Aula 16 OHS e Sistema Massa Mola

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OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES (OHS)
F mola=−kx⇒ma=−k x⇒m
d 2 x
dt 2
=−k x⇒m d
2 x
dt 2
+k x=0⇒ d
2 x
dt 2
+( km )x=0
Nova notação: x˙≡dx
dt
⇒ x¨≡d
2 x
dt
ω0≡√km
[ω0]=√ [F ]/LM =√MLT−2/LM =T−1
Unidade SI de ω0 : rad/s
ω0 : frequência angular natural de oscilação do sistema
Equação Diferencial do Oscilador Harmônico Simples
x¨+ω0
2 x=0
Solução:
x (t)=xmaxcos (ω0t+ϕ0)
 ou
x (t)= xmax ' sin (ω0 t+ϕ0 ' )
Onde:
xmax , xmax ' : amplitude de oscilação
∣xmax∣=∣xmax ' ∣
ϕ0 ,ϕ0 ' : fase inicial
Verificação:
x˙=−ω0 xmax sin (ω0 t+ϕ0)
⇒ x¨=−ω0
2 xmaxcos (ω0 t+ϕ0)
x¨+ω0
2 x =
?
0
−ω0
2 xmaxcos (ω0 t+ϕ0)+ω0
2 xmax cos(ω0t+ϕ0)=0
x=Acos (ω0 t+ϕ0) : (a) ϕ0≠0 (b) ϕ0=0
x (t+T )= x (t)
⇒ xmaxcos [ω0(t+T )+ϕ0]= xmaxcos(ω0 t+ϕ0)
⇒cos [(ω0t+ϕ0)+ω0T ]=cos(ω0 t+ϕ0)
cos(α+2π)≡cosα
Logo:
ω0T=2π⇒ω0=
2π
T
⇒T=2πω0
Então:
T=2π√mk
Exemplo: x (0)=0
v (0)=−3,00m/s
m=0,100kg
k=10,0 N/m
x (t )=?
Usando a fórmula com co-seno:
x= xmaxcos (ω0 t+ϕ0)
ω0=√km=√1000,1 =10,0 rad/s
⇒ x=xmaxcos (10 t+ϕ0)
x (0)=0⇒ xmax cosϕ0=0 ⇒
xmax≠0 cosϕ0=0⇒ϕ0=n
π
2
, n=1, 3,5 ,...
Escolhendo n=1:
ϕ0=
π
2
⇒ x= xmaxcos (10 t+π2
)
cos (α+π
2
)=−sinα ,∀α
⇒ x=−xmax sin(10 t )
⇒ v=−10 xmax cos (10 t )
v (0)=−3⇒−10 xmax=−3⇒ xmax=0,300 m
⇒ x=−0,300sin (10,0 t); x em m e t em s.
Escolhendo n=3:
ϕ0=
3π
2
⇒ x= xmaxcos(10 t+
3π
2
)
cos (α+3π
2
)=sinα ,∀α
⇒ x=xmax sin (10 t)
⇒ v=10 xmaxcos (10 t)
v (0)=−3⇒10 xmax=−3⇒ xmax=−0,300 m
⇒ x=−0,300sin (10,0 t); x em m e t em s.
Usando a fórmula com seno:
x= xmax sin(ω0 t+ϕ0)
⇒ x=xmax sin (10 t+ϕ0)
x (0)=0⇒ xmax sin ϕ0=0 ⇒
xmax≠0sin ϕ0=0⇒ϕ0=nπ , n=0,1,2, 3,...
Escolhendo n=0 :
ϕ0=π
⇒ x=xmax sin (10 t)
⇒ v=10 xmaxcos (10 t)
v (0)=−3⇒10 xmax=−3⇒ xmax=−0,300 m
⇒ x=−0,300sin (10 t) ; x em m e t em s
Energia do OHS
Exemplo:
x= xmaxcos (ω0 t+ϕ0)
⇒ v=−ω0 xmax sin(ω0 t+ϕ0)
U=1
2
k x2=1
2
k xmax
2 cos2(ω0 t+ϕ0)
K=1
2
mv2=1
2
mω0
2 xmax
2 sin2(ω0t+ϕ0)
ω0≡√km ⇒ω02=km ⇒mω02=k
⇒K=1
2
k xmax
2 sin2(ω0 t+ϕ0)
E≡K+U=1
2
k xmax
2 [sin2(ω0t+ϕ0)+cos
2(ω0t+ϕ0)]
Logo:
E=1
2
k xmax
2 =cte. (Conservação da Energia Mecânica)
k=20,0 N/m
m=0,500kg
xmax=3,00 cm
E=?
vmax=?
E=1
2
kxmax
2 =
1
2
×20×0,032=9,00 mJ
E=K max=
1
2
mvmax
2 ⇒vmax=√ 2 Em =√ 2×9×10−30,5 =19,0 cm/s