Aula 10 - Momentum linear

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SISTEMAS DE PARTÍCULAS
Momentum Linear de Uma Partícula
Se há uma força resultante não nula atuando sobre uma partícula, o momentum linear da partícula
varia, e sua taxa de variação é exatamente igual à força resultante.
Se a força resultante sobre uma partícula é zero, o seu momentum linear se conserva (Primeira Lei de
Newton).
Momentum Linear de um Sistema de Partículas
Figura 1
Se a soma vetorial de todas as forças externas que atuam sobre o sistema é nula (sistema isolado), o
seu momentum linear se conserva.
p≡mv
[ p ]=MLT −1⇒ kg m/s = N s
d p
dt
=d
dt
(mv )=md v
dt
=m a=∑ F
∑ F= d pdt (Segunda Lei de Newton para uma partícula)
∑ F=0⇒ d pdt =0⇒p=cte.
i
j
Fji Fij
Fiext Fjext
Momentum linear do sistema de partículas:
P≡p1+p2+...+pn
d P
dt
=
d p1
dt
+
d p2
dt
+...+
d pn
dt
=F res,1+Fres ,2+...+F res ,n=∑
i
n
Fres , i=∑
i=1
n
Fres ,i
ext +∑
i=1
n
F res ,i
int
⇒d P
dt
=∑
i=1
n
Fres ,iext (Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas)
∑
i=1
n
Fres ,i
ext =0 (Sistema Isolado)⇒d P
dt
=0⇒P=cte.
F ij=−F ji⇒F ij+F ji=0
Exemplo:
Figura 2
Quando as massas ficam grudadas depois da colisão, diz-se que a colisão é perfeitamente
inelástica.
Exemplo:
Figura 4
1 kg 2 kg
5 m/s 3 m/s
Antes
v' = ?
Depois
P=1×5+2×3=11 kg m/s
P '=(1+2)v=3v
P=P '⇒11=3v '⇒ v '=11
3
 m/s
K=12 ×1×5
2+
1
2 ×2×3
2=21,5 J
K '=1
2
×3×(11
3
)
2
=20,2 J
K≠K '⇒colisão inelástica
5 kg 1 kg
1 m/s 5 m/s
Antes
v' = 0
Depois
K=1
2
×5×12+1
2
×1×52=15 J
K '=0
Exemplo:
Figura 5
Exemplo: Automóvel: m1=1500 kg Van: m2=2500 kg
Figura 6
K '>K=0⇒ colisão inelástica
V = 0
v'1
v'2
Explosivo
Direção x : m1 v1=(m1+m2)v ' cosθ (1)
Direção y : m2 v2=(m1+m2)v ' sinθ (2)
(1) /(3)⇒
m2 v2
m1 v1
= tanθ⇒θ=arctan (
m2 v2
m1 v1
)=arctan( 2500×201500×25 )=53,1
∘
(1)⇒ v '=
m1v1
(m1+m2)cosθ
= 1500×25
(1500+2500)cos53,1∘
=15,6 m/s
Centro de Massa de Um Sistema de Partículas
Figura 7
Exemplo: m1=1,2 kg ,m2=2,5 kg ,m3=3,4 kg
Figura 8
rcm≡
m1r1+m2 r2+...+mn rn
m1+m2+...+mn
=
∑
i=1
n
mi r i
M
, onde:
M≡∑
i=1
n
mi
xcm=
∑
i=1
n
mi x i
M
ycm=
∑
i=1
n
mi yi
M
zcm=
∑
i=1
n
mi z i
M
rcm= xcm i+ ycm j+z cm k
140 cm
140 cm140 cm
m1
m2
m3
x
y
h
É como se todas as forças externas que atuam sobre o sistema estivessem aplicadas ao seu
centro de massa.
M rcm=∑
i=1
n
mi r i⇒
d
dt (M rcm)=
d
dt
(∑
i=1
n
mi r i)⇒
dM
dt
rcm+M
d rcm
dt
=∑
i=1
n
mi
d r i
dt
dM
dt
=0 (Sistema Fechado) ⇒M
d rcm
dt
=∑
i=1
n
mi
d r i
dt
⇒M Vcm=∑
i=1
n
mi v i=∑
i=1
n
pi=P
⇒P=M V cm (Como se toda a massa do sistema estivesse concentrada no seu centro de massa)
d P
dt
=M
d V cm
dt
⇒∑Fext=M acm (Segunda Lei de Newton para um sistema de partículas fechado)
M=m1+m2+m3=1,2+2,5+3,4=7,1kg
xcm=
∑
i=1
3
mi x i
M
=
(1,2)(0)+(2,5)(70)+(3,4)(140)
7,1
=91,7 cm
h=l √32 =
140√3
2 ≈121 cm
ycm=
∑
i=1
3
mi y i
M
=(1,2)(0)+(2,5)(121)+(3,4)(0)
7,1
=42,6 cm
rcm=(91,7 i+42,6 j) cm