Relatório experimentos medindo a carga elementar

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THAÍS DOS SANTOS MORAES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXPERIMENTOS DE THOMSON, LENARD E MILLIKAN 
E A CARGA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Laboratório de Física Moderna 
Prof. Dr. Américo Tsuneo Fujii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Londrina 
2017 
1. INTRODUÇÃO 
 
 No final do século XIX e início do XX, os átomos eram conhecidos pelo 
modelo de John Dalton (1766-1844), este dizia que o átomo era esférico e 
maciço como uma “bola de bilhar”. Mas os cientistas já tinham conhecimento 
da propriedade elétrica dos materiais, a partir disso, experimentos utilizando 
diversas metodologias foram realizados buscando compreender melhor a 
estrutura atômica. 
 
2. RESUMO 
 
Foram utilizadas duas metodologias diferentes para a determinação da 
razão carga-massa e uma para encontrar a carga do elétron pela última parte 
de uma gota de óleo. A primeira foi proposta pelo físico inglês J. J. Thomson, 
que determinou a razão 
𝑒
𝑚
 através do tubo de raios catódicos. A segunda 
metodologia foi idealizada pelo alemão P. Lenard, que também determinou 
𝑒
𝑚
, 
mas utilizando a análise das forças centrípeta e magnética. A terceira foi 
realizada por R. A. Millikan, com o intuito de determinar mais claramente o valor 
da carga do elétron que já fora encontrada por Thomson. 
 
3. OBJETIVO 
 
Determinar a razão carga-massa do elétron 
𝑒
𝑚
 com os métodos de J. J. 
Thomson e P. Lenard, e encontrar a carga do elétron com o método de R. A. 
Millikan utilizando simulações computacionais para coletar os dados e 
posteriormente analisá-los através de tabelas, gráficos e cálculos. 
 
4. J. J. THOMSON 
 
4.1. METODOLOGIA 
Joseph John Thomson (1856-1940) foi um físico britânico que realizou 
experimentos fundamentais para o início do entendimento da estrutura atômica. 
Suas experiências com o tubo de raios catódicos permitiram concluir 
irrefutavelmente a existência dos elétrons. 
Neste experimento Thomson fez uma análise da deflexão que o feixe de 
raios catódicos sofria quando era exposto à ação de um campo magnético ou 
elétrico externo. A montagem feita por Thomson foi semelhante a que é 
mostrada na Figura 4.1. 
 
 
Figura 4.1 – Ilustração do tubo de raios catódicos usado no experimento de Thomson. 
 
A extremidade do tubo era revestida com um material fluorescente, de 
modo que o feixe produzisse um ponto de incandescência no local atingido. Foi 
colocada uma régua para fosse possível medir o ângulo de deflexão e realizar 
os cálculos. Para que houvesse essa deflexão seria necessário “perturbar” o 
feixe, e assim foram associadas à montagem duas placas paralelas (capacitor) 
para gerar campo elétrico e bobinas para gerar campo magnético. Quando o 
feixe passasse através destes campos sofreria uma defasagem devido às 
forças e assim seria possível medir este ângulo de fase. Ângulos foram 
medidos alternando a intensidade dos campos a procura da razão 
𝑒
𝑚
 que se 
conservaria. 
Primeiramente, Thomson ajustou os campos elétrico (�⃗� ) e magnético (�⃗� ) 
de modo a igualar suas forças, assim, o elétron não sofreria deflexão e seria 
possível medir está velocidade 𝑣 constrante. A Figura 4.2 é um diagrama dessa 
primeira situação. 
 
Figura 4.2 – Diagrama do elétron ileso às forças dos campos. 
 
 Igualando o módulo das forças elétrica e magnética: 
𝐹𝐸 = 𝐹𝐵 → 𝑒. 𝐸 = 𝑒. 𝑣. 𝐵 → 𝑣 =
𝐸
𝐵
 
 Obtendo essas medidas da velocidade, Thomson desligou o campo 
magnético, neste caso o elétron sofreria a força elétrica e sua trajetória deixaria 
de ser retilínea, como mostra a Figura 4.3. A velocidade do elétron teria 
componentes 𝑣𝑥 e 𝑣𝑦, a primeira é constante e também 𝑣𝑥 = 𝑣 da primeira 
situação, já a segunda é uma velocidade uniformemente acelerada. Thomson 
usou a cinemática e a mecânica para calcular a razão 
𝑒
𝑚
 com as grandezas que 
seriam medidas no experimento. 
 
Figura 4.3 – Diagrama do elétron sofrendo força elétrica. 
 
 Pelo M. U., o tempo gasto para o elétron percorrer 𝐿 é: 
𝑡 =
𝐿
𝑣𝑥
 
 𝑣𝑦 pelo M. U. V. é: 
𝑣𝑦 = 𝑎𝑦. 𝑡 → 𝑣𝑦 = 𝑎𝑦
𝐿
𝑣𝑥
 
 Isolando 𝑎𝑦: 
𝑎𝑦 = 𝑣𝑦
𝑣𝑥
𝐿
 → 𝑎𝑦 = 𝑣𝑦
𝑣𝑥
𝐿
𝑣𝑥
𝑣𝑥
 → 𝑎𝑦 =
𝑣𝑦
𝑣𝑥
𝑣𝑥
2
𝐿
 → 𝑎𝑦 = tan𝜃
𝑣𝑥
2
𝐿
 
 Igualando a força elétrica e a segunda Lei de Newton: 
𝐹𝐸 = 𝐹 → 𝑒. 𝐸 = 𝑚. 𝑎𝑦 → 𝑒. 𝐸 = 𝑚. tan 𝜃
𝑣𝑥
2
𝐿
 → 
𝑒
𝑚
= tan𝜃
𝑣𝑥
2
𝐸.𝐿
 
 Substituindo 𝑣 em 𝑣𝑥: 
𝑒
𝑚
= tan𝜃
𝐸
𝐵2. 𝐿
 
 
4.2. SIMULAÇÃO 
A Figura 4.4 representa o esquema do experimento de Thomson na 
simulação. A princípio a ideia foi aplicar um campo elétrico e um campo 
magnético, em variadas combinações, a fim de obter 𝑣 como foi descrito na 
metodologia. Foi feito o seguinte procedimento para colhimento de dados: 
ajustou-se a tensão em 20V, o feixe de elétrons defletiu para baixo, alterou-se 
a corrente até que o feixe retornasse a 0º. Repetiu-se a operação até 180V, de 
10 em 10V. O mesmo foi feito para valores negativos de tensão, indo de -20 a -
180V, só que desta vez o feixe era defletido para cima em função da mudança 
de sentido do campo elétrico. 
 
Figura 4.4 – Esquema da simulação, onde: 1) Capacitor gerando campo �⃗� , 2) Bobina 
gerando campo �⃗� , 3) Feixe de elétrons e 4) Escala para medir a deflexão do feixe. 
No segundo caso, foi alterado o valor da tensão de 10 em 10V 
novamente, variando do 25 ao 185V, mas com o campo magnético desligado. 
Assim, mediu-se variações no ângulo. Foram colhidos dados com a tensão 
negativa também, variando do -25 ao -185V. 
 
4.3. RESULTADOS 
As Tabelas 4.1 e 4.2 apresentam as medidas dos campos elétrico e 
magnético quando o feixe não sofre deflexão. 
 
Tabela 4.1 – Medidas variando a tensão entre 20 e 180V com o ângulo nulo. 
 
 
Tabela 4.2 – Medidas variando a tensão entre -20 e -180V com o ângulo nulo. 
Trial I (mA) V (V) | B | (mT) | E | (kV/m) Θ (degrees)
1 -5,2 20 0,047 1,33 0
2 -8,2 30 0,074 2 0
3 -11,4 40 0,103 2,67 0
4 -13,4 50 0,12 3,33 0
5 -16,4 60 0,147 4 0,1
6 -19,6 70 0,176 4,67 0
7 -21,8 80 0,196 5,33 0,1
8 -23,8 90 0,214 6 0,2
9 -27 100 0,243 6,67 0,1
10 -29 110 0,261 7,33 0,2
11 -32,2 120 0,29 8 0,2
12 -35,2 130 0,317 8,67 0,1
13 -39,4 140 0,354 9,33 0,3
14 -41,4 150 0,372 10 0,2
15 -43,4 160 0,39 10,67 0,1
16 -46,6 170 0,419 11,33 0,1
17 -49,6 180 0,446 12 0,1
Trial I (mA) V (V) | B | (mT) | E | (kV/m) Θ (degrees)
1 6 -20 0,054 1,33 0,1
2 8 -30 0,072 2 0
3 11,2 -40 0,101 2,67 0,1
4 13,2 -50 0,119 3,33 0,1
5 16,4 -60 0,147 4 0
6 18,4 -70 0,165 4,67 0,1
7 21,4 -80 0,192 5,33 0,2
8 24,6 -90 0,221 6 0
9 27,6 -100 0,248 6,67 0,1
10 29,8 -110 0,268 7,33 0,1
11 32,8 -120 0,295 8 0
12 36 -130 0,324 8,67 0
13 38 -140 0,342 9,33 0,1
14 41 -150 0,369 10 0,1
15 43,2 -160 0,388 10,67 0
16 46,2 -170 0,415 11,33 0,2
17 49,4 -180 0,444 12 0
A Tabela 4.3 é o ajuste do Gráfico 4.1 e a Tabela 4.4 é o ajuste do 
Gráfico 4.2, o parâmetro B dos ajustes é a razão 
𝐸
𝐵
 esta resulta em um valor 
constante de 𝑣𝑥 para cada gráfico. 
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005
0
3000
6000
9000
12000
15000
Ca
m
po
 e
lét
ric
o 
(V
/m
)
Campo magnético (T)
 
Gráfico 4.1 – Plot 𝐸𝑥𝐵 da Tabela 4.1. 
0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005
0
3000
6000
9000
12000
15000
Ca
m
po
 e
lé
tri
co
 (V
/m
)
Campo magnético (T)
 
Gráfico 4.2 – Plot 𝐸𝑥𝐵 da Tabela 4.2. 
 
 
Tabela 4.3 – Ajuste do Gráfico 4.1. 
 
Tabela 4.4 – Ajuste dográfico 4.2.
 
Pode-se ver que o sentido do campo elétrico não tem influência 
significativa no valor da velocidade, temos 𝑣𝑥 = 2,7𝑋10
7𝑚/𝑠. 
As Tabelas 4.5 e 4.6 apresentam as medidas do campo elétrico e do 
ângulo de deflexão quando não há campo magnético. 
A Tabela 4.7 é o ajuste do Gráfico 4.3 e a Tabela 4.8 é o ajuste do 
Gráfico 4.4, o parâmetro B dos ajustes é a razão 
tan𝜃
𝐸
 esta resulta em um valor 
constante essencial para o cálculo de 
𝑒
𝑚
. 
 
 
 
 
 
 
 
Função
Parâmetro Valor Erro
B 2,700E+07 2,6E+05
Y = A + B*XFunção
Parâmetro Valor Erro
B 2,717E+07 1,9E+05
Y = A + B*X
 
 
 
Tabela 4.5 – Medidas variando a tensão entre 25 e 185V com corrente nula. 
 
 
 
 
 
 
Tabela 4.6 – Medidas variando a tensão entre -25 e -185V com corrente nula. 
 
Trial I (mA) V (V) | B | (mT) | E | (kV/m) Θ (degrees)
1 0 25 0 1,67 1,3
2 0 35 0 2,33 1,7
3 0 45 0 3 2,3
4 0 55 0 3,67 2,8
5 0 65 0 4,33 3,2
6 0 75 0 5 3,7
7 0 85 0 5,67 4,2
8 0 95 0 6,33 4,7
9 0 105 0 7 5,2
10 0 115 0 7,67 5,7
11 0 125 0 8,33 6,2
12 0 135 0 9 6,6
13 0 145 0 9,67 7,3
14 0 155 0 10,33 7,6
15 0 165 0 11 8,2
16 0 175 0 11,67 8,6
17 0 185 0 12,33 9,1
Trial I (mA) V (V) | B | (mT) | E | (kV/m) Θ (degrees)
1 0 -25 0 1,67 1,2
2 0 -35 0 2,33 1,7
3 0 -45 0 3 2,2
4 0 -55 0 3,67 2,7
5 0 -65 0 4,33 3,3
6 0 -75 0 5 3,7
7 0 -85 0 5,67 4,2
8 0 -95 0 6,33 4,7
9 0 -105 0 7 5,3
10 0 -115 0 7,67 5,7
11 0 -125 0 8,33 6,1
12 0 -135 0 9 6,6
13 0 -145 0 9,67 7,2
14 0 -155 0 10,33 7,5
15 0 -165 0 11 8,2
16 0 -175 0 11,67 8,6
17 0 -185 0 12,33 9,3
0 3000 6000 9000 12000 15000
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
Ta
n(
)
Campo elétrico (V/m)
Gráfico 4.3 – Plot tan 𝜃 𝑥𝐸 da Tabela 4.5. 
 
 
Tabela 4.7 – Ajuste do Gráfico 4.3 
0 3000 6000 9000 12000 15000
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
Ta
n(
)
Campo elétrico (V/m)
Gráfico 4.4 – Plot tan 𝜃 𝑥𝐸 da Tabela 4.6. 
 
 
Tabela 4.8 – Ajuste do Gráfico 4.4.
 
Como no caso anterior, o sentido do campo não teve uma diferença 
considerável, essa diferença seria a ação da força gravitacional agindo no 
elétron, mas ela tem uma intensidade muito baixa. O valor da razão é 
tan𝜃
𝐸
= 1,3𝑋10−5 𝑚/𝑉, com estes resultados e o valor de 𝐿 (distância entre as 
placas do capacitor. 𝐿 = 0,055𝑚) é possível calcular a razão 
𝑒
𝑚
. 
𝑒
𝑚
= tan 𝜃
𝑣𝑥
2
𝐸. 𝐿
=
1,3𝑋10−5𝑋(2,7𝑋107)2
0,055
 = 1,722𝑋1011𝐶/𝑘𝑔 
Calculando o erro por propagação de erro: 
𝜎 𝑒
𝑚
=
𝑒
𝑚
.√(
√1,02 + 0,712 𝑋10−7
(1,310 + 1,296)𝑋10−5
2
)
2
+ (
√1,62 + 2,92 𝑋105
(2,700 + 2,717)𝑋107
2
)
2
 
𝜎 𝑒
𝑚
= 1,7𝑋109𝐶/𝑘𝑔 
Portanto, o resultado final da simulação do experimento de Thomson foi: 
𝑒
𝑚
= (1,722 ± 0,017)𝑋1011𝐶/𝑘𝑔 
Para provar que esta razão era uma propriedade da matéria, Thomson 
testou materiais diferentes e o valor se manteve constante. O trabalho de 
Thomson foi recompensado com o Prêmio Nobel de Física em 1906. O valor 
desta razão com a precisão de hoje é aproximadamente 1,7588 C/kg. 
 
Função
Parâmetro Valor Erro
B 1,2967E-05 7,1E-08
Y = A + B*XFunção
Parâmetro Valor Erro
B 1,310E-05 1,0E-07
Y = A + B*X
5. P. LENARD 
 
5.1. METODOLOGIA
Philipp Eduard Anton von Lenard (1862-1947) foi um físico alemão que 
alegou corretamente que a maior parte dos átomos era um espaço vazio. O 
experimento de Lenard, utilizando a bobina de Helmholtz (este trabalhou com 
Lenard na Universidade de Heidelberg), propôs outra metodologia para a 
obtenção da razão carga-massa. O experimento também foi uma confirmação 
dos resultados de Thomson. 
Na construção de Lenard, um tubo com um filamento através do qual 
elétrons são acelerados por uma diferença de potencial 𝑉. Devido a isso alguns 
conseguem “escapar”, entram no campo magnético 𝐵 gerado por uma bobina 
de Helmholtz e são desviados num movimento circular de raio 𝑟. 
 Igualando a força centrípeta à força magnética e sendo 𝑣 a 
velocidade do elétron: 
𝐹𝑐 = 𝐹𝐵 → 
𝑚𝑣2
𝑟
= 𝑒𝑣𝐵 → 
𝑒
𝑚
=
𝑣
𝑟𝐵
 
 Igualando a energia cinética à energia potencial elérica: 
𝐾 = 𝑈 → 
𝑚𝑣2
2
= 𝑒𝑉 → 𝑣2 = 
2𝑒𝑉
𝑚
 
 Elevando a primeira equação ao quadrado e substituindo 𝑣2: 
𝑒²
𝑚²
=
2𝑞𝑉
𝑚𝑟²𝐵²
 → 
𝑒
𝑚
=
2𝑉
𝑟²𝐵²
 
 O campo magnético gerado por uma bobina de Helmholtz é: 𝐵 =
8𝜇0𝑁𝑖
𝑅𝐵√125
 
onde 𝑁 = 72 é o número de espiras, 𝜇0 = 4π𝑋10
−7𝑇𝑚/𝐴 é a constante de 
permeabilidade do vácuo e 𝑅𝐵 = 0,33𝑚 é o raio da bobina. Com as medidas de 
𝑉, 𝑟 e 𝐵 Lenard conseguiu determinar a razão 
𝑒
𝑚
. 
 
5.2. SIMULAÇÃO 
A Figura 5.1 retrata a montagem da simulação do experimento. No 
experimento os elétrons do feixe são acelerados pela diferença de potencial 𝑉 
no filamento e desviados em um movimento circular de raio 𝑟 pelo campo 
magnético. 
 
Figura 5.1 – Diagrama da montagem experimental de Lenard. 
 
Primeiro foi selecionada a tensão em 20V, ajustou-se a corrente para 
que o feixe atingisse cada um dos cinco pontos verdes dentro do tubo e foram 
coletados os dados. O procedimento foi repetido para os valores de tensão 20, 
25, 30 e 35V. 
 
5.3. RESULTADOS 
A Tabela 5.1 apresenta dos dados colhidos na simulação e sua última 
coluna é o produto do quadrado do raio da trajetória e do campo magnético. 
Pode se ver que estas duas grandezas são inversamente proporcionais e que 
para um mesmo valor de tensão o produto é constante. 
 
Tabela 5.1 – Dados da simulação. 
Trial Voltage (V) Current (A) Radius (m) B field (T) r²B²
1 20,0 2,41 0,0319 4,73E-04 2,27E-10
2 20,0 2,00 0,0384 3,92E-04 2,27E-10
3 20,0 1,73 0,0446 3,39E-04 2,29E-10
4 20,0 1,50 0,0513 2,94E-04 2,28E-10
5 20,0 1,34 0,0573 2,63E-04 2,27E-10
6 25,1 2,69 0,0321 5,28E-04 2,87E-10
7 25,1 2,24 0,0385 4,39E-04 2,86E-10
8 25,1 1,93 0,0446 3,79E-04 2,85E-10
9 25,1 1,69 0,0511 3,32E-04 2,87E-10
10 25,1 1,51 0,0572 2,96E-04 2,87E-10
11 30,0 2,95 0,0320 5,79E-04 3,43E-10
12 30,0 2,44 0,0386 4,79E-04 3,41E-10
13 30,0 2,12 0,0445 4,16E-04 3,43E-10
14 30,0 1,84 0,0513 3,61E-04 3,43E-10
15 30,0 1,65 0,0573 3,24E-04 3,44E-10
16 35,1 3,18 0,0320 6,24E-04 3,99E-10
17 35,1 2,64 0,0386 5,18E-04 4,00E-10
18 35,1 2,29 0,0446 4,49E-04 4,01E-10
19 35,1 2,00 0,0510 3,92E-04 4,00E-10
20 35,1 1,79 0,0570 3,51E-04 4,01E-10
A Tabela 5.2 é um ajuste do Gráfico 5.1 onde 𝑌 = 2𝑉 e 𝑋 = 𝑟²𝐵². Com 
esta metodologia a razão 
𝑒
𝑚
 é obtida diretamente do parâmetro B da tabela. 
2,50E-010 3,00E-010 3,50E-010 4,00E-010
40
45
50
55
60
65
70
75
Te
ns
ão
 (V
)
r²B² (m²T²)
Gráfico 5.1 – Plot 2𝑉 𝑥 𝑟²𝐵² da Tabela 5.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 5.2 – Ajuste do Gráfico 5.1. 
 
 O valor da razão encontrada pelo experimento de Lenard foi 
𝑒
𝑚
= (1,7497 ± 0,0060)𝑋1011𝐶/𝑘𝑔, este valor se aproxima mais do atual e tem um 
erro dez vezes menor do que o obtido por Thomson. 
 
6. R. A. MILLIKAN 
 
6.1. METODOLOGIA 
Robert Andrews Millikan (1868-1953) foi um físico americano que 
demonstrou experimentalmente que a carga é quantizada. Millikan fez várias 
tentativas e aprimoramentos até chegar ao método que consta neste relatório. 
Em suma, ele e seu estudante Begeman iniciaram a repetição do 
experimento desenvolvido por Thomson na determinação da carga do elétron 
e após três etapas de trabalho na criação de uma metodologia eficiente, 
chegarama o da gota de óleo. Durante a pulverização do óleo, algumas 
gotículas ionizam-se por atrito negativa e positivamente. Quando atravessam 
o capacitor, que é uma fonte de campo elétrico, interagem com o mesmo. 
Ligando e desligando a bateria, na frequência correta, é possível selecionar 
alguma gotícula que está negativamente carregada e realizar medidas do 
tempo que ela leva para atravessar uma distância fixa observada do 
microscópio. Tudo foi feito primeiro por Fletcher, com equipamento rústico, 
Função
Parâmetro Valor Erro
B 1,7497E+11 6,0E+08
Y = A + B*X
depois Millikan aperfeiçoou-o (Figura 6.1) e obteve resultados muito 
satisfatórios para a carga do elétron. 
 
 
Figura 6.1 – Foto do aparato original do experimento de Millikan. 
 
 A Figura 6.2 mostra um diagrama das forças agindo sobre uma gota de 
óleo. 
 
Figura 6.2. – Diagrama de forças sob uma gota sendo (a) a gota caindo com o campo 𝐸 
desligado e (b) a gota subindo com o campo ligado, onde 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔 é a força de atrito do ar (sentido 
contrário ao movimento). 
 
 No caso (a) tem-se: 
𝑚𝑔 = 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔 → 𝑚𝑔 = 𝐾𝑣𝑑 → 𝐾 =
𝑚𝑔
𝑣𝑑
 
Sendo 𝑞 a carga da gota de óleo, 𝑣𝑑 a velocidade da gota na queda e 
𝐾 = 6πμ𝑟 é a constante de Stokes onde 𝜇 é a viscosidade do ar e 𝑟 é o raio da 
gota. 
 No caso (b) tem-se: 
𝑚𝑔 + 𝐹𝑑𝑟𝑎𝑔 = 𝑞𝐸 → 𝑚𝑔 + 𝐾𝑣𝑠 = 𝑞𝐸 
Onde 𝑣𝑠 é a velocidade da gota na subida. 
 Substituindo 𝐾 de (a) em (b): 
𝑚𝑔 +
𝑚𝑔
𝑣𝑑
𝑣𝑠 = 𝑞𝐸 → 𝑞 =
𝑚𝑔 (1 +
𝑣𝑠
𝑣𝑑
)
𝐸
 
 Não é possível medir a massa de uma gota diretamente, mas sabe-se 
que a massa de um corpo é o produto da sua densidade 𝜌 por seu volume 
𝑉 =
4
3
π𝑟³. 
 Utilizando novamente a igualdade do caso (a): 
𝑚𝑔 = 𝐾𝑣𝑑 → ρ
4
3
π𝑟3𝑔 = 6πμ𝑟 → 𝑟2 =
9𝜇𝑣𝑑
2𝜌𝑔
 → 𝑟 = √
9𝜇𝑣𝑑
2𝜌𝑔
 
 Substituindo em 𝑞: 
𝑞 =
𝑚𝑔 (1 +
𝑣𝑠
𝑣𝑑
)
𝐸
 → 𝑞 =
𝜌
4
3π𝑟³𝑔 (1 +
𝑣𝑠
𝑣𝑑
)
𝐸
 → 𝑞 =
𝜌
4
3π
9𝜇𝑣𝑑
2𝜌𝑔
√
9𝜇𝑣𝑑
2𝜌𝑔 𝑔 (1 +
𝑣𝑠
𝑣𝑑
)
𝐸
 
𝑞 =
18π(𝜇𝑣𝑑)
3/2 (1 +
𝑣𝑠
𝑣𝑑
)
𝐸√2𝜌𝑔
 
 
6.2. SIMULAÇÃO 
A Figura 6.2 mostra a simulação do experimento de Millikan e a Tabela 
6.1 mostra os valores das constantes utilizadas no cálculo das cargas das 
gotas de óleo. 
 
 
Figura 6.2 – (a) Ilustração do interior do aparato. (b) Ilustração do visor do microscópio. 
 
Tabela 6.1 – Constantes do experimento: 𝑑 é a distância do retículo, 𝐿 é distância entre as 
placas do capacitor, 𝜌 é a densidade do óleo, 𝜇 é a viscosidade do ar e 𝑉 é a tensão aplicada. 
 
 Os únicos dados coletados foram os tempos de subida e descida das 
gotas 𝑡𝑠 e 𝑡𝑑 respectivamente. Utilizando os dados da Tabela 6.1 e a última 
equação da metodologia, determinasse uma expressão final para uma carga 𝑞 
de óleo: 
𝑞 =
18π𝐿 (𝜇
𝑑
𝑡𝑑
)
3/2
(1 +
𝑡𝑑
𝑡𝑠
)
𝑉√2𝜌𝑔
 
 
6.3. RESULTADOS 
A Tabela 6.2 mostra as medidas de tempo coletadas para cada gota e a 
Tabela 6.3, a média para cada gota. 
 
 
Tabela 6.2 – Dados do experimento, 𝑡𝑠 e 𝑡𝑑 em segundos. 
 
Tabela 6.3 – Média dos 𝑡𝑠 e 𝑡𝑑 e seus desvios em segundos. 
d 6E-04 m
L 6E-03 m
ρ 8,85E+02 kg/m³
μ 1,81E-04 Ns/m²
V 5,50E+02 V
g 9,8E+00 m/s²
ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td
1 5,46 1,94 2,20 3,06 2,98 1,84 2,84 2,86 2,82 3,08 2,98 3,16 2,48 2,86 2,46 2,10 2,06 2,02 2,50 2,26
2 5,40 2,12 2,42 3,46 2,96 1,84 2,90 2,96 2,74 3,12 3,16 3,04 2,50 2,82 2,54 2,10 2,08 2,00 2,44 2,18
3 4,44 2,02 2,42 3,50 3,30 1,70 3,20 3,16 3,06 3,42 3,18 3,40 2,80 3,08 2,62 2,10 2,10 1,96 2,36 2,26
4 4,44 1,90 2,24 3,52 3,26 2,00 3,26 3,20 3,16 3,28 3,20 3,32 2,50 3,16 2,98 2,24 2,24 2,16 2,60 2,40
5 4,50 1,92 2,28 3,08 3,26 1,90 3,12 3,24 2,96 3,44 2,98 3,48 2,58 2,84 2,88 2,22 2,32 2,26 2,68 2,46
6 4,52 1,96 2,24 3,04 3,18 2,02 2,94 2,84 2,74 3,08 3,04 3,04 2,58 2,74 2,84 2,22 2,30 2,24 2,74 2,42
7 5,40 2,02 2,16 3,08 2,84 1,84 2,90 2,84 2,76 3,22 2,94 3,04 2,56 2,86 2,82 2,34 2,40 2,30 2,28 2,14
8 5,40 2,10 2,22 3,16 3,00 1,84 2,86 2,76 2,62 3,04 2,90 2,98 2,50 2,72 2,60 2,14 2,22 2,00 2,34 2,14
9 5,44 2,02 2,24 3,12 2,94 1,86 2,96 2,94 2,80 3,08 3,10 2,98 2,48 2,76 2,60 2,12 2,04 1,96 2,30 2,12
10 5,40 2,06 2,22 3,14 3,00 1,78 2,96 3,02 2,80 3,12 2,94 2,96 2,52 2,78 2,58 2,08 2,10 1,96 2,36 2,22
Gota 7 Gota 8 Gota 9 Gota 10
Trial
Gota 1 Gota 2 Gota 3 Gota 4 Gota 5 Gota 6
ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td ts td
Média 5,04 2,01 2,26 3,22 3,07 1,86 2,99 2,98 2,85 3,19 3,04 3,14 2,55 2,86 2,69 2,17 2,19 2,09 2,46 2,26
Desvio 0,46 0,07 0,08 0,19 0,15 0,09 0,14 0,16 0,16 0,14 0,10 0,18 0,09 0,14 0,16 0,08 0,12 0,13 0,16 0,12
Gota 5Gota 4Gota 3Gota 2Gota 1 Gota 10Gota 9Gota 8Gota 7Gota 6
Usando os valores de 𝑡𝑠 e 𝑡𝑑 e a expressão para 𝑞, foi calculado um 
valor médio da carga de cada gota, como é representado na Tabela 6.4. 
 
 
Tabela 6.4 – Carga 𝑞 de cada gota de óleo. 
 
Não teria muito sentido analisar esses dados a procura de um número 
de que estes resultados são múltiplos. Quanto Millikan realizou este 
experimento ele coletou resultados de centenas de gotas para poder obter um 
resultado aproximado de 𝑒. Millikan recebeu o prêmio Nobel de física de1923 
por seu estudo sobre a carga elementar e efeito fotoelétrico. 
 
7. CONCLUSÃO 
 
Através das simulações na plataforma KCVS foi possível reproduzir 
experimentos que foram indispensáveis na evolução da física, a descoberta 
da quantização da carga e o desenvolvimento do modelo atómico são 
grandes feitos na história da ciência. 
Os valores de 
𝑒
𝑚
 obtidos nas simulações foram 
(1,722 ± 0,017)𝑋1011𝐶/𝑘𝑔 com experimento de Thomson e 
(1,7497 ± 0,0060)𝑋1011𝐶/𝑘𝑔 com o de Lenard. As duas metodologias foram 
satisfatórias, hoje tem-se que razão é aproximadamente 1,7588 C/kg. 
O resultado obtido por Millikan em 1909 foi 𝑒 = 1,67𝑋10−19𝐶, muito 
próximo do obtido em 1986 𝑒 = 1,60217738𝑋10−19𝐶 que é resultado usado até 
hoje. 
 
Gota Carga (C )
1 2,61E-18
2 2,22E-18
3 3,35E-18
4 2,05E-18
5 1,97E-18
6 1,94E-18
7 2,32E-18
8 3,00E-18
9 3,44E-18
10 2,99E-18
8. REFERÊNCIAS 
 
CHESMAN, C; ANDRÉ, C; MACÊDO, A. Física Moderna experimental e 
aplicada. Pág. 114 e 121. Livraria da Física, 2004. 
 
“Thomson’s e/m experiment” e “Millikan-like experiment”. The King’s 
Centre for Visualization in Science. 
<http://www.kcvs.ca/site/projects/physics.html> 
 
“Joseph John Thomson”, “Phillip Lenard” e “Robert Andrews Millikan”. 
Wikipedia, The Free Encyclopedia. <http://en.wikipedia.org>