Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Resolução de equações lineares Patrick Terrematte patrick.terrematte@ufersa.edu.br PEX0103− Cálculo Numérico C&T− Bacharelado em Ciência e Tecnologia UFERSA− Pau dos Ferros - 1 / 3 Introdução Método de Gauss Método de Jordan Método LU Sumário 1 Introdução Objetivos Aplicações Sistemas Lineares 2 Método de Gauss 3 Método de Jordan 4 Método LU 2 / 3 Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Objetivos Objetivos gerais Definic¸a˜o dos conceitos de equac¸a˜o linear e sistema linear Apresentac¸a˜o dos me´todos nume´ricos para resoluc¸a˜o de sistemas lineares: Me´todos exatos ou diretos: Gauss, Jordan, Decomposic¸a˜o LU Me´todos iterativos: Gauss-Seidel, Jacobi Aplicac¸o˜es dos me´todos descritos na engenharia Descric¸a˜o de algoritmos para implementac¸a˜o em software Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Aplicac¸o˜es Aplicac¸o˜es de sistemas lineares Ana´lise do estado estaciona´rio de um sistema de reatores (Engenharia Quı´mica/Bioengenharia) Ana´lise de uma trelic¸a estaticamente determinada (Engenharia Civil/Ambiental) Correntes e Voltagens em Circuitos de Resistores (Engenharia Ele´trica) Sistemas Massa-Mola (Engenharia Mecaˆnica/Aeroespacial) Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Aplicac¸o˜es Correntes e voltagens em circuitos de resistores Segunda Lei de Kirchhoff (Lei das Tenso˜es ou Lei das Malhas) A soma alge´brica da d.d.p (Diferenc¸a de Potencial Ele´trico) em um percurso fechado e´ nula. 2i1 + 4(i1 − i2) + 2(i1 − i3)− 10 = 0 2i2 − 2i2 + 2(i2 − i3) + 4(i2 − i1) = 0 6i3 + 2(i3 − i1) + 2(i3 − i2)− 4 = 0 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que e´ uma equac¸a˜o linear? Uma equac¸a˜o e´ linear se: Cada termo conte´m na˜o mais do que uma varia´vel Cada varia´vel aparece na primeira poteˆncia Exemplos 3x + 4y − 10z = 50 Linear 2xy + 6y = −1 Na˜o Linear x4 − 6y + z = 0 Na˜o Linear Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que sa˜o sistemas lineares? Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis (inco´gnitas) e´ denominado de: Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am todas as equac¸o˜es simultaneamente. x + y + z = 1 x − y − z = 1 2x + 3y − 4z = 9 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que sa˜o sistemas lineares? Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis (inco´gnitas) e´ denominado de: Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am todas as equac¸o˜es simultaneamente. x + y + z = 1 x − y − z = 1 2x + 3y − 4z = 9 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares O que sa˜o sistemas lineares? Um conjunto de n equac¸o˜es lineares com n varia´veis (inco´gnitas) e´ denominado de: Sistemas de n equac¸o˜es lineares ou Sistema Linear de Ordem n Uma soluc¸a˜o para um sistema linear consiste de determinar valores para as n varia´veis que satisfac¸am todas as equac¸o˜es simultaneamente. x + y + z = 1 x − y − z = 1 2x + 3y − 4z = 9 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Representac¸a˜o a11x1 + a12x2 + a13x3 . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 . . .+ a2nxn = b2 a31x1 + a32x3 + a33x3 . . .+ a3nxn = b3 . . . . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 . . .+ annxn = bn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... an1 an2 . . . ann × x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bn ⇒ Ax = b Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Representac¸a˜o a11x1 + a12x2 + a13x3 . . .+ a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 . . .+ a2nxn = b2 a31x1 + a32x3 + a33x3 . . .+ a3nxn = b3 . . . . . . an1x1 + an2x2 + an3x3 . . .+ annxn = bn a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... an1 an2 . . . ann × x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bn ⇒ Ax = b Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares Possı´vel ou consistente: pelo menos uma soluc¸a˜o Determinado: apenas uma soluc¸a˜o. Indeterminado:mais de uma soluc¸a˜o. Impossı´vel ou inconsistente: nenhuma soluc¸a˜o Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares Sistema Possı´vel e Determinado Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares Sistema Possı´vel e Indeterminado Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares Sistema Impossı´vel Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformac¸o˜es ba´sicas Sa˜o operac¸o˜es efetuadas sobre um sistema linear com o intuito de obter um outro sistema linear equivalente. Objetivo e´ transformar esse outro sistema linear numa versa˜o mais fa´cil de resolver. 1 Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema. 2 Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante na˜o nula. 3 Adicionar duas equac¸o˜es. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformac¸o˜es ba´sicas Sa˜o operac¸o˜es efetuadas sobre um sistema linear com o intuito de obter um outro sistema linear equivalente. Objetivo e´ transformar esse outro sistema linear numa versa˜o mais fa´cil de resolver. 1 Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema. 2 Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante na˜o nula. 3 Adicionar duas equac¸o˜es. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformac¸o˜es ba´sicas - Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema { x + y = 1 2x + y = 5 1 1 2 1 × x y = 1 5 ⇒ x = 4, y = −3 2 1 1 1 y x = 5 1 ⇒ x = 4, y = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformac¸o˜es ba´sicas - Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante na˜o nula { x + y = 1 2x + y = 5 1 1 2 1 × x y = 1 5 ⇒ x = 4, y = −3 2 2 2 1 × x y = 2 5 ⇒ x = 4, y = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Peculiaridades dos Sistemas Lineares Transformac¸o˜es ba´sicas - Adicionar duas equac¸o˜es { x + y = 1 2x + y = 5 1 1 2 1 × x y = 1 5 ⇒ x = 4, y = −3 L2 = L2− L1 1 1 1 0 × x y = 2 4 ⇒ x = 4, y = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Observac¸o˜es gerais Os me´todos nume´ricos para resoluc¸a˜o de sistemas lineares que sera˜o discutidos sa˜o usados para sistemas lineares de ordem n que tenham soluc¸a˜o u´nica. Esses sistemas sa˜o aqueles em que a matriz dos coeficientes e´ na˜o singular. det (A) 6= 0 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Sistemas Lineares Resoluc¸a˜o nume´rica de sistemas lineares Me´todos exatos ou diretos Sa˜o aqueles que forneceriam a soluc¸a˜o exata, na˜o fossem os erros de arredondamento, com um nu´mero finito de operac¸o˜es Me´todos iterativos Sa˜o aqueles que permitem obter a soluc¸a˜o de um sistema com uma dada precisa˜o atrave´s de um processo infinito convergente Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Suma´rio 1 Introduc¸a˜o Objetivos Aplicac¸o˜es Sistemas Lineares 2 Me´todo de Gauss 3 Me´todo de Jordan 4 Me´todo LU Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss Visa˜o geral O me´todo de Gauss consiste em transformar o sistema original num sistema triangular superior (eliminac¸a˜o progressiva) e em seguida resolver o sistema atrave´s de uma substituic¸a˜o regressiva Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss Visa˜o geral Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 1 Formando a matriz aumentada a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 a21 a22 a23 . . . a2n ... b2 ... ... ... . . . ... ... an1 an2 an3 . . . ann ... bn Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 2 Normalizac¸a˜o a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 a21 a22 a23 . . . a2n ... b2 ... ... ... . . . ... ... an1 an2 an3 . . . ann ... bn L2 = L2 − L1 × a21a11 L3 = L3 − L1 × a31a11 Ln = Ln − L1 × an1a11 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis- Passo 2 Normalizac¸a˜o a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 0 a′22 a ′ 23 . . . a ′ 2n ... b′2 ... ... ... . . . ... ... 0 a′n2 a ′ n3 . . . a ′ nn ... b′n Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis- Passo 3 Normalizando o pro´ximo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 0 a′22 a ′ 23 . . . a ′ 2n ... b′2 ... ... ... . . . ... ... 0 a′n2 a ′ n3 . . . a ′ nn ... b′n L3 = L3 − L2 × a ′ 31 a′22 L4 = L4 − L2 × a ′ 41 a′22 Ln = Ln − L2 × a ′ n1 a′22 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 3 Normalizando o pro´ximo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 0 a′22 a ′ 23 . . . a ′ 2n ... b′2 ... ... ... . . . ... ... 0 0 a′′n3 . . . a ′′ nn ... b′′n Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis - Passo 4 Normalizando ate´ o (n-1)e´simo elemento da diagonal principal a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 0 a′22 a ′ 23 . . . a ′ 2n ... b′2 ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 . . . an−1nn ... bn−1n Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o progressiva das varia´veis Exemplo 7 −3 3 ... −49 1 −2 −5 ... 5 3 −6 10 ... −84 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos ������������������������ ������������������������ ������������������������ Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Eliminac¸a˜o Progressiva das varia´veis Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı´da : a matriz aumentada triangular superior. // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 ate´ n − 1 // Percorre os elementosabaixo do pivoˆ na mesma coluna 2 Para j ← i + 1 ate´ n 3 fator← ajiaii ; // Zera os elementos 4 aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha 5 Para k ← i + 1 ate´ n 6 ajk ← ajk - fator× aik ; 7 bj ← bj - fator× bi ; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Substituic¸a˜o regressiva - Ideia ba´sica a11 a12 a13 . . . a1n ... b1 0 a′22 a ′ 23 . . . a ′ 2n ... b′2 ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 . . . an−1nn ... bn−1n xn = bn−1n /an−1nn xn−1 = (bn−2n−1 − an−2n−1,nxn)/an−2n−1,n−1 x1 = (b1 − a12x2 − . . .− a1nxn)/a11 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Substituic¸a˜o regressiva Algoritmo Entrada: a matriz aumentada triangular superior (A(n,n) . . .B(n,1)). Saı´da : o vetor soluc¸a˜o X(n,1). 1 xn ← bnann // Percorre as n-1 linhas da matriz aumentada 2 Para i ← n − 1 ate´ 1 3 soma← bi ; // Somatorio das outra inco´gnitas que xi depende 4 Para j ← i + 1 ate´ n 5 soma← soma- xj × aij ; 6 xi ← somaaii ; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Exemplo - Me´todo de Gauss 6 2 −1 ... 7 2 4 1 ... 7 3 2 8 ... 13 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Exemplo - Me´todo de Gauss Eliminac¸a˜o progressiva 6 2 −1 ... 7 2 4 1 ... 7 3 2 8 ... 13 L2 = L2 − L1 × 2 6 L3 = L3 − L1 × 3 6 L2,1 = 2− 2 = 0 L3,1 = 3− 3 = 0 L2,2 = 4− 2 3 = 10 3 L3,2 = 2− 1 = 1 L2,3 = 1 + 1 3 = 4 3 L3,3 = 8 + 1 2 = 17 2 L2,4 = 7− 7 3 = 14 3 L3,4 = 13− 7 2 = 19 2 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Exemplo - Me´todo de Gauss Eliminac¸a˜o progressiva 6 2 −1 ... 7 0 103 4 3 ... 143 0 1 172 ... 192 L3 = L3 − L2 × 110 3 L3,2 = 1− 1 = 0 L3,3 = 172 − 410 = 8110 L3,4 = 192 − 1410 = 8110 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Exemplo - Me´todo de Gauss Substituic¸a˜o regressiva 6 2 −1 ... 7 0 103 4 3 ... 143 0 0 8110 ... 8110 x3 = 81 10 81 10 = 1 x2 = 14 3 − 43 10 3 = 1 x1 = 7+1−26 = 1 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Alguns problemas Divisa˜o por zero Durante a normalizac¸a˜o, se o pivoˆ usado para normalizar as outras equac¸o˜es for igual a zero, um erro ocorrera´. Erros de arredondamentos Um erro de arredondamento pode torna-se particularmente importante quando se resolve um nu´mero grande de equac¸o˜es, por causa do fato de que cada resultado depende dos resultados anteriores. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Alguns problemas Divisa˜o por zero 0 2 3 ... 8 4 6 7 ... −3 2 1 6 ... 5 L2 = L2 − L1 × 40 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Alguns problemas Erro de arredondamento 0.0003 3.0000 ... 2.0001 1.0000 1.0000 ... 1.0000 Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1) 3 0.667 -3.000 1099 4 0.6667 0.0000 100 5 0.66667 0.30000 10 6 0.666667 0.330000 1 7 0.6666667 0.3330000 0.1 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo do pivoteamento parcial Antes que cada linha seja normalizada, e´ vantajoso determinar o maior coeficiente disponı´vel na coluna do elemento pivoˆ. As linhas podem ser trocadas de modo que o maior coeficiente seja o elemento pivoˆ. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo do pivoteamento parcial 0 2 3 ... 8 4 6 7 ... −3 2 1 6 ... 5 ⇓ 4 6 7 ... −3 0 2 3 ... 8 2 1 6 ... 5 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo do pivoteamento parcial Onde posicionar o algoritmo? Eliminac¸a˜o progressiva Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı´da : a matriz aumentada triangular superior. // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 ate´ n − 1 2 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo do pivoˆ na mesma coluna 3 Para j ← i + 1 ate´ n 4 fator← ajiaii ; // Zera os elementos 5 aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha 6 Para k ← i + 1 ate´ n 7 ajk ← ajk - fator× aik ; 8 bj ← bj - fator× bi ; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo do pivoteamento parcial Algoritmo Entrada: A′(n,n), B ′ (n,1) e a posic¸a˜o j do elemento pivoˆ. Saı´da : a matriz aumentada com o pivoteamento parcial. 1 maxValor← aj,j ; // pivoˆ 2 maxLinha← j; // linha do pivoˆ // Identificar o maior coeficiente da coluna, a partir da linha do pivoˆ 3 Para i ← j ate´ n − 1 4 Se ABS(maxValor)< ABS(ai+1,coluna) Entao 5 maxValor← ai+1,coluna ; 6 maxLinha← i+1; 7 Se maxValor 6= aj,j Entao // Fazendo a troca entre as linhas 8 Para i ← 1 ate´ n 9 aux← aj,i ; 10 aj,i ← amaxLinha,i ; 11 amaxLinha,i ← aux; 12 aux← bj ; 13 bj ← bmaxLinha; 14 bmaxLinha← aux; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo do pivoteamento parcial Exemplo 0.0003 3.0000 ... 2.0001 1.0000 1.0000 ... 1.0000 Sem pivoteamento Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1) 3 0.667 -3.000 1099 4 0.6667 0.0000 100 5 0.66667 0.30000 10 6 0.666667 0.330000 1 Com pivoteamento Algarismos significativos x2 x1 Erro relativo (x1) 3 0.667 0.333 0.1 4 0.6667 0.3333 0.01 5 0.66667 0.33333 0.001 6 0.666667 0.333333 0.0001 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Suma´rio 1 Introduc¸a˜o Objetivos Aplicac¸o˜es Sistemas Lineares 2 Me´todo de Gauss 3 Me´todo de Jordan 4 Me´todo LU Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica Consiste em operar transformac¸o˜es elementares sobre as equac¸o˜es do sistema linear ate´ que seja encontrado um sistema diagonal equivalente. A = a11 0 . . . 0 0 a22 . . . 0 ... ... . . . ... 0 0 . . . ann Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Ideia ba´sica ax + by + cz = d ex + fy + gz = h ix + jy + lz = m a b c d e f g h i j l m a b c d 0 f ′ g′ h′ 0 j ′ l ′ m′ a′ 0 c′ d ′ 0 f ′ g′ h′ 0 0 l ′′ m′′ a′′ 0 0 d ′′ 0 f ′′ 0 h′′ 0 0 l ′′ m′′ x = d ′′ a′′ y = h ′′ f ′′ z = m ′′ l′′ Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo x + y + 2z = 4 2x − y − z = 0 x − y − z = −1 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L3 = L3 − L1 × 1 1 L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0 L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2 L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3 L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L3 = L3 − L1 × 1 1 L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0 L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2 L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3 L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L3 = L3 − L1 × 1 1 L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0 L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2 L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3 L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 2 −1 −1 0 1 −1 −1 −1 L2 = L2 − L1 × 2 1 L3 = L3 − L1 × 1 1 L2,1 = 2− 1x2 = 0 L3,1 = 1− 1x1 = 0 L2,2 = −1− 1x2 = −3 L3,2 = −1− 1x1 = −2 L2,3 = −1− 2x2 = −5 L3,3 = −1− 2x1 = −3 L2,4 = 0− 4x2 = −8 L3,4 = −1− 4x1 = −5 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 0 − 3 −5 −8 0 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 L1,1 = 1− 0x 1 −3 = 1 L3,1 = 0 L1,2 = 1− (−3)x 1 −3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x −2 −3 = 0 L1,3 = 2− (−5)x 1 −3 = 1 3 L3,3 = −3− (−5)x −2 −3 = 1 3 L1,4 = 4− (−8)x 1 −3 = 4 3 L3,4 = −5− (−8)x −2 −3 = 1 3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 0 − 3 −5 −8 0 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 L1,1 = 1− 0x 1 −3 = 1 L3,1 = 0 L1,2 = 1− (−3)x 1 −3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x −2 −3 = 0 L1,3 = 2− (−5)x 1 −3 = 1 3 L3,3 = −3− (−5)x −2 −3 = 1 3 L1,4 = 4− (−8)x 1 −3 = 4 3 L3,4 = −5− (−8)x −2 −3 = 1 3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 0 − 3 −5 −8 0 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 L1,1 = 1− 0x 1 −3 = 1 L3,1 = 0 L1,2 = 1− (−3)x 1 −3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x −2 −3 = 0 L1,3 = 2− (−5)x 1 −3 = 1 3 L3,3 = −3− (−5)x −2 −3 = 1 3 L1,4 = 4− (−8)x 1 −3 = 4 3 L3,4 = −5− (−8)x −2 −3 = 1 3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 1 2 4 0 − 3 −5 −8 0 −2 −3 −5 L1 = L1 − L2 × 1 −3 L3 = L3 − L2 × −2 −3 L1,1 = 1− 0x 1 −3 = 1 L3,1 = 0 L1,2 = 1− (−3)x 1 −3 = 0 L3,2 = −2− (−3)x −2 −3 = 0 L1,3 = 2− (−5)x 1 −3 = 1 3 L3,3 = −3− (−5)x −2 −3 = 1 3 L1,4 = 4− (−8)x 1 −3 = 4 3 L3,4 = −5− (−8)x −2 −3 = 1 3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 0 13 4 3 0 −3 −5 −8 0 0 13 1 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 ×−15 L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = 1 3 − 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5− 1 3 x(−15) = 0 L1,4 = 4 3 − 1 3 x(1) = 1 L2,4 = −8− 1 3 x(−15) = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 0 13 4 3 0 −3 −5 −8 0 0 13 1 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 ×−15 L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = 1 3 − 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5− 1 3 x(−15) = 0 L1,4 = 4 3 − 1 3 x(1) = 1 L2,4 = −8− 1 3 x(−15) = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LUMe´todo de Jordan Exemplo 1 0 13 4 3 0 −3 −5 −8 0 0 13 1 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 ×−15 L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = 1 3 − 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5− 1 3 x(−15) = 0 L1,4 = 4 3 − 1 3 x(1) = 1 L2,4 = −8− 1 3 x(−15) = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 0 13 4 3 0 −3 −5 −8 0 0 13 1 3 L1 = L1 − L3 × 1/3 1/3 L2 = L2 − L3 ×−15 L1,1 = 1− 0x(1) = 1 L2,1 = 0 L1,2 = 0− 0x(1) = 0 L2,2 = −3 L1,3 = 1 3 − 1 3 x(1) = 0 L2,3 = −5− 1 3 x(−15) = 0 L1,4 = 4 3 − 1 3 x(1) = 1 L2,4 = −8− 1 3 x(−15) = −3 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Exemplo 1 0 0 1 0 −3 0 −3 0 0 13 1 3 x = 11 = 1 y = −3−3 = 1 z = 1 3 1 3 = 1 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo de Jordan Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı´da : um sistema diagonal equivalente. // Percorre os n elementos da diagonal principal 1 Para i ← 1 ate´ n 2 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo e acima do pivoˆ na mesma coluna 3 Para j ← 1 ate´ n 4 Se i 6= j Entao 5 fator← ajiaii ; // Zera os elementos 6 aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha 7 Para k ← i + 1 ate´ n 8 ajk ← ajk - fator× aik ; 9 bj ← bj - fator× bi ; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Suma´rio 1 Introduc¸a˜o Objetivos Aplicac¸o˜es Sistemas Lineares 2 Me´todo de Gauss 3 Me´todo de Jordan 4 Me´todo LU Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Introduc¸a˜o O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o diferentes de 0. A = LU Ax = b LUx = b y = Ux Ly = b Ux = y Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Introduc¸a˜o O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o diferentes de 0. A = LU Ax = b LUx = b y = Ux Ly = b Ux = y Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Introduc¸a˜o O me´todo LU e´ conhecido tambe´m como me´todo da decomposic¸a˜o LU ou me´todo da fatorac¸a˜o LU O objetivo do me´todo e´ fatorar a matriz dos coeficientes, A, em um produto entre duas matrizes: L - matriz triangular inferior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o iguais a 1 U - matriz triangular superior, onde todos os elementos da diagonal sa˜o diferentes de 0. A = LU Ax = b LUx = b y = Ux Ly = b Ux = y Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Matrizes L e U L = 1 0 . . . 0 m21 1 . . . 0 ... ... . . . ... mn1 mn2 . . . 1 U = a(0)11 a (0) 12 . . . a (0) 1n 0 a(1)22 . . . a (1) 2n ... ... . . . ... 0 0 . . . a(n−1)nn mi,j - sa˜o os multiplicadores (fatores) usados nos me´todos de Gauss ou Jordan aki,j - sa˜o os elementos de A modificados durante a triangulac¸a˜o Lembrando que Ux = y Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 −2 −4 5 20 1 2 6 7 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1 L2 = L2 − L1 × −2 4 L3 = L3 − L1 × 1 4 L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0 L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 −2 −4 5 20 1 2 6 7 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1 L2 = L2 − L1 × −2 4 L3 = L3 − L1 × 1 4 L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0 L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 −2 −4 5 20 1 2 6 7 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 0 1 L2 = L2 − L1 × −2 4 L3 = L3 − L1 × 1 4 L2,1 = −2− 4x(−0.5) = 0 L3,1 = 1− 4x0.25 = 0 L2,2 = −4− 3x(−0.5) = −2.5 L3,2 = 2− 3x0.25 = 1.25 L2,3 = 5− (−1)x(−0.5) = 4.5 L3,3 = 6− (−1)x0.25 = 6.25 L2,4 = 20− (−2)x(−0.5) = 19 L3,4 = 7− (−2)x0.25 = 7.50 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 0 − 2.5 4.5 19 0 1.25 6.25 7.5 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 0 − 2.5 4.5 19 0 1.25 6.25 7.5 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 0 − 2.5 4.5 19 0 1.25 6.25 7.5 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 L3 = L3 − L2 × 1.25 −2.50 L2,1 = 0− 0x(−0.5) = 0 L2,2 = 1.25− (−2.5)x(−0.5) = 0 L2,3 = 6.25− 4.5x(−0.5) = 8.5 L2,4 = 7.5− 19x(−0.5) = 17 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Exemplo 4 3 −1 −2 0 −2.5 4.5 19 0 0 8.5 17 L = 1 0 0 −0.5 1 0 0.25 −0.5 1 U = 4 3 −1 0 −2.5 4.5 0 0 8.5 y = −2 19 17 x = 3 −4 2 Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Algoritmo Entrada: a matriz de coeficientes A(n,n) e o vetor dos termos independentes B(n,1) . Saı´da : a matriz aumentada triangular superior (U,y) e a matriz L. // Inicia a matriz L, com 1’s na diagonal principal e os outros elementos tudo em zero 1 L← ones(); // Percorre os n-1 elementos da diagonal principal 2 Para i ← 1 ate´ n − 1 3 pivoteamentoParcial(A,B,i) // Percorre os elementos abaixo do pivoˆ na mesma coluna 4 Para j ← i + 1 ate´ n 5 fator← ajiaii ; // Armazena os fatoresna matriz L 6 lji ← fator; // Zera os elementos 7 aji ← 0; // Normaliza os elementos de uma linha 8 Para k ← i + 1 ate´ n 9 ajk ← ajk - fator× aik ; 10 bj ← bj - fator× bi ; Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Qual a vantagem? Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas duas te´cnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situac¸o˜es mudando apenas o vetor b. Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre sa˜o os mesmos. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Qual a vantagem? Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas duas te´cnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situac¸o˜es mudando apenas o vetor b. Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre sa˜o os mesmos. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Qual a vantagem? Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas duas te´cnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situac¸o˜es mudando apenas o vetor b. Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre sa˜o os mesmos. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos Introduc¸a˜o Me´todo de Gauss Me´todo de Jordan Me´todo LU Me´todo LU Qual a vantagem? Se o me´todo LU faz os mesmos procedimentos da te´cnica de eliminac¸a˜o de Gauss, qual a diferenc¸a entre essas duas te´cnicas? Imagine um sistema onde desejamos calcular diferentes situac¸o˜es mudando apenas o vetor b. Na primeira execuc¸a˜o ja´ encontrarı´amos as matrizes L e U. Para os outros casos, diferentes b’s, era apenas necessa´rio realizar substituic¸o˜es diretas (encontrar y) e regressivas (encontrar x). Nesse exemplo apenas o b muda, L e U sempre sa˜o os mesmos. Ivanovitch Silva Introduc¸a˜o e me´todos exatos
Compartilhar