Sumário de Testes de Convergencia de Séries

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Campo Moura˜o
Wellington Jose´ Correˆa
Nome:
Suma´rio dos Testes de Convergeˆncia ou Divergeˆncia para uma Se´rie Infinita
1. Teste da Divergeˆncia: Se lim
n→+∞
un 6= 0, enta˜o a se´rie infinita
+∞∑
n=1
un e´ divergente.
2. A Se´rie Geome´trica converge para a soma
a
1− r se |r| < 1 e a se´rie geome´trica diverge se
|r| ≥ 1.
3. A Se´rie Hiper-harmoˆnica
+∞∑
n=1
1
np
diverge se p ≤ 1 e converge se p > 1.
4. A Se´rie Telesco´pica
+∞∑
n=1
(un − un+1) converge se lim
n→+∞
un+1 existe.
5. Teste da Integral: Seja f uma func¸a˜o cont´ınua, decrescente e com valores positivos para
todo x ≥ 1. Enta˜o, a se´rie infinita
+∞∑
n=1
f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + . . .+ f(n) + . . .
sera´ convergente se a integral impro´pria
∫ +∞
1
f(x) dx existir e sera´ divergente se
lim
b→+∞
∫ b
1
f(x) dx = +∞ .
6. Teste da Comparac¸a˜o: Seja
+∞∑
n=1
vn uma se´rie de termos positivos.
(i) Se
+∞∑
n=1
vn for uma se´rie de termos positivos que sabemos ser convergentes e se un ≤ vn
para todo n inteiro positivo, enta˜o
+∞∑
n=1
un sera´ convergente.
1
(ii) Se
+∞∑
n=1
wn for uma se´rie de termos positivos que sabemos ser divergentes e se un ≥ wn
para todo n inteiro positivo, enta˜o a se´rie
+∞∑
n=1
un sera´ divergente.
7. Teste de Comparac¸a˜o por Limite: Sejam
+∞∑
n=1
un e
+∞∑
n=1
vn duas se´ries de termos positivos.
(i) lim
n→+∞
uv
vn
= c > 0, enta˜o, ambas as se´ries covergem, ou ambas divergem.
(ii) lim
n→+∞
uv
vn
= 0 e se
+∞∑
n=1
vn converge, enta˜o
+∞∑
n=1
un converge.
(iii) Se lim
n→+∞
uv
vn
= +∞ e se
+∞∑
n=1
vn diverge, enta˜o
+∞∑
n=1
un diverge.
8. Teste de Se´ries Alternadas ou Teste de Leibniz: Considere a se´rie alternada
+∞∑
n=1
(−1)n+1 an
ou a se´rie alternada
+∞∑
n=1
(−1)n an , onde an > 0 e an+1 < an para todo n inteiro positivo.
Se lim
n→+∞
an = 0, a se´rie alternada coverge.
9. Teste da Raza˜o ou Teste de d’Alembert: Seja
+∞∑
n=1
un uma se´rie infinita dada para a qual
todo un e´ na˜o-nulo. Enta˜o,
(i) se lim
n→+∞
∣∣∣∣un+1un
∣∣∣∣ = L < 1, a se´rie dada e´ absolutamente convergente;
(ii) se lim
n→+∞
∣∣∣∣un+1un
∣∣∣∣ = L > 1 ou se limn→+∞
∣∣∣∣un+1un
∣∣∣∣ = +∞, a se´rie dada e´ divergente;
(iii) se lim
n→+∞
∣∣∣∣un+1un
∣∣∣∣ = 1, nenhuma conclusa˜o quanto a` convergeˆncia da se´rie.
10. Teste da Raiz ou Teste de Cauchy: Seja
+∞∑
n=1
un uma se´rie infinita para a qual un e´ diferente
de zero. Enta˜o,
(i) se lim
n→+∞
n
√
|un| = L < 1, a se´rie dada e´ absolutamente convergente;
(ii) se lim
n→+∞
n
√
|un| = L > 1, ou se lim
n→+∞
n
√
|un| = +∞, a se´rie diverge;
(iii) se lim
n→+∞
n
√
|un| = 1, o teste e´ inconclusivo.
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