Aula 9 - Energia potencial

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ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL PRÓXIMO À SUPERFÍCIE DA TERRA
Uma partícula de massa m move-se próximo à superfície da Terra entre os pontos A e B.
Figura 1
A trajetória azul é semelhante à trajetória real (vermelha) seguida pela partícula. Portanto,
podemos esperar que o trabalho que seria realizado pela força gravitacional ao longo da trajetória
azul seja aproximadamente igual ao trabalho realmente realizado pela força gravitacional. No que
diz respeito à trajetória quebrada, a força gravitacional não realiza trabalho ao longo dos trechos
horizontais, porque ela é perpendicular ao deslocamento nesses trechos. Somente ao longo dos
trechos verticais, o trabalho realizado pela força gravitacional não é nulo. Portanto, o trabalho ao
longo do caminho azul é dado por:
Logo o trabalho realizado pela força gravitacional da Terra sobre a massa não depende do
caminho seguido pela partícula; depende somente dos pontos inicial e final. Forças que possuem
essa propriedade são chamadas de forças conservativas.
Fixos os dois corpos, i.e., a partícula de massa m e a Terra (g), pode-se definir uma função
que depende somente da posição e cuja variação é igual ao negativo do trabalho realizado pela força
gravitacional da Terra sobre a partícula. Essa função é a Energia Potencial Gravitacional Ug:
O valor de Ug é indefinido por uma constante aditiva, mas essa indefinição não é um
problema, porque somente a variação de U importa.
W AB
g =∑
i
ΔW i=∑
i
(−mgΔ y i)=−mg∑
i
Δ y i=−mg ( y B−y A)=−(mgyB−mgy A)
U g≡mgy+C
W AB
g =−(U g , B−U g , A)=−ΔU g
x
y
A
B
0
yA
yB
m
mg
Δy
i
Figura 2
Conservação da Energia
Suponhamos, agora, que a força gravitacional seja a única força que realiza trabalho sobre
m. Então:
Mas,em virtude do Teorema do Trabalho - Energia Cinética:
Então:
Por conseguinte, a soma da Energia Cinética e da Energia Potencial Gravitacional é
constante: se uma diminui, a outra aumenta, de forma a manter a soma constante, o que significa
que há uma troca entre ambas.
A soma da Energia Cinética e da Energia Potencial Gravitacional é definida como Energia
Mecânica E:
Quando somente forças conservativas realizam trabalho sobre uma partícula, sua Energia
Mecânica é conservada: E = cte.
O trabalho de forças não conservativas decresce a Energia Mecânica:  E=W diss .
Exemplo:
Figura 3
Nível A
Nível B UB = +mgh
UA ≡ 0
h
UB ≡ 0
UA = - mgh
+mgh -mgh
y
W AB
res=W AB
g =−U B−U A
E≡K+U
E i=E f ⇒ K iU i=K fU f ⇒mgh=
1
2
m v2mgy⇒ v=2 g h− y
W AB
res=K B−K A
U A−U B=K B−K A⇒K A+U A=K B+U B
ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
Figura 4
Figura 5
∣Fmola∣∝∣x∣⇒F mola=−kx
k≡constante elástica da mola
k>0
[ k ]=[F ] /L=MLT−2 L−1=MT−2
Unidade S. I. de k: N/m⇒1 N/m=1 kg s−2
|Fmola|
x
0
Limite elástico
Co
mp
ort
am
en
to 
elá
sti
co
Compo
rtamen
to plás
tico
Ruptura
Figura 6
Trabalho realizado pela mola sobre a partícula que se desloca de xi a xf:
Logo, o trabalho realizado pela mola sobre a partícula não depende do caminho seguido
por esta; depende somente dos pontos inicial e final. Em outras palavras, a força da mola é uma
força conservativa. Portanto, pode-se definir uma função que depende somente da posição e cuja
variação é igual ao negativo do trabalho realizado pela mola sobre a partícula. Essa função é a
Energia Potencial Elástica Ue:
Exemplo:
Figura 7
W if
mola=Área hachurada = Bb
2
×h=
−kx f −kx i
2
×x f−x i=−
k
2
x f−x i x f−x i
⇒W if
mola=− k
2
x f
2−x i
2=−1
2
k x f
2−1
2
k x i
2
U e≡
1
2
k x 2
W AB
mola=−U e , B−U e , A=−U e
mg−kd=0⇒ k=mg
d
W mola=−U ⇒W mola=−1
2
k d 2−0=− 1
2mgd d 2=− 12 mgd
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL PARA QUALQUER DISTÂNCIA ENTRE
DOIS CORPOS
Convenciona-se que U (∞)=0⇒C=0 .
U g=−
GMm
r
C
Velocidade de Escape
É a velocidade mínima que deve ser dada a um objeto desprovido de combustível próprio,
para que ele escape do campo gravitacional terrestre, desprezando-se a resistência do ar.
r max →∞
E i=E f ⇒(K+U )i=(K+U ) f ⇒
mvesc
2
2
−
G M T m
RT
=0⇒ vesc
2 =
2G M T
RT
⇒ vesc=√ 2G M TRT
⇒ vesc=11,2 km/s=40320 km/h