Provas 3º estágio calc 3 UFCG

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Data: . . . / . . . /2009
Terceira Avaliac¸a˜o
1. (1.5) Encontre o momento de ine´rcia em reac¸a˜o ao eixo de uma placa fina densidade
ρ(x, y) = 3, limitada abaixo pelo eixo polar e acima pelo cardio´ide r = 1− cos(θ).
2. (2.0) integre f(x, y) = ln(x
2+y2)√
x2+y2
sobre a regia˜o 1 ≤ x2 + y2 ≤ e.
3. (2.0) Expresse, como uma integral tripla, o volume da regia˜o D limitada pelas superf´ıcies
z = x2 + 3y2 e z = 8− x2 − y2.
4. (1.5) Monte a integal iterada para calcular
∫ ∫ ∫
D
f(r, θ, z)dzrdrdθ sobre o cilindro reto
cuja base e´ a regia˜o entre as circunfereˆncias r = cos(θ) e r = 2cos(θ) e cujo topo esta no
plano z = 3− y.
5. Encontre os limites de integrac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para integral que calcula o
volume do so´lido limitado abaixo pela esfera ρ = 2cos(φ) e acima pelo cone z =
√
x2 + y2.
BOA SORTE
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Turma de Engenharia Ele´trica
Professor: Luiz Antoˆnio da Silva Medeiros
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Data: . . . / . . . /2009
Reposic¸a˜o da Terceira Avaliac¸a˜o
1. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente
∫
6
0
∫
y
0
xdxdy
2. Encontre a a´rea dentro de uma pe´tala da rosa´sea r = 12cos(3θ).
3. Encontre os limites de integrac¸a˜o para a integral que calcula o volume do tetraedro no primeiro
octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1, 0, 0), (0, 2, 0)
e (0, 0, 3).
4. Monte como uma integral tripla o volume do so´lido limitado acima pelo plano z = x, abaixo
pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro determinado pela regia˜o no plano xy dentro da
cardio´ide r = 1 + cos(θ) e fora da circunfereˆncia r = 1.
5. Encontre o volume da porc¸a˜o da esfera so´lida ρ ≤ a que esta´ entre os cones φ = pi
3
e φ = 2pi
3
.
6. Um cilindro circular reto so´lido e´ limitado pelo cilindro r = a e pelos planos z = 0 e z = h, h > 0.
Expresse como integrais triplas o centro de massa e o raio de rotac¸a˜o em relac¸a˜o ao eixo z do
so´lido se a sua densidade em cada ponto varia como a distancia do ponto ao plano z = −1.
BOA SORTE!!
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã
Aluno(a):___________________________ Data: 05/10/2006
Professor: Jesualdo
Período: 2006.1
Terceira Avaliação
1. Encontre o trabalho realizado pela força ~F =
1√
x2 + 1
~j
(a) ao longo do segmento de reta que liga (0, 0, 0) a (1, 1, 1).
(b) ao longo da curva ~r(t) = t~i + t2~j + t4~k, 0 ≤ t ≤ 1.
2. Encontre a área da calota cortada do hemisfério x2+y2+z2 = 2, z ≥ 0, pelo cilindro
x2 + y2 = 1.
3. Uma ’gamela’ sólida de densidade constante é limitada abaixo pela superfície z =
4y2, acima pelo plano z = 4 e dos lados pelos pelos planos x = 1 e x = −1. Encontre
o centro de massa e o momento de inércia com relação ao eixo-z.
4. Calcule
∫ ∫
R
cos
(
y − x
y + x
)
dA, onde R é a região trapezoidal com vértices (1, 0),
(2, 0), (0, 2) e (0, 1).
5. Encontre o centro de massa de um fio de densidade δ(x, y, z) = 15
√
y + 2 que está
ao longo da curva ~r(t) = (t2 − 1)~j + 2t~k, −1 ≤ t ≤ 1. Depois, esboce a curva junto
com o centro de massa.
6. Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 4, acima do
plano-xy e abaixo do cone z =
√
x2 + y2.
1
Universidade Federal de Campina Grande - UFCG / CCT / UAME
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Turno: Manhã
Aluno(a):___________________________ Data: 21/10/2006
Professor: Jesualdo
Período: 2006.1
Reposição da Terceira Avaliação
1. Um gerador de Van de Graaff pode produzir milhões de volts de eletricidade estática
e grandes centelhas. Parte do gerador consiste em uma capa metálica esférica com
um orifício circular feito na base. A carga total Q gerada é dada por Q = δA, onde
A é a área da superfície metálica e δ é a densidade de carga por área na superfície.
Suponha que a esfera pode ser representada por x2 + y2 + z2 = 1, e que o furo seja
obtido pela interseção do cilindro x2 + y2 =
1
16
com a esfera, para z < 0. Aproxime
Q se δ = 1, 2 · 10−5 Coulombs/m2 (Q é dada em Coulombs e x, y e z em metros).
2. Calcule a integral ∫ 1
0
∫ 2−y
y
e(x−y)/(x+y)dxdy.
3. A força que atua em um pomto (x, y) do plano coordenado é dada por ~F (x, y) =
(4/‖~r‖3)~r, com ~r = x~i + y~j. Ache o trabalho realizado por ~F ao longo da metade
superior do círculo x2 + y2 = a2 de (−a, 0) a (a, 0).
4. Determine o volume da menor cunha esférica de uma esfera de raio a cortada por
dois planos que se intersectam ao longo de um diâmetro com um ângulo de
π
6
.
5. Para qual valor de c o volume do elipsóide x2 +
y2
4
+
z2
c2
= 1 é igual a 8π.
1
 
 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 3ª Prova (B) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. 
∫ −+−
)3,1,2(
)0,0,0(
22 )(22 dzyxyzdyxzdx 
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (2,1,3); 
b) Achando uma função potencial para o campo kyxjyzixzzyxF
rrrr
)(22),,( 22 −+−= e aplicando a fórmula 
)0,0,0()3,1,2(),,(
)3,1,2(
)0,0,0(
)3,1,2(
)0,0,0(
ffzyxfrdF −==⋅∫
rr
. 
 
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral 
dupla. Então calcule a integral. 
S: Porção do cone 22 zyx += entre os planos 2=x e 6=x 
Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma 
região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. 
 
Área de R ∫ −=
C
ydxxdy
2
1
 
Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela astróide jtittr
rr
)cos()sen( )( 33 += , 0 ≤ t ≤ 2π. 
Questão 4: (3,0 pt) Calcule o fluxo exterior de kzjyixzyxF
rrrr
222),,( ++= através da superfície fechada S, 
fronteira da região delimitada pelo cilindro sólido 422 =+ yx e os plano 0=z e 1=z . 
a) Resolvendo a integral de superfície ∫∫ ⋅S dnF σ 
rr
; 
b) Aplicando o teorema de Gauss dVFdnF
RS
 ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
rrrr
σ . 
 
Questão 5: (3,0 pts) Considere ( ) 21222),,( −++= zyxzyxf . Conclua que a circulação do campo vetorial 
fF ∇=
r
, em volta da circunferência 422 =+ zx , no plano 0=y , orientada no sentido anti-horário quando 
observada por cima do eixo Y, é nula. 
a) Resolvendo a integral de curvilínea ∫ ⋅C rdF
rr
; 
b) Aplicando o teorema de Stokes ∫∫∫ ⋅×∇=⋅ SC dnFrdF σ 
rrrrr
. 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒Boas Provas ☺ – 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a):_____________________________________________________ Nota: ________________ 
 
3ª Prova (A) – 21 de Junho de 2010 
 
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea ∫ ⋅C drF (circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x
2 
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos ( ) ( )− 11, e 2,4 pelo gráfico de y x= 2 e voltando pelo 
gráfico de y x− = 2 , usando: 
 
a) A definição de integral curvilínea. 
b) Usando o Teorema de Green. 
c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique! 
 
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície 
 
S: parte do gráfico da esfera yzyx 2222 =++ definida para 1≤y 
Questão 3: (2,5 pts) Seja kyejeysenxixyzyxF zz
rrrr
222 2)2()cos(),,( +++= . 
 
a) Mostre que ∫ ⋅C rdF
rr
 independe do caminho (F é conservativo). 
b) Ache uma função potencial para F
r
. 
c) Se F
r
 representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F
r
 (ou 
diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos ( )21,1,0 a ( )2,3,2π . 
 
Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F
r
 através de S , onde S é a superfí-
cie da região delimitada pelo cone 22 yxz += e pelo plano 0=z e 1=z , e 
kyzzjxyyizxzyxF
rrrr
)24()2()(),,( 222 −+−++= . 
 
Questão 5 (2,0 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo 
kzjiyxzyxF
rrrr
++= 32),,( , ao redor da curva 
C: Interseção entre o cilindro 422 =+ yx e o hemisfério 0 ,16222 ≥=++ zzyx , 
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Z. 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – 
 (Boa Copa e Festas Juninas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 
 
3ª Prova (B) – 21 de Junho de 2010 
 
Questão 1: (2,5 pts) Calcule a integral curvilínea ∫ ⋅C drF (circulação do campo F), onde F (x,y) = xy i + (x
2 
+y2)j e C é a curva fechada simples ligando os pontos ( ) ( )2,4 e 4,2− pelo gráfico de y x= 2 e voltando pela 
reta de 4=y , usando: 
 
a) A definição de integral curvilínea. 
b) Usando o Teorema de Green. 
c) É F um campo vetorial conservativo? Justifique! 
 
Questão 2: (2,0 pts) Ache a área da superfície 
 
S: parte do gráfico da esfera xzyx 2222 =++ definida para 1≤x . 
Questão 3: (2,5 pts) Seja kzyxyjyzxzixzyzyxF
rrrr
)3()2()2(),,( 22 ++++++= . 
 
a) Mostre que ∫ ⋅C rdF
rr
 independe do caminho (F é conservativo). 
b) Ache uma função potencial para F
r
. 
c) Se F
r
 representa um campo de forças (ou um campo elétrico), ache o trabalho realizado por F
r
 (ou 
diferença de potencial elétrico) ao longo de uma curva unindo os pontos ( )1,1,0 − a ( )2,3,1− . 
 
Questão 4: (2,0 pt) Aplique o teorema da divergência para achar o fluxo de F
r
 através de S , onde S é a superfí-
cie da região delimitada pelo cone 22 zyx += e pelo plano 0=x e 1=x , e 
kyzzjxyyizxzyxF
rrrr
)24()2()(),,( 222 −+−++= . 
 
Questão 5 (2,0 pts) Use a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo 
kjyizxzyxF
rrrr
++= 32),,( , ao redor da curva 
C: Interseção entre o cilindro 422 =+ zx e o hemisfério 0 ,16222 ≥=++ yzyx , 
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima do eixo Y. 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – 
 (Boa Copa e Festas Juninas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109051) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: ________________ 
 
Reposição da 3ª Prova – 07 de Junho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Seja T o sólido no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados, pelo plano 
2=+ yz e pelo cilindro 24 yx −= . Esboce o sólido e depois usando integrais triplas encontre o seu volume. 
 
Questão 2: (2,0 pts) Descreva a seguinte integral como integral iterada nas coordenadas cartesianas e também 
nas cilíndricas ou esféricas. 
 
∫∫∫R dVxyz)( ; { }xyzzyxIRzyxR ≤≤≤≤++≤∈= ,10 ,40:),,(
2223 . 
 
Questão 3: (2,0 pts) Calcule a integral a seguir, transformando-a para coordenadas esféricas. 
∫ ∫ ∫−
−
−−
−−
+
++
2
2
4
4
8
222
2
2
22
22
)(
x
x
yx
yx
dzdydxzyx 
Questão 4: (2,0 pts) Identifique as superfícies determinadas pelas seguintes equações: 
a) θθ sectg=r , em coordenadas cilíndricas; 
 b) θφρ cossen6= , em coordenadas esféricas. 
Questão 5 (2,0 pts) Calcule as Jacobianas 
),(
),(
vu
yx
∂
∂
 ; 
),(
),(
yx
vu
∂
∂
 e verifique que 
),(
),(
),(
),(
1
yx
vu
vu
yx
∂
∂
=





∂
∂
−
. Expresse, e 
calcule também, a integral ∫∫R xydxdy através de uma integral iterada nas variáveis u e v, onde, 
22 vux −= , uvy 2= , 
e R é a região de fronteira 0 e 0 ,12 ==−= yxxy . 
Questão 6 (2,0 pts) Se C é um fio, distribuído em um sistema de coordenadas cartesianas, que apresenta uma 
densidade (linear) de massa dada por ( ) xyzzyx =,,δ . Então calcule a massa total, mt, contida em C , e o seu 
momento de inércia em relação ao eixo z determinando também o seu raio de rotação associado, considerando 
que C seja a curva com parametrização: 
π≤≤=== ttzttyttx 0 ; 1)( , sen)( , cos)( . 
 
 
 
OBS: Serão pontuados apenas os primeiros 10,0 pontos trabalhados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇔ Boas Provas ♥ – 
 (Boa Copa e Festas Juninas) 
 
Universidade Federal de Campina Grande (UFCG) / Centro de Ciências e Tecnologia (CCT) / Unidade Acadêmica 
de Matemática e Estatística (UAME) 
 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III (2109105) – Turno: Manhã 
Professor(a): __Jaime Alves Barbosa Sobrinho________________ Período: 2010.1 
Aluno(a): _____________________________________________________ Nota: _______________________ 
 
Reposição da 3ª Prova (A) – 05 de Julho de 2010 
 
Questão 1: (2,0 pts) Mostre que a forma diferencial na integral dada é exata. Depois calcule a integral. 
∫ −−+
)3,2,1(
)0,0,0(
22 2)(2 yzdzdyzxxydx 
a) Escolhendo uma curva que tenha como origem o ponto (0,0,0) e termine no ponto (1,2,3); 
b) Achando uma função potencial para o campo kyzjzxixyzyxF
rrrr
2)(2),,( 22 −−+= e aplicando a fórmula 
)0,0,0()3,2,1(),,(
)3,2,1(
)0,0,0(
)3,2,1(
)0,0,0(
ffzyxfrdF −==⋅∫
rr
. 
 
Questão 2: (2,0 pts) Use uma parametrização para expressar a área da superfície S dada, como uma integral 
dupla. Então calcule a integral. 
S: Porção do cone 22 zxy += entre os planos 2=y e 6=y 
Questão 3: (2,0 pts) Use o teorema de Green para justificar a seguinte fórmula para calcular a área de uma 
região planar R que tem como fronteira uma curva C orientada no sentido anti-horário. 
 
Área de R ∫ −=
C
ydxxdy
2
1
 
Use a fórmula acima para calcular a área da região limitada pela astróide jtittr
rr
)sen()cos( )( 33 += , 0 ≤ t ≤ 2π. 
Questão 4: (3,0 pt) Calcule o fluxo exterior de kzjyixzyxFrrrr
222),,( ++= através da superfície fechada S, 
fronteira da região delimitada pelo cilindro sólido 422 =+ zx e os plano 0=y e 1=y . 
a) Resolvendo a integral de superfície ∫∫ ⋅S dnF σ 
rr
; 
b) Aplicando o teorema de Gauss dVFdnF
RS
 ∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
rrrr
σ . 
 
Questão 5: (3,0 pts) Considere ( ) 21222),,( −++= zyxzyxf . Conclua que a circulação do campo vetorial 
fF ∇=
r
, em volta da circunferência 422 =+ yx , no plano 0=z , orientada no sentido anti-horário quando 
observada por cima do eixo Z, é nula. 
a) Resolvendo a integral de curvilínea ∫ ⋅C rdF
rr
; 
b) Aplicando o teorema de Stokes ∫∫∫ ⋅×∇=⋅ SC dnFrdF σ 
rrrrr
. 
 
 
OBS: A nota será atribuída até o limite máximo de 10,0 pontos acertados! 
 
– ☺ Estudo, Paciência e Atenção ⇒Boas Provas ☺ –