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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIEˆNCIAS SOCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA Introduc¸a˜o a` Professor: Erik Alencar de Figueireˆdo Aula 15 5 Jan 2008 5:58 p.m. Quebra dos pressupostos do MQO: Autocorrelac¸a˜o 0. INTRODUC¸A˜O Como destacado na aula anterior, a heterocedasticidade afeta os elementos da diagonal principal da matriz de variaˆncias-covariaˆncias. Entretanto, mesmo assim ainda assume-se que as perturbac¸o˜es teˆm covariaˆncias, duas a duas, nulas. Ou seja, teˆm-se E(utut+s) = 0, para todo t 6= s. Quando as perturbac¸o˜es sa˜o autocor- relacionadas este pressuposto deixa de ser va´lido. As autocovariaˆncias sa˜o definidas por: γs = E(utut+s), s = 0,±1,±2, ... Quando s = 0, a equac¸a˜o acima torna-se: γ0 = E(u2t ) = σ 2 u. Note que neste caso supo˜e-se a presenc¸a da homocedasticidade. A passagem da autocovariaˆncia para a autocorrelac¸a˜o e´ simples: ρs = cov(ut, ut+s)√ var(ut)var(ut+s) . Perante a homocedasticidade teremos: ρs = γs γ0 , s = 0,±1,±2, ... Assim, var(u) = E(uu′) = E [ u1 u2 ... un · (u1 u2 · · · un ) ] = E(u21) E(u1u2) · · · E(u1un) E(u2u1) E(u22) · · · E(u2un) ... ... . . . ... E(unu1) E(unu2) · · · E(u2n) var(u) = γ0 γ1 · · · γn−1 γs γ0 · · · γn−2 ... ... . . . ... γn−1 γn−2 · · · γ0 = σ2u 1 ρ1 · · · ρn−1 ρ1 1 · · · ρn−2 ... ... . . . ... ρn−1 ρn−2 · · · 1 = σ2uΩ. Observe que mais uma vez na˜o poderemos estimar o modelo por MQO sem a realizac¸a˜o de hipo´teses adicionais, pois o modelo possui n + k paraˆmetros desconhecidos e so´ n observac¸o˜es. Assim, tal como na presenc¸a de heterocedasticidade, e´ necessa´rio supor alguma estrutura para a autocorrelac¸a˜o. Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 15 pa´gina 2 2. RAZO˜ES PARA A PRESENC¸A DA AUTOCORRELAC¸A˜O Uma das razo˜es para a existeˆncia de autocorrelac¸a˜o e´ a na˜o inclusa˜o de varia´veis relevantes no modelo. Logo, perturbac¸o˜es autocorrelacionadas sa˜o um ind´ıcio da ma´ especificac¸a˜o do modelo. Suponha que o modelo “correto” seja: yt = β0 + β2xt + β2yt−1 + ut. Onde ut e´ um ru´ıdo branco. Entretanto, o pesquisador especifica: yt = β0 + β2xt + vt. Assim, vt = β2yt−1 + ut, que e´ autocorrelacionada. 3. PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES DE MQO A presenc¸a de autocorrelac¸a˜o na˜o altera o na˜o-viesamento e a consisteˆncia do estimador de MQO, vejamos: βˆ = (X ′X)−1X ′y. Substituindo y por Xβ + u: βˆ = (X ′X)−1X ′[Xβ + u] βˆ = (X ′X)−1X ′Xβ + (X ′X)−1X ′u βˆ = Iβ + (X ′X)−1X ′u, da qual resulta: βˆ − β = (X ′X)−1X ′u. Tomando o valor esperado em ambos os lados da equac¸a˜o acima e sabendo que (X ′X)−1X ′ e´ deter- min´ıstica: E(βˆ − β) = (X ′X)−1X ′E(u). Por hipo´tese E(u) = 0, logo: E(βˆ − β) = 0, ou seja, E(βˆ) = β. Este resultado assegura que beta e´ na˜o-viciado, pore´m ele na˜o sera´ eficiente, dado que na˜o mais possuira´ variaˆncia mı´nima. Vejamos, como u e´ na˜o-esfe´rico var(u) = σ2Ω. Como Ω e´ definida positiva enta˜o existira´: Ω−1 = P ′P. [1] Fac¸amos uma modificac¸a˜o na equac¸a˜o 1, multiplicando-a por P , assim: y∗ = βX∗ + u∗ onde y∗ = Py, X∗ = PX e u∗ = Pu. Da definic¸a˜o 2 temos Ω = P ′−1P−1, assim: var(u∗) = σ2PΩP ′ = σPP−1(P ′−1)P ′ = σ2I. Logo, as varia´veis transformadas conduzem a um erro esfe´rico. Onde o estimador βˆ sera´: βˆGLS = (X ′∗X∗) −1X ′∗y∗ = (X ′Ω−1X)−1X ′Ω−1y. Este e´ o estimador de Mı´nimos Quadrados Generalizados (GLS) que corrige a heterocedasticidade. Sua variaˆncia sera´: var(βˆGLS) = σ2(X ′∗X∗) −1 = σ2(X ′Ω−1X)−1. Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 15 pa´gina 3 Note que esta expressa˜o apresenta um menor valor em relac¸a˜o a` variaˆncia do estimador de MQO. Logo, no caso de autocorrelac¸a˜o, o estimador de MQO deixa de apresentar variaˆncia mı´nima: var(βˆGLS) = σ2(X ′Ω−1X)−1 < var(βˆ) = σ2(X ′X)−1. Basta observar que o denominador da expressa˜o do GLS e´ maior, pois Ω−1 = P ′P . Por fim, os erros padro˜es usuais para o MQO deixam de ser va´lidos o que, por sua vez, invalida os testes de hipo´teses t e F . 4. TESTE: INTRODUC¸A˜O A primeira coisa que deve ser destacada e´ a diferenc¸a entre E(uu′) e E(ee′). A primeira, sabemos que e´ a matriz de variaˆncias-covariaˆncias. Ja´ a segunda envolve os erros amostrais. Vimos na aula 9 que e = Mu (derivac¸a˜o do estimador para σ2). Onde M e´ uma matriz indempotente M = I − X(X ′X)−1X ′, com caracter´ıstica n− k. Logo, a matriz de variaˆncias-covariaˆncias para e sera´: var(e) = E(ee′) = σ2uM. Isto posto, considerando o modelo populacional y = Xβ + u, podemos definir a autocorrelac¸a˜o, na sua forma mais simples, por: ut = φut−1 + ²t Note que trata-se de um modelo AR(1). Desta forma, a hipo´tese da autocorrelac¸a˜o sera´: H0 : φ = 0, frente a H1 : φ 6= 0. Logo, se a hipo´tese nula for verdadeira, E(uu′) = σ2uI. Entretanto, o modelo “amostral” apresentara´ alguma autocorrelac¸a˜o, pois os termos fora da diagonal principal da matriz M na˜o se anulam. E mais, M sera´ uma func¸a˜o dos valores observados de X, variando de amostra para amostra. Esta variac¸a˜o torna imposs´ıvel deduzir um teste para amostras finitas sobre os e’s, de forma que ele seja va´lido para qualquer matriz X que possamos ter. 5. TESTE DE DUBLIN-WATSON A est´ıstica de Dublin-Watson e´ calculada a partir dos res´ıduos e = y −Xβˆ, sendo definida por: DW = ∑n t=2(et − et−1)2∑n t=1 e 2 t . [2] O valor de DW esta´ relacionado com o coeficiente de autocorrelac¸a˜o amostral de primenira ordem para os e. Desenvolvendo (2) teremos: DW = ∑n t=2 e 2 t + ∑n t=2 e 2 t−1 − 2 ∑n t=2 etet−1∑n t=1 e 2 t . [3] Para grandes valores de n (assinto´ticamente) as diferenc¸as entre o numerador e o denominador va˜o diminuindo, de forma a gerar: DW ≈ 2(1− φˆ). [4] Onde φˆ = ∑ etet−1/ ∑ e2t−1 e´ o coeficiente de autocorrelac¸a˜o entre et e et−1. Deve-se destacar que (4) e´ uma aproximac¸a˜o assinto´tica e que devemos fazer concesso˜es relativas a`s discrepaˆncias individuais. Logo, a equac¸a˜o (4) apresentara´ valores entre 0 e 4 e: Introduc¸a˜o a` Econometria - Aula 15 pa´gina 4 DW < 2 para e com autocorrelac¸a˜o positiva; DW > 2 para e com autocorrelac¸a˜o negativa; DW ≈ 2 para e com autocorrelac¸a˜o zero; Claro que esta´-se testando as propriedades de u, que e´ na˜o-obsera´vel, a partir de e. Entretanto, os resultados de DW sa˜o va´lidos mesmo assim. Como DW depende de cada amostra, enta˜o na˜o e´ poss´ıvel apresentar uma tabela de valores u´nica para seus valores cr´ıticos. Por isso, Dublin-Watson estabeleceram limites superiores e inferiores para os valores cr´ıticos, respectivamente, di e ds. Estes limites so´ dependem do tamanho da amostra e do nu´mero de regressores e sa˜o usados para verificar as hipo´teses da autocorrelac¸a˜o zero frente a autocorrelac¸a˜o positiva. O procedimento e´ o seguinte: seDW < di, rejeita-se a hipo´tese de u ser na˜o-correlacionado em favor da hipo´tese da autocorrelac¸a˜o positiva; se DW > ds, na˜o rejeita-se a hipo´tese nula; se di < DW < ds, o teste na˜o rejeita-se a hipo´tese nula; Se o valor de DW exceder 2, poderemos testar a hipo´tese da autocorrelac¸a˜o negativa, para isso, calcula- se 4-DW e compara-se este valor com os valores tabulados, como se fosse um teste para a autocorrelac¸a˜o positiva. Uma dica importante para o teste deDW e´ a inclusa˜o da constante na regressa˜o. Por fim, destaca-se que a existeˆncia de uma zona inconclusiva causa um problema importante para o teste. Nota adicional: O presente documento foi preparado a partir do sistema tipogra´fico (Plain) TEX, desenvolvido por Donald Knuth. Versa˜o preliminar, comenta´rios sa˜o bem-vindos! REFEREˆNCIAS [1] Johnston, J.; DiNardo, J. (2001). Metodos econome´tricos. Lisboa: McGraw Hill.
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