Aula 7 Produtos escalar e vetorial

Prévia do material em texto

PRODUTO ESCALAR
Definição
Exemplo:
Logo 
Propriedades
Sejam A , B e C vetores e k um escalar.
1. A⋅A⩾0 e A⋅A=0⇔A=0
2. A⋅B=B⋅A (comutatividade)
3. A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C (distributividade em relação à adição)
4. (k A)⋅B=A⋅(k B)=k (A⋅B) (associatividade em relação à multiplicação por escalar)
Figura 1
∣A+B∣2=A2+B2+2 A B cosθ (1)
Por outro lado:
A=Ax i+Ay j+Az k
B=B x i+B y j+B z k
A⋅B≡A x Bx+A y B y+A z B z
A=i+3 j−5k
B=4 i−2 j−k
A⋅B=(1)(4)+(3)(−2)+(−5)(−1)=4−6+5=3
A
B
θ
A⋅A≡A2
A⋅A=Ax Ax+Ay Ay+Az Az=A x
2+A y
2+Az
2=A2
A⋅A=A2
∣A+B∣2=(A+B)⋅(A+B)
=(A+B)⋅A+(A+B)⋅B
=A⋅(A+B)+B⋅(A+B)
=A⋅A+A⋅B+B⋅A+B⋅B
=A2+B2+2 A⋅B (2)
Igualando os lados direitos das Eqs. (1) e (2), temos:
Exemplo:
Interpretação Geométrica do Produto Escalar
onde AB é a projeção de A na direção de B.
Figura 2
Similarmente:
e BA é a projeção de B na direção de A.
Derivada de um Produto Escalar
Produto Escalar dos Vetores Unitários
A⋅B=A B cosθ
A⊥B⇒A⋅B=0
A∥±B⇒A⋅B=±AB
0∘<θ<90∘⇒A⋅B>0
90∘<θ<180∘⇒A⋅B<0
A⋅B=A B cosθ=(Acos θ)B=AB B
A
B
θ
AB = A cos θ
A⋅B=A B cosθ=A(B cos θ)=A BA
d
dx
(A⋅B)=d A
dx
⋅B+A⋅ d B
dx
i⋅i=j⋅j=k⋅k=1
i⋅j=i⋅k=j⋅k=0
A=2 i+3 j
B=−i+2 j
θ=?
A⋅B=(2)(−1)+(3)(2)=−2+6=4
A=√22+32=√13
B=√(−1)2+22=√5
cosθ=A⋅B
A B
= 4
√65
⇒θ=arccos 4
√65
=60,2∘
PRODUTO VETORIAL
Exemplo:
Figura 1
Figura 2
a=a x i+a y j+az k
b=bx i+by j+bz k
a×b=∣ i j ka x a y a zbx b y bz∣
a=3 i−2 j+4k
b=0,5 i+3 j−2k
a×b=∣ i j k3 −2 40,5 3 −2∣=4 i+2 j+9k−(−k+12 i−6 j)=−8 i+8 j+10k
∣a×b∣=a b sinθ⇒{a∥±b⇒∣a×b∣=0a⊥±b⇒∣a×b∣=ab
a
b
c=a×b
θ
Figura 3
Propriedades
a, b e c vetores e k escalar
i. a×b=−b×a (anticomutatividade)
ii. a×(b+c)=a×b+a×c (distributividade em relação à adição)
iii. (k a)×b=a×(k b)=k (a×b) (associatividade em relação à multiplicação por escalar)
Exemplo:
a=2 i
b=i+2 j+3k
a×b=(2 i)×(i+2 j+3k)
=(2)(1) i×i+(2)(2) i×j+(2)(3) i×k
=0+4k+6(−j)
=−6 j+4k
Derivada
i×j=k
j×k=i
k×i=j
j×i=−k
k×j=−i
i×k=−j
i×i=j× j=k×k=0
d
dx
(a×b)= d a
dx
×b+a× d a
dx
i j k
+ +
i j k
+ + +
- - - - -