Calculo A provas Substitutivas 2017/1

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Universidade Federal do Esp´ırito Santo
Centro de Cieˆncias Exatas, Naturais e da Sau´de
Primeira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A - Substitutiva
31 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Considere as func¸o˜es f(x) =
x− 3
2− 5x
e g(x) =
√
2x2 − 5x+ 2:
(a) (1 pt) Determine o domı´nio da func¸a˜o g.
(b) (1 pt) Determine os valores de x, caso exista, tal que f(x) 6 0.
(c) (1 pt) Determine a composta f ◦ g.
2. Determine a soluc¸a˜o das equac¸o˜es:
(a) (1 pt) 23x−1.42x+3 = 83−x
(b) (1 pt) log2(x+ 1) + log2(x− 2) = 2
(c) (1 pt) 2 sen2 x− sen x− 1 = 0, 0 6 x 6 2pi. OBS: As soluc¸o˜es em radianos.
• Sugesta˜o para a questa˜o 2 letra c: tome u = sen x
3. Considere a func¸a˜o
f(x) =


cx2 + 4x se x < 2
8 se x = 2
x3 − c2x se x > 2
(a) (1 pt) Para qual valor (ou quais valores) da constante c, existe lim
x→2
f(x)
(b) (1 pt) Para qual valor (ou quais valores) da constante c, a func¸a˜o f e´ cont´ınua em
x = 2.
4. (2 pts) Determine as ass´ıntotas horizontais e verticais da func¸a˜o f(x) =
3x2 − 3x− 18
x2 + x− 2
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Segunda Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A - Substitutiva
31 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
(a) (1 pt) y =
x
2− tg x
(b) (1 pt) y = 2x log2 x
(c) (1 pt) y =
√
ecosx
(d) (1 pt) y = xx
2. (2 pts) Para quais valores de a e b a reta 2x + y = b e´ tangente a` para´bola y = ax2
quando x = 2?
3. (a) (1,5 pt) Determine a equac¸a˜o da reta tangente da curva x3 + y3 − 9xy = 0 no
ponto (4, 2).
(b) (1 pt) Em qual ponto, ale´m da origem, a curva x3 + y3 − 9xy = 0 tem uma reta
tangente horizontal.
4. (1,5 pts) Um bala˜o sobe a uma velocidade constante de 2m/s e um rapaz anda de
bicicleta ao longo de uma estrada reta a uma velocidade constante de 5m/s. Ao passar
sobre o ciclista o bala˜o esta´ 15 metros acima dele. Com que velocidade cresce a distaˆncia
entre o bala˜o e o rapaz 3 segundos mais tarde?
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Terceira Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A - Substitutiva
31 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule os limites:
(a) (1 pt) lim
x→1
ln(2x− 1)
sen(pix)
(b) (1 pt) lim
x→−∞ x
2ex
(c) (1 pt) lim
x→0
(
cotg x−
1
x
)
(d) (1 pt) lim
x→0+
(cos x)1/x
2
2. (2 pts) Um fazendeiro quer cercar uma a´rea de 15000m2 em um campo retangular e
enta˜o dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retaˆngulo. Determine
as dimenso˜es do campo de forma a minimizar o custo da cerca.
3. Considere a func¸a˜o
f(x) = x
2/3
(5− x)
(a) (0,6 pt) Determine as ass´ıntotas horizontais de f(x), se existirem;
(b) (0,6 pt) Mostre que f ′(x) =
10− 5x
3x
1/3
e f ′′(x) =
−10− 10x
9x
4/3
(c) (0,8 pt) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x), indicando,
caso existam, seus pontos de ma´ximo e de mı´nimo locais;
(d) (0,8 pt) Determine os intervalos em que o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima
e em que tem concavidade para baixo e determine os pontos de inflexa˜o de f(x), se
existirem;
(e) (1,2 pt) Utilize as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico
de f(x).
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Quarta Avaliac¸a˜o de Ca´lculo A - Substitutiva
31 de julho de 2017
NOME: NOTA:
Justifique todas as respostas!
1. Calcule as integrais:
(a) (1,2 pts)
∫2
1
x+ 2√
x2 + 4x
dx
(b) (1,2 pts)
∫
tg x ln(cos x)dx
(c) (1,2 pts)
∫2
1
e1/x
x2
dx
(d) (1,2 pts)
∫
2x sen(2x)dx
(e) (1,2 pts)
∫
cossec x tg2xdx
2. (2 pts) Encontre o nu´mero b tal que a reta y = b divida a regia˜o delimitada pelas curvas
y = x2 e y = 4 em duas regio˜es de a´reas iguais.
3. (2 pts) Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas curvas
y =
1
x
, y = 0, x = 1, x = 3 em torno de y = −1.