Taxas Relacionadas

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Centro Universitário do Norte Paulista - UNORP 
Engenharia Química – 5o ano 
Exercícios – Taxas Relacionadas 
Disciplina: Modelagem e Simulações de Processos Período: 5º ano 
Professor: Carlos Benatti Data: 01/04/2016 
 
 
Taxas Relacionadas 
 
Há vários problemas em que uma quantidade está relacionada à outra, e ambas variam em 
função de uma terceira. Em geral, quando duas ou mais quantidades estão relacionadas umas as 
outras, suas taxas de variação em relação ao tempo estão também relacionadas. Assim, se uma 
variável x é função do tempo t, a taxa de variação de x em relação ao tempo é dada por . Se uma 
segunda variável y também varia em função de t, tem-se . Quando duas ou mais variáveis, todas 
as funções de t, são relacionadas entre si por uma equação, a relação entre suas taxas de variação 
pode ser obtida diferenciando a equação em relação a t. Um problema desse tipo é chamado de 
problema de taxas relacionadas. 
Não é incomum um problema envolver várias taxas de variação. Em problemas de taxas 
relacionadas há a preocupação com as relações entre as várias variáveis e como a taxa de variação de 
uma afeta a taxa de variação da outra. 
Vejamos o exemplo abaixo: 
Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está 
perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma a direção leste. Quando a viatura 
está a 6 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 mi a leste, o radar da polícia detecta que a 
distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 mi/h. Se a viatura está se deslocando a 
60 mi/h no instante dessa medida, qual é a velocidade do fugitivo? 
Em primeiro lugar, recomenda-se que se faça uma figura da situação envolvida, se for 
possível. Depois, as variáveis devem ser definidas. Em geral, as variáveis dependem de t, que quase 
sempre é o tempo. Deve-se então escrever todos os fatos numéricos conhecidos sobre as variáveis e 
suas derivadas em relação a t, e obter uma equação envolvendo as variáveis que dependem de t. Em 
seguida, derivam-se em relação à t ambos os membros da equação encontrada na etapa anterior. 
Por fim, substituem-se os valores de quantidades conhecidas na equação da etapa anterior e resolve-
se em termos da quantidade desejada. 
Vamos proceder à resolução do problema da perseguição na rodovia destacando as etapas 
anteriormente descritas. 
O desenho da situação descrita pelo problema deve ser feito considerando o carro do 
fugitivo e a viatura no plano, usando o eixo x positivo como a parte da estrada que vai para o leste e 
o eixo y positivo como a parte da estrada que vem do norte. 
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Figura – Perseguição na rodovia 
 
Com relação às variáveis, t é o tempo, x é a posição do carro do fugitivo no tempo t, y é a 
posição da viatura no tempo t, e s é a distância entre o carro do fugitivo e a viatura no tempo t. 
Nesse caso, x, y e s são funções deriváveis em relação à t. 
Quais são as informações fornecidas pelo problema, ou seja, já conhecidas? No instante em questão, 
sabe-se que: 
x = 0,8 mi y = 0,6 mi – 60 mi/h 20 mi/h 
Observa-se que é negativa, pois y está diminuindo. 
Como essas variáveis estão relacionadas entre si? 
Pela figura 1, pode-se verificar que s2 = x2 + y 2. Derivando esta equação em relação a t, temos: 
 
 = 
Calculando com os valores conhecidos chega-se ao valor de = 70 mi/h. 
 
Outros exemplos: 
 
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1. Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de comprimento, 9 ft de profundidade no lado mais fundo 
e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo 
enchida a uma taxa de 0.8 ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a 
profundidade no lado mais fundo era 5 ft? 
 
 
 
 
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2. Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. 
Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação 
da distância entre os dois quando esta distância era 200 m? 
 
 
 
 
 
 
5 
3. Um homem começa a andar para o norte a 4 ft/s de um ponto P. 5 minutos mais tarde uma 
mulher inicia sua caminhada para o sul a uma velocidade de 5 ft/s partindo de um ponto localizado 
500 ft a leste de P. Qual a taxa de afastamento entre o homem e a mulher 15 minutos após a mulher 
ter iniciado a caminhada? 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1) Seja V um volume de um cubo de aresta a, determine: 
a) a razão de variação média do volume por variação em cm do comprimento da aresta quando 
esta varia de 4 a 4,1 centímetros. R = 49,20cm2 
b) a razão de variação instantânea do volume por variação de centímetro no comprimento da 
aresta, quando a = 4. R = 48 cm2 
 
2) Qual a taxa média de variação da área de um círculo em relação ao raio, quando este varia de r 
a r + 

r ? Calcular esta taxa para r = 1,5 m e 

r = 5cm. 
R = 
)rr(
r
s



2
 e 
m
r
s
05,3


 
3) Uma escada de 5m de altura está apoiada numa parede vertical, se a base da escada é 
arrastada horizontalmente da parede a 3m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada 
ao longo da parede quando a base encontra-se a 3m da parede? R = 
s/m
4
9

 
 
4) Dois automóveis movem-se, um dirigindo-se para o leste à razão de 72km/h e o outro para o 
sul à razão de 54km/h. A que razão os carros aproximam-se um do outro no instante em que o 
primeiro estiver a 400m e o segundo a 300m de interseção P. 
R = 25m/s. 
 
5) A água está escorregando para fora de um funil cônico a uma razão de 2m3/seg. O funil possui 
um raio de 1 metro e altura de 5m. Com que velocidade abaixará o nível da água que se escoa 
quando ela estiver a 3m de altura? 
 
6) Se o raio de um círculo cresce à taxa de 30 cm/seg, a que taxa cresce a área em relação ao 
tempo, em função do raio? 
seg/cmr
dt
ds 260
 
 
7) Um balão sobe verticalmente com velocidade v e um observador a certa distância d do ponto 
onde partiu o balão, vê o balão sob um ângulo de elevação 

. Achar uma expressão para a taxa 
dt
d
 de variação 

 em função de v, 

 e d. A que velocidade sobe o balão se d = 500m e 
seg/rd,
dt
d
020
 , quando 
rad
4

 
? 
R = 

 2cos
d
v
dt
d

 v = 20m/ seg 
 
Bons Estudos!