Aula 8

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Introduc¸a˜o a` Econometria
Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo
Aula 8
5 Jan 2008 5:56 p.m.
Modelo de Mı´nimos Quadrados Ordina´rios
0. INTRODUC¸A˜O
As ana´lises macro e microeconoˆmicas costumam envolver a construc¸a˜o de modelos teo´ricos que, por sua vez,
estabelecem relac¸o˜es formais de dependeˆncia entre as varia´veis, por exemplo:
a) a determinac¸a˜o da renda agregada em modelos keynesianos, onde o produto e´ tido como uma func¸a˜o do
consumo, investimento, gastos do governo e do saldo da balanc¸a comercial, ou;
b) na representac¸a˜o da equac¸a˜o de sala´rios dos trabalhadores que, em geral, e´ expressada como uma func¸a˜o
dos anos de estudo, idade, idade ao quadrado, habilidade, sexo, rac¸a etc.
Estas relac¸o˜es podem ser facilmente representadas a partir de um modelo estoca´stico multivariado,
isto e´:
yt = β1 + β2x2t + β3x3t + ...+ βkxkt + ut, t = 1, 2, ..., n, [1]
onde a equac¸a˜o acima representa a associac¸a˜o linear (nos paraˆmetros), entre a varia´vel dependente yt e
as “k− 1” varia´veis explicativas (x2t, ..., xkt). O termo “estoca´tico” e´ utilizado devido a` presenc¸a do erro
aleato´rio ut. Com relac¸a˜o a ut postula-se:
ut ∼ iiN(0, σ2). [2]
Ou seja, o termo de perturbac¸a˜o e´ independente e identicamente distribu´ıdo de acordo com uma
distribuic¸a˜o Normal com me´dia zero e variaˆncia constante igual a σ2.
Neste caso, o sistema (1)-(2) possui k + 1 paraˆmetros desconhecidos, isto e´, k betas e a variaˆncia do
erro.
Para facilitar o racioc´ınio, considere a equac¸a˜o (1) na forma matricial:
y = Xβ + u, [3]
onde
y =

y1
y2
...
yn
 ; X =

1 x21 · · · xk1
1 x22 · · · xk2
...
...
. . .
...
1 x2n · · · xkn
 ; β =

β1
β2
...
βk
 ; u =

u1
u2
...
un
 .
Note que os vetores y e u possuem dimensa˜o n × 1; o vetor β tem dimensa˜o k × 1 e a matriz X dimensa˜o
n× k.
Isto posto, conve´m informar que a a equac¸a˜o (3) representa o modelo “verdadeiro”. Ou seja, ela envolve
os paraˆmetros populacionais betas e o σ2. Entretanto, como obter estes paraˆmetros?
A alternativa e´ utilizar um me´todo de infereˆncia estat´ıstica. O me´todo de infereˆncia mais utilizado
e´ o de Mı´nimos Quadrados Ordina´rios (MQO). Nas sec¸o˜es seguintes sera˜o discutidas as principais
propriedades deste me´todo destacando a derivac¸a˜o matema´tica e os pressupostos.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 8 pa´gina 2
1. INFEREˆNCIA ESTATI´STICA
A infereˆncia estat´ıstica consiste na obtenc¸a˜o de estimativas θˆ para o paraˆmetro populacional desconhecido θ,
a partir de uma amostra aleato´ria. Mas como definir qual e´ o melhor estimador? Normalmente, a comparac¸a˜o
entre os diversos estimadores e´ realizada a partir de algumas caracter´ısticas ba´sicas, destacando-se:
a) auseˆncia de vie´s:
E(θˆ) = θ, ∀θi ∈ Θ.
Ou seja, a esperanc¸a do paraˆmetro estimado e´ igual ao paraˆmetro populacional para todos os paraˆmetros θ
pertencentes ao espac¸o parame´trico Θ;
b) variaˆncia mı´nima:
var(θˆ) ≤ var(θˆi), ∀θˆi.
O estimador θˆ possuira´ a menor variaˆncia dentre todos os estimadores θˆi. A unia˜o das propriedades “a”
e “b” e´ conhecida por eficieˆncia;
c) consisteˆncia:
lim
n→∞Pr(|θˆn − θ| > ²) = 0, ² > 0.
Ou seja, a medida em que se aumenta a amostra n, o paraˆmetro θˆn converge em probabilidade para o
paraˆmetro populacional.
d) melhor estimador na˜o-viesado:
Se θˆ1 e θˆ2 forem dois estimadores na˜o-viesados de θ, e a variaˆncia de θˆ1 for menor igual a de θˆ2, enta˜o
θˆ1 sera´ um estimador na˜o viesado de variaˆncia mı´nima;
e) linearidade:
Diz-se que um estimador θˆ e´ linear se ele for uma func¸a˜o linear das observac¸o˜es amostrais;
e) melhor estimador linear na˜o-viesado:
Se θˆ for linear, na˜o-viesado e apresentar variaˆncia mı´nima (eficiente), ele sera´ denominado de melhor
estimador linear na˜o-viesado MELNV.
2. ALGEBRA DO ESTIMADOR DE MQO
Considere a equac¸a˜o (3) como ponto de partida. Nela, substitua o vetor populacional β por uma estimativa
βˆ. Desta forma, teremos uma nova definic¸a˜o para os res´ıduos:
e = y −Xβˆ.
O princ´ıpio de MQO consiste em obter um vetor de betas que minimize a soma do quadrado dos
res´ıduos (e′e). Assim:
e′e = [y −Xβˆ]′[y −Xβˆ]
e′e = y′y − βˆ′X ′y − y′Xβˆ + βˆ′X ′Xβˆ.
Sabendo que o transposto de um escalar e´ o pro´prio escalar e que βˆ′X ′y = y′Xβˆ, enta˜o:
e′e = y′y − 2βˆX ′y + βˆ′X ′Xβˆ. [4]
A expressa˜o (4) representa o quadrado dos res´ıduos. Para minimiza´-la sera´ preciso diferencia´-la em
relac¸a˜o a βˆ e iguala´-la a zero, assim:
∂e′e
∂βˆ
= −2X ′y + 2βˆX ′X = 0
βˆX ′X = X ′y
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 8 pa´gina 3
βˆ = (X ′X)−1X ′y. [5]
Onde (5) representa o estimador de mı´nimos quadrados. Este estimador possui importantes propriedades
estat´ısticas, entretanto, e´ necessa´rio se impor alguns pressupostos.
3. PRESSUPOSTOS SOBRE O ESTIMADOR DE MQO
Os principais pressupostos sa˜o:
MQO.1: a matriz X e´ na˜o-estoca´stica, ou seja, a infereˆncia e´ realizada com base em valores observados de
X;
MQO.2: a matriz X ′X possui rank igual a k, isto e´, ela possui k vetores linearmente independentes;
MQO.3: os erros u sa˜o caracterizados por:
E(u) = 0
var(u) = E(uu′) = σ2I
Vejamos, com maior atenc¸a˜o, a hipo´tese MQO.3. Note que o operador de esperanc¸a e´ aplicado a todos
os elementos do vetor:
E(u) = E

u1
u2
...
un
 =

E(u1)
E(u2)
...
E(un)
 =

0
0
...
0
 .
Com relac¸a˜o a` variaˆncia:
var(u) = E(uu′) = E
[
u1
u2
...
un
 · (u1 u2 · · · un )
]
=

E(u21) E(u1u2) · · · E(u1un)
E(u2u1) E(u22) · · · E(u2un)
...
...
. . .
...
E(unu1) E(unu2) · · · E(u2n)

var(u) =

σ2 cov(u1u2) · · · cov(u1un)
cov(u2u1) σ2 · · · cov(u2un)
...
...
. . .
...
cov(unu1) cov(unu2) · · · σ2
 = σ2

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 = σ2I.
Estas sa˜o as principais hipo´teses do modelo de MQO. As suposic¸o˜es MQO.1 e MQO.2 referem-se a` matriz
de dados X. No caso da MQO.2, exclui-se a possibilidade da existeˆncia de vetores linearmente dependentes,
ou seja, postula-se a auseˆncia de multicolinearidade. Logo, X ′X possui inversa.
A hipo´tese MQO.3 considera que os erros possuem me´dia zero e variaˆncia constante. Note que esta
hipo´tese carrega consigo duas suposic¸o˜es fortes. Primeira, a variaˆncia e´ a mesma para todos os elementos de
u. A esta suposic¸a˜o se da´ o nome de homocedasticidade. Segunda, todas as covariaˆncias entre os res´ıduos
sa˜o iguais a zero (cov(uiuj) = 0, para i 6= j). Ou seja, os res´ıduos na˜o sa˜o autocorrelacionados dois a
dois.
Na pro´xima aula veremos como comportam os estimadores sob estas hipo´teses.
Nota adicional: O presente documento foi preparado a partir do sistema tipogra´fico (Plain) TEX, desenvolvido por
Donald Knuth. Versa˜o preliminar, comenta´rios sa˜o bem-vindos!
REFEREˆNCIA
[1] Johnston, J.; DiNardo, J. (2001). Metodos econome´tricos. Lisboa: McGraw Hill.