Densidade de Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência

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AULA 4: DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
Eletromagnetismo 
ELETROMAGNETÍSMO 
Aula 4: Densidade de fluxo elétrico, lei de Gauss 
e divergência 
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Eletromagnetismo 
Conceito de fluxo elétrico e a Lei de Gauss; 
Blindagem eletrostática de uma linha coaxial comprovada 
pela aplicação da Lei de Gauss; 
Conceito de divergência e as equações em coordenadas 
cartesianas, cilíndricas e esféricas; 
Primeira Lei de Maxwell aplicada à Eletrostática. 
Temas/objetivos desta aula 
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Eletromagnetismo 
Uma carga equivalente à de cem elétrons e massa igual a 1,8×10−21 kg é 
lançada com velocidade inicial igual a 2 m/s, na região média das placas, 
ao longo da maior extensão em t = 0, conforme mostrado na figura a 
seguir. Considere que a placa superior é carregada positivamente e que o 
campo elétrico é uniforme entre as placas. Determine a equação da 
trajetória da partícula em função dos parâmetros dados. 
EXERCÍCIO 1 
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Dados: 
Carga do elétron: 1,6 × 10−19 C; 
Massa do elétron: 9,11× 10−31 kg; 
Aceleração da gravidade: 9,8 m/s2; 
x = x0 + v0,xt + ax.t
2/2; 
Ec = m × v
2 / 2; 
Ep: m × g × h. 
F = Q × E. 
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Densidade de fluxo elétrico 
O Fluxo de Deslocamento, ou fluxo elétrico é igual à carga no volume considerado. 
D = Q 
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Densidade de fluxo elétrico 
Q: carga contida na superfície; 
r: raio. 𝐷 = 
𝑄
4𝜋𝑟2
â𝑟 
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Para o espaço livre 
D = ε0.E 
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Determine a densidade de fluxo elétrico a 5 cm de uma 
carga elétrica pontual de 10mC, imersa no espaço livre. 
EXERCÍCIO 2 
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Lei de Gauss para carga elétrica 
Ψ = 𝑫𝑠. 𝑑𝑺 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑒𝑛𝑣𝑜𝑙𝑣𝑖𝑑𝑎 = 𝑄 
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Um cabo coaxial com 30 cm de comprimento apresenta raio interno igual 
a 1,2 mm e raio externo de 4,1 mm. O dielétrico é o ar. A carga total no 
condutor interno é 25 nC. Determine: 
a) A densidade de carga em cada condutor; 
b) O campo E no interior do cabo; 
c) O campo D no interior do cabo. 
EXERCÍCIO 3 
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Teorema da Divergência 
 𝜵.𝑫. 𝑑𝑣 = 𝑫. 𝑑𝑺 
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Divergência 
𝑑𝑖𝑣 𝐷 = 
𝛿𝐷𝑥
𝛿𝑥
+
𝛿𝐷𝑦
𝛿𝑦
+
𝛿𝐷𝑧
𝛿𝑧
 Coordenadas cartesianas 
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Calcule ambos os lados do Teorema da Divergência para o campo D = 2xy 
âx mC.m
-2 e um paralelepípedo retângulo limitado pelos planos x = 0, x = 
1, y = -1, y = 1, z = -1 e z = 1. 
EXERCÍCIO 4 
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SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 1 
𝑦 =
1
2
𝑄𝐸𝑦
𝑚
− 𝑔
𝑥
𝑣0
2
 
 
t = 
𝑥
𝑣0
 
 
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D = Q / (4r2) = 3,18 x 10-3 C.m-2. 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 2 
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Consideraremos a carga interna positiva. 
a) s,interno = Q / (2..rint.L) = +11,05 C.m
-2 
s,externo = - Q / (2..rext.L) = -3,23 C.m
-2 
b) D = rint . s,int /  = 13,3 x 10
-9 /  nC.m-2 
c) E = D / ε0 = 1.500 /  V.m
-1 
Os valores de E e D são válidos entre 1,2 mm e 4,1 mm. Fora 
deste intervalo valem zero. 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3 
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Lado direito, esquerdo, topo e base = 0 
Frente 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 4 
 2.1. 𝑦. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0
1
𝑧=−1
1
𝑦=−1
 
Lado esquerdo e lado direito do teorema iguais a zero. 
Confirmado. 
 𝛻.𝐷. 𝑑𝑉 = 2𝑦 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧 = 0
1
𝑧=−1
1
𝑦=−1
1
𝑥=0
 
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AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO. 
VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
Energia e Potencial Elétrico