Gabarito P1 Fila B 2011

Prévia do material em texto

Gabarito	
  da	
  P1	
  –	
  Fila	
  B	
  	
  
QUESTÃO	
  1	
  a)	
  As	
  preferências	
  do	
  indivíduo	
  A	
  são	
  do	
  tipo	
  Cobb-­‐Douglas,	
  então	
  sabemos	
  que	
  dada	
  uma	
  função	
  de	
  utilidade	
  do	
  tipo	
  Cobb-­‐Douglas:	
  	
  	
  	
  	
  Podemos	
  escrever	
  as	
  demandas	
  ótimas	
  X*	
  e	
  Y*	
  como	
  sendo:	
  	
  No	
  caso	
  do	
  indivíduo	
  do	
  A,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  do	
  indivíduo	
  do	
  B,	
  as	
  preferências	
  são	
  do	
  tipo	
  Leontief,	
  aonde	
  a=b=1	
  :	
  
2121
1
2121
2
pp
R
apbp
bRX
pp
R
apbp
aRX
BB
B
BB
B
+
=
+
=
+
=
+
= 	
  
Lembrando-­‐se	
  que	
  a	
  renda	
  do	
  indivíduo	
  A	
  é	
  o	
  valor	
  de	
  mercado	
  de	
  sua	
  dotação	
  inicial	
  temos:	
  	
  	
  Lembrando-­‐se	
  que	
  a	
  renda	
  do	
  indivíduo	
  B	
  é	
  o	
  valor	
  de	
  mercado	
  de	
  sua	
  dotação	
  inicial	
  temos:	
  	
  	
  Uma	
  hipótese	
  usualmente	
  retida	
  nos	
  modelos	
  de	
  equilíbrio	
  geral	
  é	
  a	
  escolha	
  de	
  um	
  dos	
  bens	
  para	
  servir	
  como	
  numerário	
  (moeda),	
  assim	
  sendo	
  todos	
  os	
  bens	
  serão	
  medidos	
  em	
  relação	
  a	
  ele.	
  A	
  escolha	
  é	
  arbitrária,	
  e	
  assim	
  sendo	
  escolhemos	
  p1	
  =	
  1	
  (poderia	
  ser	
  escolhido	
  p2	
  =	
  1).	
  Nesse	
  caso,	
  as	
  rendas	
  se	
  tornam:	
  
5/45/1
121 XXXAXUA ==
βα
2
*
2
1
*
1 )()( p
RXe
p
RX AA
βα
β
βα
α
+
=
+
=
221
2
2
1
1 1010.0. pppWpWpR BBB =+=+=
121
2
2
1 100.10. pppWpWpR AAxA =+=+=
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  O	
  equilíbrio	
  nos	
  diz	
  (Demanda	
  Agregada	
  =	
  Oferta	
  Agregada)	
  :	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  A	
  Lei	
  de	
  Walras	
  nos	
  diz	
  que	
  se	
  existem	
  N	
  mercados	
  e	
  N-­‐1	
  estão	
  em	
  equilíbrio	
  então	
  o	
  n-­‐ésimo	
  (último)	
  mercado	
  estará	
  em	
  equilíbrio.	
  No	
  nosso	
  caso	
  N	
  =	
  2	
  (bens	
  x1	
  e	
  x2).	
  Portanto,	
  se	
  um	
  mercado	
  estiver	
  equilibrado,	
  o	
  último	
  também	
  estará	
  !	
  Podemos	
  escolher	
  para	
  resolver	
  o	
  equilíbrio	
  qualquer	
  dos	
  bens,	
  mas	
  a	
  dica	
  é	
  escolher	
  resolver	
  o	
  equilíbrio	
  para	
  o	
  mercado	
  do	
  bem	
  que	
  foi	
  fixado	
  com	
  numerário	
  para	
  facilitar	
  as	
  contas,	
  assim	
  nesse	
  caso,	
  vamos	
  resolver	
  para	
  o	
  bem	
  x:	
  	
  	
  	
  	
  	
  Mas,	
  repare	
  que:	
   	
  	
  	
  	
  	
  Substituindo	
  a	
  Renda	
  RA	
  e	
  RB	
  e	
  mais	
  o	
  preço	
  do	
  bem	
  x	
  pX	
  =	
  1,	
  temos:	
  	
  Assim:	
   	
  	
  	
  	
  	
  De	
  onde,	
  temos:	
  	
  
1010022222 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
1001021111 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
21
*1
1
*1
5 pp
RXe
p
RX BBAA +
==
2
2*1*1
1
.10
1
)10(
5
1
p
pXeX BA +
== 10
1
10210
2
211*1*1 =
+
+⇒=+=+
p
pWWXX BABA
100.10.1 2
2
2
1
1 =+=+= pWpWpR AAA
22
2
2
1
1 .1010.0.1 ppWpWpR BBB =+=+=
1001021111 =+=+=+⇒ BABA WWXXxBem
482101021210
1
102210
1
10)1(2
2222
2
22
2
22 =⇒=⇒+=+⇒=
+
++
⇒=
+
++ pppp
p
pp
p
pp 	
  	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  indivíduo	
  do	
  A,	
  	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  No	
  caso	
  indivíduo	
  do	
  B,	
  	
  	
  
8
41
40
8
41
40
2121
1
2121
2
=
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
+
=
pp
R
apbp
bRX
pp
R
apbp
aRX
BB
B
BB
B 	
  
	
  	
  	
  De	
  onde	
  podemos	
  constatar	
  o	
  equilíbrio:	
  	
   	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  b)	
  Pelo	
  Primeiro	
  Teorema	
  do	
  Bem	
  Estar,	
  todo	
  equilíbrio	
  é	
  eficiente	
  !	
  
2
4.5
10.4
5
42
5
10
5 2
*
1
* ===== = p
RYe
p
RX AAAA
1082 =+=+=+⇒ xB
x
ABA WWXXxBem
1082 =+=+=+⇒ yB
y
ABA WWYYyBem
100.10.1 2
2
2
1
1 =+=+= pWpWpR AAA
404.10.1010.0.1 22
2
2
1
1 ===+=+= ppWpWpR BBB
	
  
QUESTÃO	
  2	
  	
  Para	
  termos	
  o	
  equilíbrio	
  no	
  mercado	
  de	
  fatores.	
  Sabemos	
  que	
  as	
  alocações	
  eficientes	
  em	
  uma	
  caixa	
  de	
  Edgeworth	
  são	
  obtidas	
  quando	
  as	
  isoquantas	
  de	
  produção	
  (cuja	
  inclinação	
  é	
  dada	
  pela	
  TMST)	
  são	
  tangentes.	
  A	
  condição	
  gráfica	
  e	
  a	
  algébrica	
  pode	
  ser	
  visto	
  abaixo.	
  	
  
	
  Da	
  curva	
  de	
  contrato	
  podemos,	
  obter	
  a	
  Fronteira	
  de	
  Possibilidades	
  de	
  Produção	
  (FPP).	
  Fazendo	
  corresponder	
  a	
  cada	
  ponto	
  eficiente	
  da	
  curva	
  de	
  contrato,	
  um	
  ponto	
  da	
  FPP,	
  como	
  os	
  pontos	
  1,	
  2	
  e	
  3.	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
C	
  
	
  A	
  tangência	
  implica:	
  TMSTCL,K	
  =	
  TMSTF	
  L,K	
  
1	
  
2	
  
3	
  
F	
  
	
  	
  	
  	
  
	
  	
  Para	
  o	
  equilíbrio	
  na	
  produção,	
  a	
  FPP	
  tem	
  que	
  ser	
  tangente	
  à	
  curva	
  de	
   indiferença	
  e	
  portanto,	
  vemos	
  que	
  TMSF,C	
  =	
  TMT	
  !	
  Mas,	
   lembre-­‐se	
  que	
  no	
  equilíbrio	
  devemos	
  ter	
  a	
  condição	
  algébrica:	
  	
  Essa	
   situação	
   pode	
   ser	
   representada	
  graficamente	
  como	
  segue:	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
2	
  
3	
  
F	
  
C	
  
Fronteira	
  de	
  Possibilidades	
  de	
  Produção	
  1	
  
F
C
CFCF p
pTMTTMS −== ,,
	
  
F	
  
C	
  
Reta	
  de	
  Preços	
  –	
  pc/pF	
  
Curva	
  de	
  Indiferença	
  
Fronteira	
  de	
  Possibilidades	
  de	
  Produção	
  
	
  
_
AU 	
  
_
AU 	
  
FPP	
  
	
  
	
  
O mapa de curva de indiferenças do indivíduo 
B foi girado 180º no sentido anti-horário de 
tal forma que a sua origem passou a ser o 
ponto de ótimo de produção (X*,Y*) criando 
uma caixa de Edgeworth de trocas puras como 
visto em nossa discussão anterior. Como girar 
o mapa de B 180º não alterar a inclinação da 
curva de indiferença, podemos ver que a 
tangência entre a FPP e a reta de preços irá 
determinar a inclinação da reta de preços que 
será tangente às curvas de indiferença. 
 
 
 
 
 
Y
X
p
p 	
  
Ponto de Ótimo do Consumo, 
aonde as TMS dos dois 
consumidores são iguais para 
os dois e igual aos preços. 
Y*	
  
Ponto de Ótimo da 
produção aonde a TMT 
iguala a relação de 
preços 
AY1 	
  
BY1 	
  
X	
  
Y	
  
X*	
  
AX1 	
   BX1 	
  
*
11 XXX
BA =+ 	
  
*
11 YYY
BA =+ 	
  
QUESTÃO	
  3	
  c1(x1)	
  =	
  0,5	
  x12	
  c2(x2)	
  =	
  0,5	
  x22	
  	
  Л2	
  =	
  p.x2	
  -­‐	
  c2(x2)	
  -­‐	
  	
  e(x1)	
  =	
  p.x2	
  -­‐	
  c2(x2)	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  	
  
Solução	
  Privada:	
  Max	
  	
  Л1	
  =	
  p.x1	
  -­‐	
  c1(x1)	
  	
  =	
  1.	
  x1	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  à	
  dЛ1/dx1	
  =	
  1	
  –	
  0,5.2	
  x1	
  =	
  0	
  à	
  x1	
  =	
  1	
  	
  x1	
  	
  Max	
  	
  Л2	
  =	
  p.x2	
  -­‐	
  c2(x2)	
  –	
  e(x1)	
  	
  =	
  Л2	
  =	
  1.x2	
  -­‐	
  0,5	
  x22	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  	
  à	
  dЛ2/dx2	
  =	
  1	
  –	
  0,5.2	
  x1	
  =	
  0	
  à	
  x2	
  =	
  1	
  	
  x2	
  Л1	
  =	
  p.x1	
  -­‐	
  c1(x1)	
  	
  =	
  1.	
  x1	
  -­‐	
  0,5x12	
  =	
  1.1	
  –	
  0,5.1	
  =	
  0,5	
  Л2	
  =	
  p.x2	
  -­‐	
  c2(x2)	
  -­‐	
  e(x1)	
  	
  =	
  1.	
  x2	
  -­‐	
  0,5	
  x22	
  –	
  0,5	
  x12	
  =	
  1.1	
  –	
  0,5.1	
  –	
  0,5.1	
  =	
  0	
  	
  
Solução	
  Socialmente	
  Ótima:	
  
	
  Max	
  	
  Л1	
  +	
  Л2	
  =	
  1.	
  x1	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  +	
  1.x2	
  -­‐	
  0,5	
  x22	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  	
  x1	
  ,	
  x2	
  	
  dЛ1/dx1	
  =	
  1	
  –	
  0,5.2	
  x1	
  –	
  0,5.2	
  x1	
  =	
  0	
  à	
  x1	
  =	
  1/2	
  dЛ2/dx2	
  =	
  1	
  –	
  0,5.2	
  x1	
  =	
  0	
  à	
  x2	
  =	
  1	
  	
  Л1	
  =	
  p.x1	
  -­‐	
  c1(x1)	
  	
  =	
  1.	
  x1	
  -­‐	
  0,5	
  x12	
  =	
  1.1	
  –	
  0,5.0,25	
  =	
  0,875	
  Л2	
  =	
  p.x2	
  -­‐	
  c2(x2)	
  -­‐	
  e(x1)	
  	
  =	
  1.	
  x2	
  -­‐	
  0,5	
  x22	
  –	
  0,5	
  x12	
  =	
  1.1	
  –	
  0,5.1	
  –	
  0,5.0,25	
  =	
  0,375	
  
	
  
O	
  lucro	
  de	
  ambas	
  as	
  firmas	
  se	
  eleva	
  na	
  solução	
  socialmente	
  ótima	
  !	
  
	
  
QUESTÃO	
  4	
  
361611
2
81
2
4
1
1
2
4
1
1
2
8
1;1
2
8
1
2
4
1
1
2
4
1;1
2
4
*
21
21
1
2
2222
1
1
1111
21
21
2
1
21
G
GGG
CMGTMSTMS
CMGggG
G
GTMS
X
UUMG
GG
UUMG
G
GTMS
X
UUMG
GG
UUMG
CMG
UMG
UMG
UMG
UMGCMGTMSTMS
G
G
XG
XG
G
X
G
X
G
G
⇒=⇒=+⇒=+
=⇒+=
==⇒=
∂
∂
==
∂
∂
=
==⇒=
∂
∂
==
∂
∂
=
=+⇒=+