Aulas 19 a 21 - Força em Materiais Magnéticos e Indutância

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EE 521EE 521
Introdução à Teoria EletromagnéticaIntrodução à Teoria Eletromagnética
Força em Materiais 
Magnéticos e
Indutância
Quadro 2
Força em Materiais Magnéticos e Indutância Força em Materiais Magnéticos e Indutância 
� Força sobre carga em movimento e Força de Lorentz.
� Força em elemento diferencial de corrente.
� Efeito Hall.
� Força entre elementos diferenciais de corrente.
� Força e torque em circuito fechado.
� Características magnéticas dos materiais, magnetização 
e permeabilidade.
� Condições de contorno magnéticos.
� Circuitos magnéticos.
� Energia potencial e força em materiais magnéticos.
� Indutância em termos de energia magnética, 
indutâncias própria e mútua.
Quadro 3
Introdução
� O significado físico das grandezas H, B, Φ, Vm e A, associadas ao 
campo magnético e introduzidas anteriormente, não foi muito 
explorado. 
� Cada uma dessas grandezas foi meramente definida em termos da 
distribuição das fontes de corrente em todo o espaço. 
� Se a distribuição de correntes é conhecida, H, B e A podem ser 
determinados em cada ponto do espaço, mesmo que não se consiga 
calcular analiticamente as integrais que os definem, face à 
complexidade matemática.
� A partir de agora, pode-se passar à segunda parte do problema do 
campo magnético, que é a determinação das forças e torques 
exercidos pelo campo magnético sobre outras cargas.
� O campo elétrico exerce uma força sobre uma carga que pode estar
em repouso ou em movimento, porém o campo magnético só é 
capaz de exercer uma força sobre uma carga se ela estiver em 
movimento. 
Quadro 4
Introdução II
� Este resultado parece razoável; um campo magnético pode ser 
produzido por cargas em movimento e pode exercer forças em 
cargas em movimento; um campo magnético não pode ser 
produzido por uma carga estacionária nem pode exercer força sobre 
uma carga estacionária.
� Inicialmente, serão consideradas as forças e torques sobre 
condutores percorridos por correntes, condutores esses que podem
ser ou de natureza filamentar ou ter uma seção reta finita, com 
distribuição da densidade de corrente conhecida. 
� Os problemas associados ao movimento de partículas no vácuo são 
amplamente evitados.
� Com um conhecimento dos efeitos fundamentais produzidos pelo 
campo magnético, pode-se, então, a considerar os vários tipos de 
materiais magnéticos, a análise dos circuitos magnéticos simples, as 
forças sobre materiais magnéticos e, finalmente, a indutância, sendo 
esta um importante conceito do circuito elétrico.
Quadro 5
Em eletrostática ...
� Em um campo elétrico, a definição de intensidade de campo 
elétrico permite escrever que a força sobre uma partícula 
carregada é:
� A força tem a mesma direção que a intensidade do campo 
elétrico (tem também o mesmo sentido se a carga é positiva) e 
é diretamente proporcional a ambos, E e Q. 
� Se a carga está em movimento, a força em um ponto qualquer 
de sua trajetória é dada pela equação acima.
� Como era de se esperar, pode-se verificar, experimentalmente, 
que uma partícula, movimentando-se em um campo 
magnético, sofre a ação de uma força.
EQF
rr
=
Quadro 6
Em magnetostática ...
� De fato, experimentalmente, observa-se que uma partícula movimentando-
se em um campo magnético cuja densidade de fluxo é B, sofre a ação de 
uma força cuja intensidade é proporcional à carga Q, à sua velocidade v, à 
densidade de fluxo B, e ao seno do ângulo entre os vetores v e B. 
� A direção da força é perpendicular a ambos, v e B, de modo que esta força 
pode ser expressa como:
� Agora, fica evidente uma diferença fundamental entre os efeitos dos 
campos elétrico e magnético, uma vez que uma força sempre aplicada 
perpendicularmente à trajetória da partícula não pode alterar a intensidade 
da velocidade da mesma → o vetor aceleração é sempre normal ao vetor 
velocidade.
� Então, a energia cinética da partícula não se altera, e o campo magnético 
estacionário é, portanto, incapaz de transferir energia para a carga em 
movimento. 
� Por outro lado, o campo elétrico exerce uma força sobre a partícula 
independentemente da direção na qual a partícula se desloque e, em geral, 
ocorre uma transferência de energia entre o campo e a partícula.
BvQF
rrr
×=
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Quadro 7
Força de Lorentz
� A força sobre uma partícula em movimento, devida aos 
campos elétrico e magnético combinados, é facilmente obtida 
através de superposição:
� Esta equação é conhecida como equação da força de Lorentz e 
sua solução é necessária para a determinação das órbitas dos 
elétrons em um magnétron, das órbitas dos prótons em um 
cíclotron, das características do plasma em um gerador 
magnetohidrodinâmico (MHD), ou, em geral, no movimento de 
uma partícula carregada sob a ação combinada dos campos 
elétrico e magnético.
( )BvEQF rrrr ×+=
Quadro 8
Força em elemento de corrente
� A força sobre uma partícula carregada que se desloca através de um campo 
magnético estacionário pode ser escrita como uma força diferencial 
exercida sobre um elemento diferencial de carga: 
� Fisicamente, um elemento diferencial de carga consiste de um grande 
número de cargas discretas ocupando um volume que, embora pequeno, é
muito maior que a separação média entre as cargas. 
� A força diferencial expressa pela equação acima é, então, meramente a 
soma das forças sobre as cargas individuais. 
� Está soma, ou força resultante, não é uma força aplicada a um único 
objeto. 
� Analogamente, pode-se considerar a força gravitacional diferencial exercida 
em um pequeno volume de um jato de areia. 
� O pequeno volume contém um grande número de grãos de areia, e a força 
diferencial é a soma das forças sobre os grãos individuais situados no 
pequeno volume.
BvdQFd
rrr
×=
Quadro 9
Cargas em um condutor
� Entretanto se as cargas são elétrons que se movimentam em 
um condutor, pode-se mostrar que a força é transferida ao 
condutor e que esta soma de um número extremamente 
grande de pequenas forças tem importância prática. 
� Dentro do condutor, os elétrons movem-se através de uma 
região de íons positivos fixos, que formam uma rede cristalina 
dando ao condutor suas propriedades de sólido. 
� Um campo magnético que exerça forças nos elétrons tende a 
deslocá-los levemente, causando pequeno deslocamento entre 
os "centros de gravidade" das cargas positivas e negativas. 
� As forças coulombianas entre os elétrons e os íons positivos, 
contudo, tendem a se opor a tal deslocamento. 
Quadro 10
Efeito Hall
� Assim sendo, qualquer tentativa de deslocar os elétrons resulta 
em uma força atrativa entre elétrons e íons da rede cristalina. 
� A força magnética é então transferida para esta rede cristalina 
ou para o condutor em si. 
� As forças coulombianas são muito mais intensas que as forças 
magnéticas nos bons condutores, de modo que o real 
deslocamento dos elétrons é quase incomensurável.
� Entretanto, tais deslocamentos podem ser notados devido ao 
aparecimento de uma pequena diferença de potencial através 
da amostra do condutor em uma direção perpendicular a 
ambos, campo magnético e velocidade das cargas. 
� A diferença de potencial em questão é conhecida como d.d.p 
Hall e o seu efeito é o chamado Efeito Hall.
Quadro 11
Diferença de potencial do efeito Hall
� As figuras ao lado ilustram o sentido 
das d.d.p’s do efeito Hall para cargas 
positivas e negativas em movimento.
� Note que correntes iguais de lacunas 
e elétrons podem ser diferenciadas 
por suas d.d.p’s devidas ao efeito 
Hall. 
� Este é um método que permite 
determinar se um semicondutor é do 
tipo n ou do tipo p.
� Alguns dispositivos empregam o 
efeito Hall para medir a densidade 
de fluxo magnético. 
Quadro 12
Em função da densidade de corrente
�Voltando-se ao elemento diferencial de força, pode-se dizer que, ao se 
considerar um elemento de carga em um feixe eletrônico, a força é a soma 
das forças individuais em cada partícula no pequeno elemento de volume 
→ porém, se o que se considera é um elemento de carga se movendo no 
interior de um condutor, a força total é aplicada ao próprio condutor → a 
partir de agora, as atenções serão focadas em forças sobre condutores 
percorridos por correntes. 
� A densidade de corrente foi definida anteriormente em relação à velocidade 
da densidade volumétrica de carga:
� O elemento diferencial de carga da equação do elemento diferencial de 
força pode ser expresso em termos de densidade volumétrica de carga:
� Assim: 
vJ v
rr ρ=
dvBJFdBvdvFd v
rrrrrr
×=→×= ρ
dvdQ vρ=
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Quadro 13
Outras distribuições de corrente
� Se outras distribuições de corrente são consideradas:
� Assim, a força de Lorentz pode ser também aplicada a uma densidade 
superficial de corrente ou a um filamento diferencial de corrente de modo 
que, respectivamente:
� Integrando as equações em, respectivamente, um volume, uma superfície, 
que pode ser fechada ou aberta (por quê?), ou um caminho fechado, 
obtêm-se: 
LIddSKdvJ
rrr
==
BLdIFddSBKFd
rrrrrr
×=×=
∫∫
∫
∫
×−=×=
×=
×=
LdBIBLdIF
dSBKF
dvBJF
S
vol
rrrrr
rrr
rrr
.
Quadro 14
Resultado simples
� Um resultado simples é obtido para um condutor retilíneo em 
um campo magnético uniforme:
� A magnitude da força é dada por:
� O ângulo entre os vetores que representam a direção do fluxo 
de corrente e a direção da densidade de fluxo magnético é θ. 
� As equações acima aplicam-se somente a uma porção de 
circuito fechado, e o circuito restante deve ser considerado em 
qualquer problema prático. 
BLIF
rrr
×=
( )θsinILBF =
Quadro 15
Exemplo 1
Um condutor filamentar infinito situado no eixo z, conduz uma 
corrente de 2 A no sentido +az. Ache o módulo da força sobre 
2,54 cm de comprimento do condutor no campo: (a) B = 0,1ax
– 0,2az; (b) B = 0,3ax – 0,4ay.
( )
mN08,5
ˆ1,01054,22
ˆ2,0ˆ1,0ˆ
2
=∴
×××=
−×=
×=
−
F
aF
aaaILF
BLIF
y
zxz
r
r
rrr
(a) Neste caso, devem-se verificar as componentes vetoriais da 
força. Como B = 0,1ax – 0,2az e IL = ILaz, F terá apenas 
componente ay. Assim:
Quadro 16
Exemplo 1 (cont.)
( )
( )
mN4,25
4,03,01008,5
ˆ4,0ˆ3,01054,22
ˆ4,0ˆ3,0ˆ
222
2
=∴
+×=
+×××=
−×=
×=
−
−
F
F
aaF
aaaILF
BLIF
xy
yxz
r
r
r
rrr
(b) Neste caso, devem-se verificar as componentes vetoriais da 
força. Como B = 0,3ax – 0,4ay e IL = ILaz, F terá mais de 
uma componente. Assim:
Quadro 17
Força entre elementos de corrente
� O conceito de campo magnético foi introduzido de modo a dividir em duas 
partes o problema da determinação da interação entre duas distribuições 
de corrente. 
� É possível expressar a força em um elemento de corrente diretamente em 
termos de um segundo elemento sem se determinar o campo magnético. 
� Como se tem chamado a atenção para o fato de que o conceito de campo 
magnético simplifica o trabalho, então, torna-se necessário mostrar que 
evitar este passo intermediário leva a expressões mais complicadas.
� O campo magnético em um ponto 2, devido a um elemento de corrente em 
um ponto 1, foi determinado como sendo:
� Agora, a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é dada 
por: 
2
12
1211
2 4
ˆ
R
aLdIHd R
pi
×
=
r
r
BLdIFd
rrr
×=
Quadro 18
Força entre elementos de corrente 2
� Aplicando-se este resultado ao problema em discussão, 
substitui-se B por dB2, uma vez que se passa a considerar a 
densidade de fluxo diferencial no ponto 2 causada pelo 
elemento de corrente 1, identificando IdL como I2dL2, e 
simbolizando, ainda, a quantidade diferencial da força 
diferencial no elemento 2 por d(dF2):
� Como dB2 = µ0dH2, obtém-se a força entre os dois elementos 
diferenciais de corrente: 
( ) 2222 BdLdIFdd rrr ×=
( )
( ) ( )12122
12
12
02
2
12
1211
0222
ˆ
4
4
ˆ
R
R
aLdLd
R
IIFdd
R
aLdILdIFdd
××=
×
×=
rrr
r
rr
pi
µ
pi
µ
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Quadro 19
Ilustração do problema
� Para ilustrar o uso (e o mau 
uso) destes resultados, 
considere os dois elementos 
diferenciais de corrente 
mostrados na figura, com 
I1dL1 = -3ay A.m no ponto 
P1(5, 2, 1), I2dL2 = -4az A.m 
no ponto P2(1, 8, 5) e R12 = 
-4ax + 6ay + 4az. 
� Substituindo os resultados:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) nNˆ56,8163616
ˆ4ˆ6ˆ4ˆ3ˆ4
4
104
23
7
2 y
zyxyz
a
aaaaa
Fdd =
++
++−×−×−×
=
−
pi
pir
Quadro 20
ComentáriosComentários
� Quando se discutiu a força exercida por uma carga pontual 
sobre outra carga pontual em eletrostática, viu-se que a força 
sobre a primeira carga era o simétrico da força sobre a 
segunda. 
� Este não é o caso dos elementos diferenciais de corrente, e, se 
o procedimento for repetido para se calcular o elemento 
diferencial de força no ponto 1, d(dF1) = -12,48az nN para o 
problema anterior. 
� O motivo deste comportamento diferente está na natureza 
não-física do elemento de corrente. 
� Embora cargas bem pequenas possam ser tratadas 
aproximadamente como cargas pontuais, a continuidade da 
corrente impõe que um circuito completo seja considerado e 
isto será observado mais adiante.
Quadro 21
Força entre circuitos filamentares
� A força total entre os dois circuitos filamentares é obtida 
integrando-se duas vezes d(dF2):
� A equação acima, a lei de Ampère de força entre dois circuitos 
com correntes, é complexa, mas a familiarização obtida 
anteriormente com o campo magnético permite reconhecer a 
integral interna como a integral necessária para encontrar o 
campo magnético em um ponto 2, devido ao elemento de 
corrente em um ponto 1. 
∫ ∫
∫ ∫
×




 ×
=
×
×=
22
12
11212
02
2
12
121
2
12
02
ˆ
4
ˆ
4
Ld
R
LdaIIF
R
aLdLdIIF
R
R
r
r
r
r
rr
pi
µ
pi
µ
Quadro 22
Condutores Condutores filamentaresfilamentares paraelosparaelos
� Embora somente seja fornecido o 
resultado, não é muito difícil fazer uso da 
expressão anterior para encontrar a força 
de repulsão entre dois condutores 
filamentares retilíneos e paralelos, 
infinitamente longos, separados por uma 
distância d, onde fluem correntes iguais e 
opostas I, conforme mostrado na figura ao 
lado.
� As integrações são simples, e a maior 
parte dos erros são cometidos na 
determinação de expressões convenientes 
para aR12, dL1 e dL2. 
� Contudo, como o campo magnético em 
qualquer dos fios causado pelo outro já é 
conhecido como sendo I/(2pid), é fácil 
verificar que a resposta é uma força de 
µ0I2/(2pid) newtons por metro de 
comprimento.
Quadro 23
Campo uniforme
� Já foram obtidas expressões gerais para forças exercidas em 
sistemas de correntes. 
� Um caso especial é facilmente mostrado se a expressão para a 
força em circuitos filamentares fechados é utilizada 
considerando-se uma densidade de fluxo uniforme, de forma 
que:
� Contudo, descobriu-se durante o estudo sobre as integrais de 
linha de potencial eletrostático que a integral de dL num 
caminho fechado é nula, e, portanto, que a força em um 
circuito filamentar fechado imerso em um campo magnético 
uniforme é zero. 
� Se o campo não é uniforme, a força líquida não é zero.
∫∫∫ ×−=×−=×= LdBILdBIBLdIF
rrrrrrr
Quadro 24
Torque
� Este resultado para campos uniformes não deve ser restrito 
somente a circuitos filamentares. 
� O circuito pode conter correntes superficiais bem como 
densidade volumétrica de carga. 
� Se a corrente é dividida em filamentos,a força de cada um é
zero, como mostrado acima, e a força total é ainda zero. 
� Portanto, qualquer circuito fechado em que fluam correntes 
constantes experimenta um vetor força total igual a zero em 
um campo magnético uniforme.
� Embora a força seja zero, o torque, em geral, não é igual a 
zero.
� Na definição do torque ou momento de uma força, é
necessário definir uma origem na qual ou em relação à qual o 
torque é aplicado, bem como o ponto de aplicação da força.
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Quadro 25
Definição do torque
� Na figura, uma força F é aplicada no ponto 
P e estabelece-se uma origem em O com 
um braço de alavanca R, estendendo-se de 
O a P. 
� O torque em relação ao ponto O é um vetor 
cujo módulo é o produto do módulo de F, 
de R e do seno do ângulo entre estes dois 
vetores. 
� A direção do vetor torque T é normal ao 
plano definido por R e F e o seu sentido é
orientado no sentido de avanço de um 
parafuso de rosca direita, quando se gira o 
braço de alavanca até a direção da força F 
pelo menor ângulo. 
� O torque é expresso sob a forma de um 
produto vetorial:
FRT
rrr
×=
Quadro 26
Ilustração
� Tendo a figura como referência, suponha 
que as forças F1 e F2 com braços de 
alavanca R1 e R2 sejam aplicadas a um 
objeto de forma fixa e que este objeto não 
sofra translação (F1 + F2 = 0), então: 
� O vetor R21 liga o ponto de aplicação de F2
ao ponto de aplicação de F1 e é
independente da origem dos dois vetores 
R1 e R2.
� Portanto, pode-se livremente escolher 
qualquer origem comum para os braços R1
e R2 desde que a força total seja zero. 
� Isto pode ser aplicado a qualquer número 
de forças.
( ) 112121
2211
FRFRRT
FRFRT
rrrrrr
rrrrr
×=×−=
×+×=
Quadro 27
ComentáriosComentários
� Para ilustrar ainda mais o conceito do torque, considere a 
aplicação de uma força vertical para cima na extremidade de 
uma manivela horizontal de um automóvel antigo. 
� Esta não pode ser a única força aplicada pois, se fosse, o 
corpo inteiro seria acelerado naquela direção. 
� Uma segunda força, igual em módulo a esta, é exercida em 
direção oposta, para baixo, na outra extremidade da barra pelo 
batente do eixo de rotação. 
� Por exemplo, para uma força de 40 N em uma manivela de 0,3 
m de comprimento, o torque é 12 N.m. 
� Este resultado é obtido sem levar em conta que a posição do 
eixo de rotação seja considerada em relação à origem (levando 
a 12 N.m mais 0 N.m), ou ao ponto médio da alavanca 
(levando a 6 N.m mais 6 N.m), ou ainda a um ponto qualquer 
da alavanca ou mesmo na sua extensão, fora da alavanca.
Quadro 28
Torque em espiraTorque em espira
� Pode-se, assim, escolher a origem mais 
conveniente, e esta é usualmente no eixo 
de rotação e no plano que contém as 
forças aplicadas, se as várias forças são 
co-planares.
� Com esta introdução ao conceito de 
torque, considere agora o torque em uma 
espira infinitesimal de corrente imersa em 
um campo magnético B. 
� A espira pertence ao plano xy; os lados da 
espira são paralelos aos eixos x e y e são 
de comprimento dx e dy. 
� O valor do campo magnético do centro da 
espira é dado por B0. 
� Como a espira é de tamanho diferencial, o 
valor de B em todos os pontos da espira 
pode ser tomado como sendo B0. 
� A força total na espira é, portanto, zero, e 
se esta livre para escolher a origem dos 
braços de alavanca no centro da espira.
Quadro 29
Continuando ...
� O vetor força no lado 1 é: 
� Para este lado da espira, o braço 
médio R estende-se da origem ao 
ponto médio do lado, R1 = -
1/2dyay, e a contribuição para o 
torque total é:
( )yzzy
x
aBaBIdxFd
BaIdxFd
BLIdFd
ˆˆ
ˆ
001
01
111
−=
×=
×=
r
rr
rrr
( ) xyyzzyy adxdyIBTdaBaBIdxadyTd
FdRTd
ˆ
2
ˆˆˆ
2
1 0
1001
111
−=→−×−=
×=
rr
rrr
Quadro 30
Para os outros lados ...
� De modo similar, a contribuição para o torque no lado 3 é igual 
à contribuição dada pela expressão anterior, de maneira que: 
� Seguindo procedimento similar, o torque nos lados 3 e 4 é:
� O torque total é:
xy
x
y
adxdyIBTdTd
adxdy
IB
TdTd
ˆ
ˆ
2
013
0
13
−=+
−==
rr
rr
yx adxdyIBTdTd ˆ024 =+
rr
( )
( )0
00
ˆ
ˆˆ
BaIdxdyTd
aBaBIdxdyTd
z
xyyx
rr
r
×=
−=
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Quadro 31
Generalizando e o momento magnético
� Generalizando-se a expressão para o torque, fica-se com: 
� Na expressão acima, dS é o vetor área da espira diferencial de 
corrente e o índice de B0 foi omitido.
� Define-se, também, o produto da corrente pelo vetor área da 
espira como o momento (de “dipolo”) magnético diferencial 
dm, de modo que:
� OBS.: se as análises são estendidas para o dipolo elétrico, 
determinando-se o torque produzido por um campo elétrico, 
chega-se a um resultado semelhante:
BSIdTd
rrr
×=
BmdTdSIdmd
rrrrr
×=→=
EpdTd
rrr
×=
Quadro 32
Comentários
� As equações para dT são resultados gerais que valem para 
espiras diferenciais de qualquer forma e não somente para 
formas retangulares → o torque em uma espira circular ou 
triangular é também dado em termos de um vetor superfície 
ou momento pelas mesma expressões.
� Se uma espira diferencial de corrente é selecionada de modo 
que se possa admitir B constante através dela, segue que o 
torque em uma espira plana de qualquer tamanho em um 
campo magnético uniforme é dado pela mesma expressão:
� Deve-se notar que o torque em uma espira de corrente está na 
direção que tende a alinhar o campo magnético produzido pela 
espira com o campo magnético que está causando o torque. 
� Esta é talvez a maneira mais fácil de determinar a direção do 
torque!!!!
BmBSIT
rrrrr
×=×=
Quadro 33
Exemplo 2
A espira semicircular de corrente mostrada na figura está 
situada no plano z = 0, em presença de um campo magnético 
B = 0,8ax – 0,7ay + az T. Ache: (a) a força sobre o lado 
retilíneo; (b) o torque sobre a espira considerando-se um braço 
de alavanca cuja origem é o centro da parte retilínea da espira.
Quadro 34
Exemplo 2 (cont.)
( )
( )
( ) Nˆ2,3ˆ4
ˆ8,0ˆ10850
ˆˆ7,0ˆ8,0ˆ
2
zx
zx
zyxy
aaF
aaF
aaaaILF
BLIF
−=∴
−×××=
+−×=
×=
−
r
r
r
rrr
(a) Neste caso, devem-se verificar as componentes vetoriais da 
força e a análise é feita para um condutor retilíneo em campo 
uniforme. Como B = 0,8ax – 0,7ay + az T e L = Lay, F terá 
componentes em ax e az. Assim:
Quadro 35
Exemplo 2 (cont.)
( ) ( )
( ) ( )
( ) N.mˆ1005,0ˆ0880,0
ˆ8,0ˆ
2
10450
ˆˆ7,0ˆ8,0ˆ
2
yx
zx
zyxz
aaT
aaT
aaaaIST
BSIT
−−=∴
−×
×
×=
+−×−=
×=
−
r
r
r
rrr
pi
(b) Para se calcular o torque sobre a espira, considerando-se 
um braço de alavanca cuja origem é o centro da parte retilínea 
da espira, devem-se verificar as componentes vetoriais do 
torque sob a condição de espira plana imersa em campo 
uniforme. Como B = 0,8ax – 0,7ay + az T e S = -Saz, T terá 
componentes em ax e ay. Assim:
Quadro 36
Materiais magnéticosMateriais magnéticos
� Agora, após o conhecimento adquirido da ação do campo magnético 
em uma espira de corrente, utilizar-se-á a espira como um modelo 
simples de um átomo e fazer uma apreciação da diferença do 
comportamento dos vários materiais na presença de campos 
magnéticos → um pequeno circuito fechado (loop) que carrega uma 
corrente pode ser considerado um “dipolo” magnético, em analogia a 
eletrostática.
� Embora resultados quantitativos rigorosos possam somente ser 
preditos com o uso da teoria quântica, o modelo atômico simples 
que considera a existência de um núcleo central positivo envolvido 
por elétrons em várias órbitas circulares fornece resultados 
quantitativos razoáveis e provê uma teoria qualitativasatisfatória.
� Um elétron em órbita é análogo a uma pequena espira de corrente 
(na qual a corrente tem direção oposta à do deslocamento do 
elétron) e, como tal, experimenta um torque quando sujeito a um 
campo magnético externo; este torque tende a alinhar o campo 
magnético produzido pelo elétron em órbita com o campo magnético
externo. 
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Quadro 37
Contribuições da nuvem eletrônicaContribuições da nuvem eletrônica
� Se não houvesse outros momentos magnéticos a considerar, poderia 
se concluir que todos os elétrons no material se deslocariam de 
modo que seus campos magnéticos se somassem ao campo aplicado 
e, assim, o campo magnético resultante em qualquer ponto dentro 
do material seria maior que aquele que haveria neste ponto se o 
material não estivesse presente.
� Um segundo momento, contudo, é atribuído ao spin do elétron →
embora seja tentador aplicar o modelo a este fenômeno, 
considerando-se a rotação do elétron em torno do seu próprio eixo 
como gerando um momento magnético, não se obtêm resultados 
quantitativos satisfatórios. 
� Em vez disso, é necessário assimilar a matemática da teoria quântica 
relativista para mostrar que um elétron pode ter um momento 
magnético de spin de ± 9 x 10-24 A.m2, ou seja, o alinhamento com 
o campo externo pode ser aditivo ou subtrativo. 
� Em um átomo com muitos elétrons presentes, somente os spins dos 
elétrons das camadas incompletas contribuirão para o momento 
magnético do átomo.
Quadro 38
Contribuição nuclear e tipos de materiaisContribuição nuclear e tipos de materiais
� Uma terceira contribuição para o momento de um átomo é 
causada pelo spin nuclear, mas este fator provê uma 
contribuição desprezível para as propriedades magnéticas 
globais dos materiais e não será considerado.
� Assim, cada átomo contém muitas componentes diferentes 
para o momento magnético e a sua combinação determina as 
características magnéticas do material e provê sua classificação
magnética geral → serão descritos brevemente seis tipos 
diferentes de material: 
– o diamagnético, 
– o paramagnético, 
– o ferromagnético, 
– o antiferromagnético, 
– o ferrimagnético, 
– o superparamagnético.
Quadro 39
DiamagnéticoDiamagnético
� Considere, primeiro, os átomos em que pequenos campos 
magnéticos produzidos pela movimentação dos elétrons em 
suas órbitas e pelos spins se combinam para produzir um 
campo líquido zero. 
� Observe que estão sendo considerados aqui os campos 
produzidos pelo movimento do elétron em si na ausência de 
qualquer campo magnético externo, ou seja, pode-se 
descrever este material como aquele em que o momento 
magnético permanente m0 de cada átomo é zero. 
� Este material é chamado diamagnético. 
� Portanto, um campo magnético externo não produziria torque 
no átomo, alinhamento dos campos dos dipolos e, 
conseqüentemente, o campo magnético interno seria o mesmo 
campo aplicado, com uma precisão de um por cem mil.
Quadro 40
Diamagnético 2Diamagnético 2
� Considere um elétron orbital cujo 
momento magnético tem mesma 
direção e mesmo sentido que o campo 
aplicado B0, como mostrado na figura. 
� O campo magnético produz uma força 
no sentido centrífugo (para fora) sobre 
o elétron orbital. 
� Uma vez que o raio orbital é 
quantizado, a força coulombiana de 
atração permanece invariável e o 
elétron precisa ter uma velocidade um 
pouco menor para compensar o não 
balanceamento de forças. 
� Uma velocidade menor significa menor momento de dipolo. 
� Inicialmente, este momento orbital é cancelado pelo momento de spin e 
por isso o momento de spin agora predomina. 
� Como este momento se opõe ao campo aplicado, o resultado líquido é uma 
pequena redução no campo interno em relação ao campo externo.
Quadro 41
Diamagnético 3Diamagnético 3
� O bismuto metálico mostra efeito diamagnético maior 
que a maioria dos outros materiais diamagnéticos, 
entre os quais está o hidrogênio, o hélio, os outros 
gases "inertes", o cloreto de sódio, o cobre, o ouro, o 
silício, o germânio, o grafita e o enxofre. 
� Uma bússola sensível com uma agulha de bismuto 
seria ideal para as pessoas que viajam para o oeste 
(ou para o leste), pois ela sempre se alinha por si 
mesma em ângulos retos com o campo magnético.
� Deve-se enfatizar que o efeito diamagnético está 
presente em todos os materiais, pois ele advém da 
interação entre o campo magnético externo e cada 
elétron orbital; contudo, ele é encoberto pelos outros 
efeitos dos materiais que serão considerados a seguir.
Quadro 42
ParamagnéticoParamagnético
� Considere, agora, um átomo no qual os efeitos do 
spin e do movimento orbital não se anulam. 
� O átomo, como um todo, tem o momento magnético, 
mas a orientação aleatória dos átomos em uma 
amostra grande produz um momento magnético 
médio zero. 
� O material não apresenta efeitos magnéticos na 
ausência de um campo externo porém, quando um 
campo externo é aplicado, há um pequeno torque em 
cada momento atômico e estes momentos tendem a 
se tornar alinhados com o campo externo. 
� Este alinhamento age de modo a aumentar o valor de 
B dentro do material em relação ao valor fora do 
material.
© Aldário Bordonalli 8
Quadro 43
Paramagnético 2Paramagnético 2
� Contudo, o efeito diamagnético está ainda presente 
nos elétrons orbitais e pode contrariar este 
crescimento. 
� Se o resultado livre é um decréscimo em B, o material 
é ainda chamado diamagnético; se há um 
crescimento em B, o material é chamado 
paramagnético. 
� O potássio, o oxigênio, o tungstênio e as terras-raras 
e muitos dos seus sais, como o cloreto de érbio, o 
óxido de neodímio e o óxido de ítrio são exemplos de 
substâncias paramagnéticas.
Quadro 44
FerromagnéticosFerromagnéticos
� As quatro classes de materiais restantes, ferromagnético, 
antiferromagnético, ferrimagnético e superparamagnético, têm 
todos fortes momentos atômicos. 
� Além disso, a interação dos átomos adjacentes causa um 
alinhamento dos momentos magnéticos dos átomos aditiva ou 
subtrativamente.
� Nos materiais ferromagnéticos, cada átomo tem um momento 
de dipolo relativamente grande causado principalmente por um 
momento eletrônico de spin não compensado. 
� Forças interatômicas obrigam estes momentos a se alinharem 
de modo paralelo em regiões que contêm um grande número 
de átomos.
� Estas regiões são chamadas domínios e podem ter muitas 
variedades de formas e tamanhos, desde um micron até vários 
centímetros, dependendo do tamanho, forma, material e 
história magnética da amostra.
Quadro 45
Ferromagnéticos 2Ferromagnéticos 2
� Materiais ferromagnéticos virgens terão domínios com fortes 
momentos magnéticos sendo que esses momentos variam em 
direção de domínio para domínio. 
� O efeito global é, portanto, o de cancelamento e o material 
como um todo não tem momento magnético. 
� Sob a aplicação de campos magnéticos externos, estes 
domínios que têm momentos na direção do campo aplicado 
crescem em tamanho às custas dos seus vizinhos, e o campo 
magnético interno cresce consideravelmente em relação ao 
campo externo. 
� Quando o campo externo é removido, um alinhamento de 
domínio completamente aleatório não é usualmente atingido e 
um campo de dipolo residual ou remanescente permanece na 
estrutura macroscópica. 
Quadro 46
Ferromagnéticos 3Ferromagnéticos 3
� O fato de o momento magnético do material ser diferente depois do campo 
haver sido removido, ou o fato de o estado magnético do material ser 
função de sua história magnética, é chamado de histerese, assunto que 
será discutido outra vez, quando forem estudados os circuitos magnéticos.
� Os materiais ferromagnéticos não são isotrópicos em cristais únicos e a 
discussão aqui será limitada a materiais policristalinos, exceto para 
mencionar que uma das característicasdo material magnético anisotrópico 
é a magnetostrição, ou mudança das dimensões do cristal quando um 
campo magnético é aplicado. 
� Os únicos elementos ferromagnéticos na temperatura ambiente são o ferro, 
o níquel e o cobalto.
� Algumas ligas destes metais entre si e com outros metais são também 
ferromagnéticas como, por exemplo, o almico, uma liga alumínio-níquel 
cobalto com uma pequena quantidade de cobre. 
� Em temperaturas mais baixas, algumas terras-raras como o gadolíneo e o 
disprósio são ferromagnéticas. 
� É também interessante que algumas ligas de metais não-ferromagnéticos 
sejam ferromagnéticas, como a liga bismuto-magnésio e a liga cobre-
magnésio-estanho.
Quadro 47
AntiferromagnéticosAntiferromagnéticos
� Em materiais antiferromagnéticos as forças entre 
átomos adjacentes obrigam os momentos atômicos a 
se alinharem de modo antiparalelo. 
� O momento magnético líquido é zero, e os materiais 
antiferromagnéticos são afetados somente um pouco 
pela presença de campo magnético externo. 
� Este efeito, descoberto inicialmente no óxido de 
magnésio, não tem importância para a Engenharia no 
presente.
Quadro 48
FerrimagnéticosFerrimagnéticos
� As substâncias ferrimagnéticas também mostram um alinhamento 
antiparalelo dos momentos atômicos adjacentes, mas os momentos 
não são iguais. 
� Ocorre, então, uma grande resposta a campos magnéticos externos,
embora não tão grande como a dos materiais ferromagnéticos. 
� O grupo mais importante dos materiais ferrimagnéticos são as 
ferrites (alguns chamam de ferrita), nas quais a condutividade é 
baixa, várias ordens de magnitude menor que a dos semicondutores. 
� O fato de que essas substâncias tenham maior resistência elétrica 
que os materiais ferromagnéticos conduz a correntes induzidas 
muito menores no material quando campos alternados são 
aplicados, como, por exemplo, nos núcleos dos transformadores que 
operam em altas freqüências. 
� Estas correntes reduzidas levam a menores perdas ôhmicas no 
núcleo do transformador. 
� A magnetita, óxido de ferro, (Fe304), a ferrite níquel-zinco (Ni1/2 Zn1/2
Fe204), e a ferrite de níquel (NiFe204) são exemplos deste material.
© Aldário Bordonalli 9
Quadro 49
SuperparamagnéticosSuperparamagnéticos
� Os materiais superparamagnéticos são compostos por 
uma montagem de partículas ferromagnéticas em 
uma matriz não-ferromagnética. 
� Embora existam domínios dentro das partículas 
individuais, os limites dos domínios não podem 
penetrar no material da matriz até a partícula 
adjacente. 
� Um exemplo importante é a fita magnética usada nos 
gravadores de fita ou nos gravadores de vídeo.
Quadro 50
Resumindo ...Resumindo ...
Quadro 51
Dipolo magnético como fonte de campo
� A fim de passar um caráter mais completo à descrição 
de materiais magnéticos, será mostrado como os 
dipolos magnéticos agem como fontes de campo 
magnético → o resultado final será uma equação que 
parece muito com a lei circuital de Ampère. 
� Entretanto, a corrente será um movimento das cargas 
orbitais do átomo (elétrons orbitais, spin dos elétrons 
e spin nuclear), e o campo que tem dimensões de H
será chamado de magnetização M. 
� A corrente produzida pelo movimento destas cargas é
chamada de corrente de magnetização, corrente 
orbital ou de Ampère. 
Quadro 52
Magnetização
� A definição de magnetização M é feita em termos do momento 
de dipolo magnético m → lembrando que a corrente Im, que 
circula em um percurso que limita uma área diferencial dS, 
define o momento de dipolo magnético, se existem n dipolos 
magnéticos idênticos por unidade de volume ∆v, então o 
momento magnético de dipolo total é dado pelo somatório:
� Na equação anterior, cada mi pode ser diferente e a 
magnetização M é definida como o momento magnético de 
dipolo por unidade de volume: 
∑
∆
=
=→=
vn
i
itotalimi mmSdIm i
1
rrrr
∑
∆
=
→∆ ∆
=
vn
i
im
v
M
10
1lim r
r
ν
Quadro 53
Efeito de alinhamento
� Considere, agora, o efeito do alinhamento de dipolos 
magnéticos resultante da aplicação de um campo externo. 
� Estudar-se-á este alinhamento ao longo de um percurso 
fechado, do qual uma pequena porção é mostrada na figura. 
� A figura mostra vários momentos magnéticos m que fazem um 
ângulo θ com o elemento de comprimento dL; cada momento 
é constituído de uma corrente Im circulando em torno de uma 
área dS.
Quadro 54
Crescimento da corrente Crescimento da corrente IImm
� Portanto, está-se considerando um pequeno volume, dS cos(θ) 
dL, ou seja dS . dL, dentro do qual existem n dS . dL dipolos 
magnéticos. 
� Ao variar da sua orientação aleatória para este alinhamento 
parcial, à corrente orbital que atravessa a superfície limitada 
pelo percurso (para a esquerda quando se caminha na direção 
aL) cresce Im para cada um dos n dS . dL dipolos. 
� Assim:
LdMLdSdnIdI mm
rrrr
⋅=⋅=
© Aldário Bordonalli 10
Quadro 55
Semelhança com a lei de Ampére
� Dentro de um contorno fechado:
� A equação acima diz somente que, ao se caminhar ao longo de 
um percurso fechado e encontrar momentos de dipolo 
apontando mais freqüentemente numa direção que na 
contrária, haverá uma corrente correspondente composta, por 
exemplo, de elétrons orbitais que atravessam a superfície. 
� Esta última expressão tem alguma semelhança com a lei 
circuital de Ampère, e pode-se, agora, generalizar a relação 
entre B e H de modo a aplicá-la a qualquer meio além do 
vácuo (espaço livre).
∫ ⋅= LdMIm
rr
Quadro 56
Novamente, a lei circuital de Ampére
� O estudo aqui apresentado está baseado nas forças e torques 
que agem sobre espiras diferenciais de corrente localizadas em 
um campo B, sendo este campo considerado como a grandeza 
fundamental e, a partir daí, procura-se uma definição 
melhorada para H. 
� Assim sendo, a lei circuital de Ampère será escrita em termos 
da corrente total, corrente livre mais corrente de 
magnetização:
� Acima, I é a corrente livre total envolvida pelo caminho 
fechado e notar que esta corrente aparece sem índice, uma 
vez que ela é o tipo mais importante de corrente e a única a 
figurar nas Equações de Maxwell.
III
ILdB
mT
T
+=
=⋅∫
r
r
0µ
Quadro 57
Combinando resultados ...
� Combinando estas três últimas equações, obtêm-se uma 
expressão para a corrente livre envolvida:
� Redefinindo H em termos de B e M:
� Observar que B = µ0H no vácuo, onde a magnetização é zero.
∫ ⋅






−=−= LdMBIII mT
rr
r
0µ
MBH
LdMBIII mT
r
r
r
rr
r
−=
⋅







−=−= ∫
0
0
µ
µ
Quadro 58
Densidades de corrente
� Rescrevendo a última expressão de um modo que evita frações 
e sinais de menos:
� Utilizando a nova definição de H dada acima, juntamente com 
a lei circuital de Ampére, outras densidades de corrente podem 
ser definidas:
( )
∫
∫
∫
∫
⋅=
⋅=
⋅=
+=⋅=
S
S TT
S mm
SdJI
SdJI
SdJI
MHBLdHI
rr
rr
rr
rrrrr
0e µ
( )MHB rrr += 0µ
Quadro 59
Aplicando o teorema de Stokes
� Com a ajuda do Teorema de Stokes, podem-se 
transformar algumas das equações já definidas por 
relações rotacionais equivalentes:
( )
( ) JHSdHLdHI
JBSdBLdBI
JMSdMLdMI
S
TST
mSm
rrrrrr
r
r
r
r
r
r
rrrrrr
=×∇→⋅×∇=⋅=
=×∇→⋅






×∇=⋅=
=×∇→⋅×∇=⋅=
∫∫
∫∫
∫∫
000 µµµ
Quadro 60
Permeabilidade
� A relação entre B, H e M pode ser simplificada para um meio 
linear e isotrópico, onde a suscetibilidade χm pode ser definida:
� Acima, definem-se também a permeabilidade µ e a 
permeabilidade relativa µr:
HM m
rr
χ=
( ) ( ) ( )
HB
HHHMHB
r
mm
rr
rrrrrr
µµ
χµχµµ
0
000 1
=
+=+=+=
HB
rr
µ=
mrr χµµµµ +==10
© Aldário Bordonalli 11
Quadro 61
Para alguns materiais …Para alguns materiais …
� De acordo com tipo de material magnético, a 
susceptibilidade e, portanto, a permeabilidade 
relativa terão valores característicos:
– Diamagnético: µr menor, porém, aproximadamente 
igual 1 (χm é um número muito pequeno e 
negativo);
– Paramagnético: µr maior, porém, aproximadamente 
igual 1 (χm é um número muito pequeno e 
positivo);
– Ferromagnético: µr é muito maior que 1 (χm é um 
número grande e positivo);
Quadro 62
ComentáriosComentários
� As definições de suscetibilidade e permeabilidade apresentadas são também 
dependentes da consideração de linearidade. 
� Infelizmente, isto é verdade somente para materiais de pouco interesse, 
como os paramagnéticos e diamagnéticos, para os quais a permeabilidade 
relativa raramente difere da unidade por mais que 1 milésimo.
� Alguns valores típicos de suscetibilidade para materiais diamagnéticos são: 
hidrogênio, -2 x 10-5; cobre, -0,9 x 10-5; germânio, -0,8 x 10-5; silício, -0,3 x 
10-5 e a grafita, -12 x 10-5. 
� Algumas suscetibilidades paramagnéticas representativas são: oxigênio, 2 x 
10-6; tungstênio, 6,8 x 10-5; óxido férrico (Fe203) 1,4 x 10-3; óxido de ítrio 
(Y203) 0,53 x 10-6. 
� Se a relação de B = µrµ0H for considerada para representar a 
permeabilidade relativa do material ferromagnético, valores típicos para µr
variam numa faixa de 10 até 100.000.
� Materiais superparamagnéticos têm permeabilidades relativas variando de 1 
a 10. 
� Os materiais diamagnéticos, paramagnéticos e antiferromagnéticos são 
comumente classificados como não-magnéticos.
Quadro 63
AnisotropiaAnisotropia
� Da mesma maneira que existem materiais dielétricos anisotrópicos, 
um material magnético anisotrópico deve ser descrito em função de 
um tensor permeabilidade:
� Para materiais anisotrópicos, então, µ é um tensor na relação B = 
µH; todavia B = µ 0(H + M) permanece válida, embora B, H e M
não sejam mais, em geral, paralelos. 
� O material magnético anisotrópico mais comum é um cristal 
ferromagnético, embora filmes finos de material magnético também
exibam anisotropia → contudo, a maior parte das aplicações dos 
materiais ferromagnéticos envolvem redes policristalinas que são 
muito mais fáceis de serem feitas.
zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
HHHB
HHHB
HHHB
µµµ
µµµ
µµµ
++=
++=
++=
Quadro 64
Exemplo 3
Ache o módulo da intensidade de campo magnético no interior 
de um material para o qual: (a) a densidade de fluxo 
magnético é 4 mT e a permeabilidade relativa é 1,008; (b) a 
suscetibilidade magnética é -0,006 e a magnetização é 19 A/m; 
(c) há 8,1 x 1028 átomos/m3, cada átomo possui um momento 
de dipolo de 4 x 10-30 A.m2 e χm = 10-4.
A/m3158
008,1104
104
7
3
0
0
=
××
×
==
=
−
−
H
B
H
HB
r
r
r
r
r
rr
piµµ
µµ
(a) Neste caso, deve-se utilizar a relação entre H e B, 
assumindo que a densidade de fluxo magnético é 4 mT e a 
permeabilidade relativa é 1,008.
Quadro 65
Exemplo 3 (cont.)
A/m3167
106
19
3
=
×
==
=
−
H
M
H
HM
m
m
r
r
r
rr
χ
χ
(b) Neste caso, deve-se utilizar a relação entre H e M, 
assumindo que a suscetibilidade magnética é -0,006 e a 
magnetização é 19 A/m.
Quadro 66
Exemplo 3 (cont.)
A/m3240
101
104101,8
4
3028
=
×
×××
===
=
−
−
H
mnM
H
HM
mm
m
r
r
r
r
rr
χχ
χ
(c) Neste caso, deve-se utilizar a relação entre H e M, 
assumindo que há 8,1 x 1028 átomos/m3, cada átomo possui 
um momento de dipolo de 4 x 10-30 A.m2 e χm = 10-4.
© Aldário Bordonalli 12
Quadro 67
Exemplo 4
Em um certo material magnético, H =5ρ3aφφφφ A/m e µ = 4 x 10-6
H/m. Para ρ = 2, encontre: (a) Jm; (b) JT; (c) J.
( )
( )
( ) 227
6
2
0
3
00
0
A/mˆ65,174ˆ2201
104
104
ˆ201ˆ1
ˆ511
zmzm
zmzm
aJaJ
aJa
M
MJ
aHM
HBM
HB
=×





−
×
×
=






−=
∂
∂
=×∇=






−=





−=→





−=
=
−
− rr
rrrr
rr
r
r
r
rr
pi
ρ
µ
µ
ρ
ρ
ρ
ρ
µ
µ
µ
µ
µ
µ
φ
φ
(a) Neste caso, deve-se encontrar B a partir de H e, depois, M
a partir de H e B. Na seqüência, utiliza-se a relação de 
rotacional de M para se encontrar Jm.
Quadro 68
Exemplo 4 (cont.)
( )
( )
( ) 227
6
2
000
3
A/mˆ65,254ˆ220
104
104
ˆ20ˆ11
ˆ5
zTzT
zTzT
aJaJ
aJa
B
BJ
aBHB
=××
×
×
=
=
∂
∂
=





×∇=
=→=
−
− rr
r
r
rrr
rrr
pi
ρ
µ
µ
ρ
ρ
ρµµ
ρµµ
φ
φ
(b) Neste caso, deve-se encontrar B a partir de H e, depois, 
utilizar a relação de rotacional de B para se encontrar JT.
(c) Agora, basta utilizarem-se os resultados anteriores e: 
2A/mˆ80 z
mT
aJ
JJJ
=
−=
r
rrr
Quadro 69
Condições de contornoCondições de contorno
� Não se deve ter dificuldade em 
obter as condições de fronteira 
apropriadas para B e H na 
interface entre dois materiais 
magnéticos diferentes, pois já 
se resolveram problemas 
semelhantes para materiais 
condutores e para materiais 
dielétricos. 
� Não precisam-se desenvolver 
técnicas novas.
� A figura mostra a fronteira 
entre dois materiais lineares, 
homogêneos e isotrópicos, com 
permeabilidades µ1 e µ2. 
Quadro 70
Condições de contorno normaisCondições de contorno normais
� As condições de contorno para 
componentes normais são 
determinadas permitindo que a 
superfície de contorno corte uma 
pequena superfície gaussiana cilíndrica. 
� Aplicando-se a lei de Gauss ao campo 
magnético:
� Então:
� Conseqüentemente:
0=⋅∫S SdB
rr
→=∆−∆ 021 SBSB nn 21 nn BB =
1
2
1
2 nn HH µ
µ
=
(continuidade)
(descontinuidade)
Quadro 71
Condições de contorno tangenciaisCondições de contorno tangenciais
� Para as condições de contorno 
tangenciais, pode-se aplicar a lei 
circuital de Ampère a um pequeno 
circuito fechado pertencente ao plano 
normal à superfície: 
� Então:
� Conseqüentemente:
ILdH =⋅∫
rr
LKLHLH tt ∆=∆−∆ 21 ( ) KaHHKHH Ntt rrr =×−→=− 122121 ˆ
KBB tt =−
2
2
1
1
µµ
OBS.: as condições de contorno 
para componentes tangenciais serão 
mais simples se a densidade
superficial de corrente for zero; esta 
é uma densidade de corrente de 
cargas livres e deverá ser zero se o
material não for condutor.
Quadro 72
Exemplo 5
Dois materiais lineares, isotrópicos e homogêneos têm uma 
interface em z = 0 na qual existe uma corrente superficial K = 
200ay A/m. Para z < 0, µr1 = 2 e H1 = 150ax – 400ay + 250az
A/m. Na região 2, z > 0, µr2 = 5. Encontre: (a) H2; (b) |B1|; 
(c) |B2|.
( ) znznz
zzyyxx
zyx
HHHHKaHH
aHaHaHH
aaaH
1
2
1
1
2
1
2221
2222
1
ˆ
ˆˆˆ
ˆ250ˆ400ˆ150
µ
µ
µ
µ
====×−
++=
+−=
rrr
r
r
(a) A interface entre os dois meios coincide com o plano xy. 
Desta forma, as componentes tangenciais de H1 estão nas 
direções x e y e a normal na direção z. Assim, aplicando as 
condições de contorno:
© Aldário Bordonalli 13
Quadro 73
Exemplo 5 (cont.)
Continuando e operando o produto vetorial:
A/m100250
5
2
22
1
2
1
1
2
1
22
=×==
===
zn
znzn
HH
HHHH
µ
µ
µ
µ
Para a componente normal:
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) A/m400
A/m350
0400
200150
ˆ200ˆ400ˆ150
ˆ200ˆˆ250ˆ400ˆ150
ˆ200ˆˆˆˆˆ250ˆ400ˆ150
2
2
2
2
22
222
222
−=
=
→



=−−
=−−
=−−+−−
=×−+−−+−
=×−−−+−
y
x
y
x
yxyyx
yzzzyyxx
yzzzyyxxzyx
H
H
H
H
aaHaH
aaaHaHaH
aaaHaHaHaaa
Quadro 74
Exemplo 5 (cont.)
Portanto:mT398,3
mT244,1
222
111
==
==
=
HB
HB
HB
rr
rr
rr
µ
µ
µ
(b e c) Neste caso, deve-se encontrar B a partir de H se e 
calcular o módulo posteriormente:
A/mˆ100ˆ400ˆ3502 zyx aaaH +−=
r
Quadro 75
Circuito MagnéticoCircuito Magnético
� Nesta etapa, serão discutidas técnicas fundamentais envolvidas 
na resolução de uma classe de problemas magnéticos, 
conhecidos como circuitos magnéticos. 
� Como será visto a seguir, o nome dado a este tipo de análise 
vem da grande semelhança com àquela dos circuitos resistivos 
de corrente constante. 
� A única diferença importante está na natureza não linear das 
porções ferromagnéticas do circuito magnético; os métodos 
que precisam ser adotados são semelhantes àqueles 
requeridos nos circuitos elétricos não lineares que contêm 
diodos, termistores, filamentos incandescentes e outros 
elementos não lineares.
� Como ponto de partida, identificar-se-ão as equações de 
campos sobre as quais um circuito resistivo está baseado. 
� Simultaneamente, serão assinaladas ou demonstradas as 
equações análogas para o circuito magnético.
Quadro 76
Força magnetomotriz
� Inicia-se com um potencial eletrostático e sua relação com a 
intensidade de campo elétrico:
� O potencial escalar magnético já foi definido anteriormente, e 
sua relação análoga para a intensidade de campo magnético é:
� Tratando-se com circuitos magnéticos, é conveniente chamar-
se Vm de força magnetomotriz, ou fmm, e percebe-se a 
analogia com a força eletromotriz ou fem. 
� A unidade de fmm é, claro, o ampère, mas como se usam 
freqüentemente enrolamentos com diversas espiras, o termo 
"ampère-espiras“ é também introduzido.
VE ∇−=
rr
mVH ∇−=
rr
Quadro 77
Relação com o campo magnético
� A diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B pode 
ser escrita como:
� A relação correspondente entre a fmm e o campo 
magnetostático foi definida anteriormente como:
� É importante relembrar que o caminho selecionado não pode 
atravessar a superfície limite escolhida, para evitar 
ambigüidade nos resultados.
∫ ⋅=
B
A
AB LdEV
rr
∫ ⋅=
B
A
mAB LdHV
rr
Quadro 78
Outras analogias
� A Lei de Ohm para o circuito elétrico tem a forma pontual:
� Apesar de parecer estranho, na verdade, é a densidade de fluxo magnético 
que se comporta de maneira análoga à densidade de corrente:
� Para encontrar a corrente total, precisa-se integrar:
� A operação correspondente é necessária para se determinar o fluxo 
magnético total que flui através da seção reta do circuito magnético é:
EJ
rr
σ=
HB
rr
µ=
∫ ⋅=Φ S SdB
rr
∫ ⋅= S SdJI
rr
© Aldário Bordonalli 14
Quadro 79
Relutância
� Após isto, foi definida a resistência como a relação entre a diferença do potencial e 
a corrente:
� Agora, seguindo o mesmo raciocínio, define-se a relutância, em ampère-espira por 
weber (A/Wb), como a relação entre a força magnetomotriz e o fluxo total:
� Nos resistores feitos de material homogêneo linear e isotrópico, de condutividade σ, 
seção reta de área S e comprimento L, a resistência total é, se o campo é
homogêneo:
� Se um material magnético como este é considerado (homogêneo, isotrópico e 
linear, de comprimento L e de seção reta uniforme S), então a relutância total é:
IRV =
S
LR
σ
=
elm RV Φ=
S
LRel µ
= OBS.: o único material como este a 
que comumente se aplica esta 
relação é o ar.
Quadro 80
Finalmente ...
� Por fim, considere uma fonte de voltagem análoga à do circuito elétrico, 
onde se sabe que uma integral de linha fechada de E é zero:
� Em outras palavras, a Lei de Kirchhoff estabelece que o crescimento do 
potencial através da fonte é exatamente igual à queda do potencial através 
da carga. 
� A expressão para o fenômeno magnético toma uma forma ligeiramente 
diferente, pois a integral de linha fechada não dá zero:
� Como a corrente total é usualmente obtida permitindo a corrente I fluir 
através de um enrolamento de N espiras, pode-se expressar este resultado 
como:
0=⋅∫ LdE
rr
totalILdH =⋅∫
rr
NILdH =⋅∫
rr
Quadro 81
ComentáriosComentários
� Em um circuito elétrico, a fonte de voltagem faz parte 
do percurso fechado; no circuito magnético, o 
enrolamento em que flui a corrente será envolvido 
pelo circuito magnético. 
� Ao desenhar um circuito magnético, não se pode 
identificar um par de terminais aos quais a força 
magnetomotriz será aplicada.
� A analogia é mais próxima aqui a um par de circuitos 
acoplados nos quais existem voltagens induzidas (e 
nos quais será visto, também, que a integral de linha 
de E não é zero em um percurso fechado).
Quadro 82
Circuito magnético simples
� Experimentam-se algumas destas idéias novas num circuito magnético 
simples. 
� A fim de se evitar as complicações dos materiais ferromagnéticos, 
primeiramente, considera-se um toróide com núcleo de ar envolvido por 
500 espiras, com a seção reta de área de 6 cm2, um raio médio de 15 cm e 
uma corrente de 4 A percorrendo o enrolamento. 
� Como já se sabe, o campo magnético está confinado ao interior do toróide, 
e se for considerado o percurso fechado do circuito magnético ao longo do 
raio médio, envolvem-se 2000 ampêres-espiras:
� Embora o campo no toróide não seja bem uniforme, pode-se considerar 
que ele o seja para todos os propósitos práticos e calcula-se, então, a 
relutância total do circuito como:
Ae2000
,
== fontemVfmm
Ae/Wb1025,1
106104
15,02 9
47 ×=×××
×
=
−−pi
pi
elR
Quadro 83
Circuito magnético simples 2
� Assim:
� Este valor do fluxo total está com erro menor que 1/4 por 
cento em relação ao valor obtido quando a distribuição exata 
de fluxo é conhecida ao longo da seção reta e, assim:
Wb106,1
1025,1
2000 6
9
,
−×=
×
==Φ
el
fontem
R
V
m/A2120
104
1067,2
T1067,2
106
106,1
7
3
3
4
6
=
×
×
==
×=
×
×
=
Φ
=
−
−
−
−
−
piµ
BH
S
B
Quadro 84
Comentários
� Como teste, pode-se aplicar a lei circuital de Ampère
diretamente a este problema simétrico:
� Como esperado, o resultado é o mesmo para o raio médio 
assumido.
� O circuito magnético deste exemplo não dá nenhuma 
oportunidade de encontrar a fmm através de diferentes 
elementos do circuito, pois só há um. 
� O circuito elétrico análogo, evidentemente, tem uma só fonte e 
um só resistor. 
� Pode-se, contudo, fazê-lo parecer mais com a análise acima se 
a densidade de corrente, a intensidade de campo elétrico, a 
corrente total, a resistência e a fonte de voltagem são 
encontradas. 
m/A2120
15,028,6
4500
2
2 =
×
×
==→=
r
NIHNIrH
pi
pi φφ
© Aldário Bordonalli 15
Quadro 85
Não linearidade: ferromagnéticosNão linearidade: ferromagnéticos
� Problemas mais interessantes e mais 
práticos aparecem quando materiais 
ferromagnéticos estão presentes no 
circuito. 
� Considere, primeiramente, a relação 
entre B e H neste material e suponha 
que o objetivo agora seja o de traçar a 
curva de |B| versus |H | para uma 
amostra de material ferromagnético que 
esteja completamente desmagnetizada, 
ou seja, ambos, B e H são zero.
� Quando se começa a aplicar uma fmm, a 
densidade de fluxo também cresce, mas 
não linearmente próximo da origem, 
como mostram os dados experimentais 
da figura.
� Depois de H atingir um valor de cerca de 
100 Ae/m, a densidade de fluxo já 
cresce mais suavemente e começa a 
saturar quando H é de várias centenas 
de Ae/m.
Quadro 86
HistereseHisterese
� Tendo atingido uma saturação parcial, 
pode-se continuar a experiência, a partir 
do ponto x, onde, agora passa-se a 
reduzir H. 
� Se isto for feito, efeitos de histerese 
começam a aparecer e não se consegue 
voltar pela curva original → mesmo 
depois de H se tornar zero, B= Br, que é 
a densidade de fluxo remanescente.
� Quando H é invertido, então, a 
densidade cai a zero, e o ciclo completo 
pode ser traçado várias vezes, sendo 
obtido o laço de histerese da figura ao 
lado. 
� A fmm necessária para reduzir a 
densidade de fluxo a zero é identificada 
por Hc, a força coerciva ou coercitiva. 
� Para menores valores máximos de H, 
laços menores de histerese são obtidos e 
a posição dos limites é a mesma dos 
pontos da curva de magnetização inicial 
da figura anterior.
Quadro 87
Outro exemplo de aplicaçãoOutro exemplo de aplicação
� Seja a curva de magnetização da liga de aço-silício, que será 
agora utilizada para resolver um problema de circuito 
magnético ligeiramente diferente daquele do exemplo anterior 
e inicial de circuito magnético simples. 
� Seja o mesmo toróide anterior, só que utilizando um núcleo de 
aço, exceto em uma pequena abertura de 2 mm. 
� Neste exemplo, existem ainda 500 espiras em torno do toróide, 
mas deseja-se saber a corrente necessária para estabelecer 
uma densidade de fluxo de 1 T em todo o núcleo. 
� Este circuito magnético é análogo a um circuito elétrico 
contendo uma fonte de tensão e dois resistores, um dos quais 
é não linear. 
� Desde que sejam dadas as correntes, é fácil encontrar as 
tensões através dos elementos em série e, portanto, a fem
total.
Quadro 88
Assim ...
� No espaçamento de ar:
� O fluxo fora do material é, então (deseja-se 1 T de densidade de fluxo mesmo fora 
do material):
� Assumindo-se que o fluxo permanece o mesmo no ar e no aço, tem-se que:
� Tendo como referência a curva de magnetização inicial do aço, uma intensidade de 
campo magnético de 200 A/m é necessária para produzir uma densidade de fluxo 
de 1 T e, assim:
� A fmm total é, portanto, 1778 Ae e a corrente no enrolamento deve ser 3,56 A.
Ae/Wb1065,2
106104
102 6
47
3
×=
×××
×
==
−−
−
piµS
LR arel
Wb1061061 44 −− ×=××==Φ BS
Ae15901065,2106 64
,
=×××=Φ= −elarm RV
Ae18815,02200
Ae/m200
,
=×××==
=
piaçoaçoaçom
aço
LHV
H
Quadro 89
Comentários
� É claro que diversas aproximações (nem sempre tão precisas assim) foram 
feitas para se obter a resposta acima: 
– Foi feita a consideração de uma seção reta completamente uniforme, ou seja, 
de simetria cilíndrica.
– Os caminhos de cada linha de fluxo não têm o mesmo comprimento e a escolha 
de um caminho médio pode ajudar a compensar este erro em problemas em 
que ele possa ser mais importante que no caso deste exemplo. 
– A forma das linhas de fluxo no espaçamento de ar é uma outra fonte de erro e 
são disponíveis fórmulas pelas quais se pode calcular o comprimento efetivo e a 
seção reta do espaçamento de ar (“entreferro”) que levem a resultados mais 
precisos.
– Existe também um fluxo que escapa entre as espiras de fio, e em dispositivos
com espiras concentradas em uma região do núcleo, algumas linhas de fluxo 
deixam o interior do toróide → espalhamento das linhas no entreferro e o não 
aprisionamento de algumas linhas pelo núcleo são problemas que raramente 
ocorrem com circuitos elétricos porque a razão entre as condutividades do ar e 
dos materiais condutores ou resistivos usados na prática é muito alta. 
– Em contraposição, a curva de magnetização da liga de aço-silício mostra que a 
relação de H para B no aço é de cerca de 200; no ar esta relação é de cerca de 
8×105 → assim, embora o fluxo prefira o aço ao ar pela relação significativa de 
4000 para 1, esta relação não é muito próxima das condutividades, digamos a 
1015, para um bom condutor e um isolante satisfatório.
Quadro 90
Problema inversoProblema inverso
� Como outro exemplo, considere o problema inverso: dado uma espira 
percorrida por 4 A no circuito magnético anterior, qual será a densidade de 
fluxo? 
� Primeiramente, pode-se tentar linearizar a curva de magnetização do 
material aço-silício por uma linha reta da origem até B = 1 T e H = 200 
A/m. 
� Neste caso, tem-se, então, B = H/200 no aço e B = µ0H no ar. 
� As duas relutâncias calculadas são 0,314 x 106 Ae/Wb para o aço e 2,65 x 
106 Ae/Wb para o entreferro, ou seja, 2,96 x 106 Ae/Wb no total. 
� Como a fmm é 2000 Ae, o fluxo é 6,76 X 10-4 Wb, e B é 1,13 T. 
� Pode-se obter uma solução mais rigorosa considerando-se vários valores de 
B e calculando-se a fmm necessária. 
� Computando-se os pontos acima obtidos, pode-se determinar o valor 
verdadeiro de B por interpolação e, com este método, chega-se a B = 1,10 
T. 
� A boa precisão do modelo linear resulta do fato da relutância do entreferro 
de ar do circuito magnético ser freqüentemente muito maior que a
relutância da porção do circuito ferromagnético e uma pequena 
aproximação para o ferro ou para o aço pode, então, ser tolerada.
© Aldário Bordonalli 16
Quadro 91
Exemplo 6
Dado o circuito magnético da figura considere B = 0,8 T num 
ponto médio do braço superior e encontre: (a) Vm no ar; (b) Vm
no aço; (c) a corrente necessária em um enrolamento com 
1500 espira no braço esquerdo.
Quadro 92
Exemplo 6 (cont.)
a) Considerando B = 0,8 T, Vm no ar 
pode ser encontrado assumindo que 
o fluxo permanece o mesmo no ar e 
no aço. Assim:
Ae1,3183
Ae/Wb1095,9
104104
105,0
Wb102,31048,0
,
6
47
2
,
44
,,
=∴
×=
×××
×
==
×=××==Φ
Φ=
−−
−
−−
arm
ar
arel
arelarm
V
S
LR
BS
RV
piµ
Quadro 93
Exemplo 6 (cont.)
b) Considerando B = 0,8 T, utiliza-se 
a curva de magnetização do material 
para se encontrar Vm no aço. Assim:
( )
Ae5,52
15,0212,0125
,
,
,
=∴
×+×=
=
açom
açom
açoaçoaçom
V
V
LHV
21 2
A/m125
LLL
H
aço
aço
+=
≅
Quadro 94
Exemplo 6 (cont.)
c) Considerando B = 0,8 T, a 
corrente necessária em um 
enrolamento com 1500 espira no 
braço esquerdo produz a Vm de 
fonte, que é igual à soma dos Vm’s 
do ar e aço. Assim:
A16,2
1500
6,3235
Ae6,32355,521,3183
,
,
=∴
==
=+=
I
N
V
I
V
fontem
fontem
açomarmfontem
fontem
VVV
NIV
,,,
,
+=
=
Quadro 95
Exemplo 7
Para valores de B abaixo do joelho da 
curva de magnetização do aço-silício, é 
possível considerar-se operação linear 
com µr = 4.000. O núcleo tem a forma 
mostrada na figura, com a área da 
seção de 1 cm2, comprimentos 
externos de Lext = 10 cm, uma área de 
2,4 cm2 e um comprimento de Lcent = 3 
cm no braço central. Um enrolamento 
de 1.200 espiras em que flui uma 
corrente de 9 mA é colocado em torno 
do braço central. Encontre B no: (a) 
braço central; (b) no braço de baixo; 
(c) no braço de baixo se for feito um 
espaçamento de 0,2 mm em cada 
coluna. 
Llado = 10 cm
Lcentro = 3 cm
Quadro 96
Exemplo 7 (cont.)
a) O enrolamento com 1200 espiras na coluna central produz 
uma Vm de fonte que é igual à soma dos Vm’s da coluna central e 
lateral. É importante observar que a área de seção transversal da 
coluna central é diferente daquela das outras regiões do núcleo,
o que deve ser levado em consideração no cálculo de B. Além 
disto, o fluxo total passando pela espira deve ser dividido 
igualmente entre as regiões laterais. Assim:
( )
( ) centrocentroladoelcentroel
ladoelcentroelladoelcentroelfontem
ladoelcentromcentroelcentrom
ladocentro
ladomcentromfontemfontem
S
B
RR
NI
RRRRV
RVRV
VVVNIV
Φ
=→
+
=Φ
+Φ=Φ+Φ=
Φ=Φ=
Φ=ΦΦ=Φ
+==
2/
2/2/
2/
2/
,,
,,,,,
,,,,
,,,,
© Aldário Bordonalli 17
Quadro 97
Exemplo 7 (cont.)
Continuando:
T362,0
101
104,2
2
1,003,0
1091200104104
2
1
4
4
373
,,
=






×
×
×+
××××××
=






+
=
==
−
−
−−
centro
centro
lado
centro
ladocentro
centro
lado
lado
ladoel
centro
centro
centroelB
B
S
SLL
NIB
S
LR
S
LR
pi
µ
µµ
Quadro 98
Exemplo 7 (cont.)
b) Como o fluxo na coluna central foi determinado, fica simples 
obter a densidade de fluxo na lateral. Assim:
( )
T434,0
2
1,0
104,2
10103,0
2/1091200104104
2
1
2/
2/
2/
2/2/
4
4
373
,,
=






+
×
×
×
××××××
=






+
=
+
=
Φ
=→
Φ
=→Φ=Φ
−
−
−−
lado
lado
lado
centro
lado
centro
ladoelcentroellado
lado
lado
lado
lado
lado
ladolado
B
B
L
S
SL
NI
RRS
NIB
S
B
S
B
pi
µµ
Quadro 99
Exemplo 7 (cont.)
c) Para se calcular B em um dos braços se for feito um 
espaçamento de 0,2 mm em cada coluna, deve-se adicionar o 
efeito de Vm devido ao ar adequadamente. Assim:
( )
( ) ( )
T034,0
22
2/
2/2/
2/2/
2/2/
2/
0
,,,,
,,,,,
=






+
−
++
−
=
+++
=
Φ
=
Φ+Φ+Φ+Φ=
Φ=Φ=ΦΦ=Φ=Φ
−−
−−
−−
lado
ar
r
arlado
centro
lado
ar
centro
lado
r
arcentro
lado
arladoelladoelarcentroelcentroelladolado
lado
arladoelladoelarcentroelcentroelfontem
arladoladoarcentrocentro
B
LLL
S
SL
S
SLL
NIB
RRRRS
NI
S
B
RRRRV
µµ
µ
Quadro 100
Recapitulando ...
� No campo eletrostático, introduziu-se, primeiro, a 
carga pontual e a lei experimental da força entre 
cargas pontuais. 
� Depois, definindo densidade de campo elétrico, 
densidade de fluxo elétrico e potencial elétrico, 
encontrou-se uma expressão para a energia em um 
campo eletrostático, estabelecendo o trabalho 
necessário para trazer cargas pontuais desde o 
infinito até aos seus lugares de repouso final. 
� A expressão geral para a energia no campo elétrico é, 
admitindo-se uma relação linear entre D e E:
∫ ⋅=
volume
E dvEDW
rr
2
1
Quadro 101
Comentários
� Este cálculo não é tão facilmente realizado para o campo 
magnetostático. 
� Será visto que se podem considerar duas fontes simples (talvez duas 
correntes superficiais), encontrar a força em uma devido à outra, 
mover as correntes de uma distância diferencial uma de encontro à
outra e igualar o trabalho necessário para fazer isto à variação da 
energia. 
� Apesar de aparentemente lógico, este raciocínio pode incorrer em 
erros, pois a Lei de Faraday, como será visto posteriormente, mostra 
que haverá uma voltagem contrária induzida nas correntes em 
movimento, além da qual existe para a corrente ser mantida. 
� A fonte que está suprindo a corrente pára de modo a receber 
metade da energia que se esta dando ao circuito para o mover.
� Em outras palavras, a densidade de energia no campo magnético 
pode ser determinada mais facilmente depois que os campos 
variáveis do tempo forem discutidos. 
� A expressão apropriada será definida quando da discussão do 
Teorema de Poynting (EE 540).
Quadro 102
Energia total armazenada
� Uma técnica opcional seria possível a esta altura; no entanto, 
para isto, o campo magnetostático deve ser definido com base 
na notação de pólos magnéticos (ou "cargas magnéticas"). 
� Usando o potencial escalar magnético, desenvolve-se uma 
expressão de energia por métodos semelhantes aos usados na 
obtenção da relação que fornece a energia eletrostática. 
� Essas novas quantidades magnetostáticas que devem ser 
introduzidas seriam um preço muito grande a pagar por um 
resultado simples e, portanto, será apresentado apenas o 
resultado a esta altura, ficando para mais tarde a demostração
que esta mesma expressão advém do teorema de Poynting.
� A energia total armazenada no campo magnetostático em que 
B é relacionado linearmente com H é:
∫ ⋅=
volume
H dvHBW
rr
2
1
© Aldário Bordonalli 18
Quadro 103
Comentários
� Utilizando-se que B = µH, obtêm-se as fórmulas equivalentes:
� Mais uma vez, é conveniente pensar nesta energia como sendo 
distribuída através de um volume com densidade de energia 
dada por (1/2) B.H J/m3, embora não se tenha nenhuma 
justificativa matemática para esta afirmativa.
� A despeito do fato de que estes resultados sejam válidos 
somente para meios lineares, eles podem ser usados para 
calcular as forças sobre materiais magnéticos não lineares se a 
atenção for focada no meio linear que pode envolvê-lo. 
� Por exemplo, suponha-se que se tenha um solenóide longo 
envolvendo um núcleo de aço-silício, com um enrolamento 
contendo n espiras/metro e que conduz uma corrente I.
∫∫ ==
volume
H
volume
H dv
BWdvHW
µ
µ
2
2
2
1
2
1
Quadro 104
Princípio dos trabalhos virtuais
� A intensidade de campo magnético no núcleo é portanto nI
Ae/m, e a densidade de fluxo magnético pode ser obtida a 
partir da curva de magnetização para o aço-silício. 
� Será dado o nome de Baço a esse valor.
� Assim sendo, suponha que o núcleo é composto de dois 
cilindros semi-infinitos que estão em contato. 
� Aplica-se uma força mecânica para separar essas duas seções 
de núcleo. 
� Ao se aplicar uma força F ao plano, deslocam-se as seções de 
uma distância dL, e realiza-se, assim, um trabalho F dL. 
� A Lei de Faraday não se aplica aqui, pois os campos do núcleo 
não variaram, e pode-se, portanto, usar o princípio dos 
trabalhos virtuais para determinar que o trabalho que se 
realiza ao mover o núcleo aparece como a energia armazenada 
na abertura que foi criada pela separação.
Quadro 105
Acréscimo de energia e força
� Desta forma, o acréscimo de energia pode ser escrito 
como: 
� Acima, S é a área da seção reta do núcleo, de 
maneira que:
� Se, por exemplo, a intensidade de campo magnético é
suficiente para produzir a saturação do aço, Baço = 
1,4 T, e, aproximadamente, a força é F = 7,8 105 S N.
SdL
B
FdLdW açoH
0
2
2
1
µ
==
S
B
F aço
0
2
2
1
µ
=
Quadro 106
Exemplo 8
Um relé eletromagnético pode ser encarado como sendo um 
trecho de ferro com 10 cm de comprimento 1 cm2 de seção 
reta, µr = 1500, em série com um entreferro (ar) de 1 mm de 
comprimento quando o relé está aberto. Considere a área do 
entreferro de 1 cm2. A bobina tem 5000 espiras e conduz uma 
corrente de 5 mA. Ache a força exercida sobre a armadura 
(parte móvel do circuito) quando o comprimento do entreferro 
é de 0,3 mm.
( ) ( )arelferroelarelferroel
arelferroelfontem
ladomcentromfontemfontem
RRS
NI
S
B
RR
NI
RRV
VVVNIV
,,,,
,,,
,,,,
+
=
Φ
=→
+
=Φ
Φ+Φ=
+==
O enrolamento com 1500 espiras produz uma Vm de fonte, que 
é igual à soma dos Vm’s do trecho de ferro e ar.
Quadro 107
Exemplo 8 (cont.)
Assim:
( )
( ) ( )
N311,0
10
1500
1,0
10155000
2
10104
2
2
1
2
3
2347
2
2
0
0
2
0
,,
=






+
××××
=






+
=
=






+
=
+
=
Φ
=
−
−−−
F
L
L
NISF
SBF
L
L
NI
RRS
NI
S
B
ar
r
ferro
ar
r
ferroarelferroel
pi
µ
µ
µ
µ
µ
Quadro 108
Por fim, a indutânciaPor fim, a indutância
� Indutância é a última das três constantes familiares da teoria 
de circuitos que se deve definir em termos mais gerais. 
� Resistência foi definida como a relação entre a diferença de 
potencial de duas superfícies eqüipotenciais de um material 
condutor e a corrente total que atravessa qualquer superfície 
eqüipotencial. 
� A resistência é uma função da geometria do condutor e da 
condutividade. 
� A capacitância foi definida como a relação da carga total em 
qualquer das duas superfícies condutoras eqüipotenciais para a 
diferença de potencial entre as superfícies. 
� Capacitância é uma função somente da geometria das duas 
superfícies condutoras e da permissividade do meio dielétrico 
entre as superfícies ou envolvendoas superfícies.
© Aldário Bordonalli 19
Quadro 109
Indutância própria
� Utiliza-se, agora, uma definição dual da capacitância para definir 
indutância. 
� Como a quantidade dual da carga é o enlace de fluxo e a dual da diferença 
de potencial é a corrente, então a indutância (ou indutância própria) é a 
razão dos enlaces de fluxo para as correntes que eles enlaçam:
� A corrente I que flui no enrolamento de N espiras produz o fluxo total Φ e 
NΦ linhas de enlace de fluxo, onde se considera momentaneamente que Φ
Wb enlace cada espira. 
� Esta definição é aplicável somente a um meio magnetizável que seja linear, 
de modo que o fluxo seja proporcional à corrente. 
� Se materiais ferromagnéticos estiverem presentes, não há uma definição 
única para indutância que seja útil em todos os casos, e o estudo será
restrito, então, aos materiais lineares.
� A unidade de indutância é o henry (H), equivalente a um weber por 
ampère.
I
NL Φ=
Quadro 110
Cabo coaxial
� Como exemplo, aplica-se a definição de indutância para 
calcular a indutância por unidade de comprimento de um cabo 
coaxial em que o condutor interno tem raio a e o condutor 
externo tem raio b; a expressão já desenvolvida para o fluxo é:
� A indutância é obtida para um comprimento l:
� Na última expressão, mostra-se a indutância em termos de por 
unidade de comprimento.
� Neste caso, N = 1 espira, e todo o fluxo envolve toda corrente.






=Φ
a
bIl ln
2
0
pi
µ
H/mln
2
Hln
2
00 





==′





=
a
b
l
LL
a
blL
pi
µ
pi
µ
Quadro 111
Toróide
� No problema de um enrolamento toroidal de N espiras e uma 
corrente I, também já estudado, chegou-se a:
� Se as dimensões da seção reta S forem pequenas, comparadas 
ao raio médio da toróide r0, então o fluxo total é:
� Multiplicando o fluxo total por N, tem-se os enlaces de fluxo, e 
dividindo por I, tem-se a indutância:
0
0
2 r
NIS
pi
µ
=Φ
r
NIB
pi
µ
φ 2
0
=
0
2
0
2 r
SNL
pi
µ
=
Quadro 112
Espira por espira
� Mais uma vez, fez-se a suposição que todas as 
linhas de fluxo envolvem todas as espiras, e 
esta é uma boa aproximação para o 
enrolamento toroidal de muitas espiras 
enroladas bem juntas. 
� No entanto, o toróide considerado pode ter um 
espaçamento apreciável entre espiras, pequena 
parte das quais pode ser vista na figura.
� Os enlaces de fluxo não são mais o produto do 
fluxo no raio médio pelo número total de 
espiras. 
� Para se obter o enlace total de fluxo, precisa-se 
olhar para o enrolamento na base de uma 
espira por vez e sobrepor os resultados:
( ) ∑
=
Φ=Φ++Φ++Φ+Φ=Φ
N
i
iNitotalN
1
21 KL
Quadro 113
Indutância em termos da energia
� Na equação anterior, Φi é o fluxo que enlaça a i-ésirna espira. 
� Em vez disso, normalmente, usa-se a experiência ou fatores de correção 
para ajustar a fórmula básica, de modo a aplicá-la ao mundo físico real.
� Uma definição equivalente para indutância pode ser dada usando-se o 
ponto de vista da energia:
� Acima, I é a corrente total que flui em um percurso fechado e WH é a 
energia no campo magnético produzida pela corrente. 
� Está última equação, que é equivalente à primeira definição de indutância, 
pode resultar em diferentes expressões para a indutância. 
� Seja energia potencial WH em termos de campo magnético:
2
2
I
WL H=
2I
dvHB
L volume
∫ ⋅
=
rr
Quadro 114
� Substituindo-se B:
� A relação acima pode ser simplificada utilizando-se a 
identidade vetorial abaixo: 
Indutância em termos de A
( )∫∫ ×∇⋅=⋅=
volumevolume
dvAH
I
dvHB
I
L
rrrrr
22
11
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 





×∇⋅+×⋅∇=
×∇⋅−×∇⋅≡×⋅∇
∫∫
volumevolume
dvHAdvHA
I
L
HAAHHA
rrrrrr
rrrrrrrrr
2
1
© Aldário Bordonalli 20
Quadro 115
� Depois de se aplicarem o teorema da divergência à
primeira integral e a relação entre H e J à segunda, 
fica-se com:
� A integral de superfície é zero, pois a superfície 
envolve um volume que contém toda a energia do 
campo magnético, e isto obriga que A e H sejam zero 
na superfície limite. 
� A indutância pode, portanto, ser escrita como:
Indutância em termos de A II
( ) 





⋅+⋅×= ∫∫
volume
S
dvJASdHA
I
L
rrrrr
2
1
∫ ⋅=
volume
dvJA
I
L
rr
2
1
Quadro 116
� No entanto, já se definiu uma relação entre A e J
anteriormente, de maneira que:
� Uma expressão mais simples pode ser obtida se a atenção for 
restrita a filamentos de corrente de pequena seção reta, nos 
quais Jdv possa ser substituído por IdL, sendo a integral de 
volume substituída por uma integral de linha ao longo do eixo 
do filamento:
Indutância em termos de J
∫ ∫∫ ⋅






=→=
. .
2
. 4
1
4 vol volvol
dvJ
R
dvJ
I
L
R
dvJA
r
rr
r
pi
µ
pi
µ
∫ ∫∫ ∫ ⋅






=⋅







= Ld
R
LdLId
R
LId
I
L
r
r
r
r
pi
µ
pi
µ
44
1
2
Quadro 117
� O único interesse nas últimas duas definições de L está na sua implicação 
de que a indutância é uma função da distribuição da corrente no espaço ou 
da configuração geométrica do condutor.
� Por fim, para se retornar a primeira definição de indutância apresentada, 
suponha uma corrente distribuída uniformemente em um filamento 
condutor de pequena seção reta de modo que Jdv se torne IdL e:
� Para uma pequena seção, dL pode ser tomado ao longo do centro do 
filamento e, ao se aplicar o teorema de Stokes, obtêm-se:
Indutância em termos de A e J
∫∫ ⋅=→⋅= LdAI
LdvJA
I
L
volume
rrrr 11
2
( )
I
SdB
I
SdA
I
L
SS
Φ
=⋅=⋅×∇= ∫∫
rrrrr 11
Quadro 118
� Ao se avaliar os passos seguidos para chegar à última definição de L, 
observa-se que Φ é a porção do fluxo total que atravessa cada 
superfície genérica cujo perímetro é o percurso do filamento de 
corrente. 
� Se, agora, o filamento passa ter N espiras idênticas em torno do 
fluxo total, idealização que pode ser aproximadamente conseguida 
em alguns tipos de indutores, a integral de linha fechada deve 
consistir de N percursos em torno deste caminho comum e:
� O fluxo Φ é, agora, o fluxo que atravessa qualquer superfície cujo 
perímetro é o percurso ocupado por qualquer uma das N espiras. 
� A indutância de um enrolamento de N espiras pode ainda ser obtida 
da expressão L = Φ/I, se for considerado que o fluxo é aquele que 
atravessa a complicada superfície cujo perímetro é constituído de 
todas as N espiras.
Indutância e fluxo, novamente
I
NL Φ=
Quadro 119
ComentáriosComentários
� O uso de quaisquer das expressões para um condutor 
realmente filamentar (tendo raio zero) leva a um valor infinito 
para a indutância, qualquer que seja a configuração do 
filamento. 
� Próximo do condutor, a lei circuital de Ampère mostra que a 
intensidade de campo magnético varia inversamente com a 
distância ao condutor, e uma integral simples mostra logo que 
uma quantidade infinita de energia e uma quantidade infinita 
de fluxo estão contidas dentro de qualquer cilindro finito em 
torno do filamento. 
� Esta dificuldade é eliminada especificando-se um raio pequeno 
mas finito.
� O interior de qualquer condutor também contém fluxo 
magnético, e este fluxo envolve uma fração variável da 
corrente total, dependendo da sua localização. 
Quadro 120
Comentários 2Comentários 2
� Estes enlaces de fluxo levam a uma indutância interna 
que deve ser combinada à indutância externa para se 
obter a indutância total. 
� A indutância interna de um fio reto, longo, de seção 
reta circular com distribuição de corrente uniforme é 
µ/8pi H/m.
� Ver-se-á, numa próxima oportunidade, que a 
distribuição de corrente em um condutor