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CÁLCULO NUMÉRICO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
A disciplina Cálculo Numérico tem por objetivo a resolução de problemas
cuja solução analítica é impossível ou complexa demais para ser obtida!
Alguns exemplos são:
a)
xxyesen
dx
yd
ln)(
2
4
4
Esta equação diferencial ordinária é classificada como uma equação de
ordem 4, grau 2 e não linear. Existem não linearidades no argumento da
função seno e na própria quarta derivada. Certamente, não existe um
método analítico para a obtenção desta solução ou se existe deve ser muito
complexo.
b)
3
2
5sec xdx
é um outro cuja solução é relativamente complicada
Nestes casos podemos utilizar as técnicas de Cálculo Numérico para a
solução de problemas.
Para a consulta de referências deste curso:
a) Cálculo Numérico com aspectos Teóricos e Computacionais.
Márcia Ruggiero
Vera Lúcia Lopes
b) Métodos Numéricos
Peter Stark
c) Material do Prof em pdf.
Em termos de avaliação serão aplicadas duas provas ao final de cada
bimestre letivo.
Usaremos planilhas (Libreoffice), MatLab (Scilab), Geogebra, Graphmatic,
Winplot.
Capítulo 1
ESTUDO DE SÉRIES DE POTÊNCIAS
Muitos fenômenos apresentam informações sequências!. Em Matemática
estudamos o conceito de sequência, que são informações que se sucedem
sob uma certa lei de formação.
Iniciaremos este estudo por uma sequência numérica dada por:
0,6;0,06;0,006;... Temos uma sequência infinitas.
Podemos operar aritmeticamente sobre uma sequência obtendo uma série
de termos.
0,6+0,06+0,006+...=0,666...=2/3
Temos neste exemplo uma série convergente!
Um outro exemplo:
1+2+3+4+5+... temos uma série divergente.
Definição: Uma série é dita convergente quando ela apresenta soma
parcial tendendo a um valor limite. Matematicamente, temos:
Lna
n
lim
, onde
na
representa o termo geral da série.
Exemplo 1) Utilizando uma planilha determine se a série dada por
0,6+0,06+0,006+... converge ou diverge.
Iteração valor do termo soma parcial
0 0,60000 0,60000
1 0,06000 0,66000
2 0,00600 0,66600
3 0,00060 0,66660
4 0,00006 0,66666
5 0,00001 0,66667
6 0,00000 0,66667
7 0,00000 0,66667
8 0,00000 0,66667
9 0,00000 0,66667
a série converge pois apresenta soma parcial
tendendo a um valor limite.
Iteração valor do termo soma parcial
0 1,00000 1,00000
1 -1,00000 0,00000
2 1,00000 1,00000
3 -1,00000 0,00000
4 1,00000 1,00000
5 -1,00000 0,00000
6 1,00000 1,00000
7 -1,00000 0,00000
8 1,00000 1,00000
9 -1,00000 0,00000
a série diverge pois não apresenta soma parcial
tendendo a um valor limite.
E diverge oscilando em sua soma parcial.
Exemplo 3) Utilizando um programa gráfico verifique o comportamento dos
termos da sequência 1,-1,1,-1,1...
Arquivo aula1graf1
Exemplo 4) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar
a soma dos n primeiros termos da série
0,6+0,06+0,006+
% nome do aluno
% programa para determinar a soma
% dos n primeiros termos da série
% 0,6+0,06+0,006+...
% a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado
n=input(' entre com o número de termos ');
% a próxima inicializa uma variável acumulativa
fprintf('iteraçao valor do termo soma \n');
soma=0;
for i=0:n
valor_do_termo= 0.6/10^i;
soma=soma+valor_do_termo;
fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma)
end
Exemplo 5) Escreva um programa em Linguagem Matlab para determinar
a soma dos n primeiros termos da série
1-1+1-1+1-1+...
% nome do aluno
% programa para determinar a soma
% dos n primeiros termos da série
% 1-1+1-1+...
% a próxima permite a entrada de uma informaçao via teclado
n=input(' entre com o número de termos ');
% a próxima inicializa uma variável acumulativa
fprintf('iteraçao valor do termo soma \n');
soma=0;
for i=0:n
valor_do_termo= (-1)^i;
soma=soma+valor_do_termo;
fprintf(' %5d %14.5f %14.5f \n',i,valor_do_termo,soma)
end
AULA 2
CRITÉRIOS DE PARADA
Todo Método Numérico exige algum critério de parada.
Podemos utilizar dois critérios:
a) Erro absoluto:
epsValor
ValorE
AnteriorValor-posterior
o Aproximad Valor- Exato
b) Erro relativo:
eps
Valor
Valor
E
Posterior Valor
AnteriorValor-posterior
Exato Valor
o Aproximad Valor- Exato
eps representa a precisão requerida de determinado método!
Exemplo 1) Através de uma planilha verifique a convergência ou divergência de
uma série, inclusive relacionando o erro relativo cometido.
1
1
n
n
n
Arquivo aula2plan1
iteração
valor do
termo
soma
parcial
erro
1 2,00000 2,00000
4,29E-
01
2 1,50000 3,50000
2,76E-
01
3 1,33333 4,83333
2,05E-
01
4 1,25000 6,08333
1,65E-
01
5 1,20000 7,28333
1,38E-
01
6 1,16667 8,45000
1,19E-
01
7 1,14286 9,59286
1,05E-
01
8 1,12500 10,71786
9,39E-
02
9 1,11111 11,82897
8,51E-
02
10 1,10000 12,92897
a série diverge pois não apresenta soma
parcial tendendo
a um valor limite
Atividade para casa: Determine a soma parcial da série, de tal modo que o
erro relativo cometido seja <=0,0001
1
52
n
n
n
AULA 2
TEOREMAS SOBRE SÉRIES
No estudo de convergência de séries podemos ter uma abordagem
numérica (planilhas e programas), uma abordagem gráfica e a abordagem
algébrica ou analítica. Esta última é feita por Teoremas.
Não é o objetivo da disciplina a demonstração de Teoremas e sim a
aplicação dos métodos numéricos.
1) TEOREMA DAS SÉRIES ALTERNADAS
Uma série alternada é uma série que se apresenta na forma:
...1...321 na
naaaoa
Lembrando que as séries que iremos trabalhar são infinitas.
Uma série alternada converge se e somente se duas condições forem
satisfeitas:
a)
0lim
na
n
b)
nana 1
Exemplo 2) Utilizando Teoremas e planilha verifique se a série converge ou
diverge.
1
1
1
n
n
n
O Teorema da série alternada preocupa-se com a convergência absoluta
da série.
Em Cálculo estuda-se que se uma série converge absolutamente ela
converge de qualquer forma.
Para o Teorema e não planilhas e programas:
n
na
1
a)
0
1
limlim
nn
na
n
(satisfeita)
b)
nana 1
0
2
1
'
1
)(
x
xf
x
xf
nfna
(satisfeita)
Visto que as duas condições foram satisfeitas a série converge!.
Vamos na sequência analisar numericamente a convergência desta série.
Arquivo aula2plan2
iteração valor do termo soma parcial
1 -1,00000 -1,00000
2 0,50000 -0,50000
3 -0,33333 -0,83333
4 0,25000 -0,58333
5 -0,20000 -0,78333
6 0,16667 -0,61667
7 -0,14286 -0,75952
8 0,12500 -0,63452
9 -0,11111 -0,74563
10 0,10000 -0,64563
11 -0,09091 -0,73654
12 0,08333 -0,65321
13 -0,07692 -0,73013
a série converge pois apresenta somaparcial
tendendo a um valor limite.
Entretanto, converge lentamente.
2) TESTE DA INTEGRAL
Este teste pode ser usado quando a série é constituída de termos positivos
e decrescentes.
Este teste nos diz que:
a) Se a integral
1
dxxf
converge, a série converge
b) Se a integral
1
dxxf
diverge, a série diverge
Veremos este teste através de um exemplo:
Exemplo 3) Verifique se a série dada por
2
ln
1
nn
converge ou diverge.
Inicialmente, vamos verificar se a série é positiva: Simplesmente
observando o comportamento da variável n, a série é positiva.
Agora, vamos verificar se a série é de termos decrescentes:
0
2ln
ln1
'
2ln
1ln
1
10ln
'
ln
1
)(
ln
1
xx
x
xf
xx
x
x
xxx
xf
xx
xf
nn
nfna
Concluímos que a série é constituída de termos positivos e decrescentes.
2
ln
1
Idx
xx
Verifico que a integral I é uma integral imprópria, visto que um dos extremos
é infinito.
2lnlnlnlnlim
2
lnlnlimlnlimlim
1
ln
2
ln
1
lim
A
A
A
x
A
u
Au
du
A
I
dx
x
du
xu
A
dx
xxA
I
A série diverge pois a integral também diverge.
Analise a convergência ou divergência desta série escrevendo um
programa em Matlab.
Arquivo aula2prog1
% nome do aluno
% programa para somar os n termos da série
% 1/(n*lnn) de 2 até infinito.
% a próxima linha permite a entrada de um
% valor via teclado
n= input(' entre com o número de termos ');
% a próxima cria uma variável acumulativa
fprintf(' iteraçao valor do termo soma parcial \n');
soma=0;
for i=2:n
valor_do_termo=1/(i*log(i));
soma=soma+valor_do_termo;
fprintf(' %5d %15.5f %12.5f \n',i,valor_do_termo,soma);
end
A sequência do exercício pedirá a elaboração de uma planilha.
Arquivo aula2plan3
iteração valor do termo soma parcial
2 0,72135 0,72135
3 0,30341 1,02476
4 0,18034 1,20510
5 0,12427 1,32936
6 0,09302 1,42238
7 0,07341 1,49580
8 0,06011 1,55591
9 0,05057 1,60648
10 0,04343 1,64991
11 0,03791 1,68782
12 0,03354 1,72136
13 0,02999 1,75135
14 0,02707 1,77841
15 0,02462 1,80303
16 0,02254 1,82557
17 0,02076 1,84633
a série diverge pois não apresenta soma parcial
tendendo a um valor limite.
3) Teste da Razão.
O teste da razão indica que:
a) Um série converge se
11lim
na
na
n
b) Um série diverge se
11lim
na
na
n
c) Se
11lim
na
na
n
, nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste
ou fazer a análise numérica via programas ou planilhas analisando a soma
parcial.
Este teste é um dos mais importantes pois é utilizado no estudo de séries
de potências de x, em particular, as séries de Taylor e McLaurin.
AULA 3
Exemplo) Verifique se a série
1
n!
n2
n
converge ou diverge aplicando o teste
da razão.
Obs: sempre que aparecer fatorial pode-se tentar o uso do teste da razão.
A mesma tentativa pode também ser aplicada quando no termo geral
aparece potência.
a) Um série converge se
11lim
na
na
n
b) Um série diverge se
11lim
na
na
n
c) Se
11lim
na
na
n
, nada podemos afirmar. Teremos que usar outro teste
!1n
1n2
1
n!
n2
na
na
10
1
21lim
1n
1
lim2
1
1
1n
1
lim2
1
!
n!1n
1
lim2
2
!
!1n
1n2
lim1lim
na
na
n
nn
n
nn
n
nna
na
n
Pelo Teste da Razão, como
11lim
na
na
n
a série converge.
Observação: Embora o teste da razão tenha aplicação na determinação de
convergência de séries puramente numéricas, ele também pode ser
aplicado em séries de potências de x.
SÉRIES DE POTÊNCIAS DE x
Estudaremos agora intervalos de convergências para séries que envolvam
potências de x.
Seja o exemplo) Determine o intervalo de convergência da série dada por:
1n
! n
nx
Sempre que estudarmos uma série que envolva potências de x, iniciamos
o estudo do intervalo de convergência pelo Teste da Razão.
11lim
na
na
n
! 1
1
1
!
n
nx
na
n
nx
na
Aplicando o teste, teremos:
10
1
1n
!1
lim
1
! 1n
!
lim
1
nx
!
! 1
1
lim1lim
x
n
x
n
n
n
x
n
n
nx
nna
na
n
O intervalo de convergência é o campo dos Reais.
Na sequência deste exemplo iremos criar uma planilha que determina a
soma parcial dos n primeiros termos para qualquer valor de x a ser lido na
planilha.
Arquivo aula3plan1
iteração
valor do
termo
soma
parcial
erro x=
-
1
1 -1,00000 -1,00000 1,00E+00
2 0,50000 -0,50000 2,50E-01
3 -0,16667 -0,66667 6,67E-02
4 0,04167 -0,62500 1,32E-02
5 -0,00833 -0,63333 2,20E-03
6 0,00139 -0,63194 3,14E-04
7 -0,00020 -0,63214 3,92E-05
8 0,00002 -0,63212 4,36E-06
9 0,00000 -0,63212 4,36E-07
10 0,00000 -0,63212 3,96E-08
11 0,00000 -0,63212 3,30E-09
12 0,00000 -0,63212
A série converge pois apresenta
soma
parcial tendendo a um valor limite
SÉRIE DE TAYLOR E McLAURIN
Na Engenharia, uma das séries mais importantes é a chamada série de Taylor,
que nos permite o desenvolvimento ou expansão de uma função em termos de
potências de x.
A série de Taylor é dada por:
...
!
0...
! 3
3
0'"
! 2
2
0"
! 1
0'
n
nxx
ox
nf
xx
oxf
xx
oxf
xx
oxfoxfxf
O ponto
ox
é chamado de ponto de expansão ou desenvolvimento.
O ponto x é chamado ponto de interesse.
Quando
0ox
a série de Taylor recebe o nome de série de McLaurin.
Exemplo) Expanda a função
xexf
em uma série de McLaurin.
0ox
100
.
.
.
100"
"
10)0('
'
100
enf
ef
xexf
ef
xexf
efoxf
0
!
...
! 3
3
! 2
2
!1
1
!0
0
...
! 3
3
! 2
2
1
...
! 3
30
1
! 2
20
1
! 1
0
11
n
n
nxxe
xxxxxx
xxe
xxxxe
Vamos aplicar o teste da Razão para a determinação do intervalo de
convergência.
11lim
na
na
n
!1
1
1
!
n
nx
na
n
nx
na
10
1
1
1
1
1
lim
1
1
!
!1
1
lim
1
!
!1
1
lim1lim
x
nn
x
n
nnn
x
nx
n
n
nx
nna
na
n
A série converge no campo dos reais.
Vamos montar uma planilha! Determine o valor da 1e de tal forma que o erro
cometido seja
0001,0
.
Arquivo aula3plan2
iteração valor do termo soma parcial erro x= 1
0 1,00000 1,00000 5,00E-01
1 1,00000 2,00000 2,00E-012 0,50000 2,50000 6,25E-02
3 0,16667 2,66667 1,54E-02
4 0,04167 2,70833 3,07E-03
5 0,00833 2,71667 5,11E-04
6 0,00139 2,71806 7,30E-05
7 0,00020 2,71825
o valor aproximado
da
exponencia de
x= 1
é igual a 2,71825
com erro<= 7,30E-05
Utilizando o software Geogebra, plote a curva original, e as séries com 1,2,3
termos.
y=1+x+\frac{x^{2}}{2} para escrever
2
2x no editor látex do Geogebra.
Exemplo) Desenvolva a função
.xsenxf
em série de McLauri.
Determine o valor de
2
sen
de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001.
...
!
0...
! 3
3
0'"
! 2
2
0"
! 1
0'
n
nxx
ox
nf
xx
oxf
xx
oxf
xx
oxfoxfxf
0ox
00)0(
)()(
10cos)0("'
cos"'
0)0("
)("
10cos'
cos'
000
senIVf
xsenxIVf
f
xxf
senof
xsenxf
oxf
xxf
senfoxf
xsenxf
...
!5
5
!3
3
...0
! 3
30
1
! 2
20
0
! 1
0
10
xx
xsenx
xxx
senx
0
!12
12
1
n
n
nxnsenx
Vamos determinar o intervalo de convergência.
! 112
112
111
!12
12
1
n
nxn
na
n
nxn
na
1
!122232n
!12
lim2
1
12
! 12
! 32n
32
lim
1
121
! 12
! 112
112
11lim
11lim
nn
n
n
x
nx
nnx
n
nxn
n
n
nxn
n
na
na
n
102
1
61024
1
lim2
1
2232n
1
lim2
x
nnn
x
nn
x
O intervalo de convergência é x pertencente aos Reais.
Vamos calcular
2
sen
de tal forma que o erro cometido seja <= 0,0001.
Arquivo aula3plan3
iteração valor do termo soma parcial erro x= 1,5707963267949
0 1,57080 1,57080 6,98E-01
1 -0,64596 0,92483 7,93E-02
2 0,07969 1,00452 4,68E-03
3 -0,00468 0,99984 1,60E-04
4 0,00016 1,00000 3,60E-06
5 0,00000 1,00000
o valor aproximado
da
exponencia de
x= 1,57080
é igual a 1,00000
com erro<= 3,60E-06
Atividade para casa 1): Utilizando série de McLaurin determine o valor de cos(3,5)
de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001.
Atividade para casa 2): Utilizando série de Taylor determine o valor de ln(3,5) de
tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001.
Atividade para casa 3): Elabore um programa em Linguagem MatLab para as
atividades 1 e 2. O programa deve ler o número de iterações, o valor do argumento
e “printar” em tabela formatada as colunas iteração, valor do termo, soma parcial
e erro relativo.
Dúvidas:
1) Sempre pelo face
2) não resolvendo pelo face, marcamos horário
3) teamviewer 11 (bom para dúvidas, reuniões online)
AULA 4
CÁLCULO NUMÉRICO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE LORENA
PROF OSWALDO COBRA
TURMA quinta-feira
CAPÍTULO II
RAÍZES OU ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES
Equações transcendentes são aquelas que envolvem funções
exponenciais, logarítmicas e ou trigonométricas, paras as quais
eventualmente não existem fórmulas para a determinação de suas raízes
ou zeros. Portanto, estaremos interessados na resolução de problemas do
tipo
0xf
.
Estudaremos dois métodos:
a) Método da Bissecção
b) Método de Newton-Raphson (N-R)
O primeiro método vamos classificar, neste curso, como um método
acadêmico. O segundo realmente como um método prático.
MÉTODO DA BISSECÇÃO
Este método é baseado no Teorema:
Seja uma função
xf
que possui uma única raiz no intervalo
],[ ba
. É
condição suficiente para a existência desta raiz que
0 bfaf
.
O método da bissecção tem por base a divisão sucessiva do intervalo que
contenha a raiz pela metade de sua amplitude.
Possui a seguinte interpretação Geométrica:
Geo1aula4
Primeira iteração:
Supõe que
0 bfaf
existe uma raiz no intervalo
ba,
2
ba
ox
Se
00 xfaf
A Raiz se encontra no intervalo
oxa,
.
Então:
oxb
aa
Senão raiz pertencente ao intervalo
box ,
bb
oxa
Segunda iteração
2
1
ba
x
Se
01 xfaf
a raiz está no intervalo
1, xa
1xb
aa
Senão
bb
xa
bx
1
,1
Faremos n iterações até que um determinado critério de parada seja
atingido.
Estabeleceremos o seguinte critério:
1
1
nx
nxnx
Onde
é a precisão requerida do método.
Exemplo 1) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma
planilha a raiz de
33
2
xxxexf
contida no intervalo 2;6,0 de tal
forma que o erro cometido seja 310 .
Vamos plotar esta função no MatLab.
>> x= 0.4:0.1:2.1;
>> y=exp(x.^2)-3*x+x.^3;
>> plot(x,y)
>> grid
>>
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro
0 0,60000 2,00000 1,30000
-
0,15067
56,59815 3,71648
3,68E-
01
1 0,60000 1,30000 0,95000
-
0,15067
3,71648 0,47313
2,26E-
01
0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2 0,60000 0,95000 0,77500
-
0,15067
0,47313
-
0,03626
1,01E-
01
3 0,77500 0,95000 0,86250
-
0,03626
0,47313 0,15826
5,34E-
02
4 0,77500 0,86250 0,81875
-
0,03626
0,15826 0,04752
2,75E-
02
5 0,77500 0,81875 0,79688
-
0,03626
0,04752 0,00244
1,39E-
02
6 0,77500 0,79688 0,78594
-
0,03626
0,00244
-
0,01769
6,91E-
03
7 0,78594 0,79688 0,79141
-
0,01769
0,00244
-
0,00782
3,44E-
03
8 0,79141 0,79688 0,79414
-
0,00782
0,00244
-
0,00274
1,72E-
03
9 0,79414 0,79688 0,79551
-
0,00274
0,00244
-
0,00016
8,59E-
04
10 0,79551 0,79688 0,79619
a raiz
aproximada
vale
0,79619
com erro<=
8,59E-
04
Exemplo 2) Utilizando o método da bissecção, determine através de uma planilha
a raiz de
xxsenxf 323
contida no intervalo
2,0
de tal forma que o erro
cometido seja 310 .
Gráfico será feito no Geogebra
Função[ 3*sen(x-2)+3*x, 0, 2]
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro
0 0,00000 2,00000 1,00000
-
2,72789
6,00000 0,47559 1,00E+00
1 0,00000 1,00000 0,50000
-
2,72789
0,47559
-
1,49248
3,33E-01
2 0,50000 1,00000 0,75000
-
1,49248
0,47559
-
0,59695
1,43E-01
3 0,75000 1,00000 0,87500
-
0,59695
0,47559
-
0,08180
6,67E-02
4 0,87500 1,00000 0,93750
-
0,08180
0,47559 0,19178 3,45E-02
5 0,87500 0,93750 0,90625
-
0,08180
0,19178 0,05369 1,75E-02
6 0,87500 0,90625 0,89063
-
0,08180
0,05369
-
0,01439
8,70E-03
7 0,890630,90625 0,89844
-
0,01439
0,05369 0,01957 4,37E-03
8 0,89063 0,89844 0,89453
-
0,01439
0,01957 0,00257 2,19E-03
9 0,89063 0,89453 0,89258
-
0,01439
0,00257
-
0,00591
1,09E-03
10 0,89258 0,89453 0,89355
-
0,00591
0,00257
-
0,00167
5,46E-04
11 0,89355 0,89453 0,89404
a raiz
aproximada
vale
0,89404
com erro<=
5,46E-
04
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (N-R)
Este método também é conhecido como método das tangentes. Possui a
seguinte interpretação geométrica:
Figura no arquivo pdf.
oxf
oxf
oxx
oxf
xox
oxf
oxf
xox
oxftg
'
1
'
1
'
1
Para o segundo triângulo retângulo projetado teríamos:
1'
1
12
xf
xf
xx
Para n triângulos:
nxf
nxf
nxnx
'
1
Esta fórmula é conhecida como Método de Newton-Raphson
Exemplo 3) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de
uma planilha a raiz de 332 xxxexf com 1ox , de tal forma que
o erro cometido seja 310 .
233
2
2' xxxexf
iteração xanterior função derivada xposterior erro
0 1,00000 0,71828 5,43656 0,86788 1,52E-01
1 0,86788 0,17388 2,94608 0,80886 7,30E-02
2 0,80886 0,02633 2,07478 0,79617 1,59E-02
3 0,79617 0,00109 1,90310 0,79560 7,23E-04
4 0,79560
a raiz vale aproximadamente 0,79560
com erro<= 7,23E-04
Exemplo 4) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine através de uma
planilha a raiz de
xxsenxf 323
contida com xo=1 de tal forma que o
erro cometido seja 310 .
32cos3' xxf
iteração xanterior função derivada xposterior erro
0 1,00000 0,47559 4,62091 0,89708 1,15E-01
1 0,89708 0,01365 4,35297 0,89394 3,51E-03
2 0,89394 0,00001 4,34457 0,89394 3,39E-06
3 0,89394
a raiz vale aproximadamente 0,89394
com erro<= 3,39E-06
AULA DE EXERCÍCIOS
Questão 1) Determine pelo método da bissecção da menor raiz positiva de
22cos2
2
3
x
x
x
de tal forma que o erro cometido seja menor ou igual a
0,001.
Reescrevendo a função, teremos:
0
22cos2
2
3
)(
x
x
xxf
>> x=0.1:0.1:2;
>> y=x.^(-1.5)+x./(2-cos(x.^2))-pi/2;
>> plot(x,y)
>> grid
>>
Refinando pela Planilha, teremos:
iteração a b x=(a+b)/2 f(a) f(b) f(x) erro
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 0,60000 2,00000 1,30000 1,14472
-
0,46356
-
0,28262
3,68E-
01
1 0,60000 1,30000 0,95000 1,14472
-
0,28262
0,19741
1,56E-
01
2 0,95000 1,30000 1,12500 0,19741
-
0,28262
-
0,07080
8,43E-
02
3 0,95000 1,12500 1,03750 0,19741
-
0,07080
0,05558
4,05E-
02
4 1,03750 1,12500 1,08125 0,05558
-
0,07080
-
0,00938
2,06E-
02
5 1,03750 1,08125 1,05938 0,05558
-
0,00938
0,02265
1,02E-
02
6 1,05938 1,08125 1,07031 0,02265
-
0,00938
0,00652
5,08E-
03
7 1,07031 1,08125 1,07578 0,00652
-
0,00938
-
0,00145
2,55E-
03
8 1,07031 1,07578 1,07305 0,00652
-
0,00145
0,00253
1,27E-
03
9 1,07305 1,07578 1,07441 0,00253
-
0,00145
0,00054
6,36E-
04
10 1,07441 1,07578 1,07510
a raiz
aproximada vale
1,07510
com erro<=
6,36E-
04
Podem acessar como montar a planilha do Método da Bissecção em:
https://www.youtube.com/watch?v=oGcROBR6FfI&t=205s
Questão 2) Utilizando o método de Newton-Raphson, determine a menor raiz
positiva de
05)ln(736 xx
de tal forma que o erro cometido seja menor ou
igual a 0,0001.
O método de Newton-Raphson segue a seguinte fórmula:
nxf
nxf
nxnx
'
1
A derivada é dada por:
x
xxf
7218)('
O gráfico será criado no MatLab.
>> x=0.1:0.1:2;
>> y=6*x.^3+7*log(x)+5;
>> plot(x,y)
>> grid
Pelo gráfico, vamos utilizar xo=0,2
Na planilha, teremos:
iteração xanterior função derivada xposterior erro
0 0,20000 -6,21807 35,72000 0,37408 4,65E-01
1 0,37408 -1,56896 21,23149 0,44798 1,65E-01
2 0,44798 -0,08171 19,23813 0,45222 9,39E-03
3 0,45222 -0,00017 19,16019 0,45223 1,92E-05
4 0,45223
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
a raiz aproximada vale 0,45223
com erro<= 1,92E-05
Questão 3) Utilizando McLaurin, determine o valor de
1
0
xsenxdx , de tal forma
que o erro cometido seja menor ou igual a 0,001.
Sabemos que a série do seno de McLaurin é dada por:
...
!5
5
!3
3
xx
xsenx
0
!1232
1
.1...
!5.7
1
!3.5
1
!1.3
1
1
0
...
!5.7
1
!3.5
1
!1.3
1
1
0
...
!5.7
7
!3.5
5
!1.3
3
...
!5
6
!3
4
2
1
0
1
0
n
nn
nxsenxdx
xxx
dx
xx
xxsenxdx
iteração valor do termo soma parcial erro
0 0,33333 0,33333 1,11E-01
1 -0,03333 0,30000 3,95E-03
2 0,00119 0,30119 7,32E-05
3 -0,00002 0,30117
a integral vale aproximadamente 0,30117
com erro<= 7,32E-05
No Geogebra:
Y=x*sen(x)
Integral[f, 0, 1]
Resultado=0,30117
AULA 6
MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO
Devemos aplicar métodos de interpolação quando possuímos uma tabela de
dados e desejamos determinar um valor que não consta desta Tabela.
Embora, possamos interpolar por diversas funções matemáticas, neste curso,
estaremos interessados na interpolação polinomial.
Existem diversos métodos de interpolação polinomial.
Estudaremos:
a) interpolação polinomial por sistemas lineares
b) Interpolação polinomial unidimensional e bidimensional usando MATLAB
c) interpolação linear por semelhança de triângulos
d) Método de Newton-Gregory
e) Polinômio Interpolador de Lagrange
Devemos realçar que em pontos experimentais não devemos utilizar métodos de
interpolação, como veremos no curso, visto que estes métodos podem conter
erros. Em pontos provenientes de laboratório, devemos usar métodos que
minimizam possíveis erros, como por exemplo mínimos quadrados.
INTERPOLAÇÃO POR SISTEMAS LINEARES
Seja a Figura dada por:
Vamos supor que tenhamos uma tabela de dados da forma:
Variável independente Variável dependente
xo yo
x1 y1
Como possuímos dois pontos tabelados, vamos aproximar esta tabela por uma
reta ou por um polinômio de grau 1 da forma
xaoaxP 1)(1
.
Vamos que desejamos calcular qual seria o valor de y para um x no domínio da
tabela. Nos pontos interpolados, como a figura apresenta, temos que:
xfxP )(1
Lembrando que a função geradora da tabela é desconhecida.
Podemos então montar um sistema de equações para os pontos interpolados.
111
01
xfxaoa
oxfxaoa
Vamos observar que o sistema se apresenta na forma algébrica.
Na forma matricial,este sistema linear ficaria como:
B
resultados
dos
matriz
xf
oxf
R
incógnitas
das
matriz
a
a
A
scoefciente
dos
matriz
x
ox
11
0
11
1
Na resolução dos sistemas lineares, usaremos uma ferramenta ou comando do
Matlab:
R = A\B
Este comando resolve por fatoração LU o sistema linear. Não entraremos na teoria
de resolução de sistema linear, aplicaremos o método de resolução pelo Matlab.
Nosso interesse estará na interpretação e cálculo dos resultados.
Exemplo 1) Seja a tabela de dados
X Y
1,2 2,4
4,4 5,5
Desejamos determinar um polinômio de grau 1 que interpole esta tabela.
Inicialmente, vamos plotar os pontos da Tabela.
Usaremos o Matlab.
Utilizaremos interpolação linear.
5,514,4
4,212,1
aoa
aoa . Este sistema se apresenta na forma algébrica.
Vamos converter o sistema para a forma matricial:
B
resultados
dos
matriz
R
incógnitas
das
matriz
a
oa
A
scoefciente
dos
matriz
5,5
4,2
14,41
2,11
x=[1.2 4.4];
y=[2.4 5.5];
plot(x,y)
A=[1 1.2; 1 4.4];
B=[2.4;5.5];
R=A\B
R =
1.2375
0.9688
Vamos criar variáveis no Matlab:
Aoor =R(1);
a1=R(2);
x1=1.2:0.1:4.4;
>> P1=ao+a1*x1;
>> plot(x1,P1)
Determine por interpolação linear P1(3)=?
P1=ao+a1*3
P1 = 4.143750000000000
Para a interpolação quadrática, teríamos o seguinte sistema linear:
)2(
)1(
2
2221
2
1211
)(221
xf
xf
xaxaoa
xaxaoa
oxfoxaoxaoa
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
Exemplo 2) Dada a tabela, interpole um polinômio de grau 2.
X Y
1,2 2,4
4,4 5,5
5,5 7,8
Para um polinômio de grau 2, teremos o seguinte sistema linear
8,7
5,5
25,5215,5
24,4214,4
4,222,1212,1
aaoa
aaoa
aaoa
A=[1 1.2 1.2^2; 1 4.4 4.4^2; 1 5.5 5.5^2];
B=[2.4;5.5;7.8];
R=A\B
R =
2.615406976744188
-0.492666490486260
0.260967230443975
ao=R(1);
a1=R(2);
a2=R(3);
x=[1.2 4.4 5.5];
y=[2.4 5.5 7.8];
plot(x,y)
hold on
>> x1=1.2:0.1:5.5;
>> P2=ao+a1*x1+a2*x1.^2;
>> plot(x1,P2)
O Matlab possui algumas ferramentas ou comandos que nos permitem interpolar
sem montar um sistema linear. Vejamos um exemplo.
Exemplo 2)
Tabela consta no pdf de aula
>> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000];
>> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ...
14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ...
-8 -7 -2 2 7 9 11 12];
>> size(hz)
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5
2
3
4
5
6
7
8
x
y
Interpolação Quadrática
dados tabelados
Polinômio Interpolador Quadrático
ans =
1 28
>> size(nps)
ans =
1 28
>> hz=[20:10:100 200:100:1000 1500 2000:1000:10000];
>> nps=[76 66 59 54 49 46 43 40 38 22 ...
14 9 6 3.5 2.5 1.4 0.7 0 -1 -3 ...
-8 -7 -2 2 7 9 11 12];
>> size(hz)
ans =
1 28
>> size(nps)
ans =
1 28
>> plot(hz,nps)
>> semilogx(hz,nps)
>> grid
>>
Com estas informações, vamos estimar por interpolação linear o nível de
pressão do som em uma frequência de 2,5 kHz.
s=interp1(hz,nps,2.5e3)
s = -5.5000
Exemplo 3) Na maior parte dos casos de interpolação em problemas de
engenharia, temos uma função z como dependente de duas variáveis x e y. Ou
seja z=f(x,y). Este tipo de problema é classificado como uma interpolação
bidimensional, quando desejamos obter o valor de z.
Tabela consta no arquivo pdf.
10
1
10
2
10
3
10
4
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
mesh(x,y,z)
0
1
2
3
4
0
2
4
6
60
80
100
120
140
Utilizando este dados podemos utilizar a função interp2 do MatLab
Z=interp2(x,y,z,2.2,3.3)
Z = 99.4800 metros
Observação: no comando interp2, o Matlab aproxima a tabela por retas e não por
parábolas. Ou seja, se o problema for bidimensional não significa
necessariamente que o modelo matemático que vai aproximar o comportamento
seja uma parábola.
Veremos um exemplo de interpolação bidimensional, sem usar o Matlab, na
sequência do curso.
AULA 7
CONTINUAÇÃO MÉTODOS DE INTERPOLAÇÃO
Iniciamos esta aula pelo Método da Interpolação linear por semelhança de
triângulos. Vamos supor a seguinte Tabela de dados não experimentais.
ox
oy
Entrada de um valor x Saída seria y?
1x
1y
2x
2y
.
.
.
.
.
.
nx
ny
Observação: lembre-se que as tabelas utilizadas em métodos de interpolação não
devem ser experimentais. Caso, façamos a opção de usarmos interpolação em
dados experimentais, façamos em cima da média de valores.
Vamos representar dois pontos desta Tabela em gráfico.
Por semelhança de Triângulos teremos:
oyy
oyy
oxx
oxx
11
Exemplo 1) Seja a Tabela dada por:
1,2 1,34
x=1,7 Saída seria y?
2,4 2,56
3,7 4,8
Por interpolação linear e usando semelhança de triângulos determine y (1,7).
8483,1
34,156,2
34,1
2,14,2
2,17,1
y
y
y=((1.7-1.2)/(2.4-1.2))*(2.56-1.34)+1.34
y = 1.8483
Exemplo 2) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos uma certa
química que depende de Temperatura e pressão:
K=f(T,P)
T (K)
P (atm)
T/P 3 atm 4 atm 5 atm
30 1,23 2,57 3,78
45 2,45 3,78 4,89
60 3,67 4,78 6,12
Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=35 K e
a P=3,5 atm.
Observação: como exercício use a função interp2 e depois compare os resultados
com o procedimento de aula..
Para T= 30 K
P K
3 1,23
3,5 K1
4 2,57
90000,11
23,157,2
23,11
34
35,3
k
k
Para T= 45 K
P K
3 2,45
3,5 K2
4 3,78
115,32
45,278,3
45,22
34
35,3
k
k
Para P= 3,5 atm
T K
30 1,9
35 K3
45 3,115
No Matlab, teremos:
3050,23
9,1115,3
9,13
3045
3035
k
k
x=[30 45 60];
y=[3 4 5];
z=[1.23 2.45 3.67
2.57 3.78 4.78
3.78 4.89 6.12]
z = 1.2300 2.4500 3.6700
2.5700 3.7800 4.7800
3.7800 4.8900 6.1200
interp2(x,y,z,35,3.5)
ans = 2.3050
Exemplo 3) Estudaremos agora uma tabela bidimensional, onde temos a entalpia
química que depende de Temperatura e pressão:
h=f(T,P)
T (K)
P(atm)
T/P 3 atm 4 atm 5 atm
35 1,235 2,571 3,783
49 2,455 3,782 4,894
65 3,672 4,781 6,128
Para casa!
Resposta no pdf.
Por interpolação linear encontre o valor da constante química quando a T=38 K e
a P=3,5 atm.
Observação: construa 3 tabelas unidimensionais.
Pelo interp2, podemos comparar a resposta da solução das 3 semelhanças.x=[35 49 65];
y=[3 4 5];
z=[1.235 2.455 3.672
2.571 3.782 4.781
3.783 4.894 6.128]
z = 1.2350 2.4550 3.6720
2.5710 3.7820 4.7810
3.7830 4.8940 6.1280
interp2(x,y,z,38,3.5)
ans = 2.1635
Polinômio Interpolador de Newton-Gregory
Seja uma tabela de dados com pontos igualmente espaçados na variável x.
Este método, utiliza a seguinte série para a determinação do polinômio
interpolador:
Para obtermos polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton-Gregory,
teremos que truncar a formula em certa ordem.
Por exemplo, para uma interpolação linear, a fórmula de Newton-Gregory seria:
h
oxf
oxxoxfxP
1
Nesta fórmula, h representa o passo ou incremento na variável x e deve ser
constante.
Na fórmula N-G, temos o operador
, aqui chamado operador diferenças
ordinárias avançadas.
Este operador é definido da seguinte forma:
Observação: vamos reescrever a última linha:
xfnhxfnxfn 11
x f(x) delta1 delta2 delta3 delta4
xo 1,20000 3,52012 0,93508 0,16275 0,03603 0,00798
x1 1,40000 4,45520 1,09783 0,19878 0,04401
x2 1,60000 5,55303 1,29662 0,24279
x3 1,80000 6,84965 1,53941
x4 2,00000 8,38906
Por interpolação linear e usando o método de Newton-Gregory, determine f(1,32).
Para n=1 (n grau do polinômio interpolador), teremos:
08117,4
2,0
93508,0
2,132,152012,332,11 P
Exercício: Para casa: resolva este mesmo problema usando um polinômio
interpolador de Newton-Gregory de grau 2.
ESTIMATIVA DO ERRO COMETIDO NA INTERPOLAÇÃO
Onde:
x
nfbaxmáxM
1
,
n é o grau do polinômio interpolador
Esta fórmula de erro é chamada delimitante superior do erro.
Usando semelhança de triângulos:
77654,1)7,0(
1487,17183,2
1487,1
5,01
5,07,0
y
y
Cálculo do erro real:
06274,077654,171380,17,0
71380,117,07,0
aproximado valor - exato
E
evalor
valorxE
Vamos calcular o máximo erro cometido.
x
nfbaxmáxM
1
,
1)( xxexf
N=1
2
17,05,07,07,01
M
E
3
1
1;5,0 e
xexmáxM
09,0
2
3
17,05,07,07,01 E
Nesse caso eu tenho a função:
Erro real=
063,077654,117,07,0aproximado valor - exato
evalor
Conclusão: observe que o delimitante superior do erro realmente engloba, contém
o erro real cometido.
Calendário final do curso
24/05 - AJUSTE DE CURVAS
31/05- AJUSTE DE CURVAS
7/06 – Integração
14/06- EDO
21/06- dúvidas
28/06- Prova
5/07- vistas
AJUSTE DE CURVAS
Vamos supor um gráfico que contenha dois pontos experimentais.
A reta vermelha foi plotada por sobre pontos que continham erros experimentais.
Caso a interpolação fosse utilizada como método para determinar um ponto
desconhecido, a interpolação linear usando a reta vermelha obviamente
acarretaria em erros. Para a reta preta os erros cometidos em cada ponto seriam
iguais a zero.
0001
2
1
EoE
i
erros
Caso a aproximação fosse em função da reta vermelha:
Que existem infinitas retas que satisfazem o critério de soma dos erros igual a
zero.
*
11
*
1
2
1
1
*
1
*
1
2
1
1
*
1
*
1
2
1
yyoyoyEoE
i
erros
yyoyoyEoE
i
erros
yyoyoyEoE
i
erros
Mas, vamos supor que quem errou, errou na mesma ordem de grandeza nos
pontos experimentais.
*11*1
2
1
yyoyoyEoE
i
erros
Desta forma, existem infinitas retas que satisfazem o critério de soma dos erros
ser igual a zero.
Para resolver o problema de ajuste de curvas experimentais, iremos utilizar o
critério de soma dos quadrados dos erros.
0
2
1
1
0
2
1
1
2
1
_
M
i
ixaoaiyS
M
i
ixaoaiy
M
i
iyiyS
0
1
1
12
1
01
1
1
12
ix
M
i
ixaoaiy
a
S
M
i
ixaoaiy
oa
S
M
i
M
i
ixiyixaixoa
M
i
M
i
iyixaoa
1 1
2
1
1 1
1
M
i
M
i
M
i
iyixi
xaixoa
M
i
M
i
iy
M
i
ixaoa
1 1 1
2
1
1 11
1
M
i
M
i
M
i
iyixi
xaixoa
M
i
iy
M
i
ixaoMa
1 1 1
2
1
11
1
Este sistema chama-se sistema de regressão linear.
Regressão Quadrática
Este método baseado no ajuste pelo quadrado do erro se chama mínimos
quadrados.
Exemplo 1) Ajuste os dados pelo método dos mínimos quadrados.
a) usando uma reta
b) por uma parábola
a)
M
i
M
i
M
i
iyixi
xaixoa
M
i
iy
M
i
ixaoMa
1 1 1
2
1
11
1
M é o número de pontos experimentais= 8
iteração x y X^2 xy
1 1,00000 0,50000 1,00000 0,50000
2 2,00000 0,60000 4,00000 1,20000
3 3,00000 0,90000 9,00000 2,70000
4 4,00000 0,80000 16,00000 3,20000
5 5,00000 1,20000 25,00000 6,00000
6 6,00000 1,50000 36,00000 9,00000
7 7,00000 1,70000 49,00000 11,90000
8 8,00000 2,00000 64,00000 16,00000
somas 36,00000 9,20000 204,00000 50,50000
5,50120436
2,91368
aoa
aoa
No Matlab teremos:
>> A=[8 36; 36 204];
>> B=[9.2;50.5];
>> R=A\B
R =
0.1750
0.2167
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
>> x=1:1:8;
>> y=[0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2];
>> plot(x,y)
>> yapxlinear=ao+a1*x;
>> hold on
>> plot(x,yapxlinear)
b) ajuste quadrático ou parabólico
iteração x y X^2 X^3 X^4 xy x^2*y
1 1,00000 0,50000 1,00000 1,00000 1,00000 0,50000 0,50000
2 2,00000 0,60000 4,00000 8,00000 16,00000 1,20000 2,40000
3 3,00000 0,90000 9,00000 27,00000 81,00000 2,70000 8,10000
4 4,00000 0,80000 16,00000 64,00000 256,00000 3,20000 12,80000
5 5,00000 1,20000 25,00000 125,00000 625,00000 6,00000 30,00000
6 6,00000 1,50000 36,00000 216,00000 1296,00000 9,00000 54,00000
7 7,00000 1,70000 49,00000 343,00000 2401,00000 11,90000 83,30000
8 8,00000 2,00000 64,00000 512,00000 4096,00000 16,00000 128,00000
somas 36,00000 9,20000 204,00000 1296,00000 8772,00000 50,50000 319,10000
>> A=[8 36 204; 36 204 1296; 204 1296 8772]
A =
8 36 204
36 204 1296
204 1296 8772
>> B=[9.2;50.5;319.1]
B =
9.2000
50.5000
319.1000
>>
>> R=A\BR =
0.4071
0.0774
0.0155
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
>> a2=R(3);
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
>> a2=R(3);
>> yapxquadratica=ao+a1*x+a2*x.^2;
>> plot(x,yapxquadratica)
b
Exemplo 2 ) Foram coletados os seguinte dados experimentais.
a) Diagrama de dispersão
>> x=[-1 -0.7 -0.4 -0.1 0.2 0.5 0.8 1];
>> y=[36.547 17.264 8.155 3.852 1.820 0.860 0.406 0.246];
b)
1 2 3 4 5 6 7 8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
x
y
ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
dados experimentais
ajuste linear
ajuste quadrático
xaoaz
ba
aoa
yz
bxay
ebxay
bxaey
bxaey
1
1
ln
ln
lnln
lnlnln
lnln
M
i
M
i
M
i
izixi
xaixoa
M
i
iz
M
i
ixaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x y X^2 z=lny xz
1,00000 -1,00000 36,54700 1,00000 3,59860 -3,59860
2,00000 -0,70000 17,26400 0,49000 2,84862 -1,99404
3,00000 -0,40000 8,15500 0,16000 2,09863 -0,83945
4,00000 -0,10000 3,85200 0,01000 1,34859 -0,13486
5,00000 0,20000 1,82000 0,04000 0,59884 0,11977
6,00000 0,50000 0,86000 0,25000 -0,15082 -0,07541
7,00000 0,80000 0,40600 0,64000 -0,90140 -0,72112
8,00000 1,00000 0,24600 1,00000 -1,40242 -1,40242
somas 0,30000 69,15000 3,59000 8,03863 -8,64614
64614,8159,33,0
03863,813,08
aoa
aoa
>> plot(x,y)
>> A=[ 8 0.3; 0.3 3.59];
>> B=[8.03863; -8.64614];
>> R=A\B
R =
1.0986
-2.5002
ao=R(1);
a1=R(2);
Exemplo 3) Em um experimento, foram coletados os seguintes dados:
Ajuste a estes dados uma curva do tipo
bxay )ln(
Exemplo 4) O número de bactérias por unidade de volume em uma certa cultura
é apresentado na tabela.
a) ajuste uma curva do tipo xaby e outra curva baxy
b) usando seu bom senso qual seria o melhor ajuste?
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
x
y
ajuste exponencial pelo método dos mínimos quadrados
dados experimentais
ajuste exponencial
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-2
0
2
4
6
8
10
12
x
y
ajuste de curvas usando a função polyfit
dados experimentais
ajuste quadrático
QUALIDADE DO AJUSTE
Estudaremos nesta aula a questão da qualidade do ajuste.
Para avaliar a qualidade do ajuste utilizaremos o coeficiente de correlação linear
dado por:
Exemplo) Temos a seguinte tabela de dados provenientes de um experimento.
Nosso objetivo é propor vários ajustes e avaliar a qualidade destes ajustes.
a) Ajuste linear
M
i
M
i
M
i
iyixi
xaixoa
M
i
iy
M
i
ixaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x y X^2 xy
1 1,00000 0,52500 1,00000 0,52500
2 1,20000 0,84480 1,44000 1,01376
3 1,40000 1,28070 1,96000 1,79298
4 1,60000 1,86340 2,56000 2,98144
5 1,80000 2,63260 3,24000 4,73868
6 2,00000 3,63860 4,00000 7,27720
7 2,20000 4,94400 4,84000 10,87680
8 2,40000 6,62580 5,76000 15,90192
9 2,60000 8,77680 6,76000 22,81968
10 2,80000 11,50760 7,84000 32,22128
11 3,00000 14,94840 9,00000 44,84520
somas 22,00000 57,58770 48,40000 144,99394
99394,14414,4822
5870,5712211
aoa
aoa
No Matlab, teremos:
A=[ 11 22;22 48.4];
B=[57.5870;144.99394];
R=A\B
R =
-8.3193
6.7773
ao=R(1);
a1=R(2);
x=1:0.2:3;
y=[0.5250 0.8448 1.2807 1.8634 2.6326 3.6386 4.9440 6.6258 8.7768 11.5076
14.9484];
size(x)
ans =
1 11
size(y)
ans =
1 11
plot(x,y)
yapxlinear=ao+a1*x;
hold on
plot(x,yapxlinear)
Vamos avaliar a qualidade do ajuste:
N representa o número de pontos do experimento.
iteração x y X^2 xy yajuste (y-yajuste)^2 Y^2
1 1,00000 0,52500 1,00000 0,52500 -1,54200 4,27249 0,27563
2 1,20000 0,84480 1,44000 1,01376 -0,18654 1,06366 0,71369
3 1,40000 1,28070 1,96000 1,79298 1,16892 0,01249 1,64019
4 1,60000 1,86340 2,56000 2,98144 2,52438 0,43689 3,47226
5 1,80000 2,63260 3,24000 4,73868 3,87984 1,55561 6,93058
6 2,00000 3,63860 4,00000 7,27720 5,23530 2,54945 13,23941
7 2,20000 4,94400 4,84000 10,87680 6,59076 2,71182 24,44314
8 2,40000 6,62580 5,76000 15,90192 7,94622 1,74351 43,90123
9 2,60000 8,77680 6,76000 22,81968 9,30168 0,27550 77,03222
10 2,80000 11,50760 7,84000 32,22128 10,65714 0,72328 132,42486
11 3,00000 14,94840 9,00000 44,84520 12,01260 8,61892 223,45466
somas 22,00000 57,58770 48,40000 144,99394 57,58830 23,96363 527,52786
R^2= 0,89399
b) ajuste logarítmico
)ln(xbay
Vamos fazer uma troca de variáveis:
taoay
xt
ba
aoa
yy
1
ln
1
M
i
M
i
M
i
iyiti
taitoa
M
i
iy
M
i
itaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x y t=lnx T^2 ty
1 1,00000 0,52500 0,00000 0,00000 0,00000
2 1,20000 0,84480 0,18232 0,03324 0,15403
3 1,40000 1,28070 0,33647 0,11321 0,43092
4 1,60000 1,86340 0,47000 0,22090 0,87580
5 1,80000 2,63260 0,58779 0,34549 1,54741
6 2,00000 3,63860 0,69315 0,48045 2,52209
7 2,20000 4,94400 0,78846 0,62167 3,89813
8 2,40000 6,62580 0,87547 0,76645 5,80068
9 2,60000 8,77680 0,95551 0,91300 8,38633
10 2,80000 11,50760 1,02962 1,06012 11,84845
11 3,00000 14,94840 1,09861 1,20695 16,42250
somas 22,00000 57,58770 7,01740 5,76148 51,88633
M
i
M
i
M
i
iyiti
taitoa
M
i
iy
M
i
itaoMa
1 1 1
2
1
11
1
88633,51176148,501740,7
5877,57101740,711
aoa
aoa
>> A=[11 7.01740; 7.01740 5.756148];
>> B=[57.5877;51.88633];
>> R=A\B
R =
-2.3181
11.8401
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
x y t=lnx T^2 ty yajuste (y-yajuste)^2 Y^2
1,00000 0,52500 0,00000 0,00000 0,00000 -2,31810 8,08322 0,27563
1,20000 0,84480 0,18232 0,03324 0,15403 -0,15939 1,00841 0,71369
1,40000 1,28070 0,33647 0,11321 0,43092 1,66576 0,14827 1,64019
1,60000 1,86340 0,47000 0,22090 0,87580 3,24679 1,91377 3,47226
1,80000 2,63260 0,58779 0,34549 1,54741 4,64135 4,03509 6,93058
2,00000 3,63860 0,69315 0,48045 2,52209 5,88883 5,06354 13,23941
2,20000 4,94400 0,78846 0,62167 3,89813 7,01731 4,29863 24,44314
2,40000 6,62580 0,87547 0,76645 5,80068 8,04754 2,02134 43,90123
2,60000 8,77680 0,95551 0,91300 8,38633 8,99525 0,04772 77,03222
2,80000 11,50760 1,02962 1,06012 11,84845 9,87270 2,67291 132,42486
3,00000 14,94840 1,09861 1,20695 16,42250 10,68958 18,13755 223,45466
22,00000 57,58770 7,01740 5,76148 51,88633 57,58762 47,43045 527,52786
R^2= 0,79017
a=ao;
>> b=a1;b
>> yajustelogaritmo=a+b*log(x);
c) ajuste exponencial
bxaey
linearizando, teremos:
xaoaz
xx
ba
aoa
yz
bxay
ebxay
bxaey
1
1
ln
ln
lnln
lnlnln
lnln
M
i
M
i
M
i
izixi
xaixoa
M
i
iz
M
i
ixaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x Y X^2 z=lny xz
1 1,00000 0,52500 1,00000 -0,64436 -0,64436
2 1,20000 0,84480 1,44000 -0,16866 -0,20239
3 1,40000 1,28070 1,96000 0,24741 0,34637
4 1,60000 1,86340 2,56000 0,62240 0,99584
5 1,80000 2,63260 3,24000 0,96797 1,74235
6 2,00000 3,63860 4,00000 1,29160 2,58320
7 2,20000 4,94400 4,84000 1,59817 3,51598
8 2,40000 6,62580 5,76000 1,89097 4,53833
9 2,60000 8,77680 6,76000 2,17211 5,64749
10 2,80000 11,50760 7,84000 2,44301 6,84042
11 3,00000 14,94840 9,00000 2,70460 8,11381
somas 22,00000 57,58770 48,40000 13,12524 33,47706
47706,3314,4822
12524,1312211
aoa
aoa
>> A=[11 22; 22 48.4];
>> B=[13.12524;33.47706];
>> R=A\B
R =
-2.0916
1.6424
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
xaoaz 1
x y X^2 z=lny xz zajuste (z-zajuste)^2 Z^2
1,00000 0,52500 1,00000 -0,64436 -0,64436 -0,44920 0,03809 0,41520
1,20000 0,84480 1,44000 -0,16866 -0,20239 -0,12072 0,00230 0,02844
1,40000 1,28070 1,96000 0,24741 0,34637 0,20776 0,00157 0,06121
1,60000 1,86340 2,56000 0,62240 0,99584 0,53624 0,00742 0,38739
1,80000 2,63260 3,24000 0,96797 1,74235 0,86472 0,01066 0,93697
2,00000 3,63860 4,00000 1,29160 2,58320 1,19320 0,00968 1,66823
2,20000 4,94400 4,84000 1,59817 3,51598 1,52168 0,00585 2,55416
2,40000 6,62580 5,76000 1,89097 4,53833 1,85016 0,00167 3,57577
2,60000 8,77680 6,76000 2,17211 5,64749 2,17864 0,00004 4,71807
2,80000 11,50760 7,84000 2,44301 6,84042 2,50712 0,00411 5,96829
3,00000 14,94840 9,00000 2,70460 8,11381 2,83560 0,01716 7,31488
22,00000 57,58770 48,40000 13,12524 33,47706 13,12520 0,09855 27,62861
R^2= 0,99176
>> a=exp(ao);
>> b=a1;
>> yajusteexponencial=a*exp(b*x);
>> plot(x,yajusteexponencial)
d) ajuste potencial
baxy
Linearizando, teremos:
taoaz
xt
ba
aao
yz
xbay
1
ln
1
ln
ln
lnlnln
M
i
M
ti
M
i
iziti
taitoa
M
i
iz
M
i
itaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x y t=lnx T^2 z=lny tz
1 1,00000 0,52500 0,00000 0,00000 -0,64436 0,00000
2 1,20000 0,84480 0,18232 0,03324 -0,16866 -0,03075
3 1,40000 1,28070 0,33647 0,11321 0,24741 0,08325
4 1,60000 1,86340 0,47000 0,22090 0,62240 0,29253
5 1,80000 2,63260 0,58779 0,34549 0,96797 0,56896
6 2,00000 3,63860 0,69315 0,48045 1,29160 0,89527
7 2,20000 4,94400 0,78846 0,62167 1,59817 1,26009
8 2,40000 6,62580 0,87547 0,76645 1,89097 1,65549
9 2,60000 8,77680 0,95551 0,91300 2,17211 2,07548
10 2,80000 11,50760 1,02962 1,06012 2,44301 2,51537
11 3,00000 14,94840 1,09861 1,20695 2,70460 2,97131
somas 22,00000 57,58770 7,01740 5,76148 13,12524 12,28699
28699,12176148,501740,7
12524,13101740,711
aoa
aoa
>> A=[ 11 7.01740; 7.01740 5.76148];
>> B=[13.12524;12.28699];
>> R=A\B
R =
-0.7502
3.0463
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
>>
e) ajuste hiperbólico
x
b
ay
taoay
yy
ba
aoa
x
t
1
1
1
M
i
M
ti
M
i
iyiti
taitoa
M
i
iy
M
i
itaoMa
1 1 1
2
1
11
1
iteração x y T=1/x T^2 ty
1 1,00000 0,52500 1,00000 1,00000 0,52500
2 1,20000 0,84480 0,83333 0,69444 0,70400
3 1,40000 1,28070 0,71429 0,51020 0,91479
4 1,60000 1,86340 0,62500 0,39063 1,16463
5 1,80000 2,63260 0,55556 0,30864 1,46256
6 2,00000 3,63860 0,50000 0,25000 1,81930
7 2,20000 4,94400 0,45455 0,20661 2,24727
8 2,40000 6,62580 0,41667 0,17361 2,76075
9 2,60000 8,77680 0,38462 0,14793 3,37569
10 2,80000 11,50760 0,35714 0,12755 4,10986
11 3,00000 14,94840 0,33333 0,11111 4,98280
somas 22,00000 57,58770 6,17448 3,92073 24,06664
06664,24192073,317448,6
58770,57117448,611
aoa
aoa
>> A=[11 6.17448; 6.17448 3.92073];
>> B=[57.58770;24.06664];
>> R=A\B
R =
15.4256
-18.1543
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
iteração x y T=1/x T^2 ty yajuste (y-yajuste)^2 Y^2
1 1,00000 0,52500 1,00000 1,00000 0,52500 -2,72870 10,58656 0,27563
2 1,20000 0,84480 0,83333 0,69444 0,70400 0,29702 0,30007 0,71369
3 1,40000 1,28070 0,71429 0,51020 0,91479 2,45824 1,38661 1,64019
4 1,60000 1,86340 0,62500 0,39063 1,16463 4,07916 4,90960 3,47226
5 1,80000 2,63260 0,55556 0,30864 1,46256 5,33988 7,32935 6,93058
6 2,00000 3,63860 0,50000 0,25000 1,81930 6,34845 7,34329 13,23941
7 2,20000 4,94400 0,45455 0,20661 2,24727 7,17365 4,97132 24,44314
8 2,40000 6,62580 0,41667 0,17361 2,76075 7,86131 1,52648 43,90123
9 2,60000 8,77680 0,38462 0,14793 3,37569 8,44318 0,11130 77,03222
10 2,80000 11,50760 0,35714 0,12755 4,10986 8,94192 6,58271 132,42486
11 3,00000 14,94840 0,33333 0,11111 4,98280 9,37417 31,07208 223,45466
somas 22,00000 57,58770 6,17448 3,92073 24,06664 57,58827 76,11937 527,52786
R^2= 0,66325
>> A=[11 6.17448; 6.17448 3.92073];
>> B=[57.58770;24.06664];
>> R=A\B
R =
15.4256
-18.1543
>> ao=R(1);
>> a1=R(2);
>> a=ao;
>> b=a1;
>> yajustehiperbolico=a+b./x;
>> plot(x,yajustehiperbolico)
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
-5
0
5
10
15
20
x
y
ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados
dados reais
ajuste linear
ajuste logarítmico
ajuste exponencial
ajuste potencial
ajuste hiperbólico
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Existem algumas situações onde a integração por métodos algébricos não é
possível ou se reveste de complexidade razoável.
Exemplos) a)
2
1
2
dxxe
é um exemplo no qual técnicas de Cálculo não
possibilitam a resolução.
b)
2
5sec xdx
é um exemplo que envolve um número considerável de passos
algébricos em sua resolução.
Veremos dois métodos de resolução de integrais: Regra dos Trapézios e Regra
de Simpson.
Regra dos Trapézios
Para a dedução deste método vamos analisar a Figura.
Vamos aproximar a área abaixo da curva, pela área de 1 trapézio.
b
a
h
xfoxfdxxf
2
1)(
oxxh 1
Aproximando por dois trapézios, teremos a figura}:
nxfxfxfxfoxf
h
b
a
dxxf ...3222122
)(
. Esta fórmula é
conhecida como regra dos Trapézios ou Trapézios Repetidos.
Exemplo) Utilizando a regra dos Trapézios encontre o valor aproximado da
integral
1
0
dxxe
, com o intervalo subdividido em 10 partições.
1,0
10
01
h
n
ab
xh
Integral exata =
101
1
0
eeedx
xe
iteração x y k ky
0 0,00000 1,00000 1 1,00000
1 0,10000 1,10517 2 2,21034
2 0,20000 1,22140 2 2,44281
3 0,30000 1,34986 2 2,69972
4 0,40000 1,49182 2 2,98365
5 0,50000 1,64872 2 3,29744
6 0,60000 1,82212 2 3,64424
7 0,70000 2,01375 2 4,02751
8 0,80000 2,22554 2 4,45108
9 0,90000 2,45960 2 4,91921
10 1,00000 2,71828 1 2,71828soma 34,39427
Iapx= 1,71971
Iexata= 1,71828
erro= 8,33E-04
Exemplo) Exemplo) Utilizando a regra dos Trapézios encontre o valor aproximado
da integral
1
0
dxxe
, com o intervalo subdividido em 20 partições.
05,0
20
01
h
n
ab
xh
iteração x y k ky
0 0,00000 1,00000 1 1,00000
1 0,05000 1,05127 2 2,10254
2 0,10000 1,10517 2 2,21034
3 0,15000 1,16183 2 2,32367
4 0,20000 1,22140 2 2,44281
5 0,25000 1,28403 2 2,56805
6 0,30000 1,34986 2 2,69972
7 0,35000 1,41907 2 2,83814
8 0,40000 1,49182 2 2,98365
9 0,45000 1,56831 2 3,13662
10 0,50000 1,64872 2 3,29744
11 0,55000 1,73325 2 3,46651
12 0,60000 1,82212 2 3,64424
13 0,65000 1,91554 2 3,83108
14 0,70000 2,01375 2 4,02751
15 0,75000 2,11700 2 4,23400
16 0,80000 2,22554 2 4,45108
17 0,85000 2,33965 2 4,67929
18 0,90000 2,45960 2 4,91921
19 0,95000 2,58571 2 5,17142
20 1,00000 2,71828 1 2,71828
somas 68,74559
Iapx= 1,71864
Iexata= 1,71828
erro= 2,08E-04
Método de Simpson
A regra dos Trapézios aproxima a função a ser integrada por segmentos de retas.
O Método de Simpson aproxima a função por segmentos de parábolas.
Sabemos que para traçar uma parábola necessitamos de 3 pontos, e logicamente
estes três pontos para cada segmento de parábola definem dois subintervalos. Ou
seja, no método de Simpson o número de subintervalos deve ser sempre par.
O método de Simpson segue a seguinte formulação:
b
a
nxfxfxfxfxfoxf
h
dxxf ...42342214
3
)(
Exemplo) Utilizando a regra de Simpson encontre o valor aproximado da integral
1
0
dxxe
, com o intervalo subdividido em 10 partições.
1,0
10
01
h
n
ab
xh
iteração x y k ky
0 0,00000 1,00000 1 1,00000
1 0,10000 1,10517 4 4,42068
2 0,20000 1,22140 2 2,44281
3 0,30000 1,34986 4 5,39944
4 0,40000 1,49182 2 2,98365
5 0,50000 1,64872 4 6,59489
6 0,60000 1,82212 2 3,64424
7 0,70000 2,01375 4 8,05501
8 0,80000 2,22554 2 4,45108
9 0,90000 2,45960 4 9,83841
10 1,00000 2,71828 1 2,71828
soma 51,54848
Iapx= 1,71828
Iexata= 1,71828
erro= 5,55E-07
Exemplo) Exemplo) Utilizando a regra de Simpson encontre o valor aproximado
da integral
1
0
dxxe
, com o intervalo subdividido em 20 partições.
05,0
20
01
h
n
ab
xh
iteração x y k ky
0 0 1,00000 1 1,00000
1 0,05 1,05127 4 4,20508
2 0,1 1,10517 2 2,21034
3 0,15 1,16183 4 4,64734
4 0,2 1,22140 2 2,44281
5 0,25 1,28403 4 5,13610
6 0,3 1,34986 2 2,69972
7 0,35 1,41907 4 5,67627
8 0,4 1,49182 2 2,98365
9 0,45 1,56831 4 6,27325
10 0,5 1,64872 2 3,29744
11 0,55 1,73325 4 6,93301
12 0,6 1,82212 2 3,64424
13 0,65 1,91554 4 7,66216
14 0,7 2,01375 2 4,02751
15 0,75 2,11700 4 8,46800
16 0,8 2,22554 2 4,45108
17 0,85 2,33965 4 9,35859
18 0,9 2,45960 2 4,91921
19 0,95 2,58571 4 10,34284
20 1 2,71828 1 2,71828
somas 103,09691
Iapx= 1,71828
Iexata= 1,71828
erro= 3,47E-08
Atividade para casa:
ESTUDO DO ERRO NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Aproximação do erro na regra dos Trapézios:
Aproximação do erro na regra de Simpson
Observação: estas fórmulas representam um erro máximo ou um delimitante
superior do erro cometido ao aproximarmos uma integral por estes dois métodos.
2
0
3
2
31
2
0
2
3
1
31
2
0
2 dxxdxxdxxfV
2,0
10
02
n
ab
h
iteração x y k ky
0 0,00000 1,00000 1 1,00000
1 0,20000 1,00533 4 4,02130
2 0,40000 1,04222 2 2,08445
3 0,60000 1,13926 4 4,55704
4 0,80000 1,31735 2 2,63470
5 1,00000 1,58740 4 6,34960
6 1,20000 1,95237 2 3,90475
7 1,40000 2,41115 4 9,64459
8 1,60000 2,96133 2 5,92265
9 1,80000 3,60052 4 14,40208
10 2,00000 4,32675 1 4,32675
soma 58,84791
Iapx= 3,92319
Volume= 12,32508 unidades de volume
6
9,5
33673,0
2
33673,0
02
33673,0
001,074
180
02
n
n
n
h
h
Atividade para casa:
b) Regra de Simpson
Atividade para casa:
Atividade para casa
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