EQUAÇÕES DE FRESNEL E ÂNGULO DE BREWSTER

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
 CURSO ENGENHARIA QUÍMICA – FT12 
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO – FT06 
LABORATÓRIO DE FÍSICA B; TURMA 2 – IEF102 
 
 
DAVE MONTEIRO BONATES – MAT: 21601485 
 
 
EQUAÇÕES DE FRESNEL E ÂNGULO DE BREWSTER 
 
 
 
 
 
 
 
Data dos experimentos: 12 e 19/05/2017 
 
MANAUS- AM 
 2017 
2 
 
DAVE MONTEIRO BONATES – 21601485 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DE FRESNEL E ÂNGULO DE BREWSTER 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS - AM 
 2017 
 
Relatório apresentado para obtenção de 
nota parcial da disciplina de Física Geral 
Experimental B, ministrado pelo 
professor Oleg Grigorievich Balev, do 
Departamento de Física da Universidade 
Federal do Amazonas 
 
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SUMÁRIO 
 
1. OBJETIVO ........................................................................................................................... 4 
2. INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 4 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ....................................................................................... 4 
3.1 EQUAÇÃO DE FRESNEL ............................................................................................... 4 
3.2 ÂNGULO DE BREWSTER ............................................................................................. 6 
3.3 INCIDÊNCIA NORMAL ................................................................................................. 7 
4. PARTE EXPERIMENTAL ................................................................................................. 7 
5.TRATAMENTO DE DADOS .............................................................................................. 9 
5.1 PARTE I ............................................................................................................................ 9 
5.2 PARTE II .......................................................................................................................... 9 
6.CONCLUSÃO ...................................................................................................................... 11 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................. 12 
 
 
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1. OBJETIVO 
 
Compreender o conceito de polarização da luz; Determinar o ângulo de Brewster; Traçar 
experimentalmente as leis de Fresnel. 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
Nesta prática, vamos estudar a reflexão e a refração da luz na interface 
entre dois meiosdielétricos, buscando determinar os coeficientes de reflexão e 
transmissão como função do ângulode incidência. Veremos que esses coeficientes 
dependem da direção de polarização da luz incidentee que existe um ângulo (ângulo 
de Brewster) para o qual a luz com deter minada polarização não é refletida, o 
que resulta no máximo de transmissão para u ma determinada polarização. Esse é 
ummétodo de produzir luz linearmente polarizada. 
Este docu mento apresenta as equações de Fresnel para descrição de ondas 
eletromagnéticasem relação os campos elétricos e magnético, além de comparar o 
valor teórico esperado para o índice de refração do ar com o obtido de maneira 
indireta pelo conhecimento experimental do valordo ângulo de Brewster. 
 
3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
 
3.1 EQUAÇÃO DE FRESNEL 
 
Segundo as leis da reflexão e da refracção, quando um feixe luminoso incide na 
superfície de separação entre dois meios com diferentes características, uma parte desse feixe é 
reflectido numa direcção simétrica em relação à normal da superfície, com um ângulo igual ao 
ângulo de incidência – Lei da Reflexão. O restante feixe é refractado, propagando-se no 
segundo meio com índice de refracção n2, numa direcção que obedece à lei da refracção 
designada por Lei de Snell (1): 
 
A intensidade dos vários feixes é determinada a partir dos coeficientes de reflexão e de 
transmissão (2), que correspondem à razão entre as amplitudes dos campos eléctricos dos feixes 
reflectido e transmitido (ou refractado) relativamente à amplitude do feixe incidente, 
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respectivamente. Sabendo que qualquer tipo de polarização pode ser sempre decomposto em 
duas componentes perpendiculares entre si, dever-se-ão distinguir estas duas situações quanto 
ao feixe incidente, pois as condições fronteira impostas na zona de separação entre os meios 
estão condicionadas pela direcção de oscilação do campo eléctrico incidente. Assim, 
distinguem-se os coeficientes de reflexão e de transmissão para os dois casos (Figura 1). 
 
 
 
Figura 1 - Indicação do plano de incidência e das direcções de polarização para os diferentes feixes: incidente, reflectido e 
refractado. 
a) Quando o feixe incidente tem polarização perpendicular ao plano de incidência, ter-se-á: 
 
b) Quando o feixe incidente tem polarização paralela ao plano de incidência, ter-se-á: 
 
 
A intensidade dos feixes reflectido e transmitido é determinada a partir das suas 
potências relativamente ao feixe incidente. As quantidades assim determinadas são designadas 
por Reflectância R e Transmitância T. 
Sendo a reflectância R a razão entre as respectivas intensidades, esta será igual ao 
quadrado do coeficiente de reflexão, r (5), uma vez que o meio de propagação é o mesmo para 
os feixes reflectido e incidente. Em contrapartida, o feixe transmitido ao propagar-se num meio 
6 
 
com índice de refracção diferente numa direcção de propagação também diferente, vai sofrer 
expansão, i.e., o diâmetro do feixe no segundo meio é maior (se n2 > n1). Neste caso, a 
transmitância T é proporcional ao quadrado do coeficiente de transmissão, t, com um factor de 
proporcionalidade designado por factor de expansão do feixe e representado em (6). 
 
 
 
De acordo com as duas situações de polarização do campo eléctrico incidente, também 
se distinguem as reflectâncias e as transmitâncias em função dessa polarização, conforme as 
expressões seguintes indicam: 
 
onde , wi, wt representam respectivamente, as larguras dos feixes incidente e transmitido. 
 
3.2 ÂNGULO DE BREWSTER 
 
Quando 90º θi t + = θ , a onda reflectida vai emergir linearmente polarizada, apenas com 
a componente do campo eléctrico perpendicular ao plano de incidência, pois a sua componente 
paralela anula-se. O ângulo de incidência para o qual se verifica esta situação é designado por 
ângulo de Brewster, podendo ser calculado a partir da lei de Snell, resultando em: 
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3.3 INCIDÊNCIA NORMAL 
 
Quando o feixe incide com direcção normal à superfície, i.e., θi = θt = 0º, as 
componentes paralela e perpendicular são idênticas e as equações de Fresnel escrevem-se como: 
 
Nesta situação a reflexão é mínima. A reflexão aumenta com a amplitude do ângulo de 
incidência. Para 90º θi = a reflexão é total para ambas as componentes da onda, i.e., R =1 . 
Na Figura 2 estão representados dois gráficos referentes às reflectâncias observadas em 
função do ângulo de incidência, para diferentes meios, nas duas situações de polarização. A 
partir destes gráficos pode-se determinar o valor do ângulo de Brewster para os interfaces 
representados. Verifica-se que para meios de transmissão com índices de refracção maiores, o 
ângulo de Brewster aumenta. 
 
 
Figura 2 - Coeficientes de reflexão para n1=1 e n2= 1.3 (cima) e para n1=1 e n2= 2 (baixo) em funçãodo ângulo de incidência 
(θ). 
 
 
4. PARTE EXPERIMENTAL 
 
Materiais necessários para a execução do experimento: 
• Corpo semicircular de acrílico 
• Fonte de luz 
• Trilho ótico 
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• Disco ótico 
• Régua graduada 
• Polarizadores 
• Condensador com diafragma 
• Suportes 
Foi realizado a monagem dos equipamentos como mostra a figura a seguir: 
 
Procediemnto: 
1. Vizualizamos um feixe de luz sobre o disco branco de ângulo com “meia lua” de acrílico 
de forma a poder ver os feixes incidentes, refletido e refratado, com a direção do ar para 
o acrílico; 
2. Giramos o disco com a meia lua até obter (θ + Φ) = 90°; 
3. Fizemos o feixe ficar polarizado adicionando na frente um polarizador na direção D°. 
Esta refletância é agora Rs; 
4. Em seguida, foi feito o feixe incidente ficar polarizado paralelo, i.e do plano de 
incidência, que é o plano do disco branco, girando o polarizador de 90°; 
5. Medimos então o ângulo de incidência θ e obtemos o ângulo de Brewster 
6. Usamos a equação (9) para determinar o índice de refração do acrílico. 
7. Pela lei de Snell foi determinado o ângulo crítico para o ângulo de refração igual a 90° 
utilizando n2 obtido no item (6). 
 
Figura 3 - Montegem dos equipamentos para realização do experimento. 
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5. TRATAMENTO DE DADOS 
 
5.1 PARTE I 
 
Determinaremos o índice de refração do acrílico (n2) através do ângulo de Brewster. O 
ângulo que foi encontrado durante a realização do experimento foi de θb = 55,7° esse ângulo 
foi o valor obtido através da reflexão total. 
Utilizando a seguinte equação: θ = tang(𝒏)−𝟏 encontraremos n, tendo que n = 
𝒏𝟐
𝒏𝟏
 , n1 é o 
índice de refração do ar e n2 é o índice de refração do acrílico. 
Temos que θ = 55,7° e n1  1 
θ = tang(𝒏)−𝟏 
n = tang(θ ) 
n = tang(55,7°) 
n = 1,466 
Utilizando n = 
𝒏𝟐
𝒏𝟏
 obtemos que n2 = n1*n  n2 = 1*1,46  n2 = 1,466 
O valor real de n2 é igual a 1,5. Calculando o erro relativo: 
n% = (
1,5−1,466
1,5
) x 100 = 2,266% 
 
5.2 PARTE II 
 
Podemos utilizar também a equação de Snell para obter n2 (índice) do acrílico. 
Equação de Snell: n1*sen θ1 = n2*sen θ2 
n1 (índice do ar)  1 
n2 = n1
𝐬𝐞𝐧 𝛉𝟏
𝐬𝐞𝐧 𝛉𝟐
 
 
θ°1 sem(θ°1) θ°2 sem(θ°2) n2(°) 
10 0,1736 6,0 0,1045 1,661 
20 0,3220 12,8 0,2215 1,453 
30 0,5000 19,9 0,3403 1,469 
40 0,6427 26,1 0,4399 1,461 
50 0,7660 31,3 0,5195 1,474 
60 0,8660 36,0 0,5877 1,473 
70 0,9396 39,8 0,6401 1,467 
Σ '' '' '' 1,494 
Tabela 1 – Experiemtno da Equação de Fresnell 
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A média aritmética para n2 = 1,494 
Portanto, o índice do acrílico é 1,494 pois é o valor de n2. 
 
Calculando o Erro relativo: 
 
Levando em conta que o valor ideal de n2 é 1,5 
 
n% = 
|𝟏,𝟓−𝟏,𝟒𝟗𝟒|
1,5
 x 100 = 0,4% 
 
 
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6. CONCLUSÃO 
 
 
Na parte I do experimento foi determinado o índice de refração do acrílico 
através do ângulo de Brewster, o valor encontrado foi n2 =1,466 sendo relativamente 
próximo do valor real de n2 = 1,5. Houve uma diferença percentual de 2,266% entre 
os valores, o que é aceitável e pode ser condiderado dentro dos limites. 
Na parte II do experimento o índice do acrílico foi calculado utilizando a equação 
de Snell, cujo valor do índice encontrado foi de 1,494. Realizando o cálculo do erro 
relativo foi constatado uma diferença percentual de apenas 0,4%, sendo um erro 
relativamente pequeno. 
Nesse experimento conseguimos obter os valores com uma taxa de erro 
razoalvel, visto que o erro relatvo foi pequeno. Podemos justificar esses pequenos 
erros em função de algumas condições como falhas nos equipamentos devido às 
calibrações, por conta da variação da densidade do ar, falhas humanas na coleta dos 
dados, dentre outros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Manual dos experimentos. 
Nussenzveig, H. Mo ysés; Curso de física Básica, Ó tica, relatividade e física 
quântica, primeira edição, editora Edgard Blucher, 1997. 
Equações de Fresnel e Ângulo de Brewster, disponível em 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/91145/mod_resource/content/2/apostila6.fp
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