Lista 6 Integrais Dupla

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Universidade Federal de Uberlaˆndia - Lista 6 - Ca´lculo 2
Profa. Dra. Taciana Oliveira Souza
(1) Calcule as integrais iteradas:
(a)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy)dxdy. Resp.: 10. (b)
∫ pi
2
0
∫ pi
2
0
sen(x)cos(y)dydx. Resp.: 1.
(c)
∫ 3
0
∫ 1
0
√
x+ y dxdy. Resp.:
4
15
(31− 9
√
3). (d)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dxdy. Resp.:
21
2
ln(2).
(e)
∫ ln 2
0
∫ ln 5
0
e2x+ydxdy. Resp.: 12.
(2) Calcule as integrais duplas:
(a)
∫∫
R
(6x2y3 − 5y4)dA, R = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}. Resp.: 21
2
(b)
∫∫
R
xyeydA, R = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. Resp.: 2.
(c)
∫∫
R
xy2
x2 + 1
dA, R = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3}. Resp.: 9ln(2).
(d)
∫∫
R
xsen(x+ y)dA, R =
[
0, pi
6
]× [0, pi
3
]
. Resp.:
√
3− 1
2
− pi
12
.
(e)
∫∫
R
1
x+ y
dA, R = [1, 2]× [0, 1]. Resp.: ln
(
27
16
)
.
(3) Calcule o volume do so´lido contido abaixo do plano z = 2x + 5y + 1 e acima do retaˆngulo
R = {(x, y) ∈ R2/− 1 ≤ x ≤ 0, 1 ≤ y ≤ 4}. Resp.: 75
2
(u.v).
(4) Calcule o volume do so´lido contido abaixo do parabolo´ide el´ıptico
x2
4
+
y2
9
+ z = 1 e acima
do retaˆngulo R = [−1, 1]× [−2, 2]. Resp.: 166
27
(u.v).
(5) Calcule o volume do so´lido contido abaixo da super´ıcie z = y2 − x2 e acima do retaˆngulo
R = [−1, 1]× [1, 3]. Resp.: 16 (u.v).
(6) Calcule o volume do so´lido limitado pela super´ıcie z = x
√
x2 + y e pelos planos x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0. Resp.:
4
15
(2
√
2− 1) (u.v).
(7) Calcule a integral iterada
(a)
∫ 1
0
∫ x2
0
(x+ 2y)dydx, Resp.:
9
20
(b)
∫ pi
2
0
∫ cos(θ)
0
esen(θ)drdθ, Resp.: e− 1
(c)
∫ 1
0
∫ 3
3y
ex
2
dxdy, Resp.:
e9 − 1
6
(d)
∫ 3
0
∫ 9
y2
ysen(x2)dxdy, Resp.:
1− cos(81)
4
(e)
∫ 1
0
∫ √1−x2
0
ex
2+y2dydx, Resp.:
pi(e− 1)
4
(f)
∫ 2
0
∫ √4−y2
−
√
4−y2
x2y2dxdy, Resp.:
4pi
3
(g)
∫ 4
0
∫ √4y−y2
0
(x2 + y2)dxdy, Resp.: 12pi (h)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
ydydx, Resp.: 0
(8) Calcule a integral dupla
(a)
∫∫
D
4y
x3 + 2
dA, D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x}. Resp.: 8(ln(10)− ln(3))
3
.
(b)
∫∫
D
2y
x2 + 1
dA, D = {(x, y) ∈ R2/0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ √x}. Resp.: ln(2)
2
.
(c)
∫∫
D
e
x
y dA, D = {(x, y) ∈ R2/1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y3}. Resp.: e
4 − 4e
2
.
(d)
∫∫
D
xcos(y)dA, D e´ limitada por y = 0, y = x2, x = 1. Resp.:
1− cos(1)
2
.
(e)
∫∫
D
y3dA, D e´ a regia˜o triangular com ve´rtices (0, 2), (1, 1) e (3, 2). Resp.:
147
20
.
(f)
∫∫
D
(2x− y)dA, D e´ limitada pelo c´ırculo de centro na origem e raio 2. Resp.: 0.
(g)
∫∫
D
e−x
2−y2dA, D e´ limitada pelo semic´ırculo x =
√
4− y2 e o eixo y. Resp.: pi(1− e
−4)
2
.
(h)
∫∫
D
(x+ y)dA, D e´ limitada por x+ y = 4, x+ y = 0, y − x = 0 e y − x = −1. Resp.: 4.
(i)
∫∫
D
(x− y)dA, D e´ limitada por x− y = 0 x− y = 1, y = 2x e y = 2x− 4. Resp.: 2.
(j)
∫∫
D
e(x+y)/(x−y)dA, D e´ a regia˜o trapezoidal com ve´rtices (1, 0), (2, 0), (0,−2) e (0,−1).
Resp.:
3
4
(e− e−1).
(k)
∫∫
D
xydA, D e´ a regia˜o limitada pelas retas 2x − y = 1, 2x − y = −3, 3x + y = 1 e
3x+ y = −2. Resp.: − 66
125
(l)
∫∫
D
x2dA, D e´ a regia˜o limitada pela elipse 9x2 + 4y2 = 36. Resp.: 6pi.
(m)
∫∫
D
√
x2 + y2dA, D e´ a regia˜o limitada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9. Resp.:
52pi
3
.
(n)
∫∫
D
xdA, D e´ a regia˜o limitada por x2 + y2 − 4x = 0. Resp.: 8pi.
(9) Calcule o volume do so´lido abaixo do parabolo´ide z = x2 + y2 e acima da regia˜o limitada
por y = x2 e x = y2. Resp.:
6
35
(u.v).
(10) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada pela elipse de equac¸a˜o
4x2 + 9y2 = 36. Resp.: 6pi (u.a).
(11) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada por x = y2 + 1 e x+ y = 3.
Resp.:
9
2
(u.a).
(12) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada por y = x3, x + y = 2 e
y = 0. Resp.:
3
4
(u.a).
(13) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada pela curva polar de equac¸a˜o
r = 3 + 2 sen(θ). Resp.: 11pi (u.a).
(14) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada pela curva polar de equac¸a˜o
r = 4(1− sen(θ)). Resp.: 24pi (u.a).
(15) Use a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o D limitada por um lac¸o da rosa´cea de
equac¸a˜o r = cos(3θ). Resp.:
pi
12
(u.a).