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Aula 12 - Cinemática de rotação

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CINEMÁTICA DE ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO
Velocidade angular:
Aceleração angular:
Velocidade linear:
Aceleração radial:
Aceleração tangencial:
Aceleração total:
s=r θ
ω≡d θ
dt
[ω ]=T−1
Unidade S.I.: rad/s ou s−1
α≡dω
dt
=d
2θ
dt2
[α ]=T−2
Unidade S.I.: rad/s2 ou s−2
v=ds
dt
= d
dt
(r θ)=r d θ
dt
=rω
ar=
v2
r
=(rω)
2
r
=rω2
a t=
dv
dt
= d
dt
(rω)=r dω
dt
=rα
a tot=a r+a t⇒a tot=√ar2+a t2
Translação com a = cte. Rotação com α = cte.
 
v=v0+a t
x= x0+v0 t+
1
2
a t 2
v2=v0
2+2aΔ x
 → 
ω=ω0+α t
θ=θ0+ω0t+
1
2
α t2
ω2=ω0
2+2αΔθ
Exemplo: O prato de um toca-discos girando a 33½ rpm desacelera e para em 30 s, depois que o
seu motor é desligado. (a) Qual é a aceleração angular suposta constante? (b) Quantas voltas o prato
completa nesse tempo?
(a)
(b)
Energia Cinética de Rotação
f 0=33,5 rpm=33,5
rotações
min
× 1min
60 s
=0,558 Hz
ω0=2π f 0=2π×0,558=3,51 rad/s
α=
ω−ω0
t
=0−3,51
30
=−0,117 rad/s2
Δθ=ω0t+
1
2
α t 2=3,51×30−1
2
(−0,117)302=52,7 rad
número de voltas=52,7
2 π
=8,39
K i=
1
2
mi vi
2=1
2
mi(r iω)
2=1
2
mi ri
2ω2
K=∑
i
K i=∑
i
1
2
mi r i
2ω2=1
2(∑i mi ri
2)ω2
x→θ v→ω a→α
Momento de Inércia:
Distribuição contínua de massa:
I não é uma propriedade intrínseca do corpo, mas sim depende do eixo de rotação.
Momento de Inércia de Alguns sólidos Regulares Homogêneos
1. Anel ou casca cilíndrica em relação ao seu eixo de simetria.
2. Disco ou cilindro em relação ao seu eixo de simetria.
I=1
2
MR2
I=MR2
I≡∑
i
mi r i
2
[ I ]=ML2
Unidade S.I.: kg m2
I= lim
Δmi→0
∑
i
Δmi ri
2≡ ∫
corpo
r 2dm
K=1
2
I ω2
3. Barra fina em relação ao eixo perpendicular que passa pelo seu centro.
4. Esfera em relação a um diâmetro.
Teorema dos eixos Paralelos
I= 1
12
ML2
I=2
5
MR2
h
M
I=I cm+M h
2
Exemplo:
Teorema dos Eixos Perpendiculares
Corpo inteiramente contido no plano xy.
Exemplo: Momento de inércia de um aro em relação a um diâmetro.
I z=MR
2
I x= I y
I z=I x+I y⇒MR
2=I x+I y=2 I x⇒ I x=
1
2
MR2
I= 1
12
M L2+M ( L
2
)
2
=M L
2+3M L2
12
=1
3
M L2
I z=I x+I y
x
y
z
R
M
x
y
z
O

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