Aulas 16 a 18 - Campo Magnetostático

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© Aldário Bordonalli 1
EE 521EE 521
Introdução à Teoria EletromagnéticaIntrodução à Teoria Eletromagnética
Campo 
Magnetostático
Quadro 2
Campo Campo MagnetostáticoMagnetostático
� Lei de Biot-Savart.
� Exemplos de aplicação da lei de Biot-
Savart.
� Lei circuital de Ampère com exemplos.
� Lei de Ampère na forma pontual 
(rotacional).
� Campo magnético e equações de Maxwell.
� Potenciais magnetostáticos.
Quadro 3
Introdução
� A esta altura o conceito de campo já deve ter se tornado um 
conceito familiar uma vez que, desde que inicialmente a lei 
experimental de forças existentes entre duas cargas pontuais foi
aceita e a intensidade de campo elétrico foi definida, diversos 
campos foram trabalhados. 
� Alguns destes campos não possuem realidade física, pois as medidas 
precisam sempre ser em termos de forças sobre as cargas no 
equipamento de detecção. 
� Aquelas cargas que são a fonte fazem com que forças mensuráveis 
sejam exercidas sobre outras, consideradas como cargas detetoras. 
� No entanto, foi possível associar estes campos a outros mensuráveis, 
de maneira que, apesar de não serem uma realidade física, eles 
auxiliam no entendimento e solução de problemas.
� Se um fio é colocado num campo uniforme produzido por um imã 
permanente, observa-se uma força aplicada ao fio no momento em 
que fecha-se o circuito ao qual este fio esta conectado, e há um 
fluxo de corrente → portanto, há a presença de um campo 
magnético na região!!!
Quadro 4
Introdução II
� Diferentemente do que foi feito para a eletrostática, o estudo 
de campo magnético será iniciado pela definição de campo 
magnético em si (ao invés de se começar pela força), 
mostrando como ele nasce de uma distribuição de corrente. 
� O efeito deste campo em outras correntes, no entanto, será 
deixado para uma outra oportunidade. 
� Da mesma maneira como se procedeu para o campo elétrico, a 
discussão inicial será limitada às condições do espaço livre, 
ficando o efeito num meio material para uma etapa seguinte.
� A relação entre o campo magnético estacionário e a sua fonte 
é mais complicada que a relação entre o campo eletrostático e 
a sua fonte. 
� Será necessário aceitar, inicialmente, diversas leis, relegando 
as provas (um pouco mais difícil) para mais tarde.
Quadro 5
Fonte de campo magnéticoFonte de campo magnético
� A fonte de um campo magnético estacionário 
pode ser um ímã permanente, um campo 
elétrico variando linearmente com o tempo ou 
uma corrente contínua. 
� Por hora, o ímã permanente será ignorado e o 
campo elétrico variável deixado para uma 
discussão posterior. 
� As relações agora apresentadas dizem respeito 
ao campo magnético produzido por um 
elemento de corrente contínua.
Quadro 6
A lei experimental de A lei experimental de BiotBiot--SavartSavart
� Define-se um elemento diferencial de 
corrente como a pequena seção de um 
condutor filamentar, onde o condutor 
filamentar é o caso limite de um condutor 
cilíndrico de seção reta circular quando o 
raio tende a zero, e supõe-se a corrente I
fluindo em um elemento diferencial de 
comprimento orientado do filamento, dL. 
� A lei experimental de Biot-Savart (Jean 
Baptiste Biot e Felix Savart), baseada nas 
observações de torque induzido em 
agulhas magnéticas (semelhante à da 
bússola) estabelece que, em qualquer 
ponto P, a intensidade do campo 
magnético produzido por um elemento 
diferencial é proporcional ao produto da 
corrente pela magnitude do comprimento 
diferencial e pelo seno do ângulo que liga 
o filamento e a linha que conecta o 
filamento ao ponto P, onde o campo é 
desejado. 
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Quadro 7
A lei experimental de A lei experimental de BiotBiot--SavartSavart
� A intensidade do campo magnético 
é inversamente proporcional ao 
quadrado da distância do 
elemento diferencial ao ponto P. 
� A direção da intensidade do campo 
magnético é normal no plano que 
contém o filamento diferencial e a 
linha traçada do filamento ao 
ponto P.
� De duas normais possíveis, aquela 
que deve ser escolhida é a que 
estiver na direção dada pela regra 
da mão direita aplicada de dL para 
a linha que a liga com o filamento 
até P. 
� Usando unidades racionalizadas do 
sistema internacional, a constante 
de proporcionalidade é 1/4pi.
24
ˆ
R
aLIdHd R
pi
×
=
r
r
Quadro 8
Unidades e comentáriosUnidades e comentários
� As unidades da intensidade de campo magnético H são 
evidentemente ampère por metro (A/m). 
� A lei de Biot-Savart é algumas vezes chamada de lei de 
Ampère para o elemento de corrente, mas mantém-se o 
primeiro nome por causa da possível confusão com a lei 
circuital de Ampère, estudada mais tarde.
� Em alguns aspectos, a lei de Biot-Savart lembra a lei de 
Coulomb escrita para um elemento diferencial de cargas.
� Ambas mostram uma lei de inverso de quadrados na 
dependência da distância e ambas mostram uma relação linear 
entre a fonte e o campo → a principal diferença aparece na 
direção do campo.
Quadro 9
Corrente em circuito fechado
� É impossível testar-se experimentalmente a Lei de Biot-Savart uma vez que 
o elemento diferencial de corrente não pode ser isolado. 
� Desta forma, restringem-se as considerações apenas à correntes 
constantes, para as quais a densidade de carga não é função de tempo. 
� Assim, da equação da continuidade, pode-se chegar a:
� Isto pode ser interpretado como a corrente total que atravessa qualquer 
superfície fechada é zero, e esta condição pode ser satisfeita somente pela 
consideração de um fluxo de corrente em um percurso fechado. 
� É esta corrente fluindo de um circuito fechado que deve ser nossa fonte de 
experiência e não o elemento diferencial.
( ) 0
0
=⋅=⋅∇
=⋅∇→
∂
∂
−=⋅∇
∫∫ S
volume
v
SdJdvJ
J
t
J
rrrr
rrrr ρ
Quadro 10
Densidade superficial de corrente
� Portanto, apenas a forma integral da Lei de Biot-Savart pode ser verificada 
experimentalmente, ou seja:
� A lei de Biot-Savart pode também ser expressa em termos de fontes 
distribuídas, como densidade de corrente J, e densidade superficial de 
corrente K. 
� A corrente da superfície flui em uma camada de espessura infinitesimal, e a 
densidade de corrente J, medida em ampères por metro quadrado, é então 
infinita. 
� A densidade de corrente superficial é, contudo, medida em ampères por 
metro e designada por K. 
� Se a densidade de corrente superficial for uniforme, a corrente total I, em 
uma largura b, é:
∫
×
= 24
ˆ
R
aLIdH R
pi
r
r
KbI =
Quadro 11
Continuando ...
� A largura b é medida 
perpendicularmente à direção 
na qual a corrente está fluindo, 
como na figura ao lado 
� Para uma densidade de 
corrente superficial não 
uniforme, a integração é 
necessária e:
� Acima, dn é o elemento 
diferencial de caminho 
atravessado pela corrente que 
está fluindo. 
∫= KdnI
Quadro 12
Alternativamente ...
� Assim, o elemento diferencial de corrente I dL, onde 
dL está na direção da corrente, pode ser expresso em 
termos de densidade superficial de corrente K ou de 
densidade de corrente J:
� Conseqüentemente, podem-se escrever formas 
alternativas da Lei de Biot-Savart:
∫∫
×
=
×
=
volume
R
S
R dv
R
aJHdS
R
aKH 22 4
ˆ
4
ˆ
pipi
r
r
r
r
dvJdSKLId
rrr
==
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Quadro 13
Aplicação de Biot-Savart
� A aplicação da lei de Biot-Savart pode 
ser ilustrada considerando um 
filamento infinitamente longo.
� Utiliza-se a forma diferencial da lei em 
primeiro lugar e, então, a integração é 
desempenhada. 
� A figura ao lado serve como referência. 
� Como no caso da eletrostática, deve-se 
reconhecer a simetria deste campo. 
� Não há variação com z nem com φ. 
� O ponto 2, onde o campo deve ser 
determinado,está em z = 0, e o vetor 
unitário aR12 é encontrado a partir de:
2212
ˆˆ
ˆˆˆ
z
aza
aazaR zRz
+
−
=→−=
ρ
ρρ ρρ
r
Quadro 14
Campo magnético no ponto 2
� Como o filamento onde a 
corrente constante I passa 
encontra-se sobre o eixo z, 
pode-se escrever que:
� Então: 
( )
( )
( )
( ) ( )∫∫
∞+
∞−
∞+
∞− +
=
+
−×
=
+
−×
=
×
=
232223222
23222
12
12
2
ˆ
44
ˆˆˆ
4
ˆˆˆ
4
ˆ
z
adzI
z
azaaIdz
H
z
azaaIdz
R
aLIdHd
zz
zzR
ρ
ρ
piρpi
ρ
ρpi
ρ
pi
φρ
ρ
r
r
r
zadzLd ˆ=
r
Quadro 15
Finalizando ...
� Finalizando, pode-se resolver a integral anterior de maneira 
que: 
( ) ( )
φ
φφ
piρ
ρρpi
ρ
ρpi
ρ
a
IH
z
zaI
z
dzaIH
ˆ
2
4
ˆ
4
ˆ
2
2122223222
=∴
+
=
+
=
+∞
∞−
∞+
∞−
∫
r
r
� A intensidade do campo não é uma função de 
φ ou de z e varia inversamente com a 
distância ao filamento.
� A direção da intensidade do campo 
magnético é circunferencial (I para dentro). 
� As linhas de fluxo são então círculos em torno 
do filamento, como na figura ao lado.
Quadro 16
ComentáriosComentários
� A separação das linhas de fluxo é proporcional ao raio 
ou inversamente proporcional à magnitude de H. 
� A comparação da figura anterior com o esboço do 
campo elétrico de uma linha infinita de cargas mostra 
que as linhas de fluxo do campo magnético
correspondem exatamente às eqüipotenciais do 
campo elétrico, e a família de linhas (não 
desenhadas) perpendiculares ao campo magnético, 
correspondem às linhas de fluxo do campo elétrico. 
� Esta correspondência não é acidental, pois existem 
vários outros conceitos que devem ser ensinados 
antes da analogia entre campo elétrico e campo 
magnético poder ser explorada mais profundamente.
Quadro 17
Mais sobre a analogiaMais sobre a analogia
� Usar-se a lei de Biot-Savart para encontrar H é, em muitos 
aspectos, similar a se usar a lei de Coulomb para encontrar E. 
� Cada uma requer a determinação de um integrando um pouco 
complicado, contendo quantidades vetoriais, seguido por uma 
integração. 
� Quando se trabalha com a lei de Coulomb, resolve-se um certo 
número de exemplos, incluindo o campo de uma carga 
pontual, de uma linha de cargas e de uma superfície de 
cargas. 
� A lei de Biot-Savart pode ser usada para resolver problemas 
análogos em campos magnéticos e alguns destes problemas 
irão aparecer ao longo deste desenvolvimento.
Quadro 18
Resultado Resultado útiliútili
� Um resultado útil, deixado como exercício, 
é aquele do campo de um elemento de 
corrente de comprimento finito, como 
mostrado na figura ao lado. 
� Fica claro que o campo magnético H é 
mais facilmente expresso em termos dos 
ângulos α1 e α2 como:
� O resultado acima pode ser útil para se 
encontrar a intensidade do campo 
magnético causado por filamentos de 
corrente arranjados em uma seqüência de 
seguimentos de linha reta.
( ) ( )[ ] φααpiρ a
IH ˆsinsin
2 122
−=
r
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Quadro 19
Exemplo 1
Uma corrente de 11,6 A está fluindo na direção az em um 
filamento (situado no vácuo) que é paralelo ao eixo z e que 
passa pelo ponto (2, -4, 0). Encontre H no ponto (0, 1, 0) se o 
filamento se estende no intervalo: (a) -∞ < z < + ∞; (b) 0 < z
< + ∞; (c) -3 < z < 3.
(a) Deve-se, primeiramente, posicionar o filamento de maneira 
adequada em relação ao sistema de coordenadas. 
x
y
z
1
2
P-4
Quadro 20
Exemplo 1 (cont.)
z
zyx
R
zyx
zyxy
adzLd
z
azaa
a
azaarrR
azaarar
ˆ
52
ˆˆ5ˆ2
ˆ
ˆˆ5ˆ2
ˆˆ4ˆ2ˆ
222
=
++
−+−
=
−+−=′−=
+−=′=
r
rrr
rr
Para o primeiro caso, basta desenvolver o problema 
considerando o deslocamento do filamento em relação ao eixo 
z, o que sugere uma mudança de coordenadas para 
cartesianas: 
x
y
z
1
2
P
-4
dL
r’
r
R
Quadro 21
Exemplo 1 (cont.)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
mA/mˆ39,4ˆ98,10
29
ˆ2ˆ5
22929
ˆ2ˆ5
4
29
ˆ2ˆ5
4294
ˆ2ˆ5
524
ˆˆ5ˆ2ˆ
4
ˆ
22122
232232
232222
yxP
yxyx
P
yxyx
P
zyxzR
P
aaH
aaI
z
zaaIH
z
dzaaI
z
aaIdz
H
z
azaaaIdz
R
aLIdHd
−−=
−−
=
+
−−
=
+
−−
=
+
−−
=
++
−+−×
=
×
=
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∫∫
r
r
r
r
r
pipi
pipi
pipi
Desta forma, pode-se escrever que: 
Quadro 22
Exemplo 1 (cont.)
( )
( )
( )
mA/mˆ20,2ˆ49,5
29
ˆ2ˆ5
42929
ˆ2ˆ5
4 2
0
2122
yxP
yxyx
P
aaH
aaI
z
zaaIH
−−=
−−
=
+
−−
=
+∞
r
r
pipi
(b) Para esta região, basta considerar os extremos de 
integração na faixa proposta. Portanto: 
(c) Da mesma maneira: 
( )
( )
( ) ( )[ ]
mA/mˆ14,2ˆ34,5
487,0487,0
29
ˆ2ˆ5
42929
ˆ2ˆ5
4 2
3
3
2122
yxP
yxyx
P
aaH
aaI
z
zaaIH
−−=
−−
−−
=
+
−−
=
+
−
r
r
pipi
Quadro 23
Semelhança com a eletrostática
� Depois de resolver um certo número de problemas 
eletrostáticos simples com a lei de Coulomb, observou-se que 
os problemas podiam ser resolvidos muito mais facilmente 
usando-se a lei de Gauss, se um alto grau de simetria estivesse 
presente → mais uma vez, um procedimento análogo existe 
para os campos magnéticos.
� Aqui, a lei que ajuda a resolver problemas mais facilmente é a 
chamada lei circuital de Ampère, algumas vezes chamada de 
lei de Ampère, que pode ser derivada da lei de Biot-Savart (a 
derivação é deixada para mais tarde).
� Pode-se aceitar a lei circuital de Ampère temporariamente 
como uma lei passível de prova experimental. 
� Seu uso também necessitará de cuidadosa consideração da 
simetria do problema para se determinar quais variáveis e 
componentes estão presentes.
Quadro 24
Lei Circuital de Ampère
ILdH =⋅∫
rr
� A lei circuital de Ampère
estabelece que a integral de 
linha de H em qualquer 
percurso fechado é exatamente 
igual à corrente contida no 
percurso.
� Matematicamente, pode-se 
escrever que:
� Define-se como corrente 
positiva aquela que flui no 
sentido do avanço de um 
parafuso, na direção em que o 
caminho fechado é percorrido.
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Quadro 25
ComentáriosComentários
� Para o condutor de seção circular da figura anterior, que tem 
uma corrente constante I passando por ele, a integral de linha 
de H nos percursos fechados a e b resultam na resposta de I.
� A integral em um percurso c, que passa através do condutor, 
dá uma resposta menor que I e exatamente igual àquela 
porção da corrente total que é “enlaçada” pelo percurso c. 
� Embora os caminhos a e b dêem a mesma resposta, os 
integrandos são, claro, diferentes → a integral de linha exige a 
multiplicação da componente de H ao longo do percurso por 
um incremento do percurso e em cada ponto do mesmo, 
repetindo-se o procedimento ao longo do caminho para cada 
novo pedaço incremental até se percorrer todo o caminho.
� Como H variará, em geral, de um ponto para outro e como os 
percursos a e b não são os mesmos, as contribuições à integral 
podem, a cada incremento do caminho, ser bem diferentes →
somente as respostas finais são as mesmas!!!
Quadro 26
Corrente envolvida por percursoCorrente envolvida por percurso
� O que significa a expressão "corrente envolvida por um percurso“? 
� Suponha que uma correia de borracha, usada para representar um 
percurso fechado, envolva um fio → deformar a correia, torcendo-a 
e/ou entortando-a, pode proporcionar percursos bem estranhos, 
mas, se nem a correia de borracha e nem o condutor forem 
quebrados, a corrente envolvida pelo percurso é a que flui pelo fio. 
� Para tentar generalizar aindamais a idéia, suponha, agora, que a 
correia de borracha é substituída por um anel circular metálico,
sobre o qual é esticada uma película de borracha → o anel forma um 
percurso fechado, e a corrente que flui pelo fio deve atravessar a 
superfície da película para a corrente ser envolvida pelo percurso. 
� Mais uma vez, pode-se torcer o anel e/ou deformar a película →
porém, como um único condutor em que flui corrente atravessa a 
película apenas uma vez, tem-se que a corrente total é aquela 
envolvida pelo percurso. 
� Atenção: se o fio passar pelo anel e película uma segunda vez, a 
corrente total envolvida pelo percurso é a soma algébrica, que é
zero.
Quadro 27
Generalizando ...Generalizando ...
� Em linguagem mais geral, dado um percurso fechado, 
caracteriza-se este percurso como o perímetro de um número 
infinito de possíveis superfícies abertas. 
� Qualquer corrente em um condutor envolvido por um percurso 
fechado deve passar através de uma destas superfícies uma 
única vez. 
� Evidentemente, algumas das superfícies podem ser escolhidas 
de modo que o condutor as atravesse duas vezes em uma 
direção e uma vez em direção contrária, mas a corrente total é 
ainda a mesma.
� Portanto, bom senso na escolha do percurso fechado é 
importante → usualmente, deve-se optar por um percurso 
simples que possa ser desenhado num plano → a superfície 
mais simples é, então, a porção do plano envolvida pelo 
percurso, reduzindo-se o problema à tarefa de encontrar a 
corrente total que passa através deste plano.
Quadro 28
Campo magnético de filamento infinitoCampo magnético de filamento infinito
� A aplicação da lei de Gauss implica na determinação da 
carga total envolvida por uma superfície fechada → a 
aplicação da lei circuital de Ampère implica na 
determinação da corrente total envolvida por um percurso 
fechado!!!
� Pode-se, agora, voltar ao problema de se determinar a 
intensidade do campo magnético produzida por filamento 
infinitamente longo pelo qual flui uma corrente I. 
� O filamento pertence ao eixo z e a corrente flui na 
direção dada por az. 
� Primeiro, por inspeção, a simetria mostra que não há 
variação com z ou com φ. 
� Considere, a seguir, as componentes de H que estão 
presentes pelo uso da Lei de Biot-Savart. 
� Sem usar diretamente o produto vetorial, pode-se dizer 
que a direção de dH é perpendicular ao plano que 
contém dL e R e, portanto, é na direção aφφφφ. 
� Por isso, a única componente de H é Hφ e ela é função 
somente de ρ.
x
y
z
P
dL
I
R
Quadro 29
Matematicamente ...
� Deve-se escolher um percurso que, em qualquer 
porção, H seja perpendicular ou tangencial e ao longo 
do qual H seja constante. 
� O primeiro requisito (perpendicularidade ou 
tangência) permite substituir o produto escalar da lei 
circuital de Ampère pelo produto de magnitudes 
escalares, exceto ao longo da porção do percurso em 
que H é normal ao percurso e o produto escalar é 0. 
� A segunda exigência (constância) permite remover o 
campo magnético do sinal de integração. 
� A integração referida é usualmente comum e consiste 
em encontrar o tamanho da porção do percurso ao 
qual H é paralelo. 
� No exemplo, o percurso deve ser um círculo de raio ρ
e, então, como anteriormente:
piρ
piρφρ φφ
pi
φ 2
2
2
0
IHIHdHLdH =→===⋅ ∫∫
rr
x
y
z
dL
I
ρ
Cuidado com o dL!!!!
Quadro 30
Linha de transmissão coaxialLinha de transmissão coaxial
� Considere, agora, uma linha de transmissão 
coaxial com corrente total I uniformemente 
distribuída no condutor central e -I no 
condutor externo → a simetria mostra que H
não é função de φ ou z. 
� Para determinar as componentes presentes, 
pode-se usar o resultado do exemplo anterior 
e considerar os condutores como constituídos 
por um grande número de filamentos. 
� Nenhum filamento fornece uma componente z 
para H. 
� A componente Hρ em φ = 0° produzida por 
um filamento localizado em ρ = ρ1, φ = φ1, é 
cancelada pela componente Hρ produzida pelo 
filamento simétrico em ρ = ρ1, φ = -φ1. 
� Mais uma vez, chega-se a apenas uma 
componente Hφ que é função somente de ρ.
© Aldário Bordonalli 6
Quadro 31
Para as diferentes regiões ...
� Portanto, um percurso circular de raio ρ, onde ρ é maior que o 
raio do condutor interno e menor que o raio interno do 
condutor externo, conduz imediatamente a: 
� Se ρ é menor que o raio do condutor interno, a densidade de 
corrente é constante e a corrente envolvida fica:
� Se o raio ρ for maior que o raio externo do condutor externo, 
não há corrente envolvida (I e -I se cancelam) e:
( )baIH <<= ρ
piρφ 2
( )a
a
IHI
a
I en <=→= ρ
pi
ρ
piρpi φ 222 2
( )cH >= ρφ 0
Quadro 32
Para as diferentes regiões ...
� Se o percurso circular de raio ρ se encontra no interior do 
condutor externo, tem-se que: 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )cbbc
cIH
bc
bIIH
bc
bII
b
I
bc
I
en
en
<<
−
−
=
−
−
−=
−
−
=→
−
=
−
ρρ
piρ
ρ
piρ
ρ
ρpipi
φ
φ
22
22
22
22
22
22
2222
2
2
Quadro 33
O problema do coaxialO problema do coaxial
� A variação da intensidade do campo 
magnético com o raio está mostrada ao 
lado, para um cabo coaxial no qual b = 
3a e c = 4a. 
� Deve notar-se que a intensidade de 
campo magnético H é contínua em todas 
as fronteiras condutoras. 
� Em outras palavras, um pequeno 
acréscimo no raio de um percurso 
fechado não implica o enlaçamento de 
uma corrente muito diferente. 
� O valor de Hφ não mostra bruscas variações.
� O campo externo é zero, o que resulta da igualdade entre as correntes 
positiva e negativa envolvidas pelo caminho. 
� Cada uma produz um campo externo cuja intensidade é I/2piρ, ocorrendo, 
assim, um completo cancelamento. 
� Este é um outro exemplo de blindagem, pois, um cabo coaxial, mesmo que 
leve correntes altas, não produzirá qualquer efeito sensível num circuito 
adjacente.
Quadro 34
Corrente superficialCorrente superficial
� Como outro exemplo, considere 
uma camada em que flui uma 
corrente superficial na direção 
positiva de y, no plano 
localizado em z = 0. 
� Pode-se assumir que o retorno 
de corrente esteja 
uniformemente dividido em 
duas superfícies distantes, uma 
em cada lado da que se está 
considerando. 
� A superfície de densidade de 
corrente uniforme K = Kyay está 
mostrada. 
� Sob estas condições, H não 
pode variar com x nem com y.
Quadro 35
Par de FilamentosPar de Filamentos
� Se a camada for subdividida em um certo número de filamentos, é 
evidente que nenhum filamento pode produzir uma componente Hy. 
� Além disso, a lei de Biot-Savart mostra que as contribuições para 
Hz, produzidas por um par de filamentos localizados simetricamente, 
se cancelam.
Caminho 
fechado
Quadro 36
� Se o percurso for, agora, formado pelos segmentos 3 - 3’ - 2’ -
2 - 3, a mesma corrente é alcançada e:
� Portanto a magnitude de Hx é a mesma para todos os valores 
positivos de z e, de modo similar, conclui-se que a magnitude 
de Hx é a mesma para todo z negativo. 
Continuando ...
� Assim, Hz é também zero e somente a 
componente Hx está presente. 
� Escolhe-se o percurso composto pelos 
segmentos 1 - 1’ - 2’ - 2 - 1, levando 
a: 
( )
yxx
yxx
KHH
LKILHLH
=−
==+−++
21
21 00
1323 xxyxx HHKHH =→=−
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Quadro 37
Para as diferentes regiões ...
� Por causa da simetria, então, a intensidade de campo magnético em um 
lado da superfície é o negativo do valor do outro lado: 
� Considerando an como um vetor unitário normal (externo) à superfície, o 
resultado pode ser escrito na forma correta para todo z como:
� Se uma segunda superfície de corrente fluindo na direção oposta, onde K = 
-Kyay, écolocada em z = h, o campo na região entre as duas superfícies é
dado por:
( ) ( )( )

<−=
>=
⇒=−−=− 021
021
21 zKH
zKH
KHHHH
yx
yx
yxxxx
ny aKH ˆ21 ×=
rr
( )
( )hzzH
hzaKH n
><=
<<×=
,00
0ˆ
r
rr
Quadro 38
ComentáriosComentários
� A parte mais difícil da aplicação da lei circuital de 
Ampère é a determinação das componentes do 
campo que estão presentes. 
� O método mais seguro é a aplicação da lógica por 
trás da lei de Biot-Savart e um conhecimento de 
campos magnéticos para formas simples.
� Apesar de dois exemplos da lei circuital de Ampère
terem sido apresentados, é importante estudar ainda 
distribuições de correntes semelhantes ao que é 
encontrado em solenóides e toróides.
Quadro 39
� Para um solenóide infinitamente longo de raio a e 
densidade superficial de corrente uniforme Kaaφφφφ, 
podem-se utilizar os resultados das superfícies 
paralelas e chega-se a: 
� Se o solenóide tem um comprimento finito d e 
consiste de N espiras bem juntas onde flui uma 
corrente I, então, em pontos bem no interior do 
solenóide, o campo é dado aproximadamente por:
� A aproximação é útil, se não for aplicada a pontos 
mais próximos que dois raios dos lados abertos 
(terminais), nem mais perto da superfície do 
solenóide que duas vezes a separação entre espiras.
SolenóideSolenóide
( )
( )aH
aaKH za
>=
<=
ρ
ρ
0
ˆ
r
r
zad
NIH ˆ=
r
Quadro 40
ToróideToróide
� Para o toróide mostrado ao lado, pode 
mostrar-se que a intensidade de campo 
magnético para o caso ideal é: 
� Para um toróide de N espiras bem juntas, 
como o mostrado ao lado, onde flui uma 
corrente I, o campo na região mais central é 
dado aproximadamente por:
( )
( )foraH
centraldentroaaKH a
0
,ˆ
0
=
−
=
r
r
φρ
ρ
( ) ( )foraHdentroaNIH 0ˆ
2
==
rr
φ
piρ
Quadro 41
Exemplo 2
Determine H em componentes retangulares no ponto P(0; 0,008; 0) 
para: 
(a) dois filamentos infinitos de corrente, um de 75 mA no eixo z, 
sentido -az e o outro de 75 mA em x = 0, y = 0,01, sentido +az; 
(b) uma linha de transmissão coaxial centrada no eixo z e tendo a = 
2 mm, b = 7 mm, c = 9 mm e I = 0,7 A tendo sentido az no 
condutor central;
(c) duas superfícies de corrente com 8ax A/m em y = 3 mm e -2piax
A/m em y = 1 cm;
(d) um longo solenóide com eixo em x = 1 cm, y = 2 cm, 
estendendo-se de z = -10 cm até z = 25 cm, diâmetro de 5 cm, 
número de espiras igual a 3.000 e I = 1 mA no sentido horário 
quando vista de z = 10 m; 
(e) um toróide centrado na origem, eixo em x, ρ0 = 1 cm, a = 3 mm, 
N = 200 e I = 2 mA, sentido ax no raio externo.
Quadro 42
Exemplo 2 (cont.)
(a) O diagrama abaixo mostra o plano yz, com os dois 
filamentos infinitos de corrente. Ambos de I = 75 mA e com 
um no eixo z e sentido -az para a corrente e o outro em x = 0, 
y = 0,01 m, e corrente no sentido +az.
Para se calcular H, pode-se utilizar a 
superposição dos resultados para os dois 
filamentos. Por simetria, observa-se que o 
campo no ponto P terá direção +ax. 
( )
( )
A/mˆ46,7
108,010
1
108,0
1
2
1075
22
222
3
2121
x
x
x
aH
H
HHH
ad
IH
a
IH
=








×−
+
×
×
=
+=
−
==
−−
−
−
r
pi
pipi x y (cm)
z
d
a
P
I I
© Aldário Bordonalli 8
Quadro 43
Exemplo 2 (cont.)
(b) O diagrama mostra o plano xy, com o corte transversal do 
coaxial de a = 2 mm, b = 7 mm, c = 9 mm e I = 0,7 A no 
sentido az do condutor central.
A corrente entra no plano do quadro. Para se 
calcular H, por simetria, observa-se que o 
campo no ponto P terá direção -ax. De 
resultados anteriores, tem-se que: 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
A/mˆ40,7
107,0109,0
108,0109,0
108,02
7,0
2
2222
2222
2
22
22
x
x
x
aH
H
bc
yc
y
IH
−=








×−×
×−×
×
=
−
−
=
−−
−−
−
r
pi
piz
x
y
a
b
P
c
Quadro 44
Exemplo 2 (cont.)
(c) O diagrama mostra o plano xy, onde as duas superfícies de 
corrente com 8ax A/m em y = 3 mm e -2piax A/m em y = 1 cm 
são perpendiculares ao plano do quadro.
Para se calcular H, pode-se utilizar a superposição dos 
resultados para duas superfícies. Por simetria, observa-se que 
as contribuições de campo no ponto P terão direção +az. 
( )
A/mˆ14,7
2
28
22 212211
z
z
zzzzz
aH
H
HHHKHKH
=
+
=
+===
r
pi
z x
y
P
K1
K2
Quadro 45
Exemplo 2 (cont.)
(d) O diagrama mostra o plano xy, onde o solenóide com eixo 
em x = 1 cm, y = 2 cm, estendendo-se de z = -10 cm até z = 
25 cm, diâmetro de 5 cm, N = 3000 e I = 1 mA no sentido 
horário quando visto de z = 10 m.
A direção da corrente é como a indicada. Por simetria, 
observa-se que o campo no ponto P terá direção -az. De 
resultados anteriores, tem-se que:
( )[ ]
A/mˆ57,8
101025
101103
2
33
z
z
aH
d
NIH
−=
×−−
×××
==
−
−
r
z x
y
P
I
Quadro 46
Exemplo 2 (cont.)
(e) O diagrama mostra o plano yz, um toróide centrado na 
origem, eixo em x, ρ0 = 1 cm, a = 3 mm, N = 200 e I = 2 mA, 
sentido -az no raio externo.
A corrente sai do plano do quadro. Para se 
calcular H, por simetria, observa-se que o 
campo no ponto P terá direção -az. De 
resultados anteriores, tem-se que: 
A/mˆ96,7
108,02
102200
2
2
3
z
z
z
aH
H
y
NIH
−=
×
××
=
=
−
−
r
pi
pix
z
y
P
ρ0
a
I
Quadro 47
Mais uma relação de derivadaMais uma relação de derivada
� O estudo da Lei de Gauss foi completado 
aplicando esta lei a um elemento diferencial de 
volume e introduzindo o conceito de 
divergência. 
� Similarmente, a lei circuital de Ampère será 
aplicada a um percurso diferencial fechado e a 
terceira e última derivada especial da análise 
vetorial, o rotacional, será encontrado. 
� O objetivo imediato é o de obter a forma 
pontual da lei circuital de Ampère.
Quadro 48
Valor de referênciaValor de referência
� Mais uma vez, as 
coordenadas cartesianas 
são utilizadas e um percurso 
incremental fechado de 
lados ∆x e ∆y. 
� Suponha que uma corrente, 
ainda não especificada, 
produza um valor de 
referência para H no centro 
do pequeno retângulo:
zzyyxx aHaHaHH ˆˆˆ 0000 ++=
r
© Aldário Bordonalli 9
Quadro 49
Percurso incrementalPercurso incremental
� A integral de linha fechada de H neste 
percurso é, então, aproximadamente a 
soma de quatro valores de H . ∆∆∆∆L, um 
em cada lado. 
� Escolhendo a direção de integração 
como sendo 1-2-3-4-1, a primeira 
contribuição é:
� O valor de Hy nessa seção do percurso 
pode ser dado em termos do valor de 
referência Hy0 no centro do retângulo 
acrescido da razão de variação de Hy
com x à distância ∆x/2 do centro ao 
ponto médio do lado 1-2:
( ) yHLH y ∆=∆⋅ −− 21,21rr
( ) yx
x
H
HLHx
x
H
HH yy
y
yy ∆




 ∆
∂
∂
+≈∆⋅→∆
∂
∂
+≈
−− 2
1
2 021021,
rr
Quadro 50
Finalizando o percurso incrementalFinalizando o percurso incremental
� Ao longo da próxima seção do percurso (2-3), pode-
se, similarmente, escrever que: 
� Concluindo-se para os dois segmentos que faltam (3-
4 e 4-1) e somando os resultados, chega-se a:
( ) ( )
( ) ( ) xy
y
HHxHLH
yx
x
H
HyHLH
x
xx
y
yy
∆




 ∆
∂
∂
−≈∆=∆⋅
∆





∆
∂
∂
−−≈∆−=∆⋅
−−
−−
2
1
2
1
014,14
043,43
rr
rr
( ) ( ) xy
y
HHxHLH xxx ∆




 ∆
∂
∂
+−≈∆−=∆⋅
−− 2
1
032,32
rr
Quadro 51
Relação com Relação com JJ
� Somando os resultados para cada setor do percurso, tem-se 
que: 
� Pela lei circuital de Ampère, este resultado pode ser igualà 
corrente envolvida pelo percurso ou a corrente que atravessa a 
superfície limitada pelo percurso → se a densidade de corrente 
genérica J é considerada, a corrente envolvida é então ∆I = 
Jz∆x∆y e:
yx
y
H
x
H
LdH xy ∆∆





∂
∂
−
∂
∂
≈⋅∫
rr
z
xy
z
xy
J
y
H
x
H
yx
LdH
yxJyx
y
H
x
H
LdH
≈





∂
∂
−
∂
∂
≈
∆∆
⋅
∆∆≈∆∆





∂
∂
−
∂
∂
≈⋅
∫
∫
rr
rr
Quadro 52
No limite ...No limite ...
� Quando o percurso tende a zero, a expressão anterior torna-se mais exata 
e, no limite: 
� Tendo começado com a lei circuital de Ampère, que iguala a integral de 
linha de H à corrente envolvida, chega-se, agora, a uma relação que 
envolve a integral de linha de H em percurso fechado por unidade de área 
envolvida e a corrente por unidade de área envolvida, isto é, densidade de 
corrente. 
� Uma análise similar foi feita ao se passar da forma integral da lei de Gauss, 
que envolve o fluxo através de uma superfície fechada e a carga envolvida, 
para a forma pontual, relacionando o fluxo através de uma superfície 
fechada por unidade de volume envolvido e carga envolvida por unidade de 
volume, ou densidade volumétrica de carga. 
� Em cada caso um limite, é necessário para produzir uma igualdade.
z
xy
yx
J
y
H
x
H
yx
LdH
=





∂
∂
−
∂
∂
=
∆∆
⋅∫
→∆∆
rr
0,
lim
Quadro 53
Outros planos coordenadosOutros planos coordenados
� Para completar, deve-se considerar o fato de que a expressão anterior contempla 
apenas o que acontece no plano xy, porém, observa-se que a definição de H0 é 
geral e componentes de J podem existir também nas direções x e y. 
� Assim, se percursos fechados forem escolhidos e orientados perpendicularmente a 
cada uma das duas coordenadas restantes, o processo análogo leva a expressões 
para as componentes x e y da densidade de corrente: 
� Portanto, cada componente da densidade de corrente é dada pelo limite do 
quociente da integral de linha fechada de H em um pequeno percurso no plano 
perpendicular a esta componente, pela área envolvida quando o percurso tende a 
zero. 
y
zx
zx
x
yz
yz
J
x
H
z
H
zx
LdH
J
z
H
y
H
yz
LdH
=





∂
∂
−
∂
∂
=
∆∆
⋅
=





∂
∂
−
∂
∂
=
∆∆
⋅
∫
∫
→∆∆
→∆∆
rr
rr
0,
0,
lim
lim
Quadro 54
RotacionalRotacional
� O limite referido anteriormente é aplicado em outros 
campos da ciência e há muito tempo recebeu o nome 
de rotacional (curl). 
� O rotacional de qualquer vetor é um vetor e qualquer 
componente do rotacional é dada pelo limite do 
quociente da integral de linha fechada do vetor, em 
um pequeno percurso do plano normal àquela 
componente desejada, pela área envolvida, quando o 
percurso tende a zero. 
� Deve notar-se que a definição acima não se refere 
especificamente a um sistema particular de 
coordenadas.
© Aldário Bordonalli 10
Quadro 55
Matematicamente, ...Matematicamente, ...
� A forma matemática da definição é: 
� Acima, ∆Sn é a área envolvida pela integral de linha fechada e 
n, que representa qualquer componente em qualquer sistema 
de coordenadas, indica que a componente do rotacional é a 
componente que é normal à superfície envolvida pelo percurso.
� Em coordenadas cartesianas, pode-se escrever o rotacional em 
função de suas componentes como: 
( )
n
Sn S
LdH
H
n ∆
⋅
=
∫
→∆
rr
r
0
limrot
z
xy
y
zx
x
yz a
y
H
x
H
a
x
H
z
H
a
z
H
y
HH ˆˆˆrot 





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=
r
Quadro 56
Ainda, matematicamente, ...Ainda, matematicamente, ...
� Este resultado pode ser escrito em termos do operador nabla e na forma de 
um determinante: 
� Recapitulando, a componente z do rotacional foi obtida calculando-se a lei 
circuital de Ampère em um percurso incremental de lados ∆x e ∆y, e as 
outras duas componentes puderam, então, ser calculadas com a mesma 
simplicidade escolhendo-se percursos apropriados. 
� A forma do determinante é um método simples de guardar a expressão do 
rotacional em coordenadas cartesianas, já que a forma é simétrica e de fácil 
memorização. 
� Quanto ao operador nabla, pode-se verificar que o produto vetorial de sua 
definição com um vetor realmente leva à expressão do rotacional.
zyx
zyx
HHH
zyx
aaa
HH
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇=
ˆˆˆ
rot
rrr
Quadro 57
Rotacional e sistemas de coordenadas
� Abaixo, seguem o rotacional nos sistemas de coordenadas 
cartesiano, cilíndrico e esférico, respectivamente: 
( )
( )
( )[ ]
( )
( )
( )
φ
θ
θ
φθφ
ρφ
φ
ρ
ρ
φ
θ
φθφθ
θ
θ
φρ
ρ
ρρφρ
a
H
r
rH
r
a
r
rHH
r
a
HH
r
H
a
HH
a
H
z
H
a
z
HHH
a
y
H
x
H
a
x
H
z
H
a
z
H
y
HH
r
r
r
z
zz
z
xy
y
zx
x
yz
ˆ
1
ˆ
sin
11
ˆ
sin
sin
1
ˆ
1
ˆˆ
1
ˆˆˆ




∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂
∂
=×∇






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
=×∇
rr
rr
rr
Quadro 58
CirculaçãoCirculação
� Embora o rotacional tenha sido descrito como integral de linha 
por unidade de área, isto não dá uma visão física satisfatória 
da natureza da operação, pois a integral de linha em si requer 
uma interpretação física. 
� A integral de linha em percurso fechado foi primeiro aplicada 
ao campo eletrostático onde se viu que a integral de linha em 
um circuito fechado de E . dL é 0 e a interpretação física, 
naquela situação, foi deixada de lado. 
� Recentemente, apresentou-se que a integral de linha de H em 
percurso fechado é igual a corrente envolvida pelo percurso. 
� Quaisquer destas duas integrais de linha fechada é também 
chamada de circulação → a circulação de H, ou a integral de 
linha fechada de H . dL, é obtida multiplicando-se a 
componente de H paralela ao percurso especificado a cada 
ponto ao longo do percurso pelos elementos diferenciais de 
comprimento, somando-se os resultados, quando os elementos 
diferenciais tendem a zero e o seu número se torna infinito. 
Quadro 59
Circulação e rotacionalCirculação e rotacional
� Não é necessário um percurso pequeno que tenda a zero → a 
lei circuital de Ampère diz que, se H possui circulação em um 
percurso fechado, então a corrente atravessa este percurso. 
� Na eletrostática, viu-se que a circulação de E é zero em 
qualquer percurso, conseqüência direta do fato de que não é 
necessário trabalho para deslocar uma carga em percurso 
fechado.
� Portanto, pode-se descrever o rotacional como circulação por 
unidade de área. 
� O percurso fechado é pequeno e tende a zero e o rotacional é 
definido em um ponto. 
� O rotacional de E deve ser zero, pois a circulação é zero. 
� O rotacional de H, contudo, não é zero → a circulação de H
por unidade de área é a densidade de corrente a partir da lei 
circuital de Ampère.
Quadro 60
Exemplo para o rotacionalExemplo para o rotacional
� Como exemplo do cálculo do 
rotacional de H, partindo-se da 
definição e do cálculo de uma 
outra integral de linha, suponha 
que H = 0,2z2 ax, para z > 0, e 
H = 0 no restante, como mostra 
a figura ao lado. 
� Para um percurso quadrado de 
lado d, centradoem (0, 0, z1), 
em y = 0, onde z1 > (1/2)d, 
calcula-se a integral de linha de 
H ao longo de quatro segmentos 
começando pelo de cima: 
[ ] [ ] 212121 4,0022,0022,0 dzddzddzLdH =+−−++=⋅∫
rr
© Aldário Bordonalli 11
Quadro 61
Exemplo para o rotacional 2Exemplo para o rotacional 2
� No limite, quando a área 
em questão (d2) tende a 
zero, encontra-se que:
� Pode-se observar que as 
outras componentes serão 
zero, de maneira que: 
( ) 12 21020 4,04,0limlim zd dzd
LdH
H
ddy
==
⋅
=×∇
→→
∫
rr
rr
yazH ˆ4,0 1=×∇
rr
Quadro 62
Exemplo para o rotacional 3Exemplo para o rotacional 3
� Para se calcular o rotacional sem tentar ilustrar a 
definição nem o cálculo de uma integral, 
simplesmente, toma-se a derivada parcial indicada 
pelo determinante:
� O resultado acima concorda com o anterior quando se 
calcula o rotacional no ponto z = z1. 
( ) yy
zyx
azaz
z
z
zyx
aaa
H ˆ4,0ˆ2,0
002,0
ˆˆˆ
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=×∇
rr
yazH ˆ4,0 1=×∇
rr
Quadro 63
ConcluindoConcluindo--se para o rotacionalse para o rotacional
� Para completar o exame original da aplicação da lei circuital de 
Ampère a um percurso diferencial, combinando os resultados 
anteriores, chega-se a forma pontual (ou local) da lei circuital
de Ampère, que é a segunda das quatro equações de Maxwell 
aplicada a condições estáticas: 
� A esta altura, pode-se, também, escrever a terceira destas 
equações, que é a forma pontual para a integral de linha 
fechada de E . dL igual a zero, ou seja:
JH
rrr
=×∇
0=×∇ E
rr
Quadro 64
Pontual ou integralPontual ou integral
� Embora tenha-se dedicado um bom tempo, em princípio, 
discutindo-se a operação rotacional, a contribuição do assunto 
aos campos magnéticos não deve ser esquecida. 
� Da lei circuital de Ampère, derivou-se uma das equações de 
Maxwell, ∇∇∇∇ x H = J. 
� Esta última equação deve ser considerada como uma forma 
pontual da lei circuital de Ampère e aplicada em termos de por 
unidade de área. 
� Agora, algum tempo será dedicado ao teorema matemático 
conhecido como Teorema de Stokes, onde se mostrará que a 
lei circuital de Ampère pode ser obtida a partir de ∇∇∇∇ x H = J. 
� Com isto, adquirem-se condições de se obter a forma integral 
a partir da forma pontual ou a forma pontual a partir da forma 
integral.
Quadro 65
Interpretando o problemaInterpretando o problema
� Considere a superfície S da figura ao lado, que 
está dividida em superfícies incrementais de 
área ∆S. 
� Se a definição de rotacional é aplicada a estas 
superfícies incrementais, obtém-se: 
� Acima, o índice n indica mais uma vez a 
normal coerente com a regra da mão direita e 
o índice em dL∆∆∆∆S que o percurso fechado é o 
perímetro de uma área incremental ∆S.
� Definindo-se um versor normal a ∆S coerente 
com a regra da mão direita, o resultado acima 
pode também ser escrito na forma:
( )nS HS
LdH rr
rr
×∇≈
∆
⋅∫ ∆
( ) ( ) SaHLdHaH
S
LdH
nSn
S ∆⋅×∇≈⋅→⋅×∇≈
∆
⋅
∫
∫
∆
∆
ˆˆ
rrrrrr
rr
Quadro 66
Teorema de StokesTeorema de Stokes
� Da última equação, pode-se, então, escrever que: 
� Calculando-se a circulação para todos os ∆S que 
compõem S e somando os resultado, ocorrem 
alguns cancelamentos, pois cada lado interior é 
coberto uma vez numa direção e outra em direção 
contrária. 
� Os únicos contornos em que o cancelamento não 
pode ocorrer formam a fronteira mais externa, o 
percurso que envolve S. 
� Portanto, tomando dL apenas no perímetro de S, 
pode-se escrever que:
( )
( ) SHLdH
SaHLdH
S
nS
rrrrr
rrrr
∆⋅×∇≈⋅
∆⋅×∇≈⋅
∫
∫
∆
∆ ˆ
( )∫∫ ⋅×∇≡⋅ S SdHLdH rrrrr
© Aldário Bordonalli 12
Quadro 67
Exemplo 3
Considere a porção de uma esfera, 
como mostrada na figura ao lado. 
Verifique a validade do teorema de 
Stokes, sabendo que a superfície é 
definida por r = 4, 0 ≤ θ ≤ 0,1pi, 0 ≤ φ
≤ 0,3pi, e que o caminho fechado que 
constitui o perímetro é composto por 
três arcos de circunferência.
Para este caso, assumir que: 
( ) ( ) ( ) φφθφ ararH r ˆcossin18ˆsin6 +=r
Quadro 68
Exemplo 3 (cont.)
Antes de mais nada, devem-se definir os 
arcos do percurso fechado a partir da figura.
- O primeiro arco é dado por r = 4, 0 ≤ θ ≤
0,1pi, φ = 0;
- O segundo arco é dado por r = 4, θ = 0,1pi, 
0 ≤ φ ≤ 0,3pi;
- O terceiro arco é dado por r = 4, 0 ≤ θ ≤
0,1pi, φ = 0,3pi.
O elemento diferencial de caminho dL é a 
soma vetorial dos três elementos diferenciais 
de comprimento em coordenadas esféricas:
( ) φθ φθθ adrardadrLd r ˆsinˆˆ ++=r
Quadro 69
Exemplo 3 (cont.)
Para o elemento diferencial de caminho dL, o 
termo em ar pode ser desconsiderado nos três 
segmentos do caminho, pois r é fixo e igual a 
4 (dr = 0).
O segundo termo é zero no segmento 2, pois 
θ é constante, e o terceiro é nulo nos 
segmentos 1 e 3, de maneira que:
( ) ∫∫∫∫ ++=⋅ 321 sin θφθθ θφθ rdHdrHrdHLdH
rr
( ) ( ) ( )[ ] ( )
A2,22
sincossin18sin
3,0
0
1,0,42
=⋅
==⋅
∫
∫∫∫ ==
LdH
drrdrHLdH
r
rr
rr pi
piθφ φθφθφθ
No entanto, não existe componente θ para H
e, então:
Quadro 70
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) cqdA2,22
sincoscos36
3,0
0
4
2
1,0
0
=⋅×∇
=⋅×∇
∫
∫ ∫∫
=
S
rS
SdH
ddrSdH
rrr
rrr pi pi φθθφθ
( )
( )[ ]
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) θ
θ
φφ
φθ
θ
φφθ
φθθ
θ
θ
aaH
a
r
rHH
r
a
H
r
H
r
r
r
ˆcossin36
sin
cos6ˆcoscos36
ˆ
sin
11
ˆ
sin
sin
1






−+=×∇






∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
=×∇
rr
rr
Exemplo 3 (cont.)
Para operar o segundo membro do teorema de Stokes, deve-se, 
primeiramente, calcular o rotacional H, já se considerando a sua 
definição:
Desde que dS = r 2sin(θ)dθdφ ar, a integral de superfície fica:
Quadro 71
Ficou fácil ...Ficou fácil ...
� Assim sendo, os resultados do Exemplo 3 verificam o teorema de 
Stokes, bem como se pode ver que uma corrente de 22,2 A está 
fluindo no sentido ascendente através da calota esférica.
� Agora é muito fácil obter-se a lei circuital de Ampère de ∇∇∇∇ x H = J, 
pois se deve apenas multiplicar escalarmente cada lado por dS, 
integrar cada lado na mesma superfície (aberta) S e, então, pela
aplicação do Teorema de Stokes, obter:
� Esta pequena derivação mostra claramente que a corrente I, descrita 
como sendo a envolvida por um percurso fechado, é também a 
corrente que atravessa qualquer uma das infinitamente numerosas 
superfícies que têm o mesmo percurso fechado como perímetro.
( ) ILdHSdJSdH
SS
=⋅→⋅=⋅×∇ ∫∫∫
rrrrrrr
Quadro 72
Outra identidade vetorialOutra identidade vetorial
� O Teorema de Stokes relaciona a integral de superfície a uma 
integral de linha fechada enquanto que o teorema da 
divergência relaciona a integral de volume a uma integral de 
superfície fechada. 
� Os dois teoremas encontram sua maior aplicação em 
demonstrações generalizadas no cálculo vetorial. 
� Para apresentar uma nova identidade vetorial, assume-se que 
A representa um campo vetorial qualquer e que, sendo T um 
escalar: 
� Utilizando-se os teoremas de Stokes e da divergência, a idéia, 
agora, é demonstrar que T = 0!!
TA =×∇⋅∇
rrr
© Aldário Bordonalli 13
Quadro 73
Primeiro, o teorema da divergênciaPrimeiro, o teorema da divergência
� Multiplicando-se ambos os membros por um incremento de 
volume e integrando através de qualquer volume, fica-se com: 
� Aplicando-se, primeiro, o teorema da divergência ao lado 
esquerdo, obtém-se:
� O lado esquerdo é a integral de superfície do rotacional de A
em uma superfície fechada que envolve o volume v. 
� Recapitulando, o teorema de Stokes relaciona a integral de 
superfície do rotacional de A em uma superfície aberta 
envolvida por um percurso fechadodado. 
( ) ∫∫ =×∇⋅∇ volvol TdvdvArrr
( ) ∫∫ =⋅×∇ volS TdvSdA rrr
Quadro 74
Percurso fechado e superfície fechadaPercurso fechado e superfície fechada
� Se o percurso fechado é considerado como sendo a abertura 
de um saco e a superfície aberta como sendo a superfície do 
saco em si, observa-se que, à medida que gradualmente se 
fecha a superfície, puxando os cadarços da boca do saco, o 
caminho fechado torna-se menor e finalmente desaparece 
quando a superfície se torna fechada. 
� Por isso, a aplicação do Teorema de Stokes a uma superfície 
fechada produz um resultado zero, e, assim:
� Portanto: 
00 =→=∫ TTdvvol
0=×∇⋅∇ A
rrr
Quadro 75
UtilizandoUtilizando--se a nova identidadese a nova identidade
� A identidade apresentada na equação anterior pode ser 
imediatamente aplicada a campos magnéticos invariantes no 
tempo para os quais:
� O resultado acima é justamente o que se obtém da equação da 
continuidade quando não há variação de densidade 
volumétrica de carga com o tempo, exatamente o que se está 
assumindo em magnetostática (corrente constante)!!!
( )
0
0
=⋅∇
∴
⋅∇==×∇⋅∇
=×∇
J
JH
JH
rr
rrrrr
rrr
Quadro 76
Densidade de fluxo magnéticoDensidade de fluxo magnético
� A paritr de agora, pode-se definir uma nova grandeza, a densidade de fluxo 
magnético B no espaço livre (vácuo) por:
� B é medido em weber por metro quadrado (Wb/m2), equivalente a outra 
unidade do Sistema Internacional de Unidades, o tesla (T). 
� A constante µ0, a permeabilidade do vácuo, não é adimensional e tem o 
valor definido para o vácuo em henry por metro (H/m):
� Como H é medido em ampères por metro, o weber é dimensionalmente
igual ao produto de henry e ampere. 
� Considerando-se o henry como nova unidade, o weber é meramente uma 
abreviatura conveniente do produto de henry por ampère. 
� Quando os campos variáveis do tempo forem introduzidos, será mostrado 
que weber é também equivalente ao produto de volt e segundo.
( )vácuoHB rr 0µ=
H/m104 70
−×= piµ
Quadro 77
Fluxo magnéticoFluxo magnético
� O vetor densidade de fluxo magnético B, como o nome sugere, 
é um membro da família de campos vetoriais do tipo densidade 
de fluxo. 
� Uma das possíveis analogias entre campos magnéticos e 
elétricos compara as leis de Biot-Savart e Coulomb, 
estabelecendo assim uma analogia entre H e E. 
� As relações B = µ0H e D = ε0E servem, então, para relacionar 
B e D. 
� Se B é medido em weber por metro quadrado, então o fluxo 
magnético deve ser medido em weber. 
� Representando o fluxo magnético por Φ e definindo Φ como 
um fluxo que atravessa qualquer área especificada:
Wb∫ ⋅=Φ S SdB
rr
Quadro 78
Lei de Gauss para o campo magnéticoLei de Gauss para o campo magnético
� Para continuar a analogia, deve-se lembrar, agora, do fluxo elétrico Ψ, 
medido em coulombs, e da Lei de Gauss, que estabelece que o fluxo total 
que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga envolvida: 
� A carga Q é a fonte das linhas de fluxo elétrico e estas linhas começam e
terminam em cargas positivas e negativas, respectivamente, porém, nunca 
foram descobertas fontes como estas para as linhas de campo magnético.
� No exemplo de um filamento retilíneo infinitamente longo com uma
corrente constante I, o campo H é formado de círculos concêntricos com o 
fIlamento. 
� Como B = µ0H , o campo B é da mesma forma e as linhas de fluxo 
magnético são fechadas e não terminam em uma "carga magnética". 
� Por esta razão, a lei de Gauss para o campo magnético e a aplicação do 
teorema da divergência levam a:
QSdD
S
=⋅=Ψ ∫
rr
00 =⋅∇→=⋅∫ BSdBS
rrrr
© Aldário Bordonalli 14
Quadro 79
Equações de Maxwell (pontual)Equações de Maxwell (pontual)
� A última equação é também a última das quatro equações de 
Maxwell aplicadas ao campo eletrostático e magnetostático. 
� Agrupando estas equações, têm-se então para campos 
eletrostáticos e magnetostáticos:
� A estas equações, podem-se adicionar duas expressões 
relacionando D a E e B a H no espaço livre, além da definição 
do potencial eletrostático:
JHE
BD v
rrrrr
rrrr
=×∇=×∇
=⋅∇=⋅∇
0
0ρ
VEHBED ∇−===
rrrrrr
00 µε
Quadro 80
Equações de Maxwell (integral)Equações de Maxwell (integral)
� Em relação ao que foi visto em eletrostática, fica 
faltando uma definição de potencial para o campo 
magnetostático, o que será feito na seqüência. 
� Além disto, o estudo de campos elétricos foi 
estendido de modo a incluir materiais condutores e 
elétricos e o vetor polarização P foi introduzido →
tratamento similar será dado aos campos magnéticos 
mais tarde.
� As quatro equações integrais que se aplicam a 
campos eletrostáticos e campos magnetostáticos são:
∫∫∫
∫∫∫
⋅==⋅=⋅
=⋅==⋅
S
Svol vS
SdJILdHLdE
SdBdvQSdD
rrrrrr
rrrr
0
0
.
ρ
Quadro 81
ComentáriosComentários
� O estudo de campo elétrico e de campo magnético 
teria sido muito mais simples se ou o conjunto de 
equações pontual ou integral pudesse ter sido 
utilizado desde o princípio. 
� Com um bom conhecimento de análise vetorial, como 
o que se deve ter adquirido até agora, qualquer dos 
conjuntos pode ser facilmente obtido a partir do 
outro, aplicando-se o teorema da divergência ou o 
teorema de Stokes. 
� As várias leis experimentais poderiam ter sido obtidas 
facilmente destas equações.
Quadro 82
Exemplo 4
Determinar o fluxo entre os condutores 
da linha coaxial mostrada na figura ao 
lado. 
( )baIH <<= ρ
piρφ 2
r
A intensidade de campo magnético entre 
os condutores é dada por: 
φ
piρ
µµ aIHB ˆ
2
0
0 ==
rr
Portanto: 
Quadro 83
Exemplo 4 (cont.)
O fluxo magnético contido entre os condutores de comprimento L
é o fluxo que atravessa qualquer plano radial, estendendo-se de 
ρ = a até ρ = b e de, por exemplo, z = 0 até z = L. 






=Φ
=Φ
⋅





=⋅=Φ
∫ ∫
∫ ∫∫
a
bIL
dzdI
adzdaISdB
L b
a
L b
a
S
ln
2
2
ˆˆ
2
0
0
0
0
0
pi
µ
ρ
ρ
pi
µ
ρ
piρ
µ
φφ
rr
Esta expressão será usada mais tarde para se obter a indutância 
de uma linha de transmissão coaxial. 
Quadro 84
Exemplo 5
Uma linha coaxial de alta potência é resfriada com água, que 
passa não só por um orifício dentro do condutor interno como 
também por fora do condutor externo. Os raios do condutor 
interno são iguais a a = 5 e b = 7 mm e os do condutor externo 
a c = 19 e d = 20 mm. Os condutores transportam uma corrente 
contínua de 2.000 A. Determine o fluxo magnético em 1 m de 
comprimento: (a) do condutor interno; (b) do espaço entre os 
condutores; (c) do condutor externo.
(a) Para todos os casos, deve-se inicialmente encontrar H e, 
depois, B. Na seqüência os resultados são utilizados para o 
cálculo do fluxo magnético. Apenas este item irá conter um novo 
resultado para H. 
© Aldário Bordonalli 15
Quadro 85
Exemplo 5 (cont.)
Se ρ é menor que o raio externo do condutor interno, a 
densidade de corrente é uniforme e a corrente envolvida fica:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )22
22
0
022
22
22
22
22
22
2222
22
2
ab
aIHB
ab
aIH
ab
aIHISdH
ab
aII
a
I
ab
IJ encenc
−
−
==→
−
−
=
−
−
=→=⋅
−
−
=→
−
=
−
=
∫
ρ
piρ
µµρ
piρ
ρ
piρ
ρ
ρpipi
φφφ
φ
rr
Quadro 86
Exemplo 5 (cont.)
Assim:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
µWb8,59
ln
2
1
2
ˆˆ
2
ˆ
2
222
22
0
0
22
22
0
22
22
0
=Φ












−−
−
=Φ
⋅
−
−
=⋅=Φ
−
−
=
∫ ∫∫
a
b
aab
ab
IL
adzda
ab
aISdB
a
ab
aIB
L b
a
S
pi
µ
ρρ
piρ
µ
ρ
piρ
µ
φφ
φ
rr
r
Quadro87
Exemplo 5 (cont.)
(b) Para o espaço entre os condutores, pode-se utilizar a 
expressão desenvolvida anteriormente. Assim:
µWb399
ln
2
ˆˆ
2
ˆ
2
0
0
0
0
=Φ






=Φ
⋅=⋅=Φ
=
∫ ∫∫
b
cIL
adzdaISdB
a
IB
L c
b
S
pi
µ
ρ
piρ
µ
piρ
µ
φφ
φ
rr
r
Quadro 88
Exemplo 5 (cont.)
(b) Para o condutor externo, pode-se também utilizar a 
expressão de H desenvolvida anteriormente. Assim:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
µWb43,10
2
1ln
2
ˆˆ
2
ˆ
22
2220
0
22
22
0
22
22
0
22
22
=Φ






−−





=Φ
⋅
−
−
=⋅=Φ
−
−
=→
−
−
=
∫ ∫∫
cd
c
ddIL
adzda
cd
dISdB
a
cd
dIB
cd
dIH
L d
c
S
pi
µ
ρρ
piρ
µ
ρ
piρ
µρ
piρ
φφ
φφ
rr
r
Quadro 89
Potencial magnéticoPotencial magnético????
� A solução de problemas de campo eletrostático é bem 
simplificada pelo uso do potencial escalar eletrostático 
V. 
� Embora este potencial possua um significado físico 
real, matematicamente, ele não é mais que um 
artifício que permite resolver um problema em menor 
número de etapas. 
� Dada uma configuração de cargas, pode-se encontrar 
o potencial e então, mais tarde, a intensidade de 
campo elétrico.
� A pergunta que surge é se há a possibilidade desta 
“ajuda” ser estendida para campos magnéticos. 
Quadro 90
Potencial magnético escalarPotencial magnético escalar
� Será que se pode definir uma função potencial que possa ser 
encontrada a partir de uma distribuição de corrente e da qual 
os campos magnéticos possam ser facilmente determinados? 
� Um potencial magnético escalar pode ser definido, 
analogamente, ao potencial eletrostático? 
� Na seqüência, será mostrado que a resposta à primeira 
questão é "sim", mas a segunda deve ser respondida "às 
vezes". 
� Inicialmente, considere a última questão e suponha a 
existência de um potencial magnético escalar designado como 
Vm e cujo negativo do gradiente dê a intensidade do campo 
magnético:
mVH ∇−=
rr
© Aldário Bordonalli 16
Quadro 91
Validade limitadaValidade limitada
� A escolha do sinal negativo para o gradiente é para se manter 
uma analogia mais próxima à do potencial elétrico.
� Esta definição não deve ser conflitante com os resultados 
anteriores já obtidos para o campo magnético, e, portanto:
� Contudo, o rotacional do gradiente, para qualquer escalar, é 
identicamente zero, uma identidade vetorial cuja prova é 
deixada como exercício. 
� Desta maneira, se H deve ser definido como um gradiente de 
um potencial escalar magnético, então, a densidade de 
corrente deve ser zero na região em que o potencial escalar 
magnético é definido:
( )mVJH ∇−×∇==×∇ rrrrr
( )0se =∇−= JVH m rrr
Quadro 92
Equação de Equação de LaplaceLaplace
� Como muitos problemas magnéticos envolvem geometrias em 
que os condutores ocupam uma fração relativamente pequena 
da região de interesse, é evidente que o potencial escalar 
magnético pode ser útil. 
� O potencial escalar magnético é também aplicável ao caso de 
ímãs permanentes e sua unidade é, obviamente, o ampère.
� Este potencial escalar também satisfaz à equação de Laplace, 
de maneira que, no espaço livre:
� Mais tarde, será visto que Vm continua a satisfazer à equação 
de Laplace em materiais homogêneos magnetizáveis, porém, 
não satisfaz a equação de Laplace na região em que exista 
densidade de corrente.
( )
( )0se0
0
2
00
==∇∴
=∇−⋅∇=⋅∇=⋅∇
JV
VHB
m
m
r
rrrrrr
µµ
Quadro 93
VVmm verusverus VV
� Embora o potencial escalar magnético seja 
investigado mais adequadamente em outra 
oportunidade, uma diferença entre V e Vm deve ser 
apontada agora → Vm não é uma função unívoca da 
posição. 
� O potencial elétrico V é unívoco → desde que uma 
referência seja considerada, existe um e somente um 
valor de V associado a cada ponto do espaço. 
� Este não é o caso de Vm!!!
� Para ilustrar isto, considere o caso da seção reta de 
uma linha coaxial.
Quadro 94
VVmm e a linha coaxiale a linha coaxial
� A figura ao lado mostra a seção 
reta da linha coaxial em questão.
� Na região a < ρ < b, J = 0 e se 
pode estabelecer o potencial 
escalar magnético.
� O valor de H é:
� Neste caso, I é a corrente total que 
flui na direção az no condutor 
interno.
φ
piρ
a
IH ˆ
2
=
r
Quadro 95
VVmm e a linha coaxial 2e a linha coaxial 2
� Utilizando-se a expressão do 
gradiente de Vm , pode-se escrever 
que:
� Na equação acima, a constante de 
integração foi feita igual a zero. 
( ) φ
pi
φ
piφ
φρpiρ φφ
2
2
1
2
IV
IV
VVIH
m
m
m
m
−=
−=
∂
∂
∂
∂
−=∇−==
r
Quadro 96
VVmm e a linha coaxial 3e a linha coaxial 3
� Qual o potencial associado ao ponto P, onde φ = pi/4?
� Por exemplo, assumindo-se Vm igual a zero em φ = 0 e percorrendo-se um 
círculo na direção contrária aos ponteiros do relógio, o potencial magnético 
torna-se linearmente mais negativo → assim, quando se completa uma 
circulação a partir de φ = 0, o potencial é -I, porém, este era o ponto onde, 
no início da análise, assumiu-se o potencial como zero.
� Portanto, em P, φ = pi/4, 9pi/4, 17pi/4, ..., ou -7pi/4, -15pi/4, -23pi/4, ..., ou:
� A razão para estes múltiplos valores pode ser mostrada por comparação ao 
caso eletrostático. 
( )
( )K
K
,2,1,0
8
1
,2,1,0
4
12
2
±±=





−=
±±=





−=
nnIV
nn
IV
mP
mP pipi
© Aldário Bordonalli 17
Quadro 97
Eletrostático Eletrostático vsvs. . magnetostáticomagnetostático
� Para o caso eletrostático, tem-se que:
� A integral de linha, independente do percurso, é, portanto:
� No caso magnetostático, contudo:
� Porém, mesmo se J for zero ao longo do percurso de 
integração: 
∫ =⋅=×∇ 0e0 LdEE
rvrr
∫ ⋅=
b
a
ab LdEV
rv
( )00 ==×∇ JquesempreH rrr
∫ =⋅ ILdH
rr
Quadro 98
Eletrostático Eletrostático vsvs. . MagnetostáticoMagnetostático IIII
� A cada vez que se completa um percurso em torno da 
corrente, o resultado da integração é acrescido de I. 
� Se não há corrente I envolvida pelo percurso, uma função 
potencial unívoca pode ser definida. 
� Em geral, contudo, vale que:
� Acima, um percurso específico ou um tipo de percurso deve 
ser selecionado. 
� Assim, deve-se lembrar que, se o potencial eletrostático V é 
um campo conservativo, o potencial magnetostático Vm não é 
um campo conservativo. 
( )específicopercurso
, ∫ ⋅−=
a
b
abm LdHV
rr
Quadro 99
Voltando ao problema do coaxialVoltando ao problema do coaxial
� Voltando ao problema coaxial, a pluralidade de 
Vm pode ser matematicamente eliminada se 
uma chamada barreira em φ = pi for definida.
� Com isto, cria-se um plano imaginário onde as 
trajetórias de integração são escolhidas de 
forma a não atravessar esse plano. 
� Com isto, I não é envolvido, e um potencial 
unívoco pode ser definido, resultando em:
( )
8
e
2
IVIV mPm −=<<−−= piφpiφ
pi
Quadro 100
Potencial vetor magnéticoPotencial vetor magnético
� Deixando temporariamente o potencial escalar 
magnético de lado, investiga-se agora um chamado 
potencial vetor magnético. 
� Este campo é extremamente útil no estudo da 
radiação de antenas, de aberturas, e irradiação de 
linhas de transmissão, guias de ondas e fornos de 
microondas. 
� O potencial vetor magnético pode ser usado em 
regiões em que a densidade de corrente é zero ou 
diferente de zero e, mais tarde, será estendido aos 
campos variáveis no tempo. 
Quadro 101
Potencial vetor magnético 2Potencial vetor magnético 2
� Para a definição deste novo campo, o potencial vetor 
magnético, em relação às grandezas já apresentadas,parte-se 
da seguinte relação:
� Anteriormente, após a obtenção do teorema de Stokes, a 
seguinte identidade vetorial foi definida:
� Observando-se as duas equações acima e associando-se a 
densidade de fluxo magnético ao vetor A, tem-se a definição 
do potencial vetor magnético em weber por metro (Wb/m):
0=⋅∇ B
rr
0=×∇⋅∇ A
rrr
AB
rrr
×∇=
Quadro 102
Potencial vetor magnético 3Potencial vetor magnético 3
� A relação com H é então dada por:
� O rotacional do rotacional de um campo vetorial não é zero e é
dado por uma expressão muito complicada, cujo o 
conhecimento não será necessário no momento. 
� Em casos específicos, para os quais a forma de A é conhecida, 
a operação rotacional pode, sem dificuldade, ser aplicada duas 
vezes para se determinar a densidade de corrente.
� OBS.:
AJHAH
rrrrrrrrr
×∇×∇==×∇×∇=
00
11
µµ
( ) AAA rrrrrrr 2∇−⋅∇∇=×∇×∇
© Aldário Bordonalli 18
Quadro 103
Aplicação para Aplicação para AA
� Como visto, a definição de A não é conflitante com nenhum dos 
resultados anteriores e falta mostrar que esta definição particular 
pode ajudar a determinar mais facilmente os campos magnéticos.
� É importante salientar que não se pode identificar A como uma 
grandeza facilmente mensurável ou advinda de uma experiência 
histórica, porém, como uma ferramenta que pode ser útil nos 
cálculos.
� Posteriormente, será mostrado que, de acordo com a Lei de Biot-
Savart, a definição de B e a própria definição de A, A pode ser 
determinado pela diferencial dos elementos de corrente através de:
� Os termos na equação acima são os mesmo que os da Lei de Biot-
Savart → uma corrente constante I flui ao longo de um condutor 
filamentar de um comprimento diferencial dL que está a uma 
distância R do ponto em que A deve ser calculado. 
∫= R
LIdA
pi
µ
4
0
r
r
Quadro 104
Comparação com a eletrostáticaComparação com a eletrostática
∫∫ == R
dLV
R
LIdA l
0
0
44 piε
ρ
pi
µ
r
r
R
LIdAd
pi
µ
4
0
r
r
=
� O fato de A ser um potencial vetor magnético é mais claro quando a expressão 
anterior é comparada a uma expressão similar para o potencial eletrostático:
� Cada expressão é a integral ao longo de uma fonte filamentar, num caso, uma linha 
de cargas, no outro, uma linha de corrente → cada integrando é inversamente 
proporcional à distância da fonte ao ponto de interesse e cada um envolve uma 
característica do meio (neste caso, o vácuo), a permeabilidade ou a permissividade. 
� A forma diferencial para a nova definição de A é:
� Deve-se ressaltar que os campo magnéticos obtidos a partir da equação acima 
apenas tem significado físico quando a totalidade do percurso fechado no qual a 
corrente flui seja considerado.
Quadro 105
Exemplo 6
Determinar o potencial vetor magnético de um filamento 
diferencial de corrente, disposto conforme o diagrama abaixo.
Quadro 106
Exemplo 6 (cont.)
Neste caso, tem-se que:
22
0
22
00
4
4
ˆ
4
ˆ
z
IdzdA
z
aIdz
R
LIdAd
adzLd
z
z
z
+
=
+
==
=
ρpi
µ
ρpi
µ
pi
µ
r
r
r
Observar que dA tem a mesma direção de IdL. Cada pequena 
seção de um condutor percorrido por uma corrente produz uma 
contribuição para um potencial vetor magnético total que está na
mesma direção do fluxo de corrente do condutor.
Quadro 107
Exemplo 6 (cont.)
Por exemplo, a partir de dA, pode-se encontrar a intensidade de 
campo magnético tomando-se o rotacional de dA em 
coordenadas cilíndricas, obtendo-se:
( ) φ
φ
ρ
ρ
pi
ρµµ
a
z
IdzHd
a
dAAdHd z
ˆ
4
ˆ
11
2322
00
+
=






∂
∂
−=×∇=
r
rrr
A expressão acima pode ser facilmente verificada se o ponto de 
partida é a lei de Biot-Savart.
Quadro 108
Em termos de Em termos de KK e e JJ
� As expressões para o potencial vetor magnético A podem ser 
também obtidas para uma fonte de corrente distribuída. 
� Para uma densidade superficial de corrente K, o elemento diferencial 
de corrente e A tornam-se:
� No caso de fluxo de corrente através de um volume com a 
densidade J, tem-se que:
� Comparando-se a forma destas integrais com aquelas que levaram 
ao potencial eletrostático, é evidente que, mais uma vez, uma 
referência zero para A é o infinito, pois nenhuma corrente finita 
pode produzir contribuição quando R → ∞. 
∫=→=
.
0
4vol R
dvJAdvJLId
pi
µ
r
rrr
∫=→= S R
dSKAdSKLId
pi
µ
4
0
r
rrr
© Aldário Bordonalli 19
Quadro 109
Derivação das leis
� Chegou a agora de se apresentarem provas para as 
várias relações entre as quantidades relativas ao 
campo magnetostático. 
� Todas estas relações podem ser obtidas a partir das 
definições de H, de B e de A:
� Primeiramente, esta análise será iniciada com a última 
definição de A dada e, a partir dela, chegar-se-á a 
conclusão que ela obedece as três relações acima.
ABHB
R
aLIdH R
rrrrr
r
r
×∇==×= ∫ 024
ˆ µ
pi
Quadro 110
Verificando-se A
� Suponha que A pode ser expressa conforme apresentado 
anteriormente:
� Primeiro, devem-se adicionar alguns índices para indicar o 
ponto em que o elemento de corrente está localizado, (x1, y1, 
z1), e o ponto em que A é dado, (x2, y2, z2). 
� Para o elemento diferencial de volume dv escreve-se dv1, e, 
em coordenadas cartesianas, dx1, dy1 e dz1. 
� As variáveis de integração são x1, y1, e z1, e, usando-se então 
esses índices:
∫=
.
0
4vol R
dvJA
pi
µ
r
r
∫=
. 12
110
2 4
vol R
dvJA
pi
µ
r
r
Quadro 111
Aplicando-se a definição de H
� Substituindo-se a última expressão na definição de H, tem-se 
que:
� Na equação acima, há a necessidade de se obter o rotacional 
de A2, quantidade expressa em termos das variáveis (x2, y2, 
z2), e o rotacional envolve, portanto, derivadas parciais em 
relação a x2, y2 e z2 → por esta razão, coloca-se um índice no 
operador nabla de modo a lembrar das variáveis envolvidas no 
processo de diferenciação parcial.
� A ordem da diferenciação parcial e integração é irrelevante, e 
µ0/4pi é considerado constante, de forma que:
∫×∇=
×∇
=→
×∇
==
. 12
110
2
00
22
2
00 4
1
vol R
dvJAHABH
pi
µ
µµµµ
r
r
rr
r
rrr
r
∫∫ 






×∇=×∇=
.
1
12
1
2
. 12
11
22 4
1
4
1
volvol
dv
R
J
R
dvJH
r
r
r
rr
pipi
Quadro 112
Utilizando-se identidade vetorial
� O rotacional do produto de um escalar por um vetor é dado 
por uma identidade que pode ser testada por expansão em 
coordenadas cartesianas:
� Assim:
� Acima, o segundo termo do integrando é zero, pois se toma o 
rotacional em coordenadas 2 de uma função em coordenadas 
1 e o primeiro termo do integrando pode ser determinado 
expressando-se R12 em termos dos valores das coordenadas:
( ) ( )SLSLSL rrrrrr ×∇+×∇=×∇
( )∫ 





×∇+×




∇=
.
112
12
1
12
22
11
4
1
vol
dvJ
R
J
R
H
rrrrr
pi
( ) ( ) ( )21221221212 zzyyxxR −+−+−=
Quadro 113
Finalmente ...
� Tomando-se o gradiente do recíproco de R12 :
� Assim:
� Substituindo-se J1dv1 por I1dL1, chega-se a 
expressão da lei de Biot-Savart, provando-se a 
expressão inicial para A:
∫∫
×
=→




 ×
−=
.
12
12
121
2
.
12
12
112
2 4
ˆˆ
4
1
vol
R
vol
R dv
R
aJHdv
R
JaH
pipi
r
r
r
r
2
12
12
3
12
12
12
2
ˆ1
R
a
R
R
R
R
−=−=∇
r
r
cqd
4
ˆ
2
12
1211
2 ∫
×
=
R
aLdIH R
pi
r
r
Quadro 114
Verificando-se a lei de Ampère
� A seguir, analisar-se-á a lei circuital de Ampère na forma 
pontual:
� Combinando-se as definições de B e A, tem-se que:
� Expandindo a expressão vetorial acimaem coordenadas 
cartesianas, fica-se com:
JH =×∇
rr
000 µµµ
AJHABH
rrr
rr
rrr
r ×∇×∇
==×∇→×∇==
( )
zzyyxx aAaAaAA
AAA
ˆˆˆ
2222
2
∇+∇+∇=∇
∇−⋅∇∇=×∇×∇
r
rrrrrrr
© Aldário Bordonalli 20
Quadro 115
Divergente de A
� A última expressão define a forma do laplaciano de 
um vetor.
� Combinando-se os resultados anteriores, fica-se com:
� Agora, basta encontrarem-se as expressões para a 
divergência e para o laplaciano de A.
� O divergente de A pode ser encontrado através de:
( )[ ]AAH rrrrrr 2
0
1 ∇−⋅∇∇=×∇
µ
1
. 12
1
2
0
22 4
dv
R
JA
vol
∫ ⋅∇=⋅∇
r
rrr
pi
µ
Quadro 116
Utilizando identidade vetorial ...
� Utilizando-se a identidade vetorial do divergente de um escalar 
que multiplica um vetor, tem-se que:
� A segunda parte do integrando é zero, pois J1 não é uma 
função das coordenadas cartesianas no ponto 2.
� Quanto à primeira parte, esta relação apareceu recentemente, 
e, agora, adiciona-se uma expressão de equivalência que 
facilmente demonstrável:
( ) 1
.
12
1212
21
0
22
11
4
dvJ
RR
JA
vol
∫ 





⋅∇+




∇⋅=⋅∇
rrrrrr
pi
µ
3
12
12
12
1
12
13
12
12
12
2
111
R
R
RRR
R
R
r
rr
r
r
=∇→∇−=−=∇
Quadro 117
Utilizando o teorema da divergência
� Assim, tem-se que:
� A mesma identidade vetorial, mais uma vez aplicada, leva a:
� Como se está trabalhando com campos magnetostáticos, a 
equação da continuidade mostra que o primeiro termo da 
equação acima é zero. 
� A aplicação do teorema da divergência ao segundo termo 
fornece:
1
. 12
11
0
22
1
4
dv
R
JA
vol
∫ 










∇⋅−=⋅∇
rrrr
pi
µ
( ) 1
. 12
1
111
12
0
22
1
4
dv
R
JJ
R
A
vol
∫
















⋅∇−⋅∇=⋅∇
r
rrrrr
pi
µ
∫
⋅
−=⋅∇
1 12
110
22 4 S R
SdJA
rr
rr
pi
µ
Quadro 118
ComentáriosComentários
� A superfície S1 definida na equação anterior envolve o volume 
através do qual se está integrando. 
� Este volume deve incluir todas as correntes, pois a expressão 
original da integração para A era de uma integração que 
incluía o efeito de todas as correntes. 
� Como não há correntes fora desse volume (pois, de outro 
modo, dever-se-ia ter estendido o volume para incluí-las), 
pode-se integrar em um volume ligeiramente maior ou em uma 
superfície fechada ligeiramente maior, envolvendo este último 
volume, sem que com isto se varie A. 
� Nesta superfície maior, a densidade de corrente J1 deve ser 
zero e, portanto, a integral de superfície fechada é nula pois o
integrando é zero e então, conclui-se que a divergência de A é 
zero.
Quadro 119
Laplaciano de A
� Para se encontrar o laplaciano do vetor A, compara-
se a componente x de uma das definições de A com a 
expressão similar do potencial eletrostático:
� Nota-se que uma expressão pode ser obtida da outra 
pela troca direta de variáveis, Jx por ρ, µ0 por 1/ε0, e 
Ax por V. 
� Contudo, obtiveram-se informações a mais acerca do 
potencial eletrostático que, por causa da equivalência, 
não precisam ser repetidas agora para a componente 
x do potencial vetor magnético. 
dv
R
Vdv
R
JA
volvol
x
x ∫∫ ==
. 0.
0
44 piε
ρ
pi
µ
Quadro 120
Laplaciano de A
� Assim, por exemplo, pode-se aplicar a definição da equação de 
Poisson, de maneira que:
� Similarmente, para as outras coordenadas e generalizando:
� Assim: 
xx JAV 0
2
0
2 µ
ε
ρ
−=∇→−=∇
zzyy JAJA 0
2
0
2 µµ −=∇−=∇
JA
rr
0
2 µ−=∇
( ) ( )
cqd
0
0
0
0
2
HJAJA
JAAA
rrr
rrr
rrrr
rrrrrrrr
×∇==×∇×∇∴=×∇×∇
−−=∇−⋅∇∇=×∇×∇
µ
µ
µ
© Aldário Bordonalli 21
Quadro 121
ComentáriosComentários
� Assim, demonstrou-se com sucesso que cada 
resultado, essencialmente para o ar rarefeito, 
decorre das definições básicas de H, B e A. 
� As derivações não são simples e devem ser 
compreendidas passo a passo. 
� Deve-se ressaltar que o procedimento não 
precisa ser memorizado!!!
� Agora seria a hora de se utilizar a expressão do 
laplaciano de A em um exemplo, como o que 
foi feito no caso do potencial eletrostático. 
Quadro 122
Exemplo 7
Determinar o campo entre os condutores de um cabo coaxial 
com raios a e b e a corrente I na direção az. 
Entre os condutores, J = 0 e, portanto:
0ˆˆˆ 2222 =∇+∇+∇=∇ zzyyxx aAaAaAA
r
Porém, este resultado relativamente simples não é aplicável a 
outros sistemas de coordenadas. Felizmente, não é difícil mostrar 
para coordenadas cilíndricas que a componente z do vetor 
laplaciano é o escalar laplaciano da componente z de A, ou seja:
0222 =∇→∇=∇ zz
z
AAA
r
Quadro 123
Exemplo 7 (cont.)
Considerando esta estrutura simétrica, pode-se adotar que Az é 
uma função somente de ρ e, assim:
01 =





ρ
ρ
ρρ d
dA
d
d z
A equação diferencial acima já foi resolvida anteriormente 
quando do estudo da equação de Laplace e seu resultado 
produz:
( ) ( ) 21 ln CCAz += ρρ
Considerando uma referência zero em ρ = b, chega-se a:
( ) 





=
b
CAz
ρρ ln1
Quadro 124
Exemplo 7 (cont.)
De modo a relacionar a constante de integração que restou às 
condições de contorno do problema, pode-se tomar o rotacional 
de A:
0
1
ˆˆ
µρρ φφ
HBaCaAA z
r
rr
==−=
∂
∂
−=×∇
Calculando-se a integral de linha de H, chega-se a:
Desta maneira:
( )
0
1
2
0 0
1 2
ˆˆ
µ
piφρ
ρµ
pi
φφ
C
adaCILdH −=⋅





−==⋅ ∫∫
rr
pi
µ
2
0
1
IC −=
Quadro 125
Exemplo 7 (cont.)
Assim:
( )
( )
piρ
ρ
ρpi
µρ
φ 2
e
ln
2
0
IH
bIAz
=






=
A expressão de Hφ coincide com o que foi calculado 
anteriormente. Como ficaria A no interior do condutor interno e 
no interior do condutor externo?