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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA
Introduc¸a˜o a` Econometria
Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo
Aula 13
5 Jan 2008 5:58 p.m.
Quebra dos pressupostos do me´todo de MQO: Heterocedasticidade
0. INTRODUC¸A˜O
Considere o modelo multivariado na forma matricial:
y = Xβ + u, [1]
onde
y =

y1
y2
...
yn
 ; X =

1 x21 · · · xk1
1 x22 · · · xk2
...
...
. . .
...
1 x2n · · · xkn
 ; β =

β1
β2
...
βk
 ; u =

u1
u2
...
un
 .
Note que os vetores y e u possuem dimensa˜o n × 1; o vetor β tem dimensa˜o k × 1 e a matriz X dimensa˜o
n× k.
A infereˆncia para os paraˆmetros β, a partir do me´todo MQO, requer as seguintes suposic¸o˜es:
MQO.1: a matriz X e´ na˜o-estoca´stica, ou seja, a estimac¸a˜o e´ realizada com base em valores observados de
X;
MQO.2: a matriz X ′X possui rank igual a k, isto e´, ela possui k vetores linearmente independentes;
MQO.3: a E(Xu) = 0;
MQO.4: os erros u sa˜o caracterizados por:
E(u) = 0
var(u) = E(uu′) = σ2I
Vejamos, com maior atenc¸a˜o, a hipo´tese MQO.4. Note que o operador de esperanc¸a e´ aplicado a todos
os elementos do vetor:
E(u) = E

u1
u2
...
un
 =

E(u1)
E(u2)
...
E(un)
 =

0
0
...
0
 .
Com relac¸a˜o a` variaˆncia:
var(u) = E(uu′) = E
[
u1
u2
...
un
 · (u1 u2 · · · un )
]
=

E(u21) E(u1u2) · · · E(u1un)
E(u2u1) E(u22) · · · E(u2un)
...
...
. . .
...
E(unu1) E(unu2) · · · E(u2n)

Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 13 pa´gina 2
var(u) =

σ2 cov(u1u2) · · · cov(u1un)
cov(u2u1) σ2 · · · cov(u2un)
...
...
. . .
...
cov(unu1) cov(unu2) · · · σ2
 = σ2

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 = σ2I.
A primeira hipo´tese afirma que X e´ determin´ıstico. A segunda hipo´tese postula que a matriz X ′X,
de ordem k × k, possui k vetores linearmente independentes, isto implica em dois resultados. Primeiro, ela
possui inversa. Segundo, inexistem relac¸o˜es entre as varia´veis explicativas, ou de uma forma equivalente, na˜o
ha´ multicolinearidade.
A hipo´tese MQO.3 assegura que a esperanc¸a do erro condicionada as varia´veis explicativas e´ igual
a zero. Isto e´, na˜o existe endogeneidade. Por fim, a suposic¸a˜o MQO.4 carrega consigo duas hipo´teses
fortes: a) a variaˆncia dos erros e´ a mesma para todos os elementos da matriz de variaˆncias-covariaˆncias
(homocedasticidade) e; b) as covariaˆncias entre os elementos de u sa˜o nulas dois a dois, isto implica na
auseˆncia de autocorrelac¸a˜o entre os res´ıduos.
Neste caso, diz-se que a distribuic¸a˜o de u e´ esfe´rica, podendo ser representada por:
u ∼ iiN(0, σ2I).
Sob estes pressupostos o estimador de MQO:
βˆ = (X ′X)−1X ′y,
e´ na˜o-viesado:
E(βˆ) = β;
e possui variaˆncia mı´nima dada por:
var(βˆ) = σ2(X ′X)−1.
Neste caso, tem-se o seguinte resultado para βˆ:
Teorema de Gauss-Markov:
Mediante os pressupostos do MQO, nenhum outro estimador linear na˜o-viesado para os co-
eficientes β, possuira´ variaˆncia amostral inferior aos estimadores de MQO (βˆ). Ou seja, βˆ e´ o
melhor estimador linear na˜o-viesado com variaˆncia mı´nima.
Entretanto, o que acontecera´ com βˆ se os pressupostos forem violados?
2. HETEROCEDASTICIDADE
Na presenc¸a de homocedasticidade, o sistema representado pela equac¸a˜o 1 possuira´ k + 1 paraˆmetros β e
a variaˆncia do erro. Considerando uma amostra de tamanho n, com n > k + 1, os paraˆmetros podem ser
facilmente obtidos a partir da infereˆncia MQO.
Entretanto, suponha a existeˆncia da heterocedasticidade. Neste caso, a matriz de variaˆncias-covariaˆncias
para u sera´:
var(u) = E(uu′) =

σ21 0 · · · 0
0 σ22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · σ2n
 .
Note que agora o sistema 1 possui n+ k paraˆmetros. Os k betas e as n variaˆncias do erro. Neste caso,
se na˜o forem adotadas hipo´teses adiconais, sera´ imposs´ıvel realizar uma infereˆncia a partir dos n pontos da
amostra (dado que n+ k > n).
E´ fa´cil imaginar uma situac¸a˜o onde exista heterocedasticidade. Vejamos o caso onde os dados em corte
representam os gastos familiares. E´ natural esperar que o gasto me´dio aumente quando a renda aumenta.
Mas tambe´m e´ de se esperar que a variaˆncia dos gastos tambe´m cresc¸a na medida em que a renda cresce.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 13 pa´gina 3
Supondo que o rendimento e´ representado pela varia´vel x2i, enta˜o a matriz de variaˆncias-covariaˆncias podera´
ser representada por:
E(uu′) = σ2

x21 0 · · · 0
0 x22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · x2n
 = σ2A.
Note que esta matriz possui apenas um paraˆmetro desconhecido (σ2). No entanto, ela baseia-se em um
pressuposto muito forte para a heterocedasticidade, qual seja: a variaˆncia cresce na medida em que a renda
aumenta. O que se pode destacar e´ que esta representac¸a˜o e´ apenas um caso particular da heterocedastici-
dade, em geral, esta caracter´ıstica possui formas diversas.
A partir de agora a heterocedasticidade sera´ tratada por uma representac¸a˜o na˜o-esfe´rica para u:
var(u) = σ2Ω.
Onde Ω representa uma matriz definida positiva n× n.
3. PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES DE MQO
A presenc¸a de heterocedasticidade na˜o altera o na˜o-viesamento e a consisteˆncia do estimador de MQO,
vejamos:
βˆ = (X ′X)−1X ′y.
Substituindo y por Xβ + u:
βˆ = (X ′X)−1X ′[Xβ + u]
βˆ = (X ′X)−1X ′Xβ + (X ′X)−1X ′u
βˆ = Iβ + (X ′X)−1X ′u,
da qual resulta:
βˆ − β = (X ′X)−1X ′u.
Tomando o valor esperado em ambos os lados da equac¸a˜o acima e sabendo que (X ′X)−1X ′ e´ deter-
min´ıstica:
E(βˆ − β) = (X ′X)−1X ′E(u).
Por hipo´tese E(u) = 0, logo:
E(βˆ − β) = 0,
ou seja,
E(βˆ) = β.
Este resultado assegura que beta e´ na˜o-viciado, pore´m ele na˜o sera´ eficiente, dado que na˜o mais possuira´
variaˆncia mı´nima. Vejamos, como u e´ na˜o-esfe´rico var(u) = σ2Ω. Como Ω e´ definida positiva enta˜o existira´:
Ω−1 = P ′P. [2]
Fac¸amos uma modificac¸a˜o na equac¸a˜o 1, multiplicando-a por P , assim:
y∗ = βX∗ + u∗
onde y∗ = Py, X∗ = PX e u∗ = Pu. Da definic¸a˜o 2 temos Ω = P ′−1P−1, assim:
var(u∗) = σ2PΩP ′ = σPP−1(P ′−1)P ′ = σ2I.
Logo, as varia´veis transformadas conduzem a um erro esfe´rico. Onde o estimador βˆ sera´:
βˆGLS = (X ′∗X∗)
−1X ′∗y∗ = (X
′Ω−1X)−1X ′Ω−1y.
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 13 pa´gina 4
Este e´ o estimador de Mı´nimos Quadrados Generalizados (GLS) que corrige a heterocedasticidade. Sua
variaˆncia sera´:
var(βˆGLS) = σ2(X ′∗X∗)
−1 = σ2(X ′Ω−1X)−1.
Note que esta expressa˜o apresenta um menor valor em relac¸a˜o a` variaˆncia do estimador de MQO. Logo,
no caso de heterocedasticidade, o estimador de MQO deixa de apresentar variaˆncia mı´nima:
var(βˆGLS) = σ2(X ′Ω−1X)−1 < var(βˆ) = σ2(X ′X)−1.
Basta observar que o denominador da expressa˜o do GLS e´ maior, pois Ω−1 = P ′P . Por fim, os erros
padro˜es usuais para o MQO deixam de ser va´lidos o que, por sua vez, invalida os testes de hipo´teses t e F .
Vejamos, caso os dados apresentem heterocedasticidade, a matriz de variaˆncias-covariaˆncias correta para o
estimador de MQO sera´:
var(βˆ) = E
[
(βˆ − β)(βˆ − β)′] = E{(X ′X)−1X ′uu′X(X ′X)−1} = σ2(X ′X)−1X ′ΩX(X ′X)−1
Note que a fo´rmula convencional so´ permite calcular σ2(X ′X)−1.
4. CARACTERI´SICAS DOS ERROS PADRO˜ES
Caso os dados apresentem heterocedasticidade, a matriz de variaˆncias-covariaˆncias correta para o estimador
de MQO sera´:
var(βˆ) = E
[
(βˆ − β)(βˆ − β)′] = E{(X ′X)−1X ′uu′X(X ′X)−1} = σ2(X ′X)−1X ′ΩX(X ′X)−1
Note que a fo´rmula convencional so´ permite calcular σ2(X ′X)−1, o que agora e´ apenas uma parte da
expressa˜o verdadeira. Por conta disso, as estat´ısticas teste deixam de ser va´lidas.
E´ importante ressaltarque mesmo que suspeitemos da heterocedasticidade, e´ poss´ıvel aplicar o me´todo
MQO. O problema e´ que a matriz σ2Ω, possui n elementos para serem estimados a partir de n pontos.
Contudo, White (1980) mostrou que esta e´ uma maneira incorreta de observar o problema. E´ importante
encontrar uma estimativa para X ′σ2ΩX, que e´ uma matriz quadrada de ordem k.
O me´todo de White propo˜e a substituic¸a˜o da variaˆncia σ2 pelo quadrado do erro amostral (e2t ). Neste
caso, a estimac¸a˜o sera´:
var(βˆ) = (X ′X)−1X ′σ2ΩX(X ′X)−1,
onde σ2Ω = diag{e21, e22, ..., e2n}. Esta transformac¸a˜o torna os testes usuais va´lidos assinto´ticamente. Logo, o
modelo MQO, embora na˜o possua mais variaˆncia mı´nima podera´ ser implementado.
5. TESTE DE HIPO´TESE PARA A HETEROCEDASTICIDADE
A ineficieˆncia do estimador e´ uma consequ¨eˆncia se´ria para o modelo econome´trico. Por conta disso, em uma
ana´lise emp´ırica, torna-se necessa´ria a implementac¸a˜o de testes para a heterocedasticidade. Nesta sec¸a˜o
daremos atenc¸a˜o ao teste desenvolvido por White (1980).
O teste de White e´ baseado em uma regressa˜o auxiliar. Onde o quadrado dos res´ıduos sera´ regredido
frente a todas as varia´veis do modelo, seus valores elevados ao quadrado seus produtos cruzados e a constante.
As varia´veis redundantes sera˜o exclu´ıdas do modelo. Vejamos um exemplo: digamos que o processo de
estimac¸a˜o envolve as varia´veis x1 e x2 e a constante:
x′ = {1, x1, x2}.
Assim, o teste considerara´:
{1, x1, x2, x21, x22, x1x2}.
Note que foram exclu´ıdas as varia´veis redundantes oriundas dos produtos cruzados da constante com x1
e x2 e com ela mesma. Logo, a regressa˜o auxiliar do teste sera´ obtida estimando o quadrado dos res´ıduos (e2)
Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 13 pa´gina 5
da primeira regressa˜o (y frente a {1, x1, x2}), contra as varia´veis {1, x1, x2, x21, x22, x1x2}. Diante da hipo´tese
da homocedasticidade nR2 possuira´ distribuic¸a˜o χ2(5). Os graus de liberdade correspondem ao nu´mero de
varia´veis explicativas na regressa˜o auxiliar, exclu´ıda a constante.
Em geral sob hipo´tese nula da homocedasticidade tem-se
nR2 ∼ χ2(q).
Onde q e´ o nu´mero de varia´veis explicativas na regressa˜o auxiliar menos um. Caso a hipo´tese nula seja
rejeitada na˜o havera´ nenhuma indicac¸a˜o sob a forma da heterocedasticidade, portanto o me´todo de GLS na˜o
podera´ ser implementado sem informac¸o˜es adicionais. O problema do teste de White reside nos seus graus de
liberdade. Na medida em que tem-se um grande nu´mero de regressores, o teste perde poder. Por exemplo,
considere k regressores na estimac¸a˜o original, desta forma, sua auxiliar tera´ [k(k+ 1)/2]− 1 paraˆmetros. Se
o k for igual a 10 teremos q = 54. Muitas vezes, quando o k e´ grande, costuma-se fazer reduc¸o˜es ad hoc nos
regressores, excluindo-se os produtos cruzados.
Por fim, conclui-se que caso queira-se utilizar o me´todo de MQO, e´ necessa´rio, na presenc¸a de hetero-
cedasticidade, utilizar o ca´lculo da matriz de variaˆncias-covariaˆncias robusta.
Nota adicional: O presente documento foi preparado a partir do sistema tipogra´fico (Plain) TEX, desenvolvido por
Donald Knuth. Versa˜o preliminar, comenta´rios sa˜o bem-vindos!
REFEREˆNCIAS
[1] Johnston, J.; DiNardo, J. (2001). Metodos econome´tricos. Lisboa: McGraw Hill.
[2] White, H. (1980). A heteroscedasticity-consistent covariance matrix estimator and a direct test for heteroscedas-
ticity. Econometrica, v. 48.

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