Buscar

Unidade-II-Oscilacao

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 12 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 12 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 12 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

21 
Unidade II - Oscilação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 O propósito desta unidade temática é o de introduzir algumas ideias 
sobre oscilação. Estudaremos o movimento harmônico simples, o oscilador 
harmônico simples, que pode ser modelado por um sistema acoplado massa-
mola, a energia de um oscilador, o pêndulo simples e outros sistemas 
oscilantes, como por exemplo, o pêndulo físico. Também estudaremos as 
oscilações amortecidas e forças. A fig. II.1 mostra o gráfico de um sistema 
oscilante e uma engrenagem oscilante. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Um dos assuntos de mais importância na física é aquele que estuda 
os fenômenos oscilantes. A oscilação está presente na natureza, como o 
movimento orbital de um planeta ao redor do Sol, o movimento de rotação 
de um CD em um computador, o movimento de vai e vem de um pistão em 
uma engrenagem de um automóvel, a vibração de uma corda em uma 
guitarra, o movimento vibratório de uma ponte ou edifício, etc. 
 Quando estudamos em detalhes um sistema acoplado mola-massa, as 
equações matemáticas que se desenvolvem para descrever tal sistema são de 
grande importância, pois equações análogas são resgatadas na descrição de 
todos outros sistemas oscilantes. 
 Dentre muitos problemas ligados a oscilação de um sistema físico, 
pode ser citado um problema prático que existir na mecânica de automóveis: 
as forças dos gases da combustão geram torque pulsante na árvore de 
manivelas e no volante, em regimes de baixas rotações, onde se podem 
detectar com mais evidência essas oscilações de torção. Essas oscilações são 
transmitidas através da embreagem ao sistema de transmissão do veículo. As 
engrenagens livres da transmissão recebem essas oscilações, gerando 
vibrações entre os dentes das engrenagens livres, resultando em ruídos em 
regimes de marcha lenta. A solução desse problema surge através de um 
sistema de amortecimento de molas e um volante bi-massa. Esse é um 
exemplo de oscilação ligada à indústria automobilística. Veja a fig. II.2 para 
ter uma ideia do problema. 
 
 
fig. II.1. Exemplos de oscilações e osciladores. 
 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
fig. II.2. Exemplo de um sistema oscilante na indústria automobilística. 
 
3. Movimento Harmônico Simples 
 
 O movimento de uma partícula ou de um sistema de partículas é 
periódico se ele é repetido em intervalos regulares de tempo. Um movimento 
periódico de vai e vem de um corpo é chamado de oscilação. Existem muitos 
movimentos dessa natureza como, por exemplo, o movimento de um pistão, 
de um pêndulo, de uma corda de guitarra, etc. 
 Um movimento é dito movimento harmônico simples (MHS) se a 
posição como função do tempo tem a forma 
 
)cos(   tAx eq. II.1 
 
onde A,  e  são constantes. A quantidade A e chamada de amplitude do 
movimento, que é a distância entre o ponto médio (x = 0) e o ponto de 
retorno ( x = A ou x = -A);  é a frequência angular, que está relacionado 
ao período do movimento, isto é, 
 

2
T eq. II.2 
 
Enquanto que a frequência do movimento, 
 
T
1
2



 eq. II.3 
 
 A unidade de frequência é dada em ciclos por segundo e de 
frequência angular radianos por segundo. A unidade de frequência 
usualmente é o Hz (hertz): 1 hertz = 1 Hz = 1 ciclo por segundo. O 
argumento do cosseno, )2(  t é chamado de fase e  é dita fase 
constante. Essa constante determina em que tempo a partícula alcança o 
 
 23 
ponto de deslocamento máximo. Isto é, 0max  t ou 

maxt . O 
que nos mostra que a partícula alcança o ponto de deslocamento máximo em 
-  / , antes de t = 0. 
 Note que )]2/([)cos(   tAsentAx , pode ser 
representado por uma função seno quando mudamos a fase constante. Por 
outro lado, 
tsenAsentAtAx  )(cos)cos()cos(  , expressando o 
MHS como uma superposição de funções senos e cossenos. 
 Existe uma simples relação geométrica entre o MHS e MCU – 
movimento circular uniforme. Considere uma partícula movendo-se com 
uma velocidade angular  sobre um círculo de raio A. Se em t = 0 a posição 
angular dela é   , então a posição angular num tempo depois é 
  t , as coordenadas do ponto do círculo são 
)cos(   tAx e )2/cos()(   tAtAseny , 
 donde vemos que x e y possuem MHS. 
 
4. O Oscilador Harmônico Simples 
 
 O Oscilador Harmônico Simples consiste de uma massa acoplada 
uma mola de massa ideal que obedece a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
fig. II-3. Deslocamento de uma 
massa ligada a uma mola de acordo 
com a lei de Hooke. 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a segunda lei de Newton obtemos a equação de movimento da massa 
do sistema acoplado massa-mola 
 
kx
dt
xdm 2
2
 eq. II.4 
 
Podemos resolver essa equação através de equações diferenciais, mas vamos 
deixar para um curso de mecânica geral esses cálculos. Sabemos que, dadas 
as condições iniciais de eq. II.4, podemos garantir a existência da solução da 
equação e, nesse caso, determinar o movimento. 
 
 24 
Da eq. II.1 calculando-se a primeira e segunda derivadas com relação ao 
tempo obtemos 
x
dt
xdm 22
2
 eq. II.5 
 
Assim comparando eq. II.4 e eq. II.5 concluímos que o movimento massa-
mola é um MHS com uma frequência angular 
 
m
k
 eq. II.6 
 
Para as condições iniciais, t = 0, teremos, a velocidade 0vv  e a posição 
0xx  , onde cos0 Ax  e Asenm
kv 0 . Daí e do fato do sistema 
massa-mola ser um MHS 
 
)()cos()cos( 00 tm
ksen
k
mvt
m
kxt
m
kAx   eq. II.7 
que expressa o movimento em termos das condições iniciais. 
 
5. Energia do Oscilador 
 
A energia cinética de uma massa m em um MHS é: K = 2
2
1 mv , 
 
1 2[ ( )]
2
1 12 2 2 2 2( ) ( )
2 2
K m A sen t
mA sen t kA sen t
  
    
   
  
 eq. II.8 
 
Enquanto a energia potencial associada à força restauradora da mola, que é 
conservativa, é 
 
)(cos
2
1)]cos([
2
1
2
1 2222   tkAtAkkxU eq. II.9 
 
O valor máximo para K e U é igual a 2
2
1 kA e o valor mínimo é 0. Quando x 
= 0, K é máxima pois a velocidade é máxima nesse ponto, enquanto U = 0. 
Quando a massa alcança o ponto de retorno K = 0 e U é máxima, isto para 
um deslocamento máximo. 
 Como a força é conservativa, E = K + U é uma constante de 
movimento. Note que podemos ver facilmente 
 
2
2
1 kAE  eq. II.10 
 25 
 
fig. II. 4. Curva de potencial 
do MHS como função de x 
Note que o deslocamento máximo e velocidade máxima podem ser dados 
em termos de E 
 
k
EAx 2max  e m
Ev 2max  eq. II.11 
 
Vamos analisar a curva de potencial para um MHS 2
2
1 kxU  
que podemos ver no gráfico ao lado: 
 
 
 
Note que os valores máximos para os deslocamentos dependem 
do valor de E mostrado no gráfico como o nível de energia. 
Aumentando-se a altura do nível de energia a amplitude de 
oscilação aumenta, visto que a distância entre os pontos de 
retorno aumenta. 
 
 
6. Pêndulo Simples 
 
 O pêndulo simples consiste de uma partícula sustentada por um fio 
inextensível de massa desprezível. Ele oscila em torno da posição de 
equilíbrio, como podemos ver na fig. II.5. 
 
 Como a partícula e o fio estão dispostos 
como uma unidade rígida, o movimento pode ser 
considerado como uma rotação em torno de um eixo 
localizado no ponto de suspensão, então 
 
2
2 2
2
I mgLsen
dmL mgLsen mL
dt
  

 
   
   
 
 
2
2
dt
dLgsen   eq. II.11 
 
Para pequenasoscilações do pêndulo,  sen (isto pode ser entendido 
através da série de Taylor para função  senf )( sobre o ponto 0 ) a 
eq. II.11 torna-se, 
 
2
2
dt
dLg   eq. II.12 
Veja que esta equação tem a mesma forma da eq. II.4 e, dessa forma, é um 
MHS, isto é, 
)cos(   tA eq. II.13 
 
fig. II.5. Diagrama de um pêndulo simples. 
 
 26 
com frequência angular de um pêndulo simples igual a 
Lg / . Enquanto o período é dado por 
gLT /2/2   . Notemos que o período somente depende do 
comprimento do fio e da aceleração da gravidade e não da massa da partícula 
e amplitude de oscilação. 
 A energia de cinética pode ser vista como, 
 2222 )]([
2
1][
2
1
2
1


 tAsenmL
dt
dIIK 
 
)(
2
1 22   tsenmgLAK eq. II.14 
 A energia potencial é simplesmente a energia potencial 
gravitacional, 
)cos1()cos(   mgLLLmgmghU , mas se  é suficiente 
pequeno, levando em conta uma aproximação através da série de Taylor 
para função  cos)( f sobre o ponto 0 , 2
2
11cos   , portanto 
a energia potencial  2
2
1
mgLU 
 
)(cos
2
1 22   tmgLAU eq. II.15 
Notemos que .
2
1 2 constmgLAUKE  . Assim E é uma constante 
de movimento. 
 
7. Pêndulo Físico e Pêndulo de Torção 
 
 Nós vimos na secção anterior que o pêndulo simples comporta-se 
como um MHS para pequenas amplitudes de oscilação, próximas à posição 
de equilíbrio. Muitos outros sistemas físicos comportam-se dessa forma. Isto 
é, a força efetiva é usualmente proporcional ao deslocamento. Vejamos isto 
através da série de Taylor para uma F = F(x), onde x é o deslocamento. 
 
...
2
1)0()( 2
0
2
2
0













x
dx
Fdx
dx
dFFxF
xx
 eq. II.16 
 
 Se o movimento é em três dimensões cada componente da força tem 
um desenvolvimento de Taylor semelhante nas respectivas direções. 
Podemos ter x =  quando o deslocamento for angular. 
 Para x = 0, no ponto de equilíbrio, F(0) = 0 e se o deslocamento é 
suficientemente pequeno os termos de ordem superior ou igual a dois podem 
ser desprezados quando comparados aos de primeira ordem. Assim, 
 
x
dx
dFxF
x 0
)(






 eq. II.17 
 27 
 Se tivermos kxxF )( , onde 
0






xdx
dFk vemos que a lei de 
Hooke é uma aproximação geral que descreve forças para pontos próximos 
ao de equilíbrio. É fácil ver, analisando a derivada de F com relação a x, que 
podemos verificar que teremos um equilíbrio estável quando 0k (a força 
é restauradora), equilíbrio instável quando 0k (a força é repulsiva), 
enquanto x = 0 teremos um equilíbrio neutro. 
 Um pêndulo físico consiste de um corpo sólido que está suspenso 
por um eixo. Sob a influência da gravidade, o corpo tem um movimento de 
vai e vem. Podemos ver na fig. II.6 o diagrama de um pêndulo físico. 
 
 A equação de movimento é aquela para um corpo 
rígido, 
2
2
dt
dII   , por um lado  MgLsen e assim 
obtemos a equação de movimento para oscilações 
suficientemente pequenas, 
 
2
2
dt
dIMLg   eq. II.18 
 
A solução dessa equação representa um MHS com frequência 
IMgL / . 
 O pêndulo de torção é muito parecido com o pêndulo 
físico, entretanto a força de restituição (peso) é substituída por 
um tipo de mola espiral. Sob a suposição que o deslocamento do pêndulo de 
torção da posição de equilíbrio seja suficientemente pequeno, o torque é 
proporcional ao deslocamento angular 
 
  eq. II.19 
 
onde  é a constante de torção da mola ou fibra, com unidades 
Nm/rad. A equação de movimento do corpo rígido é 
 
2
2
dt
dI   eq. II.20 
 
Que é novamente a equação de um oscilador que possui MHS, cuja 
frequência é dada por 
I/  . Podemos ver exemplos de pêndulos de torção na 
figura ao lado. 
 
8. Oscilações Amortecidas e Oscilações Forçadas 
 
 Em um oscilador real, digamos um pêndulo, existem forças externas, 
por exemplo forças de atrito. Se o pêndulo começa a se movimentar com 
uma amplitude ao longo do tempo essa amplitude diminui. 
 
fig. II.6. Diagrama de um pêndulo físico. 
 
 
 28 
 A fig. II.8 mostra o deslocamento de um 
oscilador com atrito. O movimento resultante é 
chamado de movimento harmônico amortecido. 
Esse movimento pode ser representado pela 
função 
 
)cos(
_
)2/(
0  
 teAx tmb eq. II.21 
 
quando a força de amortecimento bv é 
suficientemente pequena e x é solução da 
equação diferencial, 2
2
dt
xdm
dt
dxbkx  , 
onde 22
_
4// mbmk  na eq. II.21. 
Quando kmb 2 em 
_
 , teremos um amortecimento crítico, o sistema 
não oscila mais, retornando para sua posição de equilíbrio sem oscilar. 
kmb 2 corresponde a um superamortecimento. O sistema não mais 
oscila também mas volta para posição de equilíbrio mais devagar do que o 
caso anterior. Enquanto para kmb 2 o sistema oscila com uma 
amplitude que diminui continuamente. Essa condição denomina-se de 
subamortecimento. 
 Um amortecedor de carro é um exemplo de oscilador amortecido, 
bem como um dispositivo usado nas raquetes de tênis que diminui as 
vibrações. 
 
 Nas oscilações amortecidas, a força de 
amortecimento não é conservativa, a energia mecânica não é 
constante e diminui tendendo a zero ao passar o tempo. 
Vamos deduzir a taxa de variação da energia. 
 Temos que 
dt
dxkx
dt
dvmv
dt
dEkxmvE  22
2
1
2
1
 como 
2
2
dt
xdm
dt
dxbkx  
 
2bv
dt
dE
 eq. II.22 
 
 Podemos manter constante a amplitude das oscilações amortecidas 
se fornecemos ao sistema um empurrão no final de cada ciclo. Esta força 
adicional é chamada de força propulsora. 
 Quando aplicamos uma força propulsora variando periodicamente 
com  a um oscilador harmônico amortecido, o movimento resultante é 
uma oscilação forçada. A frequência da oscilação da massa é igual a 
frequência da força propulsora  . Veja que .
_
  O caso mais simples é 
aquele em que a força propulsora é senoidal, isto é, tsenFtF max)(  . 
Novamente não vamos resolver a equação diferencial, deixado para outro 
 
fig. II.8. Linha de universo de uma partícula com 
movimento harmônico amortecido. 
 
fig. II.9. Exemplos de osciladores amortecidos 
 
 29 
curso. A expressão da amplitude de um oscilador forçado em função de  é 
222
max
)( wbmk
FA



. Quando mk / em 2mk  = 0, 
maxAA  . 
Quando a amplitude correspondente à oscilação forçada está próxima da 
frequência da oscilação natural do sistema, essa amplitude atinge um pico, 
dizemos que ocorreu o fenômeno da ressonância. A ressonância de um 
sistema mecânico pode ser destrutiva. Em projetos da aviação e de 
engenharia este conceito é fundamental. O tratamento matemático da 
ressonância é deixado para um curso de mecânica geral. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo II. 1 
Uma espécie de altofalante usado para diagnóstico médico, oscila com uma 
frequência de MHz7,6 . Quanto dura uma oscilação e qual é a frequência angular? 
Solução: 
O período T é dado por s
Hz
T 76 105,1107,6
11 



. Por outro lado 
sabemos que )(/2(2 ciclorad  6107,6  ciclos/s) = 
7102,4  rad/s. 
 
Exemplo II. 2 
Em um sistema acoplado verificamos que ao puxarmos a mola por um dinamômetro 
da esquerda para direita com uma força de 6 N, este produz um deslocamento de 
0,030 m. A seguir removemos o dinamômetro e colocamos uma massa de 0,50 kg 
emseu lugar. Puxamos a massa a uma distância de 0,020 m e observamos o MHS 
resultante. Calcule a constante da mola. Calcule a frequencia, frequencia angular e o 
período da oscilação. 
Solução: 
A força restauradora da mola é -6,0 N, assim mN
x
Fk /200
030,0
6
 . 
A frequência 20
m
k
 rad/s. A frequência angular é 
Hzsciclos
ciclorad
srad 2,3/2,3
/2
/20
2



 . O período 
ciclosT /31,01 

 ou simplesmente 0,31 s. 
 
Exemplo II. 3 
No exemplo anterior coloque m = 0,50 kg, um deslocamento inicial de 0,015 m e 
uma velocidade inicial 0,40 m/s. Calcule o período, a amplitude e o ângulo de fase 
do movimento. Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a 
aceleração em função do tempo. 
 
 30 
Solução: 
O período é o mesmo pois, para um MHS, este somente depende da massa e de k . 
A amplitude m
v
xA 025,0)( 2
1
2
2
02
0  
. O ângulo de fase é calculado por 
tg
x
v

0
0 rad93,053   . 
Agora teremos )cos(   tAx = 0,025cos(20t-0,93); 
 )93,020(50,0)(  tsentAsenv  ; 
 ).93,020cos(10)cos(2  ttAa  
 
Exemplo II. 4 
Na oscilação do ex.II.2 coloque x = 0,020 m. Ache a velocidade máxima e mínima 
atingidas pela massa que oscila. Ache também a aceleração máxima. Calcule a 
velocidade e a aceleração quando a massa está na metade da distância entre o ponto 
de equilíbrio e seu afastamento máximo. Qual a energia total, a potencial e a energia 
cinética nesse ponto? 
Solução: 
Da eq. II.10 podemos expressar 22 xA
m
kv  . A velocidade máxima 
acontece quando x = 0 passando a massa da esquerda para direita e assim v = +0,40 
m/s. Enquanto a velocidade mínima acontece quando x = 0 passando a massa da 
direita para esquerda, v = -0,40 m/s. 
Temos que x
m
ka  . A aceleração máxima se dará para x = -A. Logo a = +8 
2/ sm . A aceleração mínima ocorre em x = +A e assim, a = 2/8 sm . 
Para 2/Ax  , smv /35,0 e 4a m/s. 
A energia total será dada por eq. II.10, E = 0,040J. Enquanto 
JkxU 010,0
2
1 2  e .030,0
2
1 2 JmvK  
 
Exemplo II. 5 
Um bloco de massa M preso a uma mola de constante k descreve um MHS na 
horizontal com uma amplitude 1A . No instante em o bloco passa na posição de 
equilíbrio, uma massa m cai verticalmente sobre o bloco de uma pequena altura. 
Calcule a nova amplitude e o período do movimento. 
Solução: 
Note que o movimento está dependo da posição e assim usamos o método da 
energia. Antes da massa cair E = const.. Quando ela cai a colisão é totalmente 
inelástica, a energia diminui, voltando a ser constante depois da colisão. 
Antes da colisão: 111
2
11 2
1
2
10 A
M
kvkAMvE  . Enquanto o 
momentum linear é .01 Mv 
Durante a colisão existe conservação do momentum linear do sistema massa-bloco. 
A colisão dura muito pouco tempo, de forma que a massa e o bloco se encontram em 
 31 
x = 0. Note que U = 0 e que temos somente K, porém menor do que K antes da 
colisão. 
Depois da colisão: O momentum linear é 2)( vmM  e pela lei de conservação de 
momentum linear 21 )( vmMMv  , de onde podemos obter 2v e obtermos, 
1
2
1
2
2
22 2
1)(
2
1 E
mM
Mv
mM
MvmME



 . Na verdade podemos dizer 
que a energia cinética perdida é usada para elevar a temperatura do bloco. Como 
mM
MAAkAE

 1222 2
1
. 
O cálculo do período é 
k
MmT  2 . Veja que a amplitude tornou-se maior e 
o período menor. 
 
Exemplo II. 6 
Os amortecedores de um carro velho de 1000 kg estão completamente gastos. 
Quando uma pessoa de 980 N sobe lentamente no centro de gravidade do carro, ele 
baixa 2,8 cm. Quando essa pessoa está dentro do carro durante uma colisão com um 
buraco, o carro oscila verticalmente com MHS. Modelando o carro e a pessoa como 
uma única massa apoiada sobre uma única mola, calcule o período e a frequência da 
oscilação. 
Solução: 
A constante da mola é 4105,3
028,0
980



x
Fk . A massa da pessoa é 
kggP 100/  . A massa total que oscila é m=1100 Kg. O período 
s
k
mT 11,12   . Enquanto a frequência é Hz90,0 . 
 
Exemplo II. 7 
Suponha que o corpo de um pêndulo físico seja uma barra de comprimento L 
suspensa em uma de suas extremidades. Calcule o período de seu movimento 
oscilatório. 
Solução: 
O momento de inércia de uma barra em relação a um eixo passando em sua 
extremidade é 
2
3
1 MLI  . A distância entre o eixo de rotação e o centro de massa é L/2. Para este 
pêndulo físico, 
g
L
g
L
MgL
IT  2
3
2
3
22
2/
2  . Note que o período desse 
pêndulo físico é 
3
2
 do período de um pêndulo simples. 
 
 
 
 
 
 32 
Exercícios Propostos 
 
Exercício II. 1 
Uma massa de 400 kg está se movendo ao longo do eixo x sob a influência da força 
de uma mola com mNk /105,3 4 . Não existem outras forças agindo na 
massa. O ponto de equilíbrio é em x = 0. Suponha que em t = 0 a massa está em x = 
0 e tem velocidade de 2,4 m/s na direção positiva. Qual a frequência de oscilação, 
qual a amplitude e onde a massa estará em t = 0,60 s? 
Resposta: 1,5 Hz; 0,26 m; -0,16 m. 
 
Exercício II. 2 
Uma massa m está pendurada vertivalmente acoplada a uma mola de constante k. 
Encontre a equação de movimento, quando levamos em conta a força da gravidade. 
Resposta: kmgtAx /)cos(   . 
 
Exercício II. 3 
Uma molécula de hidrogênio ( 2H ) pode ser considerada um sistema de duas 
massas ligadas por uma mola. O centro da mola, ou seja, o centro de massa do 
sistema pode ser considerado fixo e assim a molécula consiste de dois osciladores 
vibrando em direções opostas. A constante da mola é mN /1013,1 3 e a massa 
de cada H é kg271067,1  . Suponha que a energia de vibração da molécula é 
J19103,1  . Encontre a amplitude da oscilação e a velocidade máxima. 
 
Resposta: m11101,1  e sm /108,8 3 . 
 
Exercício II. 4 
Qual é o comprimento do pêndulo em um lugar cuja gravidade 2/81,9 smg  ? O 
pêndulo tem um período de exatamente 2 s , onde cada balanço leva 1 s. 
Resposta: 0,994 m. 
 
Exercício II. 5 
Um pêndulo físico consiste de uma esfera uniforme de massa M e raio R suspensa 
por um cabo com massa desprezível e comprimento L. Levando em conta o tamanho 
da bola, qual é o período de ‘pequenas’ oscilações desse pêndulo? 
Resposta: 
2
( )
2 2 2( )
5
g R L
R R L


 
 
 
Exercício II. 6 
O haltere da balança de Cavendish consiste de duas massas iguais de 0,025 kg 
conectadas por uma barra com massa desprezível e de comprimento 0,40 m. Quando 
o conjunto se movimenta, a balança gira para frente e para trás com um período de 
3,8 minutos. Encontre o valor da constante de torção. 
Resposta: radmN /.1052,1 6 .

Outros materiais