Aula sobre Quádricas

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SUPERFÍCIES 
QUÁDRICAS 
 Profª Michelle Andrade Klaiber 
UTFPR - Apucarana 
 
2 2 2 0ax by cz dxy exz fyz gx hy iz j         
Uma equação do tipo 
Superfícies Quádricas 
é chamada de equação de segundo grau em 
.xyz
Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies 
quádricas ou, somente quádricas. 
 
Vejamos alguns tipos de superfícies quádricas: 
2 
Elipsóide 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
As interseções com os planos coordenados são elipses, 
como também são elipses as interseções em planos 
paralelos aos planos coordenados, que interceptam a 
superfície em mais de um ponto. 
Equação: 
Observações: 
1) Na figura, a < b < c. 
2) Quando dois, dos três valores a, 
b e c são iguais, temos um 
elipsóide de revolução. 
 
3 
Hiperbolóide de uma folha 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
A interseção com o plano xy é uma elipse, também são 
elipses as interseções com os planos paralelos ao plano 
xy. As interseções com os planos xz e yz são hipérboles, 
bem como as interseções com os planos paralelos a eles 
que não passam pelos interceptos x e y. Nestes 
interceptos, as interseções são pares de retas 
concorrentes. 
Equação: 
A superfície está ao longo do 
eixo cuja variável apresenta sinal 
negativo na equação. 
4 
Hiperbolóide de duas folhas 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
Em planos paralelos ao plano yz que interceptam a 
superfície em mais que um ponto, as interseções são 
elipses. Nos planos xy, xz e nos planos paralelos a eles que 
interceptam a superfície em mais de um ponto, as 
interseções são hipérboles. 
5 
Equação: 
A superfície está ao longo do 
eixo cuja variável apresenta sinal 
positivo na equação. 
Não há interseção no plano yz. 
 
Cone Elíptico 
2 2
2
2 2
x y
z
a b
 
A interseção no plano xy é um ponto (a origem) e as 
interseções em planos paralelos ao plano xy são elipses. 
As interseções nos planos xy e yz são pares de retas que 
se interceptam na origem. As interseções em planos 
paralelos a estes são hipérboles. 
6 
Equação: 
A superfície está ao longo do 
eixo cuja variável aparece 
isolada na equação. 
 
Parabolóide elíptico 
2 2
2 2
x y
z
a b
 
A interseção no plano xy é um ponto (a origem) e as 
interseções em planos paralelos e acima dele são elipses. 
Os traços nos planos xz e yz, bem como em planos 
paralelos a eles são parábolas. 
7 
Equação: 
 Quando a e b são iguais, 
temos um parabolóide de 
revolução. 
 A superfície está ao longo do 
eixo cuja variável aparece 
isolada na equação. 
 
Parabolóide Hiperbólico 
2 2
2 2
y x
z
b a
 
A interseção no plano xy é um par de retas que se cruzam 
na origem. As interseções em planos paralelos ao plano xy 
são hipérboles. As hipérboles acima do plano xy abrem se 
na direção de y e as abaixo na direção de x. As interseções 
nos planos yz e xz são parábolas, assim como as interseções 
nos planos paralelos a estes. 
8 
Equação: 
O eixo que “fura” a 
superfície é o eixo da 
variável do termo 
linear na equação. 
Equações Características Classificação 
 
 
 
Nenhum sinal negativo. Elipsóide 
 
 
 
 
Um sinal negativo. Hiperbolóide de uma 
folha 
 
 
 
 
Dois sinais negativos. Hiperbolóide de duas 
folha 
 
 
 
Nenhum termo linear. Cone elíptico 
 
 
 
Um termo linear; dois 
termos quadráticos com 
mesmo sinal. 
Parabolóide elíptico 
 
 
 
Um termo linear; dois 
termos quadráticos com 
sinais opostos. 
Parabolóide 
hiperbólico 
 
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
  
2 2 2
2 2 2
1
z x y
c a b
  
2 2
2 2
0
y x
z
b a
  
2 2
2 2
0
x y
z
a b
  
2 2
2
2 2
0
x y
z
a b
  
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