Experimento V - Constante de tempo em circuito RC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DA BAHIA – UFOB 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DAS TECNOLOGIAS 
 
 
 
 
Bruno Eduardo Cardoso 
Itaylane Malta Santos 
Leonardo de Matos Araújo 
Tácio Henrique Santos Nogueira 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BARREIRAS-BA 
2015 
 
2 
 
Bruno Eduardo Cardoso 210101441 
Itaylane Malta Santos 213100312 
Leonardo de Matos Araújo 211103941 
Tácio Henrique Santos Nogueira 212105958 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BARREIRAS-BA 
2015 
Relatório referente à atividade de 
laboratório de Física Experimental III - 
IAD-223, ministrada pelo professor 
Edward Ferraz de Almeida Junior 
 
 
3 
 
SUMÁRIO 
 
1. OBJETIVO ...................................................................................................................................................... 5 
2. INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................. 5 
3. MATERIAIS UTILIZADOS........................................................................................................................... 8 
4. PROCEDIMENTOS ....................................................................................................................................... 8 
4.1. Procedimento A ..................................................................................................................................... 8 
4.2. Procedimento B...................................................................................................................................... 9 
5. RESULTADOS ............................................................................................................................................. 11 
5.1. Procedimento A ................................................................................................................................... 11 
5.1.1. Cálculo da Constante de tempo ....................................................................................................... 13 
5.2. Procedimento B.................................................................................................................................... 14 
5.2.1. Cálculo da Resistência Interna do Voltímetro ................................................................................. 15 
6. DISCUSSÃO ................................................................................................................................................. 17 
7. DIFICULDADES INERENTES A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO ................................................. 19 
8. CONCLUSÃO .............................................................................................................................................. 19 
9. REFERÊNCIA .............................................................................................................................................. 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
ÍNDICE DE FIGURAS 
 
 
FIGURA 1: CIRCUITO RC. DISPONÍVEL EM: 
<HTTPS://DEF.FE.UP.PT/ELETRICIDADE/SINAIS.HTML> 5 
FIGURA 2: ESQUEMA DE CARGA E DESCARGA DE UM CAPACITOR. FONTE: 
ROTEIRO CIRCUITO RC – UFBA. 6 
FIGURA 3: V VERSUS T NAS DUAS SITUAÇÕES DE CARGA E DESCARGA DO 
CAPACITOR C. FONTE: ROTEIRO CIRCUITO RC – UFBA. 8 
FIGURA 4: CARGA DO CAPACITOR – PROCEDIMENTO A. FONTE: ACERVO 
PESSOAL. 9 
FIGURA 5: DESCARGA DO CAPACITOR – PROCEDIMENTO B. FONTE: ACERVO 
PESSOAL. 10 
FIGURA 6: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 12 
FIGURA 7: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 13 
FIGURA 8: LINEARIZAÇÃO DO GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 13 
FIGURA 9: GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO. 15 
FIGURA 10: LINEARIZAÇÃO DO GRÁFICO TENSÃO VERSUS TEMPO 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
1. OBJETIVO 
 
 Verificar a carga e a descarga de um capacitor em um circuito RC para encontrar a 
constante de tempo e calcular experimentalmente da resistência interna do voltímetro 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
 Quando um circuito apresenta como componentes apenas capacitores e resistências, o 
mesmo denomina-se de circuito RC (Resistor - Capacitor). A característica principal desse 
circuito é a corrente elétrica em um único sentido, além de todo circuito de corrente contínua 
(CC), onde a corrente varia com o tempo. Pode-se verificar uma representação desse circuito 
na Figura 1. 
 
 
Figura 1: Circuito RC. Disponível em: <https://def.fe.up.pt/eletricidade/sinais.html>. 
 
Um capacitor é composto por duas placas metálicas, separadas por um material 
isolante chamado dielétrico (papel, cerâmica, plástico ou até mesmo o ar). Sua função é 
armazenar energia elétrica por um período determinado pelas características do circuito, até 
que este seja interrompido ou a fonte desligada. 
Capacitância ou capacidade (C), medida em faraday (F), é a propriedade que estes 
dispositivos têm de armazenar energia elétrica sob a forma de um campo eletrostático e está 
relacionada com a geometria das placas e a constante dielétrica do meio isolante usado entre 
as placas. É medida pela seguinte fórmula: 
V
tq
C
)(

 (Equação 1) 
Onde q é a quantidade de carga armazenada em coulombs (C) e V é a diferença de 
potencial ou tensão que existe entre as placas em volts. 
Quando ligamos um circuito com uma resistência R, a tensão se eleva 
instantaneamente ao seu valor máximo. Mas quando inserimos um capacitor neste circuito a 
 
6 
 
tensão demora certo tempo para assumir seu valor máximo V0. O circuito da Figura 2 contém 
uma fonte de CC (corrente contínua), um resistor e um capacitor C, em série. 
 
 
Figura 2: Esquema de carga e descarga de um capacitor. Fonte: Roteiro Circuito RC – UFBA. 
 
Inicialmente, o capacitor está descarregado; ao ligar o circuito no instante t=0, 
passando a chave S para o ponto ‘a’, a carga q do capacitor não se estabelece de maneira 
instantânea. 
A lei das malhas de Kirchoff aplicada ao circuito de carga nos fornece: 
 
0
)(

C
tq
iR
 (Equação 2) 
Onde 
0V
 e a corrente no resistor é devida à carga que sai do capacitor, ou seja: 
dt
tdq
ti
)(
)( 
 (Equação 3) 
Substituindo a equação (3) na equação (2), tem-se: 
 
0
)()(
0 
C
tq
dt
tdq
RV
 (Equação 4) 
 
Uma solução para esta equação diferencial é do tipo: 
 
)1()( /0
RCteCVtq 
 (Equação 5) 
 
E para 
RCt 
, tem-se: 
 
000 %63%63)/11()( qCVeCVtq 
 (Equação 6) 
 
onde q0 é a carga máxima do capacitor. 
A grandeza RC, que tem a dimensão de tempo, é chamada constante de tempo 
capacitiva. Ela representa o tempo necessário para que a carga ou a tensão atinja um valor 
igual a 63% do seu valor máximo. 
 
7 
 
O comportamento da tensão V é obtido a partir do comportamento de q(t). Então: 
)1(
)(
)( /0
teV
C
tq
tV (Equação 7) 
onde t=RC. 
O que podemos observar é que, no processo de carga de um circuito RC os 
comportamentos da tensão e corrente se invertem. Ao ligar um circuito RC a tensão demora 
algum tempo para atingir o seu valor máximo. 
O circuito RC mais simples é aquele constituído por um capacitor inicialmente 
carregado com uma tensão V0, descarregando sobre um resistor (chave S no ponto b da 
Figura 2). Todo o desenvolvimento mostrado para um capacitor se carregando vale também 
para um capacitor se descarregando. 
A lei das malhas de Kirchoff aplicada ao circuito de descarga fornece: 
0
)(

C
tq
iR
 (Equação 8) 
Ou: 
dt
RCtq
tdq 1
)(
)(

 (Equação 9) 
Ou, definindo-se 
RC
(Equação 10) e integrando-se: 

t
q
q






0
ln
 (Equação 11) 
Reescrevendo, tem-se: 
/
0)(
teqtq 
, ou (Equação 12) 
/
0
teVV 
 (Equação 13) 
 
Quando descarregamos um capacitor sua carga não cai à zero instantaneamente, mas 
decai exponencialmente. 
Neste experimento verificaremos a relação entre os processos de carga e descarga de 
um capacitor em um circuito RC e sua respectiva constante de tempo t definida acima. 
Podemos mostrar que o tempo de descarga de um capacitor é igual ao tempo de carga desde 
que seja feito nas mesmas condições, ou seja, em um circuito com a mesma resistência R. Na 
Figura 3 são apresentadas as curvas correspondentes às duas situações estudadas. 
 
8 
 
 
Figura 3: V versus t nas duas situações de carga e descarga do capacitor C. Fonte: Roteiro Circuito RC – UFBA. 
 
 
3. MATERIAIS UTILIZADOS 
 
 1 Fonte de tensão 6V; 
 1 Placa para ensaios de circuitos elétricos; 
 Fios de conexão; 
 2 Resistores de 100KΩ (marrom, preto, amarelo); 
 1 Capacitor de 220
F
; 
 Cronômetro (utilizando o aparelho celular); 
 2 Multímetros digitais. 
 
4. PROCEDIMENTOS 
 
4.1.Procedimento A 
 
Primeiramente foram separados os materiais necessários ao experimento. Em seguida, 
montou-se o circuito conforme exigido para o procedimento ‘A’ seguindo os seguintes 
passos: ligar o polo negativo da fonte de tensão (6V) ao ponto 3 da chave; ligar o ponto 2 da 
chave a ilha de conexão 8; colocar um resistor entre as ilhas de conexão 3 e 4 e o outro 
 
9 
 
resistor entre as ilhas de conexão 2 e 3; colocar o capacitor entre as ilhas de conexão 1 e 2; e 
liga-se a ilha de conexão 1 ao polo positivo da fonte de tensão. Após montado o circuito, 
ajustou-se um dos multímetros para medir a tensão no capacitor, dessa forma, o multímetro 
foi colocado nos extremos do capacitor (em paralelo). Em seguida, o outro multímetro foi 
ajustado para medir a intensidade de corrente, o mesmo foi inserido entre as ilhas de conexão 
8 e 4, para aferir a corrente inicial, ou seja, quando o capacitor esteve na iminência do 
carregamento e a corrente final, após o carregamento do capacitor. Feito isso, ligou-se a chave 
e carregou-se o capacitor (Figura 4), a partir desse momento foram anotados os valores de 
tensão e tempo em uma tabela, de 0V a 5V, tomando os valores de tempo a cada variação de 
0,5V. Depois disso, o circuito foi colocado em curto para descarregar o capacitor, a partir 
desse momento foram anotados os valores referentes à descarga do capacitor, de tensão e 
tempo em uma tabela, de 5V a 0,5V, tomando os valores de tempo a cada variação de 0,5V. 
 
 
Figura 4: Carga do capacitor – Procedimento A. Fonte: Acervo Pessoal. 
 
 
4.2.Procedimento B 
 
 
Para o procedimento ‘B’, foi montado um circuito em série utilizando fios condutores 
e um capacitor de 220 μF, ligado a uma fonte de tensão de 6V, seguindo as seguintes etapas: 
ligar o polo negativo da fonte de tensão ao ponto 3 da chave; ligar o ponto 2 da chave a ilha 
de conexão 4; colocar o capacitor entre os pontos 3 e 4; e ligar a ilha de conexão 3 ao polo 
 
10 
 
positivo da fonte de tensão. Feito isso, ligou-se o voltímetro em paralelo com o capacitor. Em 
seguida, ligou-se a chave para carregar o capacitor e foi anotada a máxima tensão da fonte. 
Depois disso, desligou-se a chave para descarregar o capacitor (Figura 5) e foram anotados os 
valores de tensão e tempo, de 6V a 0,5 V, tomando valores de tempo a cada variação de 
0,5V, adotando o instante t=0 s para 6V. 
 
 
Figura 5: Descarga do capacitor – Procedimento B. Fonte: Acervo Pessoal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
5. RESULTADOS 
 
5.1.Procedimento A 
 
Na Tabela 1 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o 
carregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão versus 
tempo) – Figura 6. 
 
PROCEDIMENTO A - 
DADOS EXPERIMENTAIS 
TENSÃO (V) TEMPO (s) 
0 0 
0,5 5,41 
1 11,31 
1,5 17,61 
2 24,96 
2,5 34,87 
3 47,26 
3,5 64,54 
4 87,69 
4,5 126,88 
5 218,61 
Tabela 1: Relação de Tensão e Tempo durante o carregamento do capacitor. 
 
 
Corrente Inicial Corrente Final 
0,02
A
 Entre 0,00 e 0,005
A
 
Tabela 2: Corrente no início e final do carregamento. 
 
 
 
12 
 
 
Figura 6: Gráfico Tensão versus Tempo. 
 
Na Tabela 2 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o 
descarregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão 
versus tempo) – Figura 7. 
 
PROCEDIMENTO A - 
DADOS EXPERIMENTAIS 
TENSÃO (V) TEMPO (s) 
5 0 
4,5 6,62 
4 12,9 
3,5 21,23 
3 32,88 
2,5 46,46 
2 64,31 
1,5 92,63 
1 112,27 
0,5 151,31 
0,0 682 
Tabela 3: Relação de Tensão e Tempo durante o descarregamento do capacitor. 
 
 
0
1
2
3
4
5
6
0 50 100 150 200 250
Tensão (V)
Tempo (s)
Tensão x Tempo - Carregamento
Tensão x Tempo
 
13 
 
 
Figura 7: Gráfico Tensão versus Tempo. 
 
5.1.1. Cálculo da Constante de tempo 
 
Para o cálculo da constante de tempo, lineariza-se o gráfico de descarregamento da 
tensão x tempo. Aplicando-se log para linearizar o gráfico (V x t) da Figura 7, foi construído 
outro gráfico (logV x t) em mono-log (Figura 8) e obteve-se uma reta. 
 
 
Figura 8: Linearização do gráfico tensão versus tempo. 
 
Para obter a equação da reta, aplica-se logaritmo na equação da curva abaixo. Dessa 
forma, temos: 
0
1
2
3
4
5
6
0 200 400 600 800
Te
n
sã
o
 (
V
)
Tempo (s) 
Tensão x Tempo -
Descarregamento
0.001
0.01
0.1
1
10
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Lo
g[
te
n
sã
o
] 
(V
)
Tempo (s) 
Linearização Descarregamento
 
14 
 
RC
t
c eVtV

 0)(
 (Equação 13) 
]log[)](log[ 0
RC
t
c eVtV


 
]log[]log[)](log[ 0 e
RC
t
VtVc 
 
Fazendo: 
VtVc )](log[
; 
 
be ]log[
; 
 e 
RC
e
a
]log[

 (Equação 14) 
Tem-se que a equação da reta é: V=b+at. 
Pelo gráfico da Figura 3 obtém-se o coeficiente angular (a)da reta. Os pontos usados 
para o cálculo do coeficiente angular são: (92,63; 1,5) e (112,27; 1,0). Assim, temos: 
13
12
12 10*965,8
63,9227,112
]5,1log[]0,1log[]log[]log[ 





 s
tt
VV
a
 
Pela equação 14, tem-se que: 
RC
e
a
]log[

. 
Dessa forma, tem-se: 
 
Ra
e
C
]log[

. 
Logo, 
FF
e
Ra
e
C 24210*42,2
)10*695,8(*)10*100*2(
]log[]log[ 4
33
 

 
Como descrito nos procedimentos (item 4.1), no circuito foram utilizados dois 
resistores de 
k100
 cada, dessa forma, tem-se uma resistência (R) de 
k200
. Aplicando-se 
os valores do coeficiente angular da reta e da resistência na equação acima, encontra-se uma 
capacitância de 
FC 242
. 
 
5.2. Procedimento B 
 
Na Tabela 3 são apresentados os valores de tensão e tempo medidos durante o 
descarregamento do capacitor. A partir dessa tabela, construiu-se o gráfico V x t (tensão 
versus tempo) – Figura 9. 
 
15 
 
 
PROCEDIMENTO B - 
DADOS EXPERIMENTAIS 
TENSÃO (V) TEMPO(s) – DESCARGA 
6 0 
5,5 123,39 
5 292,31 
4,5 505,36 
4 772,27 
3,5 1078,09 
3 1446,75 
2,5 1900,81 
2 2446,9 
1,5 3167,23 
1 4184,4 
0,5 5930,48 
Tabela 4: Relação de Tensão e Tempo durante o descarregamento do capacitor. 
 
 
Figura 9: Gráfico Tensão versus Tempo. 
 
5.2.1. Cálculo da Resistência Interna do Voltímetro 
 
Para o cálculo da resistência interna do voltímetro, primeiramente, lineariza-se o 
gráfico de descarregamento da tensão x tempo para se obter o coeficiente angular da reta 
(parâmetro experimental que auxiliará alcançar o objetivo desse item). Aplicando-se log para 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Tensão x Tempo - Descarregamento
 
16 
 
linearizar o gráfico (V x t) da Figura 9, constrói-se outro gráfico (logV x t) em mono-log 
(Figura 10) e obtém-se uma reta. 
 
 
 
Figura 10: Linearização do gráfico tensão versus tempo 
 
Pelo gráfico da Figura 10 obtém-se o coeficiente angular (a) da reta. Os pontos usados 
para o cálculo do coeficiente angular são: (3167,23; 1,5) e (4184,4; 1,0). Assim, temos: 
14
12
12 10*731,1
23,31674,4184
]5,1log[]1log[]log[]log[ 





 s
tt
VV
a
 
Pela equação 14, tem-se que: 
RC
e
a
]log[

. 
Dessa forma, tem-se: 
 
Ca
e
R
]log[

. 
Logo, 


M
e
Ca
e
R 37,1010*37,10
)10*731,1(*)10*42,2(
]log[]log[ 6
44
 
A partir dos dados do procedimento A, no item 5.1.1. foi calculada a capacitância do 
capacitor. Como no procedimento B foi utilizado o mesmo capacitor, aplicando-se os valores 
do coeficiente angular da reta e da capacitância na equação acima, encontra-se a resistência 
interna do voltímetro de 
 MR 37,10
. 
 
0.1
1
10
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Linearização - Descarregamento
 
17 
 
5.2.2 Cálculo da constante de tempo: 
 
No item 5.1.1 calculou-se o coeficiente angular da reta e foi obtido 
1410*731,1  sa
. A partir da equação 14, pode-se obtida a constante de tempo: 
a
e
a
e
RC
Ca
e
R
]log[]log[]log[
 
 
min81,4110*509,2
10*731,1
]log[]log[ 3
4





s
e
a
e 
 
6. DISCUSSÃO 
 
No que se refere ao gráfico de Tensão x Tempo para o carregamento (Figura 6) – 
Procedimento A, é possível destacar que existe uma tendência logarítmica de comportamento 
da tensão em função do tempo. É notório que nos 50 segundos iniciais concentra-se o maior 
número de medições feitas, o que sugere uma taxa de carregamento do capacitor que diminui 
em função do tempo, tendendo a adotar comportamento assintótico em tensões próximas a 6 
Volts. 
Para o gráfico de Tensão x Corrente no descarregamento (Figura 7), ainda se tratando 
do Procedimento A, observa-se um bom comportamento até valores de tensão de 0,5 Volts. A 
corrente aumenta a medida que a tensão diminui, no entanto sofre incremento brusco para 
valores de tensão inferior a 0,5 Volts, tendendo a gerar uma curva suave até obter valor de 
tensão igual a zero. Deste modo interpreta-se que para valores de voltagem inferiores a esse 
ponto crítico o capacitor aumenta sua capacidade de deixar a corrente fluir. A linearização 
deste gráfico (Figura 8) gerou uma reta decrescente, calculou-se o coeficiente angular da reta 
e a partir deste valor foi possível calcular a capacitância, e foi obtido um valor de 
F242
. 
O gráfico de Tensão x Tempo, para o descarregamento, Procedimento B, exibe uma 
curva perfeita com tendência exponencial. Neste gráfico observa-se o decaimento paulatino 
da tensão no decorrer do tempo. Destaca-se que este decaimento é assintótico e que o 
processo envolve uma quantidade de tempo bem maior do que o experimento anterior. A 
linearização deste gráfico gerou uma reta decrescente, calculou-se o coeficiente angular da 
reta e com o valor da capacitância calculado no procedimento A, calculou-se a resistência 
interna do voltímetro. Foi obtido um valor de 
M37,10
. 
 
18 
 
Quando o tempo tende ao infinito a Tensão tende a atingir seus valores máximos e 
mínimos, respectivamente para a carga e descarga. Esse resultado mostra-se compatível com a 
teoria. 
A resistência no circuito limita a corrente, desse modo quanto maior a resistência mais 
lenta se torna a carga ou a descarga, por isso a inserção do resistor permite que se faça a 
medida de tempo. Quando se tem uma mesma resistência e capacitância, pode-se notar que o 
tempo para se carregar o capacitor de uma quantidade de carga Q1 até uma quantidade Q2 é o 
mesmo de descarga, o que é mostrado nas equações abaixo: 
 
Para a carga: Qc(t) = Qf (1-e
-t/RC) 
Para a descarga: QD(t) = Qfe
-t/RC 
 
ΔQC = QC2 – QC1 = Qf (1-e-t2/RC) – Qf (1-e-t1/RC) = Qfe-t1/RC – Qfe-t2/RC = 
QD1 – QD2 = ΔQD 
A constante do tempo da equação é representada por RC (onde R é a resistência e C a 
capacitância), e esta tem dimensão de tempo, como demonstrada matematicamente abaixo: 
 
 
=ΩF = (V/A)(C/V) = C/A = C/(C/s) = 1/s-1 = s 
 
Portanto como R é usado em Ω(ohm) e C em F(Faraday), a unidade condizente para t 
é s (segundo). 
O gráfico de carregamento (Figura 6) tem como constante de tempo 48,44s. Como foi 
usado dois resistores de 
K100
, obteve-se uma capacitância de 
F242
 que condiz com o 
descrito no equipamento, que era 
F220
. O gráfico de descarregamento do procedimento ‘B’ 
(Figura 9) tem como constante de tempo 
min81,4110*51,2 3 s
 e utilizando a capacitância 
obtida no procedimento ‘A’ foi obtido o valor de 
M37,10
 para a resistência interna do 
voltímetro. 
Os gráficos possuem comportamento exponencial o que implica um comportamento 
assintótico, no gráfico do carregamento (Figura 6), a medida que o tempo aumenta a 
inclinação diminui de modo que o 
0)(lim CVtQt 
. Já no gráfico do descarregamento 
(Figura 9) 
0)(lim  tQt
. 
 
 
19 
 
7. DIFICULDADES INERENTES A REALIZAÇÃO DO EXPERIMENTO 
 
A cerca da realização do procedimento A do experimento, podem ser elencadas 
algumas atividades que envolvem demasiada dificuldade. A saber, na tomada dos valores de 
tensão para os distintos instantes de tempo, estavam intrínsecos erros de acurácia, pois a taxa 
de descarregamento do condutor partindo do instante de tempo zero ocorria de forma rápida 
(principalmente nas primeiras medidas), tornando impossível cronometrar com extrema 
precisão os dados de tensão para a os instantes de tempo da descarga. Essa observação 
também se faz válida para o carregamento do condutor.No procedimento B acrescenta-se que o tempo de descarga foi extremamente alto, 
tornando o experimento impossível de ser realizado no intervalo de 1 hora e 40 minutos. No 
entanto é importante ressaltar que o experimento foi realizado, extrapolando esse limite de 
tempo. 
 
8. CONCLUSÃO 
 
Os objetivos do experimento foram alcançados, encontrando-se a constante de tempo 
tanto para o carregamento como para o descarregamento, a capacitância do capacitor e a 
resistência interna do multímetro. Observa-se que os erros encontrados são aceitáveis, haja 
vista, a imprecisão ao cronometrar o tempo de carregamento e descarregamento. Sugere-se 
para os semestres futuros, que o procedimento A seja realizado mais de uma vez para se obter 
melhores resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
9. REFERÊNCIA 
 
HALLIDAY, D; RESNICK, R. Fundamentos de Física, Volume 3. Sétima edição. Rio de 
Janeiro: LTC, 2007. 
 
 
NUSSENZVEIG, H M. Curso de Física Básica: 3 - Eletromagnetismo. São Paulo: Edgard 
Blücher Ltda., 2009. 
 
 
YOUNG, H. D; FREEDMAN, R. A. Física III: Eletromagnetismo. 12ª ed. Pearson, São 
Paulo, Brasil, 2009. 
 
 
TIPLER, P A; MOSCA, G. Física: para cientistas e engenheiros, Volume 2. Sexta edição, 
Rio de Janeiro: LTC, 2009. 
 
 
Só física. Biografia de Gustav Robert Kirchhoff . Disponível em 
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Biografias/gustav_kirchhoff.php 
 
 
SOUZA, Rodrigo & TAVARES, Alvacir. Curso de eletromecânica/IFSUL. Capítulo 6 Leis 
de Kirchhoff. Disponível em 
http://professor.ucg.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/1949/material/LEIS%20DE%20KI
RCHHOFF-2.pdf