas em potência de binário, nos
quais o número de algarismos utilizados para representar um mesmo valor se
reduz.
O sistema octal possui oito dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
O sistema hexadecimal possui dezesseis dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
A, B, C, D, E e F.
Para representar a base de um número é utilizada a seguinte convenção:
Base 2: 10
2
, Base 8: 10
8
, Base 10: 10
10
= 10, Base 16: 10
16
= 10
H
= 10
h
A contagem em diferentes sistemas de numeração é diferente. Por isso, um
número com os mesmos algarismos mas em bases diferentes, não equivale ao
mesmo valor.
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 62 / 67
Questões
1
Qual o número máximo que pode ser representado em um número
binário que utiliza 3 bits?
2
Um conjunto de 4 bytes contém quantos bits?
3
Qual o maior número decimal que pode ser representado com 4 bytes?
4
Realize as seguintes conversões entre bases:
100, 1
2
= _____
16
1A,FF
16
= _____
2
45, 101
10
= _____
2
5, 43
8
= _____
10
23, 11
8
= _____
16
10, 101
2
= _____
8
268, 19
10
= _____
16
189F ,A
16
= _____
10
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 63 / 67
Exercícios - conversão de decimal
Realize as seguintes conversões:
1
10
10
= _____
2
2
1001
10
= _____
2
3
45
10
= _____
2
4
5
10
= _____
8
5
23
10
= _____
8
6
201
10
= _____
8
7
268
10
= _____
16
8
45
10
= _____
16
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 64 / 67
Exercícios - conversão de binário
Realize as seguintes conversões:
1
101
2
= _____
10
2
100
2
= _____
10
3
1010
2
= _____
10
4
101
2
= _____
8
5
10101
2
= _____
8
6
10011
2
= _____
8
7
101
2
= _____
16
8
1111
2
= _____
16
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 65 / 67
Referências
http://www.raymundodeoliveira.eng.br/binario.html
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 66 / 67
Dúvidas?
PatrickTerrematte (UFERSA) Sistemas de Numeração 26 de Janeiro de 2017 67 / 67
	Introdução
	Base Binária
	Conversões de números decimais
	Conversões de números binários
	Operações Aritméticas
	Base Octal
	Conversão da base octal para a base decimal
	Conversão da base decimal para a base octal
	Conversão da base octal para a base binária
	Conversão da base binária para a base octal
	Base Hexadecimal
	Conversão da base hexadecimal para a base decimal
	Conversão da base decimal para a base hexadecimal
	Conversão da base hexadecimal para a base binária
	Conversão da base binária para a base hexadecimal
	Aplicações dos sistemas
	Generalização da conversão de bases