Introdução ao Software R e Cálculo Matricial

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Introduc¸a˜o a` Econometria
Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo
Aula 2
5 Jan 2008 5:56 p.m.
Introduc¸a˜o ao Software R e Ca´lculo Matricial
0. INTRODUC¸A˜O
O R e´ uma plataforma livre e gratuita que oferece uma grande variedade de te´cnicas estat´ısticas e gra´ficas
de alta qualidade. O software, seu co´digo fonte, os executa´veis e os manuais introduto´rios encontram-se
dispon´ıveis em http://www.r-project.org. O download de sua versa˜o para Windonws c© pode ser obtido di-
retamente neste enderec¸o: http://www.vps.fmvz.usp.br/CRAN/bin/windows/base/R-2.6.1-win32.exe.
1. PRIMEIROS PASSOS
A plataforma R pode ser usada como uma calculadora de grande capacidade:
> 2+2
[1] 4
> sqrt(2)
[1] 1.414214
> exp(sqrt(2))
[1] 4.11325
> sin(exp(sqrt(2)))
[1] -0.8258217
Para se ter uma ide´ia da capacidade gra´fica do R, use os seguintes comandos:
> demo("graphics")
> demo("image")
> demo("persp")
> demo("recursion")
Entretanto, o que nos interessa neste momento e´ explorar sua capacidade de soluc¸a˜o matricial. Em
breve, retornaremos ao estudo desta plataforma, aplicando-a em modelagens estoca´sticas.
2. ABORDAGEM MATRICIAL
Considere o vetor
b =
 4(−2)
0
 .
Note que se trata de um vetor coluna. Para inserir estes dados no R necessitamos do seguinte comando:
b=c(4,-2,0)
dim(b)=c(3,1)
b
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 2 pa´gina 2
Note que os nu´meros foram separados por v´ırgulas. Caso estivesemos trabalhando com nu´meros dec-
imais, suas representac¸o˜es seriam efetuadas a partir de pontos, por exemplo: 0.31. Ja´ a separac¸a˜o dos
nu´meros dentro do vetor, continuaria se dando a partir das v´ırgulas. Exemplificando: o vetor
d =
 0.310.29
0.40

seria introduzido no R a partir desta linha de comandos:
d=c(0.31,0.29,0.40)
dim(d)=c(3,1)
d
Para transpor o vetor, digamos b′ = b1, basta considerar
b1=t(b)
b1
Ou seja, o operador t() realiza a transposic¸a˜o. No caso da multiplicac¸a˜o por um escalar, basta considerar
2*b
Podemos notar que todos os elementos do vetor b foram multiplicados por 2. A adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o
tambe´m sa˜o efetuadas de forma trivial. Neste caso, vamos inserir mais um vetor:
a=c(2,8,1)
dim(a)=c(3,1)
a
a+b
a-b
A lo´gica para se trabalhar com matrizes e´ a mesma da de vetores. Considerem a matriz
A =
 13 2 72 0 4
3 2 7
 .
A inserc¸a˜o deste dados e´ realizada a partir de
A=c(13,2,7,2,0,4,3,2,7)
dim(A)=c(3,3)
A
O ca´lculo da transposta continua o mesmo apresentado anteriormente
t(A)
Neste contexto, uma observac¸a˜o deve ser feita: a multiplicac¸a˜o de matrizes diferencia-se da multiplicac¸a˜o
por um escalar. No caso da multiplicac¸a˜o por um escalar, digamos 2×A, ela se dara´ atraves de:
2*A
Pore´m, se a multiplicac¸a˜o envolver duas matrizes, digamos A × B, o s´ımbolo ∗ (asterisco), deve ser
“envolvido” por dois s´ımbolos de porcentagem, % ∗ %. Sendo, assim deve-se escrever A% ∗ %B. Vamos
considerar a matriz B:
B=c(10,0,8,0,1,3,4,8,4)
dim(B)=c(3,3)
B
Neste caso, A×B pode ser calculada por
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 2 pa´gina 3
A%*%B
A multiplicac¸a˜o de A por ela mesma pode ser realizada elevando-a a n-e´sima poteˆncia. Sendo assim,
A×A sera´ A2, A×A×A sera´ A3 e assim por diante. Neste contexto, destacam-se as matrizes idempotentes,
ou seja, A = A2 = A3 = .... Note que a matriz identidade possui esta caracter´ıstica:
I=c(1,0,0,0,1,0,0,0,1)
dim(I)=c(3,3)
I
Elevem I a n-e´sima poteˆncia. Note que a matriz identidade funciona como elemento neutro na multi-
plicac¸a˜o:
I%*%A%*%I
A inversa˜o de uma matriz, por exemplo B−1, e´ efetuada a partir do comando solve().
solve(B)
O determinante sera´ calculado a partir de
det(B)
Neste sentido, os autovalores e autovetores sera˜o calculados a partir do comando
eigen(B)
Em suma, uma se´rie de ca´lculos podem ser efetuados no R. E´ interessante vasculhar esta ferramenta de
trabalho, pois este sera´ o software adotado na disciplina de econometria. Bons estudos!
Nota adicional: O presente documento foi preparado a partir do sistema tipogra´fico (Plain) TEX, desenvolvido por
Donald Knuth. Versa˜o preliminar, comenta´rios sa˜o bem-vindos!
REFEREˆNCIAS
[1] Dalgaard, P. (2002). Introductory statistics with R. New York: Springer.