Analise dimensional

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ANÁLISE DIMENSIONAL e SEMELHANÇA 
Professora Márcia Maria Guimarães 
http://wwwmecanicadosfluidos.blogspot.com.br/2010/11/analise-dimensional-e-semelhanca.html 
Objetivos 
 Estabelecer os parâmetros necessários 
para guiar estudos experimentais 
 
 Apresentar a técnica usada para aplicar os 
resultados de estudos de modelos a 
protótipos para uma variedade de situação 
de escoamento 
 Extrair os parâmetros do escoamento 
das equações diferenciais e condições 
de contorno usados para guiar estudos 
computacionais 
Objetivos 
 Fornecer exemplos e problemas que 
ilustrem a utilização de parâmetros 
adimensionais dos escoamentos, como 
estudos de modelo e permitir prever 
quantidades de interesse em um 
protótipo e verificar o uso de equações 
diferenciais normalizadas; 
Objetivos 
Introdução 
Grandezas básicas que representam as dimensões primárias que podem ser usadas 
para representar qualquer outra grandeza ou grupo de grandezas físicas : 
Introdução 
Muitas unidades possuem nomes especiais: 
Força = Newton = N 
F = m.a 
2
2
][
.


TLMN
s
m
kgN
Outros exemplos: 
J = Joule 
W = Watt 
Energia = Força * Distância 
Energia = (kg m/s2) * (m) 
Energia = kg*m2/s2 = J (Joule) 
[E] = M L2 T-2 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) adota o Joule (J) para unidade de 
energia. 
O watt (símbolo: W) é a unidade de potência do Sistema Internacional de 
Unidades (SI). É equivalente a um joule por segundo (1 J/s). 
 
A unidade watt recebeu este nome em homenagem a James Watt, pelas 
suas contribuições para o desenvolvimento do motor a vapor, e foi 
adotada pelo segundo congresso da associação britânica para o avanço 
da ciência em 1889. 
 
W = J·s-1 = kg·m2·s-3 
 
[W] = M L2 T-3 
 
 
Introdução 
Símbolos e Dimensões em Mecânica dos Fluidos 
Quantidade Símbolo Dimensões 
GEOMÉTRICAS 
Área A (dimensão)2 L2 
Volume V (dimensão)3 L3 
CINEMÁTICAS 
Velocidade V distância/tempo L/T = L T-1 
Vel. angular w T-1 
Vazão Q m3/s L3/T = L3 T-1 
Fluxo de massa m kg/tempo M/T = M T-1 
Aceleração a distância/tempo2 L/T2= L T-2 
Símbolos e Dimensões em Mecânica dos Fluidos 
Quantidade Símbolo Dimensões 
DINÂMICAS 
Força F massa x aceleração M L/T2 = M L T-2 
Torque, 
trabalho 
T, W M L2 T-2 
Energia E M L2 T-2 
Potencia, fluxo 
de calor 
W, Q M L2/T3 = M L2 T-3 
Pressão p M/LT2 = M L-1 T-2 
Símbolos e Dimensões em Mecânica dos Fluidos 
Grandezas GEOMÉTRICAS 
Quantidade Símbolo Dimensões 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS 
Massa específica  massa/volume M L-3 
Viscosidade  M L-1 T-1 
Viscosidade 
cinemática  L
2 T-1 
Tensão sup.  M T-2 
Condutividade 
térmica 
k M L T-3 
Calor específico Cp 
M L2 T-2 -1 
 
Peso específico g M/L2T2= M L-2 T-2 
Condição em que todos os termos de uma 
equação têm as mesmas dimensões. 





2
2
2
2
m
1
sm/kg
sm/kg
1
s/m
s/m
2
1 z
p
g2
V
z
p
g2
V
22
2
2
22

g

g


Homogeneidade dimensional 
Exercício 1 
 
A pressão pode ser obtida por: 
 
Essas duas equações possuem 
consistência dimensional ? área
F
P
ou
hgP

 ..
Exercício 2 
 
Qual a dimensão do número de Reynolds, dado pela equação 
abaixo ?? 

 ..
Re
D
N 
]./:.[cos scmgexidadevis
densidade
velocidade
diâmetroD







Exercício 3 
Explique se a seguinte equação para a vazão através de um 
vertedouro retangular tem consistência dimensional. (Esta é a 
equação de Francis modificada). 
ghhLq 2)2,0(415,0
5,1
00
q = vazão volumétrica [m3/s]; 
L = altura da crista [m]; 
h0 = carga acima do vertedouro [m]; 
g = aceleração da gravidade [m/s2]. 
Exercício 4 
Um medidor de orifício é usado para medir a vazão em 
tubulações. As vazões estão relacionadas com a queda de 
pressão por uma equação da forma: 

P
cu

 .
u = velocidade do fluido 
c = constante de proporcionalidade 
 = densidade do fluido 
ΔP = queda de pressão 
Qual é a unidade de c no sistema SI ? 
15 
Semelhança 
Estudo da previsão das 
condições do protótipo 
a partir de observações 
de modelos 
A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais 
obtidos da análise dimensional 
 Modelo em escala de 
edifícios grandes de 
uma cidade. 
 O escoamento do ar ao 
redor dos edifícios é 
estudado. 
 Os elementos ásperos 
no chão geram a 
turbulência desejada 
nas paredes. 
Exemplo 
 Para ser possível esta comparação entre o 
modelo e a realidade, é indispensável que os 
conjuntos de condições sejam FISICAMENTE 
SEMELHANTES : 
 
•Semelhança Geométrica 
•Semelhança Cinemática 
•Semelhança Dinâmica 
Semelhança 
• Semelhança de forma; 
• A propriedade característica dos sistemas 
geometricamente semelhantes é que a 
razão entre qualquer comprimento no 
modelo e o seu comprimento 
correspondente é constante; 
• Esta razão é conhecida como FATOR DE 
ESCALA. 
Semelhança Geométrica 
 Deve-se lembrar que não só a forma global 
do modelo tem que ser semelhante como 
também a rugosidade das superfícies deveria 
ser geometricamente semelhante; 
 
– Muitas vezes, a rugosidade de um modelo 
em escala reduzida não pode ser obtida de 
acordo com o fator de escala – problema de 
construção/de material/de acabamento das 
superfícies do modelo. 
 
Semelhança Geométrica 
 é a semelhança do movimento, o que implica 
necessariamente semelhança de comprimentos 
(semelhança geométrica) e semelhança de intervalos 
de tempo; 
 
 
– Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. 
 
O firmamento é reproduzido de acordo com um certo 
fator de escala de comprimento e, ao copiar os 
movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de 
intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e 
acelerações. 
 
 
Semelhança Cinemática 
– É a semelhança das forças; 
 
– Dois sistemas são dinamicamente 
semelhantes quando os valores absolutos das 
forças, em pontos equivalentes dos dois 
sistemas, estão numa razão fixa; 
 
 
Semelhança Dinâmica 
 Origens das Forças que determinam o 
comportamento dos Fluidos: 
 
– Forças devido às diferenças de Pressão; 
– Forças resultantes da ação da viscosidade; 
– Forças devido à tensão superficial; 
– Forças elásticas; 
– Forças de inércia; 
– Forças devido à atração gravitacional. 
 
 
Semelhança Dinâmica 
 Exemplos de estudos em modelos 
 
– Ensaios em túneis aero e hidrodinâmicos 
– Escoamento em condutos 
– Estruturas hidráulicas livres 
– Resistência ao avanço de embarcações 
– Máquinas hidráulicas 
 
Semelhança Dinâmica 
Parâmetros Adimensionais Comuns 


w



lV
Número
V
l
Número
c
V
Número
V
Número
lV
Número
V
p
Número
2
2
 We Weber,de 
St Strouhal, de 
M Mach, de 
lg
Fr Froude, de 
Re Reynolds, de 
Eu Euler, de 














w




 lV
,
V
l
,
c
V
,
lg
V
,
lV
f
V
p 22
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Significado Físico 
inercial força
pressão de força
Eu 
Escoamento nos quais a queda pressão é significativa. 
Tem extensa aplicação nos estudos de máquinas 
hidráulicas e aerodinâmicos. 
Número de Euler 
Significado Físico 
viscosa força
inercial força
Re 
Escoamento influenciados por efeitos viscosos. Um número 
de Reynolds "crítico“ diferenciaos regimes de escoamento 
laminar e turbulento em condutos na camada limite ou ao 
redor de corpos submersos. 
Número de Reynolds 
Significado Físico 
gravidade da força
inercial força
Fr 
Escoamento influenciados pela gravidade: ressaltos 
hidráulicos, escoamento com superfície livre 
Número de Froude 
ilidadecompressib deou elásticas forças
inercial força
M 
Significado Físico 
É uma medida da relação entre a energia cinética do escoamento e a 
energia interna do fluido. 
Número de Mach 
Significado Físico 
Número de Strouhal 
V
lw
St 
Descreve mecanismos de fluxo oscilante 
lsuperficia tensão de força
inercial força
We 
Significado Físico 
É importante no estudo das interfaces gás-líquido ou 
líquido-líquido e também onde essas interfaces estão em 
contato com um contorno sólido. 
Número de Weber 
Outros Sistemas 
Outros Sistemas 
Outros Sistemas 
Outros Sistemas 
Outros Sistemas