Analise Matricial de Estruturas

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UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA – UNOESC 
ÁREA DAS CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA 
CURSO: ENGENHARIA CIVIL 
DISCIPLINA: ANÁLISE MATRICIAL DE ESTRUTURAS 
PROFESSOR: JACKSON ANTONIO CARELLI 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE MATRICIAL 
DE ESTRUTURAS 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli i 
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SUMÁRIO 
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LISTA DE FIGURAS ............................................................................................................. iv 
LISTA DE TABELAS .............................................................................................................. v 
 
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 1 
1.1 Análise estrutural ............................................................................................................ 1 
1.2 Análise matricial de estruturas ....................................................................................... 1 
1.3 Idealização estrutural ...................................................................................................... 2 
1.3.1 Definições ............................................................................................................. 2 
1.4 Divisão em elementos .................................................................................................... 3 
1.5 Sistemas de coordenadas ................................................................................................ 4 
1.6 Método das forças e método dos deslocamentos ........................................................... 4 
1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) ....................................................... 4 
1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) .................................................. 5 
2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE ......................................................... 6 
2.1 Relação entre ações e deslocamentos ............................................................................. 6 
2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento .................................................... 6 
2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força .................................................... 6 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli ii 
2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade .................................................................... 7 
2.2 Definições ....................................................................................................................... 8 
2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e solicitada por 
esforço normal ................................................................................................................ 9 
2.3.1 Forças em função dos deslocamentos .................................................................. 9 
2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura ........................................................ 10 
2.3.3 Deslocamentos em função das forças ................................................................. 11 
2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura ............................................... 12 
2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura .................. 13 
2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano ................................ 14 
2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez .................................................... 15 
3 MÉTODO DA RIGIDEZ............................................................................................... 22 
3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano .................................................... 22 
3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG ........................................... 24 
3.3 Vetor de ações nodais equivalentes .............................................................................. 25 
3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios) ........ 28 
3.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura ................................................................ 29 
3.5.1 Regra da correspondência .................................................................................. 30 
3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura .................................................................... 33 
3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida .................................... 36 
3.7.1 Técnica da reordenação ...................................................................................... 36 
3.8 Cálculo dos esforços nas extremidades dos elementos ................................................ 39 
 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli iii 
 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli iv 
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LISTA DE FIGURAS 
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Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada ........................................................................... 3 
Figura 1.2 – Inserção de nó fictício ............................................................................................ 3 
Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por 
esforço normal .................................................................................................................... 9 
Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - ALEP (elemento de viga) ...................... 26 
Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-ALEP) ................................................................... 27 
Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano) ............................... 29 
Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano) ............................................. 31 
Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura ................................................. 34 
 
 
 
 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli v 
 
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LISTA DE TABELAS 
 
 
 
Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares .......................................................................... 21 
Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3 ................................................. 31Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 1 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
1.1 Análise estrutural 
Definido o sistema construtivo e o material a ser empregado, a análise estrutural e a 
primeira etapa de um projeto estrutural. 
O objetivo da análise estrutural e, à partir de uma estrutura, com características 
geométricas e mecânicas conhecidas, submetida a ações (cargas ou deformações impostas), 
determinar os deslocamentos (translações e /ou rotações) de todos os seus pontos, os esforços 
internos e as reações de apoio. 
A análise estrutural é classificada como linear, quando a estrutura tem comportamento 
linear, e não-linear, em caso contrário. Para que uma estrutura tenha comportamento linear, 
ela deve sofrer pequenos deslocamentos e deformações específicas e seu material deve ser 
elástico-linear (validade da Lei de Hooke). Isto permite a aplicação do princípio da 
“superposição dos efeitos”. 
 
1.2 Análise matricial de estruturas 
A análise matricial de estruturas é um tópico da análise estrutural, em que as equações 
que regem o problema a resolver são formuladas matricialmente, sejam equações de equilíbrio 
de forças ou de compatibilidade de deformações, dependendo do método utilizado (método 
das forças ou método dos deslocamentos), sendo o método dos deslocamentos o mais 
adequado para implementação computacional. 
O objetivo desta disciplina é a modelagem e análise estática linear de estruturas 
reticuladas(constituídas por elementos onde uma dimensão predomina em relação às outras 
duas – barras), utilizando principalmente o método dos deslocamentos com formulação 
matricial, capacitando os alunos a utilizar de maneira racional os programas de análise 
estrutural e a desenvolverem seus próprios programas. 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 2 
 
1.3 Idealização estrutural 
1.3.1 Definições 
⇒ Graus de liberdade 
São as variáveis envolvidas no processo de análise de uma estrutura. Quando se trata do 
método dos deslocamento, por exemplo, os graus de liberdade são as deformações 
(deslocamentos e/ou rotações) dos nós da estrutura. 
⇒ Sistemas contínuos 
Sistemas contínuos são aqueles compostos por uma infinidade de pontos materiais e que 
possuem portanto um número infinito de graus de liberdade. 
⇒ Sistemas discretos 
Sistemas discretos são aqueles que possuem um número finito de pontos materiais e 
portanto um número finito de graus de liberdade. 
 
A maioria das estruturas consistem de uma montagem de diferentes elementos 
estruturais conectados entre si por ligações contínuas ou discretas. O passo mais importante 
na análise matricial de estruturas é a formulação de um modelo matemático de elementos 
discretos equivalente à estrutura contínua real. Este modelo é necessário a fim de se obter um 
sistema com um número finito de variáveis (graus de liberdade) nos quais as operações de 
álgebra matricial poderão ser realizadas. À formulação de tal modelo chama-se de idealização 
estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 3 
 
Estrutura contínua Estrutura discretizada 
Figura 1.1 – Estrutura contínua e discretizada 
 
1.4 Divisão em elementos 
As estruturas estudadas nesta disciplina serão divididas em elementos de dimensão 
finita, ligados entre si por pontos nodais (nós) aonde se supõem concentradas todas as forças 
de ligação entre elementos. As ações e deslocamentos serão discretizados nos nós e a 
composição destes elementos para constituir a estrutura resultará em um sistema de equações 
algébricas que será tratado matricialmente. 
 Em geral um nó é constituído pelas ligações entre barras, extremidades livres, pontos 
de vinculação, no entanto, um nó fictício poderá, por conveniência do problema, ser inserido 
em qualquer ponto da estrutura, por exemplo no meio de uma barra qualquer (neste caso 
estaríamos dividindo a barra em duas). 
Figura 1.2 – Inserção de nó fictício 
 
 
5 
6 
4 Nó fictício 
Análise Matricial de Estruturas 
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1.5 Sistemas de coordenadas 
Com o fim de identificar e ordenar matricialmente as ações mecânicas (forças e 
momentos) e os deslocamentos (lineares ou angulares) existentes nos nós de uma estrutura 
integrada (montada, contínua) ou nas extremidades de um elemento (isolado, quando 
subdividida a estrutura – “estrutura discretizada”), torna-se imprescindível a determinação de 
um sistema de coordenadas arbitrário. 
Na verdade, serão necessários dois sistemas de coordenadas chamados de Sistema de 
Coordenadas Globais e Sistema de Coordenadas Locais. 
O sistema de coordenadas globais refere-se aos graus de liberdade da estrutura como um 
todo, ou seja estrutura montada, já o sistema de coordenadas locais refere-se aos graus de 
liberdade dos elementos discretizados, ou seja, das partes da estrutura. 
 
1.6 Método das forças e método dos deslocamentos 
1.6.1 Método das forças (método da flexibilidade) 
No método das forças determinam-se diretamente os esforços (forças) e indiretamente, 
isto é, a partir destes, os deslocamentos. 
Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura hiperestática, ou seja, 
qualquer estrutura estaticamente indeterminada. 
A estrutura é modificada por meio de liberações ou cortes, tornado-a isostática (este 
sistema é chamado de principal) 
O sistema de equações que resolve o problema á constituído por equações de 
compatibilidade de deformações; as incógnitas são os esforços nas liberações ou cortes. 
O número de equações (incógnitas) é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura. 
Para analisar uma estrutura podem ser adotados uma infinidade de sistemas principais. A a 
escolha do sistema mais conveniente depende da experiência do analista. 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
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1.6.2 Método dos deslocamentos (método da rigidez) 
Neste método determina-se inicialmente os deslocamentos e indiretamente, por meio 
destes, os esforços. 
Este método pode ser usado para analisar qualquer estrutura isostática ou hiperestática. 
A única estrutura que não pode ser resolvida por este método é a composta de uma única barra 
bi-engastada. 
A estrutura é modificada introduzindo-se fixações de forma a torná-la cinematicamente 
determinada (sistema principal). 
O sistema de equações que resolve o problema é constituído por equações de equilíbrio 
de forças em torno destas fixações. As incógnitas são os respectivos deslocamentos (rotações 
e/ou translações). 
No caso de estruturas reticuladas, o único sistema principal possível é obtido pela 
fixação de todos os deslocamentos possíveis dos nós (denominados graus de liberdade). 
O número de equações é igual ao grau de indeterminação da estrutura, ou seja, é igula 
ao número de graus de liberdade da estrutura. 
Adotando-se este sistema principal único desaparece o problema da escolha do sistema 
principal do Método das Forças, por este motivo o Método dos Deslocamentos é o mais 
adequado, e praticamente o único utilizado para implementação computacional em Análise de 
Estruturas. 
Análise Matricial de Estruturas 
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2 MATRIZES DE RIGIDEZ E FLEXIBILIDADE 
 
2.1 Relação entre ações e deslocamentos 
 
2.1.1 Equação da força em termos do deslocamento 
 
 
 
 (2.1) 
 
Onde a rigidez da mola (k) é a força por unidade de deslocamento, ou seja, é a força 
requerida para produzir um deslocamento unitário na mola. 
 
2.1.2 Equação do deslocamento em termos da força 
 
 
 
 
 (2.2) 
u=δδδδ 
Fu ⋅⋅⋅⋅==== δδδδ
ukF ⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
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Onde δ é a deformabilidade da mola, geralmente chamada de flexibilidade, sendo o 
deslocamento por unidade de força, ou seja, é o deslocamento produzido pela aplicação de 
uma força de valor unitário. 
 
2.1.3 Relação entre rigidez e flexibilidade 
 
 (2.3) 
 
Se ao invés de uma mola tivermos uma barra contínua (como a viga de um edifício, por 
exemplo), porém discretizada, ou seja, com um número finito de graus de liberdade (neste 
caso apenas um) de acordo com a resistência dos materiais podemos dizer: 
 
 (2.4) 
 
 (2.5) 
 
Comparando-se (2.4) com (2.5) tem-se: 
 
 (2.6) 
 
 (2.7) 
 
Substituindo-se (2.7) em (2.6) tem-se: 
 
 (2.8) 
k
1
====δδδδ
εεεεσσσσ ⋅⋅⋅⋅==== E
A
F
====σσσσ
εεεε⋅⋅⋅⋅==== E
A
F
L
u
l
l
====
∆∆∆∆
====
0
εεεε
L
uE
A
F
⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 8 
 
Ou: 
 
 (2.9) 
 
Comparando-se (2.9) com (2.1) conclui-se que o coeficiente de rigidez da barra é: 
 
 (2.10) 
 
Logo, o coeficiente de flexibilidade da barra é dado por: 
 
 (2.11) 
 
Nesta disciplina será adotada a seguinte notação: o termo coeficiente de rigidez será 
indicado pela letra “S” e o coeficiente de flexibilidade pela letra “C” 
 
2.2 Definições 
⇒ Sij – Coeficiente de rigidez: 
Representa a ação (força) na direção i causado por um deslocamento unitário na direção 
j (enquanto todos os outros deslocamentos são impostos como nulos). 
⇒ Cij – Coeficiente de flexibilidade: 
Representa o deslocamento na direção i causado por uma ação (força) de valor unitário 
na direção j (enquanto todas as outras são nulas). 
 
 
 
u
L
AEF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
L
AEk ⋅⋅⋅⋅====
AE
L
⋅⋅⋅⋅
====δδδδ
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 9 
 
2.3 Exemplo de discretização de uma barra contínua composta por duas hastes e 
solicitada por esforço normal 
2.3.1 Forças em função dos deslocamentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – Coeficientes de rigidez em barra composta por duas hastes e solicitada por 
esforço normal 
 
Neste caso são conhecidas as ações que atuam nas coordenadas 1 e 2 (A1 e A2) e os 
coeficientes de rigidez (S11, S12, S21 e S22), que devem ser obtidos previamente, desejando-se 
obter os deslocamento nas coordenadas 1 e 2 (u1 e u2). 
Para que o nó da coordenada 1 esteja em equilíbrio a força externa deve ser igual ao 
somatório das forças internas resultantes dos deslocamentos ocorridos ao longo da estrutura, 
ou seja: 
 
 (2.12) 
O mesmo pode ser dito com relação ao nó da coordenada 2: 
 
 (2.13) 
E2A2L2 
S11 
S22 S12 
S21 
u1=1 
u2=0 
u2=1 
u1=0 
Sistema de 
coordenadas globais 
Coeficientes de 
rigidez (Sij) 
Coeficientes de 
rigidez (Sij) 
2121111 uSuSA ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
2221212 uSuSA ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 10 
 
Unindo as equações (2.12) e (2.13), pode-se, matricialmente escrever: 
 
 (2.14) 
 
onde: 
 {A} é o vetor das ações externas (solicitações); 
 {u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2; 
 [S] é a matriz de rigidez da estrutura em estudo, de dimensões (2x2), 
correspondente ao número de coordenadas utilizadas. A matriz de rigidez é uma matriz de 
transformação linear: transforma o vetor dos deslocamentos no vetor das ações. 
 
 
2.3.2 Obtenção da matriz de rigidez da estrutura 
A matriz de rigidez da estrutura pode ser obtida pela conceituação de seus coeficientes, 
e das relações existentes na haste submetida à carregamentos axiais. 
 
S11 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário 
também na coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. 
 
 
 
S21 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na 
coordenada 1, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. 
 
 
 
 
 
{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}uSA
u
u
SS
SS
A
A
⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒






⋅⋅⋅⋅





====






2
1
2221
1211
2
1





 ⋅⋅⋅⋅
++++




 ⋅⋅⋅⋅
====⇒⇒⇒⇒



====
====
2
22
1
11
11
2
1
0
1
L
AE
L
AES
u
u





 ⋅⋅⋅⋅
−−−−====⇒⇒⇒⇒



====
====
2
22
21
2
1
0
1
L
AES
u
u
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 11 
 
S12 - é a força na coordenada 1 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na 
coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. 
 
 
 
S22 - é a força na coordenada 2 decorrente da imposição de um deslocamento unitário na 
coordenada 2, mantendo-se as demais coordenadas restringidas. 
 
 
 
Obtendo-se assim a matriz de rigidez da estrutura: 
 
 
 
 
 
2.3.3 Deslocamentos em função das forças 
No item 2.3.1 foram determinadas as forças (ou ações) da estrutura em estudo em 
função dos deslocamentos. De forma análoga pode-se determinar os deslocamentos em 
função das forças. Neste caso, ao invés da imposição de um deslocamento unitário com 
posterior determinação das forças equivalentes, deve-se impor uma força unitária com 
posterior determinação dos deslocamentos equivalentes. Desta forma chega-se às 
seguintes equações de equilíbrio para os nós da estrutura: 
 
 (2.15) 
 
 (2.16) 
 





 ⋅⋅⋅⋅
−−−−====⇒⇒⇒⇒



====
====
2
22
12
2
1
1
0
L
AES
u
u





 ⋅⋅⋅⋅
====⇒⇒⇒⇒



====
====
2
22
22
2
1
1
0
L
AES
u
u
[[[[ ]]]]












⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−




 ⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
S
2121111 ACACu ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
2221212 ACACu ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 12Unindo as equações (2.15) e (2.16), pode-se, matricialmente escrever: 
 
 
 (2.17) 
 
onde: 
 {A} é o vetor das ações externas (solicitações); 
 {u} é o vetor dos deslocamentos nos GL’s 1 e 2; 
 [C] é a matriz de flexibilidade da estrutura em estudo, de dimensões (2x2), 
correspondente ao número de coordenadas utilizadas. 
 
2.3.4 Obtenção da matriz de flexibilidade da estrutura 
A matriz de flexibilidade da estrutura pode ser obtida de forma análoga ao apresentado 
no item 2.3.2, ou seja, pela conceituação de seus coeficientes, ou pela inversão da matriz de 
rigidez, já encontrada. 
Invertendo-se a matriz de rigidez (S), obtém-se a matriz de flexibilidade da estrutura: 
 
 
 
 
 
Muitas vezes é mais fácil determinar inicialmente a matriz de flexibilidade para em 
seguida, através da inversão desta, obter a matriz de rigidez, caso por exemplo da 
determinação da matriz de rigidez de uma barra com inércia variável. 
 
 
{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}ACu
A
A
CC
CC
u
u
⋅⋅⋅⋅====⇒⇒⇒⇒






⋅⋅⋅⋅





====






2
1
2221
1211
2
1
[[[[ ]]]]


















⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====
22
2
11
1
11
1
11
1
11
1
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
C
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Professor: Jackson Antonio Carelli 13 
 
2.3.5 Obtenção da matriz de rigidez mediante discretização da estrutura 
A mesma matriz de rigidez já encontrada para a estrutura em questão poderia também 
ser obtida mediante analise de cada uma das barras isoladamente, conforme seque. 
⇒ Análise da primeira barra 
 
 
 
 
Como a primeira barra apresenta apenas um grau de liberdade coincidente com os graus 
de liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 1 x 1: 
 
 
 
⇒ Análise da segunda barra 
 u1 = 1 ; u2 = 0 
 
 
 
 
 
u1 = 0 ; u2 = 1 
E1A1L1 
S11 
u1=1 
1
11
11
11
111
1 1
L
AES
AE
LS
u
⋅⋅⋅⋅
====
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====





 ⋅⋅⋅⋅
====
1
11
1 L
AES
E2A2L2 
S11 
u1=1 
S21 
2
22
11
22
211
1 1
L
AES
AE
LS
u
⋅⋅⋅⋅
====
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
2
22
21
2111 0
0
L
AES
SS
xSii
⋅⋅⋅⋅
−−−−====
====++++
====ΣΣΣΣ
S12 
E2A2L2 
u2=1 
S22 
2
22
22
22
222
2 1
L
AES
AE
LS
u
⋅⋅⋅⋅
====
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
2
22
12
2212 0
0
L
AES
SS
xSii
⋅⋅⋅⋅
−−−−====
====++++
====ΣΣΣΣ
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 14 
 
Como a segunda barra apresenta dois grau de liberdade coincidentes com os graus de 
liberdade da estrutura original sua matriz de rigidez será 2 x 2: 
 
 
 
 
 
Somando-se as matrizes de rigidez da primeira e da segunda barras tem-se: 
 
 
Ou seja, chega-se ao mesmo resultado. 
Para este exemplo simples talvez a primeira forma para determinação da matriz de 
rigidez seja mais simples, porém, para estruturas com grande número de graus de liberdade a 
segunda maneira (dividir a estrutura em elementos simples) é, sem dúvida, a melhor opção. 
 
2.4 Obtenção da matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano 
Um elemento de pórtico plano é na verdade uma barra que possui um nó em cada uma 
de suas extremidades. Cada um dos nós de um elemento de pórtico plano apresenta três graus 
de liberdade, uma translação vertical, uma translação horizontal e uma rotação. A matriz de 
rigidez do elemento será referenciada à um sistema de coordenadas locais, onde o eixo “XL” 
coincide com o eixo do elemento, o eixo “YL” é perpendicular à “XL” e o eixo “ZL” é 
perpendicular ao plano formado por “XL” e “YL”. 
 
 












⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
====
2
22
2
22
2
22
2
22
2
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
S












⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−




 ⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====












⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++







 ⋅⋅⋅⋅
====++++
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
2
22
2
22
2
22
2
22
1
11
21
00
0
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
L
AE
SS
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema local é definido pela incidência do elemento: eiso “XL” de J para K. 
Vetor de deslocamentos no sistema local: [uL](6x1) 
Ações devido aos deslocamento nodais: [AL] = [SL].[uL] 
 
2.4.1 Cálculo dos coeficientes da matriz de rigidez 
Seja o elemento restringido abaixo. Inicialmente vamos determinar as equações que 
regem os deslocamentos em uma das extremidades do elemento. Para tanto deve-se considerar 
a extremidade em questão não restringida e a partir daí, com auxílio do método da carga 
unitária serão definidas as equações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liberando os deslocamentos do nó J, 
XL 
YL 
ZL 
(i)
 
uL1 
uL4 
uL2 
uL5 
uL3 
uL6 
J
 
K
 
Elemento (i) 
nó inicial – J 
nó final – K 
uL1 
uL4 
E-A-I
 
uL5 uL2 
uL6 uL3 
L
 
J
 
K
 
uL1 
uL4 
E-A-I
 
uL5 uL2 
uL6 uL3 
L
 
K
 
J
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 16 
 
cujos graus de liberdade são “uL1, uL2, e uL3”, tem-se: 
 
 
 
 
Aplicando-se cargas unitárias nas direções agora liberadas tem-se os seguintes 
diagramas de momentos fletores (DMF’s) e diagramas de esforços normais (DEN’s): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando-se os diagramas obtém-se: 
 
 
Como não existe carregamento externo na estrutura, os termos δ10, δ20 e δ30 são nulos, 
ficando o sistema da seguinte forma: 
F1=1 
DMF (1) 
nulo F1=1 DEN (1) 
1 
- 
DMF (2) nulo 
DEN (2) 
L F2=1 F2=1 
+ 
1 
F3=1 
DMF (3) 
nulo 
DEN (2) 
L 
- 
F3=1 
000
000
110
3113
2112
11
====
⋅⋅⋅⋅
++++========
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
========
⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====
AE
AEIE
AE
L
AE
L
IE
δδδδδδδδ
δδδδδδδδ
δδδδ
IE
L
IE
L
IE
L
IE
LL
IE
L
IE
LLL
⋅⋅⋅⋅
====++++
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−====++++
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
========
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====++++
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
====
011
2
0
2
1
3
0
3
33
2
3223
3
22
δδδδ
δδδδδδδδ
δδδδ
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 17Lembrando que um coeficiente de rigidez é na verdade uma força que aplicada na 
direção de um grau de liberdade causa uma deformação unitária nesta direção, mantidas todas 
as demais fixas. Assim, basta impor uma deformação unitária em cada uma das equações 
acima mantendo as outras duas nulas e serão obtidos alguns dos coeficientes de rigidez de 
rigidez do elemento (a condição de deformações nulas nas direções uL4, uL5 e uL6 é assegurada 
pelo engaste). 
Impondo uL1 = 1; uL2 = 0 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = EA/L; S2 = 0; S3 = 0 
Estes coeficientes são devidos à imposição de um deslocamento unitário na direção uL1, 
portanto pode-se escrever em lugar de S1, S11, em lugar de S2, S21 e em lugar de S3, S31. 
Impondo uL1 = 0; uL2 = 1 e uL3 = 0; obtém-se: S1 = 0; S2 = 12EI/L3; S3 = 6EI/L2 
Ou, de forma análoga, S12 = 0; S22 = 12EI/L3; S32 = 6EI/L2, pois estes coeficientes 
são devidos à um deslocamento unitário na direção uL2. 









====⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
====⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅









====⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅++++
====⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++++⋅⋅⋅⋅++++
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
++++





====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅++++
332
2
1
23
2
2
3
1
1321
332
2
1
23
2
2
3
1
1321
333323213130
232322212120
131321211110
2
0
23
0
00
2
00
23
00
000
L
L
L
L
L
L
L
L
L
uS
IE
LS
IE
LS
uS
IE
LS
IE
LS
uSSS
AE
L
uS
IE
LS
IE
LS
uS
IE
LS
IE
LS
uSSS
AE
L
uSSS
uSSS
uSSS
δδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
δδδδδδδδδδδδδδδδ
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 18 
 
Impondo uL1 = 0; uL2 = 0 e uL3 = 1; obtém-se: S1 = 0; S2 = 6EI/L2; S3 = 4EI/L 
Ou: S13 = 0; S23 = 6EI/L2; S33 = 4EI/L 
Assim ficam determinados todos os coeficientes chamados SJJ, ou seja, os coeficientes 
que surgem no nó “J” (esforços) devido à imposição de deformações unitárias neste mesmo 
nó. 
Resta agora determinar os coeficientes que surgem no nó “K” devido à imposição de 
deformações unitárias no nó “J”, ou SKJ, os coeficientes que surgem no nó “K” devido à 
imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SKK, e os coeficientes que surgem no nó 
“J” devido à imposição de deformações unitárias no nó “K”, ou SJK. 
Antes porém, alguns comentários são importantes. Analisando os coeficientes já 
determinados pode-se observar que os efeitos causados por deformações axiais interferem nos 
efeitos causados por deformações de flexão, e vice-versa, ou seja, as deformações axiais e de 
flexão são independentes, desde que sejam verificados pequenos deslocamentos na estrutura 
(caso contrário a estrutura apresentará efeitos de segunda ordem, não contemplados no estudo 
desta disciplina). 
Outra observação que se faz é com relação à simetria dos coeficientes, S23 = S32. Esta é 
uma característica das matrizes de rigidez (e de flexibilidade também) em geral, elas são 
simétricas, portanto pode-se dizer que SJK = SKJ. 
Com estas observações pode-se prosseguir na determinação dos demais coeficientes de 
rigidez, da seguinte maneira: inicialmente, por equilíbrio do elemento serão determinados os 
coeficientes SJK, na seqüência, por simetria serão determinados os coeficientes SKJ e por fim, 
novamente por equilíbrio serão determinados os coeficientes SKK. 
 
 
 
 
 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 19 
 
 
 
Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKJ à partir de SJJ: (mais 09 coeficientes): 
 
 
SL41 = - SL11 
SL42 = 0 
SL43 = 0 
SL51 = 0 
SL52 = - SL22 
SL53 = - SL23 
SL61 = 0 
SL62 = - SL32 + SL22.L 
SL63 = - SL33 + SL23.L 
SL5J SL6J SL4J 
E-A-I
 
SL32 
SL12 
uL2=1 
SL42 
SL52 SL22 
SL62 
K
 
J
 
L
 
SL65 
SL35 
SL15 K 
J
 
L
 
E-A-I
 
SL55 SL25 
uL5=1 
SL45 
SL13 SL43 
E-A-I
 
SL53 SL23 
SL63 SL33 
L
 
K
 
J
 
uL3=1 SL16 SL46 
E-A-I
 
SL56 SL26 
SL66 SL36 
L
 K
 
J
 
uL6=1 
SL64 SL34 
SL14 
uL4=1 
SL44 
E-A-I
 
SL54 SL24 
L
 
K
 
J
 
SL11 
uL1=1 
SL41 
E-A-I
 
SL51 SL21 
SL61 SL31 
L
 
K
 
J
 
uL1 = 1 uL4 = 1 
uL2 = 1 uL5 = 1 
uL3 = 1 uL6 = 1 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 20 
 
Por simetria encontram-se os coeficientes SJK = SKJ: (mais 09 coeficientes): 
 
Por equilíbrio encontram-se os coeficientes SKK à partir de SJK: (mais 09 coeficientes): 
 
Assim, fica determinada a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para este elemento pode-se agora definir uma correlação entre ações (forças) e 
deslocamentos: 
 
SL14 = SL41 
SL15 = SL51 
SL16 = SL61 
SL24 = SL42 
SL25 = SL52 
SL26 = SL62 
SL34 = SL43 
SL35 = SL53 
SL36 = SL63 
SL2K SL3K SL1K 
SL44 = - SL14 
SL45 = 0 
SL46 = 0 
SL54 = 0 
SL55 = - SL25 
SL56 = - SL26 
SL64 = 0 
SL65 = - SL35 + SL25.L 
SL66 = - SL36 + SL26.L 
SL5K SL6K SL4K 
[[[[ ]]]]

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
















−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
S
460260
61206120
0000
260460
61206120
0000
22
2323
22
2323
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 21 
 
 (2.18) 
 
Apesar de deduzido para o sistema de coordenadas locais, esta expressão é geral, 
portanto válida também para o sistema de coordenadas globais assim como para outros 
elementos. 
Com o mesmo procedimento adotado, ou então calculando inicialmente a matriz de 
flexibilidade e posteriormente invertendo-a pode-se determinar as matrizes de rigidez de 
outros elementos estruturais, como o de uma viga, o de uma treliça, entre outros, como pode 
ser observado na Tabela 2.1 
 
Tabela 2.1 – Matrizes de rigidez elementares 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRELIÇA 
VIGA 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]uSA ⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 22 
 
3 MÉTODO DA RIGIDEZ 
 
3.1 Matriz de rotação de um elemento de pórtico plano 
Até agora os tópicos vistos limitaram-se ao sistema de coordenadas locais. Entretanto, 
nas estruturas em geral os elementos constituintes não possuem uma mesma inclinação (vigas 
e pilares, por exemplo) o que faz com que o sistema local de um não coincida com o sistema 
local de outro, sendoentão necessário rescrever as matrizes de rigidez dos elementos em 
função de um único sistema de coordenadas, o global. Isto será feito com auxílio de uma 
matriz chamada matriz de rotação, que será deduzida a seguir, para um elemento de pórtico 
plano. 
Seja, portanto, um elemento de pórtico plano, cujos nós tem, conforme já citado, três 
graus de liberdade, representado abaixo: 
 
Onde θ é o ângulo do eixo global para o eixo local, positivo no sentido anti-horário; 
[uL] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema local e 
[uG] é o vetor de deslocamentos nodais do elemento no sistema global. 
 
Decompondo [uG] na direção [uL], tem-se: 
 
XG 
YG 
uG1 
uG2 
uG3 
J
 
uG4 
uG5 
uG6 
K
 
Sistema Local Sistema Global 
uL4 
uL5 
uL6 
K
 
 
YL 
uL1 
uL2 
uL3 
J
 
θθθθ(+) 
XL 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 23 
 
 
Estas equações pode ser escritas de forma matricial conforme segue: 
 
 
ou, 
 (3.1) 
 
onde [R] é a matriz de rotação do elemento do sistema global para o local. 
À partir de (3.1) é possível escrever: 
 
 
como [R] é uma matriz ortogonal: 
 
 
logo, 
 (3.2) 
 
G3L3
G2G1L2
G2G1L1
u = u
cosusenu- = u
sucosu = u
:J nó o Para
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ en
G6L6
G5G4L5
G5G4L4
u = u
cosusenu- = u
sucosu = u
:K nó o Para
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ en



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









⋅⋅⋅⋅



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












−−−−
−−−−
====


















G6
G5
G4
G3
G2
G1
L6
L5
L4
L3
L2
L1
u
u
u
u
u
u
100000
0cos000
0cos000
000100
0000cos
0000cos
u
u
u
u
u
u
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
sen
sen
sen
sen
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRu ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]L1-G uRu ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]T1- RR ====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LTG uRu ⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 24 
 
O mesmo resutado obtido com a utilização da matriz de rotação inversa ou transposta 
poderá ser obtido com a simples utilização da matriz de rotação, desde que se considere o 
ângulo com sinal negativo (- θθθθ) 
 
3.2 Matriz de rigidez de um elemento no sistema global - SG 
À partir da expressão dada em (2.18) que informa as ações nas extremidades do 
elemento devido aos deslocamentos nodais, apenas (supondo o elemento sem carga), pode-se 
dizer que: 
 
 (3.3) 
e 
 (3.4) 
 
Assim como os deslocamentos globais e locais, as ações locais e globais também 
correlacionam-se pela matriz de rotação [R] pelas seguintes expressões: 
 
 (3.5) 
 
 (3.6) 
 
Substituindo (3.1) em (3.3) tem-se: 
 
 (3.7) 
 
Pré-multiplicando (3.7) por [RT], tem-se: 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLL uSA ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GGG uSA ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL ARA ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LTG ARA ⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRSA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 25 
 
 
 (3.8) 
como, 
 
 
 
 (3.9) 
 
Substituindo (3.4) em (3.9) tem-se: 
 
 (3.10) 
 
Simplificando a expressão (3.10) resulta: 
 
 (3.11) 
 
3.3 Vetor de ações nodais equivalentes 
Até o presente momento estudou-se a correlação entre deslocamentos nodais e ações 
aplicadas nos nós de um elemento estrutural. Esta correlação é expressa no sistema local, 
conforme já citado, da seguinte forma: 
 
 
Ou seja, conhecidos os deslocamentos dos nós é possível determinar as ações atuantes 
nestes nós e vice-versa. 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GTLT uRSRAR L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GLT AAR ====⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GTG uRSRA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GTGG uRSRuS L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]RSRS LTG ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LL uSA L ⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 26 
 
No entanto, toda a dedução até aqui apresentada não levou em consideração a existência 
de carregamentos (distribuídos ou concentrados) aplicados ao longo dos elementos. Nestes 
casos será necessário calcular as chamadas ações nodais equivalentes e aplicar o princípio da 
superposição dos efeitos. 
Seja por exemplo o elemento de viga mostrado na Figura 3.1. Nesta figura estão 
indicadas as ações (ou reações) de engastamento perfeito do elemento submetido à um 
carregamento uniformemente distribuído. Estas ações de engastamento perfeito atuam nas 
extremidades do elemento e compõem, juntamente com a parcela de esfoços devidos aos 
deslocamentos nodais, as ações totais na extremidade do elemento, conforme indica a equação 
(3.12), onde [ALEP] é o vetor de Ações Locais Engastamento Perfeito. 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Ações locais de engastamento perfeito - ALEP (elemento de viga) 
 
 (3.12) 
onde: 
[AL] - é o vetor de Ações Locais aplicadas diretamente nos nós; 
[ALEP] - é o vetor de Ações Locais de Engastamento Perfeito nas extremidades 
do elemento; 
[SL]. [uL] - é o vetor de Ações Locais devido aos deslocamentos nodais nas 
extremidades do elemento. 
 
A igualdade entre os dois membros indica o equilíbrio entre forças aplicadas nos nós e 
forças aplicadas nas extremidades dos elementos. 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLLEP uSAAL ⋅⋅⋅⋅++++====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 27 
 
Como no processo de resolução de uma estrutura [AL] e [ALEP] são valores conhecidos 
e [uL] é a incógnita, é interessante deixar os termos conhecidos no mesmo lados da equação, 
que resulta: 
 
 (3.13) 
 
Ou seja, passando [ALEP] para o outro lado da equação, obtém-se -[ALEP], que 
corresponde a passar as ações das extremidades do elemento para os nós do elemento, 
obtendo assim as ações nodais equivalentes, conforme mostra a Figura 3.2 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Ações nodais equivalentes – (-ALEP) 
 
Entretanto, a equação de equilíbrio dos nós não é feita no sistema local, e sim no global, 
ou seja, deve-se transformar o vetor ações de engastamento perfeito. Esta transformação nada 
mais é do que uma rotação do elemento do sistema local para o global, realizada com o 
auxílio da matriz de rotação transposta [RT], definida no item 3.1 para elemento de pórtico 
plano. 
 
 (3.14) 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LLLEP uSAAL ⋅⋅⋅⋅====−−−−
Ações nos 
nós: 
(-ALEP) 
Ações nos 
nós: 
(-ALEP) 
Ações nas extremidades 
do elemento: 
(ALEP) 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LEPGEPARA T ⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 28 
 
O vetor de ações de engastamento perfeito da estrutura [A*EP] deve ser montado 
considerando a influência de todos os elementos constituintes, ou seja: 
 
 (3.15) 
 
onde, “nelm” corresponde ao número de elementos da estrutura. 
 
3.4 Sistema de equações de equilíbrio para estrutura não-restritingida (sem apoios) 
O sistema de equações de equilíbrio de uma estrutura pode ser escrito como na equação 
(3.12), porém agora não mais no sistema local, mas sim de uma forma geral: 
 
 (3.16) 
onde: 
[A] - é o vetor de ações aplicadas nos nós; 
[AEP] - é o vetor de ações engastamento perfeito nas extremidades dos 
elementos; 
[S] - é a matriz de rigidez da estrutura; 
[D] - é o vetor de deslocamentos nodais da estrutura; 
[S]. [D] - é o vetor de ações devido aos deslocamentos nodais. 
 
A equação (3.16) pode ser rescrita para a estrutura não restringida (sem apoios): 
 
 (3.17) 
 
Estes sistemas de equações devem ser considerados no sistema global em relação aos 
GL dos nós da estrutura, que devem ser numerados seqüencialmente. 
[[[[ ]]]] ∑∑∑∑
====




====
nelm
1i
(i)*
EP GEP
AA
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]DSAA EP ⋅⋅⋅⋅++++====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]**** DSAA
EP
⋅⋅⋅⋅++++



====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 29 
 
A montagem da matriz de rigidez da estrutura deve levar em consideração a influência 
da matriz de rigidez de todos os elementos no sistema global. A relação entre os GL dos 
elementos e os GL da estrutura será feita através da Regra da Correspondência. 
 
3.5 Montagem da matriz de rigidez da estrutura 
A matriz de rigidez de uma estrutura é montada a partir das matrizes de rigidez no 
sistema global dos elementos que compõem esta estrutura: 
 
 (3.18) 
 
onde: “nelm” é o número de elementos da estrutura. 
 
Exemplo: pórtico plano com 04 elementos e 05 nós, portanto, com um total de 15 graus 
de liberdade, ou seja, uma matriz de rigidez de15 x 15. 
Figura 3.3 – Exemplo de montagem de matriz de rigidez (pórtico plano) 
 
No nó 5 por exemplo, concorrem três elementos, (2), (3) e (4). Destes, o elemento (4) 
apresenta sistema local coincidindo com global, os demais necessitam de uma transformação 
do vetor de deslocamentos do sistema local para o sistema global. 
A direção do GL 15 da estrutura (D15, que é o terceiro grau de liberdade do nó 5), 
correspondem as direções: 
- 6 do elemento (2); - 3 do elemento (3); - 6 do elemento (4). 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]∑∑∑∑∑∑∑∑
========
⋅⋅⋅⋅




⋅⋅⋅⋅




====




====
nelm
1i
(i)(i)T(i)nelm
1i
(i)* RSRSS
LG
1 2 3
4 5
1
4
2 3
D2 D1
D3
D5
D6
D4
D14 D13
D15
D11
D12
D10
D8 D7
D9
Z
X
Y
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 30 
 
 
A direção do GL 13 da estrutura (D13, que é o primeiro grau de liberdade do nó 5), 
correspondem as direções: 
- 4 do elemento (2); - 1 do elemento (3); - 4 do elemento (4). 
 
Ou seja, o coeficiente S*15,13 da estrutura corresponde à soma das parcelas SG6,4 do 
elemento (2), SG3,1 do elemento (3) e SG6,4 do elemento (4), ou seja: 
 
 
 
3.5.1 Regra da correspondência 
A regra da correspondência correlaciona a numeração dos deslocamentos das 
extremidades dos elementos ( [uG] ), com a numeração dos deslocamentos nodais da estrutura 
( [D] ). Em cada elemento (i) os deslocamentos são numerados de 1 ate 2 vezes o número de 
graus de liberdade de um nó. Por exemplo, cada nó de um elemento de pórtico plano possui 
três graus de liberdade, portanto os deslocamentos são numerados de 1 até 2 x 3, ou seja de 1 
até 6. 
Nesta disciplina o número de graus de liberdade de um nó será designado por “NGL”, 
logo, cada elemento (i) terá seus deslocamentos numerados de 1 até 2 x NGL, sendo que os 
deslocamentos do nó inicial “J” serão numerados de 1 até NGL e os do nó final “K” serão 
numerados de NGL + 1 até 2 x NGL. Portanto, para um elemento de pórtico plano os 
deslocamentos do nó “J” serão numerados de 1 até 3 e os do nó “K” serão numerados de 
4 até 6. 
Na estrutura, os deslocamentos são numerados na ordem dos nós sendo que, em cada nó 
há “NGL” deslocamentos em ordem determinada pelos eixos do sistema global. 
Assim, no nó 1 do exemplo da Figura 3.3 (pórtico plano - NGL = 3) os deslocamentos 
serão uG1, uG2 e uG3, no nó 2, serão uG4, uG5 e uG6, e assim por diante. No nó 5, portanto, os 
deslocamentos serão uG13, uG14 e uG15, conforme pode ser observado na Figura 3.3. 
Exemplo – regra da correspondência: pórtico plano 
(4)
G
(3)
G
(2)
G
*
15,13 643164
SSSS ++++++++====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 31 
 
 
Figura 3.4 – Exemplo regra da correspondência (pórtico plano) 
 
Tomando-se como exemplo o elemento 3 que liga o nó J=5 ao nó K=3, tem-se: 
 
Tabela 3.1 – correspondência entre sistemas para elemento 3 
GL da estrutura ( [D*] ) GL do elemento (i) ( [uG] ) (ligando J(i) a K(i)) 
3J(i) – 2 = 13 1 
3J(i) – 1 = 14 2 
3J(i) = 15 3 
3K(i) – 2 = 7 4 
3K(i) – 1 = 8 5 
3K(i) = 9 6 
 
Por esta correlação pode-se dizer por exemplo que o coeficiente uG2,6 do elemento 
corresponde ao coeficiente S*14,9 da estrutura, assim como que o coeficiente uG3,1 do elemento 
corresponde ao coeficiente S*15,13 da estrutura, conforme já se havia citado no item 3.5. 
Desta forma é possível fazer uso de um vetor que faça a correspondência entre os graus 
de liberdade do elemento e da estrutura. Este vetor será chamado de JK e, como já indicado na 
Tabela 3.1, é dado por: 
 
 
 
1
1
4
X
2
2
4
5
3
3
D11
D12
D10 D14
D15
D13
D5
D6
D4 D7D8
D9
D2
D3
D1 X
Z
Y
uG3
uG2
J uG1
K
3
uG4
uG6
uG5
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para montagem da matriz de rigidez de um pórtico plano, pode-se, como sugestão, 
adotar o algoritmo apresentado à seguir: 
 
 
 
 
[[[[ ]]]]
(i)
(i),6
(i)
(i),5
(i)
(i),4
(i)
(i),3
(i)
(i),2
(i)
(i),1
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
K3JK
1K3JK
2K3JK
J3JK
1J3JK
2J3JK
K3
1K3
2K3
J3
1J3
2J3
JK
⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅====
⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅====
−−−−⋅⋅⋅⋅====
⇒⇒⇒⇒
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









⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
====
DE I=1 ATÉ NGL FAZER 
DE J=1 ATÉ NGL FAZER 
S* (I,J) = 0 
FIM 
DE I=1 ATÉ NELM FAZER 
 MONTAR MATRIZ DE ROTAÇÃO DO ELEMENTO ([R]) 
 MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ LOCAL DO ELEMENTO ([SL]) 
 MONTAR MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DO ELEMENTO ([SG]) 
 MONTAR VETOR “JK” DO ELEMENTO ([JK]) 
 DE M=1 ATÉ 6 FAZER 
 DE N=1 ATÉ 6 FAZER 
S* (JK(I,M),JK(I,N) =S* (JK(I,M),JK(I,N) + SG (M,N) 
FIM 
Inicialmente deve-se 
varrer a estrutura 
zerando a matriz de 
rigidez 
Um elemento S*(I,J) é igual a ele mesmo mais a parcela SG 
correspondente ao elemento em análise. Isto ocorre porque mais de 
um elemento pode contribuir para o termo S*(I,J), 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 33 
 
Exemplo regra da correspondência: viga contínua – NGL = 2 
 
3.6 Montagem do vetor de ações da estrutura 
O vetor de ações da estrutura é constituído pela soma de dois outros vetores, [A*] (ações 
aplicadas diretamente nos nós) e -[A*EP] (ações provenientes de cargas aplicadas nos 
elementos - ações nodais equivalentes). 
O vetor [A*] que está no sistema global está relacionado aos nós da estrutura não 
estando vinculado a nenhum elemento específico, já o vetor -[A*EP] é obtido levando-se em 
conta a contribuição de todos os elementos, somando-se os coeficientes [AGEP] dos elementos 
que concorrem em um mesmo nó, correspondentes ao mesmo GL deste nó. 
A montagem do vetor -[A*EP] pode ser realizada de forma similar ao apresentado para 
montagem da matriz de rigidez (item 3.5), ou seja, com auxílio da regra da correspondência, 
através dos vetores JK dos elementos. Assim, para um certo GL “L” do elemento, tem-se que 
AGEP(L) vai contribuir para [A*EP(JK(L))]. 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 34 
 
Exemplo: pórtico plano 
Considerando o elemento 3 do exemplo do item 3.5.1, agora com carregamento 
aplicado no elemento, de acordo com a Figura 3.5. 
Figura 3.5 – Exemplo montagem vetor de ações da estrutura 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Supondo o ângulo θ = 315º teríamos como [A(3)GEP]: 
 
3
J = 5
K = 3
θ
XG
XL
L
qL2/12
q
qL2/12
ql/2
qL/2
3
[ALEP]
AGEP1
AGEP2
AGEP3
AGEP4AGEP5
AGEP6
[AGEP]
3
[[[[ ]]]]
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




⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
12Lq-
2Lq
0
12Lq
2Lq
0
A
2
2
(3)
LEP
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]
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

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




⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
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









−−−−
−−−−
========
12Lq-
2Lq
0
12Lq
2Lq
0
100000
0cos000
0cos000
000100
0000cos
0000cos
ARA
2
2
(3)
LEP
T(3)
GEP
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
θθθθθθθθ
sen
sen
sen
sen
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 35 
 
 
De acordo com o item 3.5.1 o vetor JK deste elemento seria (J = 5; K = 3): 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, o coeficiente A(3)GEP1 irá contribuir para o coeficiente A*EP13 assim como 
A(3)GEP2 contribuirá para A*EP14, A(3)GEP3 contribuirá para A*EP15, A(3)GEP4 contribuirá para 
A*EP7, A(3)GEP5 contribuirá para A*EP8 e A(3)GEP6 contribuirá para A*EP9. 
Não se pode esquecer que um coeficiente do vetor [A*EP] deve contemplar os 
coeficientes A(i)GEP de todos os elementos que concorrem naquele nó e naquele grau de 
liberdade (cumulatividade). 
 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]][[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
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
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
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
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
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
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⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
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

−−−−
−−−−
========
6
5
4
3
2
1
12Lq-
2Lq0,707
2Lq0,707
12Lq
2Lq0,707
2Lq0,707
A
12Lq-
2Lq
0
12Lq
2Lq
0
100000
0707,0707,0000
0707,0707,0000
000100
0000707,0707,0
0000707,0707,0
ARA
2
2
(3)
GEP
2
2
(3)
LEP
T(3)
GEP
[[[[ ]]]]
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




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


====
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




⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
====
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








⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−⋅⋅⋅⋅
====
6
5
4
3
2
1
9
8
7
15
14
13
33
133
233
53
153
253
K3
1K3
2K3
J3
1J3
2J3
JK
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
(3)
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 36 
 
3.7 Sistema de equações de equilíbrio para a estrutura restringida 
3.7.1 Técnica da reordenação 
Consiste em renumerar todas as direções de deslocamentos nodais, começando pelas 
direções livres e deixando para o final as direções restringidas. 
Para utilização desta técnica será necessário estabelecer um índice para direções 
restringidas e livres, que será: 
direção livre – índice ( 1 ) 
direção restringida – índice ( 0 ) 
 
Será necessário ainda estabelecer para todo sistema o número de direções livres, 
chamado NDL, e para cada direção em estudo um Índice de Restrição Acumulado, aqui 
chamado IRA. O IRA de uma dada direção é o seu índice de restrição (0 ou 1) somado aos 
índices de restrição das direções anteriores. 
Assim, as novas direções são: 
Direção Nova Livre = Direção Antiga Livre – IRA 
Direção Nova Restringida = NDL + IRA 
 
Exemplo: pórtico plano (mesmo exemplo do item 3.5, agora porém, com apoios) 
 
NDL = 7 
D2 D5
D1
D3 D6
D4
D8 D9
D9
D7 D8
D10
D11 D10
D12
D14 D13
D15
D14D12
D11
D15
D13
D1
D2D3
D4
D5D6
D7
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 37 
 
 
A partir deste momento, as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura, [S*], 
devem ser trocadas, deixando as direções livres no início e as restringidas no final. As novas 
direções deverão ser armazenadas em um vetor que as correlacione com as antigas. Como 
sugestão este novo vetor poderia chamar-se ND. 
Neste ponto torna-se importante salientar que a numeração dos GL’s da estrutura foi 
alterada, o que torna necessária a alteração dos vetores JK dos elementos, adequando-os à 
nova numeração, pois estes vetores serão utilizados no futuro para determinação dos esforços 
nas extremidades dos elementos. 
Após isso, o sistema de equações (3.17) pode ser rescrito da seguinte forma: 
 
 
(3.19) 
 
ou então: 
 
(3.20) 
 
onde: 
Direção Antiga Índice de Restrição IRA Direção Nova
1 1 1 7 + 1 = 8
2 1 2 7 + 2 = 9
3 1 3 7 + 3 = 10
4 1 4 7 + 4 = 11
5 1 5 7 + 5 = 12
6 0 56 - 5 = 1
7 1 6 7 + 6 = 13
8 1 7 7 + 7 = 14
9 1 8 7 + 8 = 15
10 0 8 10 - 8 = 2
11 0 8 11 - 8 = 3
12 0 8 12 - 8 = 4
13 0 8 13 - 8 = 5
14 0 8 14 - 8 = 6
15 0 8 15 - 8 = 7
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
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
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
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====
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
⋅⋅⋅⋅
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



REP,
DEP,
R
D
R
D
RRRD
DRDD
A
A
A
A
D
D
SS
SS
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
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

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
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




REP,
EP
RRRRD
DR
A
A
Re
A
D
D
SS
SS
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 38 
 
[SDD] ou [S] é a matriz de rigidez da estrutura restringida, com apoios; 
[SDR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos 
dos nós restringidos sobre as ações nos nós deslocáveis ou livres; 
[SRD] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos 
dos nós livres sobre as reações nos nós restringidos; 
[SRR] é a sub-matriz de [S*] que contém os coeficientes de influência dos deslocamentos 
dos nós restringidos sobre as reações nos nós restringidos. 
 
Nos casos práticos mais comuns, ou seja, sem deslocamentos de apoios, com [DR] = 0, 
o sistema de equações (3.20) pode ser simplificado e escrito de explicitamente da seguinte 
forma: 
 
 (3.21) 
 (3.22) 
 
Resolvendo o sistema de equações (3.21) obtém-se os deslocamentos nodais: 
 
 (3.23) 
 
e, a partir destes, obtém-se as reações de apoio: 
 
 (3.24) 
 
 
 
 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

−−−−====⋅⋅⋅⋅
−−−−====⋅⋅⋅⋅
REP,RD
EP
AReDS
AADS
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]](((( ))))EP1- AASD −−−−⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]REP,RD ADSRe ++++⋅⋅⋅⋅====
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 39 
 
3.8 Cálculo dos esforços nas extremidades dos elementos 
Estando resolvida a equação (3.23), ou seja, sendo determinados os deslocamentos 
globais da estrutura, podem então ser determinados os deslocamentos nodais no sistema 
global de cada um dos elementos, portanto “uG”. Para tanto, deve-se utilizar o vetor JK que 
correlaciona os deslocamento nodais da estrutura com os deslocamentos nodais (no sistema 
global) dos elementos. Antes porém, é necessário que se faça uma alteração dos vetores JK, 
adequando-os às novas direções da estrutura, que foram modificadas no momento da 
reordenação. Isto pode ser feito com auxílio do vetor ND que correlaciona as novas direções 
(após a reordenação) com as antigas (após a reordenação). 
Seja por exemplo o elemento 3 do pórtico da Figura 3.3, cujo vetor JK dado na Tabela 
3.1 é composto pelos seguintes coeficientes: 
 
JK3 = [13, 14, 15, 7, 8, 9] 
 
O vetor ND da estrutura (obtido após reordenação) é dado pelos seguintes coeficientes: 
 
ND = [8, 9, 10, 11, 12, 1, 13, 14, 15, 2, 3, 4, 5, 6, 7] 
 
ou seja, o GL 13 da estrutura tornou-se, após a reordenação, o GL 5, o GL 14 tornou-se 6 e os 
GL’s 15, 7, 8 e 9 tornaram-se respectivamente 7, 13, 14 e 15, portanto, o novo vetor JK do 
elemento 3 será composto pelos seguintes elementos: 
 
JK3 = [5, 6, 7, 13, 14, 15] 
 
Assim, o vetor de deslocamento globais do elemento 3 será constituído pelos 
deslocamentos D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15 da estrutura, ou seja: 
 
uG
3
 = [D5, D6, D7 ,D13, D14 e D15] 
Análise Matricial de Estruturas 
Professor: Jackson Antonio Carelli 40 
 
 
pois o deslocamento de um nó da estrutura em uma dada direção é igual aos deslocamentos 
globais de todos elementos neste mesma direção. 
 
Computacionalmente, a determinação do vetor uG de um determinado elemento pode 
ser feita variando-se os graus de liberdade do elemento, L, de 1 a 2NGL e efetuando-se à cada 
variação o seguinte cálculo: 
 
uG(L) = D (JK(L)) 
 
Obtido o vetor uG do elemento, pode-se agora obter os esforços totais em suas 
extremidades no sistema local, AL. Para tanto, deve-se utilizar a equação (3.7) com a devida 
adição das ações locais de engastamento perfeito, ou seja: 
 
 
(equação (3.7)) 
 
adicionando-se a esta expressão o vetor de ações de engastamento perfeito [ALEP], tem-se: 
 
 (3.25) 
 
Para que todas as operações mencionadas e necessárias ao desenvolvimento de um 
programa sejam de realização possível, alguns vetores e algumas matrizes, como por 
exemplo, [ALEP], [SL] x [R], [JK], e outros(as), deverão ser armazenadas em memória ou em 
disco (em arquivos), sendo a segunda opção mais interessante em função da economia de 
memória. 
 
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]GL uRSA L ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]LEPGL AuRSA L ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====