nota aula 5 20-07-17--1 engenharia econômica

Prévia do material em texto

1 
 
Critério do VPL (definição e exercícios), projetos com durações distintas 
Thiago Fonseca Morello 
fonseca.morello@ufabc.edu.br 
sala 301, Bloco Delta, SBC 
1 Análise de projetos 2, critério do VPL para projetos com durações distintas 
1.1 Teoria 
No tópico anterior, o critério do VPL foi aplicado como base para decidir entre projetos 
com horizontes ou durações de tempo equivalentes. Porém, o problema de comparar, 
por exemplo, o investimento em duas máquinas que realizam a mesma função 
produtiva, mas, porém, possuem vidas úteis distintas, também se coloca na prática. 
Esta sutileza requer a incorporação de um passo adicional ao procedimento de aplicação 
do critério do VPL. Trata-se de especificar um horizonte de tempo comum a todos os 
projetos avaliados. E então aplica-se o critério do VPL para as séries de fluxos 
monetários de cada projeto tomando-se como referência o horizonte comum. 
Para definir o horizonte de tempo comum, há dois critérios possíveis, como segue: 
1. Mínimo múltiplo comum: o horizonte comum é definido como o mínimo múltiplo 
comum (MMC) das durações dos projetos. Por exemplo, assumamos que estão 
sendo comparados três projetos, com durações de dois, quatro e seis anos. O MMC 
das durações é de 12 anos e esta é a duração comum segundo o presente critério; 
2. Período de estudo (ou horizonte de planejamento, Blank e Tarquin, seção 5.3): 
define-se o horizonte comum de acordo com uma referência de tempo que se mostra 
adequada para o investidor, desconsiderando a vida útil (duração) dos projetos; 
O primeiro critério exige que os projetos com duração inferior ao horizonte comum 
tenham seus fluxos de caixa replicados no tempo um número de vezes necessário para 
preencher completamente o horizonte comum. Uma trinca de projetos de 2,4 e 6 anos 
daria origem aos três fluxos de caixa no diagrama da próxima página. Nele, a escala de 
tempo comum aos projetos está acima dos três projetos com números em vermelho. 
Abaixo dela tem-se os três projetos, replicados sequencialmente para preencher 12 
períodos. Os fluxos de caixa líquidos originais dos projetos estão destacados por 
retângulos pontilhados. 
 
 
 
 
2 
 
Diagrama: projetos com duração de 2, 4 e 6 anos replicados em um horizonte de tempo comum definido pelo MMC das durações 
 
 
Escala comum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Projeto 1 RL1,2 RL2,2 RL1,2 RL2,2 RL1,2 RL2,2 RL1,2 RL2,2 RL1,2 RL2,2 RL1,2 RL2,2
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1
2
=
0
1
2
=
0
1
2
=
0
1
2
=
0
1
2
=
0
1
2
=
0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1
Projeto 2 RL2,1 RL2,3 RL2,4 RL2,1 RL2,3 RL2,4 RL2,1 RL2,3 RL2,4
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3
4
=
0
1 2 3
4
=
0
1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P2 RL2,2 P2 RL2,2 P2 RL2,2
Projeto 3 RL3,3 RL3,4 RL3,5 RL3,6 RL3,3 RL3,4 RL3,5 RL3,6
VPL? ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
0 1 2 3 4 5
6
=
0
1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P3 RL3,1 RL3,2 P3 RL3,1 RL3,2
3 
 
A análise financeira de projetos com durações distintas apenas é válida caso seja 
observado o princípio a seguir, conforme exposto por Blank e Tarquin (p.134): 
“O valor presente das alternativas deve ser comparado ao longo do mesmo número de 
anos e [tal número de anos] deve terminar no mesmo instante (...)”. 
Como o critério do período de estudo não permite a replicação de projetos, o princípio 
acima implica que o dos três projetos com durações de 2, 3 e 4 anos não pode se dar 
com base em um período de estudo (comum) superior a 2 anos [pense por que]. 
Outro detalhe importante sobre o critério do período de estudo está em que todos os 
fluxos monetários que ocorrem fora do período comum são ignorados. 
2.2 Exercícios 
1 (Blank e Tarquin, 2011, ex. 5.24) Uma empresa do setor químico deve decidir 
entre três métodos de deposição de resíduos químicos não-perigosos. São eles: (1) 
aplicação na terra, (2) incineração em reatores de leito fluidizado e (3) deposição em 
uma área privada mediante pagamento do serviço. As estimativas de custo para cada 
método estão na tabela. Determine qual é o método de menor custo considerando para 
isso uma taxa de juro de 10%. 
 Método 1 Método 2 Método 3 
Taxa de juro a.a [comum] 0,10 0,10 0,10 
Custo inicial 130.000,00 900.000,00 - 
Custo operacional anual 95.000,00 60.000,00 120.000,00 
Receita anual Não se aplica Não se aplica Não se aplica 
Valor residual 25.000,00 300.000,00 - 
Vida útil (anos) 3 6 2 
 
R: O passo zero não é necessário pois o enunciado provê a tabela de dados. 
Passo 1, definição do horizonte comum 
Optando-se pelo critério do MMC, o horizonte comum é de seis anos. 
Passo 2, elaboração dos fluxos de caixa líquidos ao longo do horizonte comum 
Os métodos 1 e 3 terão de ter seus fluxos de caixa replicados um número de vezes 
equivalente à divisão da duração comum pela duração de cada um. É recomendável a 
elaboração dos diagramas de fluxo de caixa para a comparação de projetos com 
durações distintas. 
4 
 
 
Há alguns detalhes que requerem cautela. 
1. O custo inicial do método 1 ocorre mais de uma vez e sempre ao final do período 
anterior àquele em que se inicia uma nova replicação. O custo inicial é pago não 
apenas em t = 0, mas também ao final do terceiro período ou, o que é equivalente, 
no início do quarto período. Neste último período, o custo inicial deve ser somado 
às despesas que ocorrem ao final do terceiro período; 
2. Deve-se proceder analogamente para o caso dos valores residuais; 
3. O valor residual do método 2 é superior à despesa operacional, e, portanto, no 
último período deste projeto deve ocorrer um fluxo líquido positivo; 
4. Já, para o método 1, o valor residual é inferior à despesa operacional e, portanto, 
haverá um fluxo negativo no último período. 
Assim fazendo, acaba-se com os fluxos de caixa líquidos a seguir. 
Ano Método 1 Método 2 Método 3 
0 - 130.000,00 - 900.000,00 0 
1 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
2 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
3 - 200.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
4 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
5 - 95.000,00 - 60.000,00 - 120.000,00 
6 - 70.000,00 240.000,00 - 120.000,00 
Escala comum 0 1 2 3 4 5 6
Projeto 1
0 1 2
3
=
0
1 2
3
=
0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P D.op. D.op. P + D.op - V.res. D.op. D.op. P + D.op. - V.res.
Projeto 2 V.res - D.op
↑
0 1 2 3 4 5 6
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
P D.op. D.op. D.op. D.op. D.op.
Projeto 3
0 1
2
=
0
1
2
=
0
1
2
=
0
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
D.op. D.op. D.op. D.op. D.op. D.op.
5 
 
Passo 3, cálculo dos VPLs 
VPL(método 1) = 
 −130.000− ଽହ.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
ଽହ.଴଴଴(ଵା௜)ల − ଵଷ଴.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)ల = −130.000 −95.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)లିଵ
୧(ଵା଴,ଵ)ల ቁ+ ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)య + ଶହ.଴଴଴(ଵା௜)ల = −ܴ$	608.525,97. 
VPL(método 2) = 
 −900.000− ଺଴.଴଴଴
ଵା௜
−⋯−
଺଴.଴଴଴(ଵା௜)ల + ଷ଴଴.଴଴଴(ଵା௜)ల = −900.000 − 60.000 ቀ(ଵା଴,ଵ)లିଵ୧(ଵା଴,ଵ)ల ቁ +
ଷ଴଴.଴଴଴(ଵା௜)ల = −ܴ$	991.973,46 
VPL(método 3) = 
−
120.0001 + ݅ − ⋯− 120.000(1 + ݅)଺ = −120.000ቆ(1 + 0,05)଺ − 1i(1 + 0,05)଺ ቇ = −ܴ$	522.631,28. 
2 Análise de projetos 3, taxa interna de retorno 
2.1 Teoria básica 
2.1.1 Definição 
Um critério de escolha dentre projetos de investimento alternativos é o da taxa interna 
de retorno (TIR). Trata-se da taxa de juro que faz com que o valorpresente da série de 
fluxos de receitas se iguale ao valor presente da série de fluxos de despesas. De maneira 
equivalente, a taxa interna de retorno é a taxa de juro que torna nulo o valor presente 
líquido do fluxo de caixa. 
Formalmente, a TIR é dada por i* tal que: 
ܸܲܮ(݅∗) = 0 ⟷෍ ܴܮ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀଵ
− ܲ = 0 
Uma interpretação mais intuitiva da TIR é proposta por Newnan et al (2004, cap.7). 
Trata-se da taxa de retorno que torna o valor presente dos benefícios proporcionado pelo 
investimento igual ao valor presente dos custos. É claro que os benefícios correspondem 
às receitas, {ܴ௧}௧ୀଵ் e os custos às despesas, {ܦ௧}௧ୀ଴் , com D0 representando o 
investimento inicial (D0 = P). Deste modo: 
ܸ ௕ܲ௘௡௘௙í௖௜௢௦(݅∗) = 		 ܴଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ்ܴ(1 + ݅∗)் 
ܸ ௖ܲ௨௦௧௢௦(݅∗) = 		ܦ଴ + ܦଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܦଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܦ்(1 + ݅∗)் 
6 
 
ܸ ௕ܲ௘௡௘௙í௖௜௢௦(݅∗) = ܸ ௖ܲ௨௦௧௢௦(݅∗) ⟷෍ ܴ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀଵ
= ෍ ܦ௧(1 + ݅∗)௧ே
௜ୀ଴
 
2.1.2 Critério de decisão da TIR 
Uma vez definida a TIR, cabe apresentar o critério de decisão de investimento nela 
embasado. Para isso, é esclarecedor considerar a relação existente entre os valores da 
TIR, da TMAR e o VPL, ilustrada na figura 1. 
Como se vê na figura 1, o VPL decai com a taxa de juro i ≡ TMAR, atingindo seu maior 
valor para TMAR = 0 e deixando de ser positivo para TMAR grande. O que quer dizer 
que existe um valor da TMAR para o qual VPL = 0, tal valor sendo exatamente a TIR. 
Ou seja, a TIR é a taxa de juro que separa o conjunto de taxas de juro possíveis em dois 
subconjuntos, um primeiro subconjunto associado a um VPL positivo e um segundo 
subconjunto associado a um VPL negativo. Isso quer dizer que, para valores da TMAR 
pertencentes ao primeiro subconjunto, i.e., se TMAR < TIR, o VPL calculado com base 
na TMAR é positivo. Já, para valores da TMAR > TIR, o VPL é negativo. Para fechar o 
raciocínio basta recordar que VPL > 0 significa que o investimento produtivo é 
financeiramente recompensador, o contrário valendo para VPL < 0. Em suma... 
Critério da TIR para decidir se um investimento produtivo vale a pena: 
Se TIR > TMAR, o investimento produtivo vale a pena [lucro do rendimento financeiro 
< lucro do rendimento produtivo] 
Se TIR < TMAR, o investimento produtivo não vale a pena [lucro do rendimento 
financeiro > lucro do rendimento produtivo] 
Se TIR = TMAR, o investimento produtivo é financeiramente equivalente ao 
investimento financeiro comparável [rendimento financeiro = rendimento produtivo]. 
Figura 1 VPL em função da taxa de juro (função VPL(i)) (curva sólida) 
 
Nota: VPL para o fluxo de caixa {-100(t=0),50,50,...,50(t=10)} 
7 
 
Atenção: caso haja mais de um projeto sob consideração, não se deve utilizar a 
TIR para decidir, pois ela pode levar a um ranqueamento equivocado das 
alternativas. Neste caso, a análise de VPL se mostra mais adequada. 
2.1.3 Dificuldades práticas na aplicação do critério da TIR e a TIR modificada 
(TIRM) 
Apesar de ser intuitiva a definição da TIR, ela impõe algumas dificuldades operacionais. 
Tais dificuldades decorrem da impossibilidade de utilizar a fórmula que define a TIR 
para calcula-la. É impossível isolar i* na primeira definição apresentada na seção 
anterior. A razão disso está em que i* é a raiz de um polinômio cuja ordem é 
equivalente à duração total do projeto, T. Para compreender, pode-se considerar a 
maneira mais geral de definir a TIR, como segue. 
݅∗: ܴܮଵ(1 + ݅∗)ଵ + ܴܮଶ(1 + ݅∗)ଶ + ⋯+ ܴܮ்(1 + ݅∗)் − ܲ = 0 ⟷ 
݅∗:ܴܮଵ ൬ 11 + ݅∗൰ଵ + ܴܮଶ ൬ 11 + ݅∗൰ଶ + ⋯+ ܴܮ் ൬ 11 + ݅∗൰் − ܲ = 0 ⟷ 
݅∗:ܴܮଵݍଵ + ܴܮଶݍଶ + ⋯+ ܴܮ்ݍ் − ܲ = 0,ݍ = ൬ 11 + ݅∗൰	 
Fica claro, pois, que a TIR é a raiz de um polinômio de grau T. Disso decorrem duas 
dificuldades operacionais. A primeira está em que, para T > 3, este geralmente o caso, 
não há uma fórmula sintética que permita obter i*, sendo necessário recorrer a métodos 
numéricos, i.e., a algoritmos computacionais que permitam calcular o valor aproximado 
de i*. Um dos métodos mais eficientes (rápido) é o método de Newton-Raphson (vide 
Bueno et al., 2011, seção 6.2.4). 
A segunda dificuldade operacional se desdobra em três. Não há, a priori, razões para 
que exista apenas um valor para a TIR e nem mesmo é possível eliminar as 
possibilidades de que a TIR seja negativa ou que seja um número complexo (i.e., seja 
um número não-real). 
De fato, o número de valores para a TIR é equivalente ao número de vezes em que o 
sinal do fluxo de caixa líquido muda ao longo da duração do projeto. Este princípio foi 
pioneiramente demonstrado por Descartes e é referido como “regra dos sinais” (Blank e 
Tarquin, 2005, p.181)1. 
É possível redefinir a TIR de modo a evitar todas as espécies de resultados indesejáveis. 
Para isso, é preciso repensar a maneira como o fluxo de caixa de um projeto de 
investimento é retratado pela TIR. 
 
1 Se, pois, há apenas uma mudança de sinal, então há apenas uma raiz e a segunda dificuldade operacional 
é parcialmente eliminada. Parcialmente pois não necessariamente a raiz será real e positiva. 
8 
 
Seja considerado o fluxo de caixa genérico a seguir, em que há uma série de receitas de 
valor R e uma série de despesas de valor D. 
 
É rigoroso com o princípio de custo de oportunidade do dinheiro assumir que as 
receitas, assim que recebidas pelo investidor, são aplicadas à taxa de juro de mercado. 
Com isso seria possível gerar, em t = T, um montante total equivalente ao valor futuro 
das receitas, VF(R,i,T), em que i é a taxa de juro de mercado2. 
O mesmo raciocínio não pode ser feito quanto às despesas, pois estas são efluxos 
monetários, i.e., desembolsos que o investidor deve honrar e não influxos ou 
recebimentos como as receitas. Uma vez que o investidor não recebe a série de valores 
D, não há sentido em assumir que ele possa aplicar D. Neste caso, a coerência com o 
princípio de custo de oportunidade do dinheiro se expressa em assumir que o investidor 
pode aplicar o capital possuído em t = 0 de maneira a gerar uma série de fluxos 
compatível com as obrigações de pagamento que enfrenta em cada um dos períodos de t 
= 1,..., t = T. Trata-se, pois, de calcular o valor presente do fluxo de despesas. 
Mas há mais uma diferença em relação à série de receitas. Assume-se que a taxa 
utilizada para calcular o valor presente da série de despesas é diferente daquela utilizada 
para calcular o valor futuro da série de receitas. A primeira, pois, não é a taxa de 
mercado, mas sim a taxa à qual é possível levantar capital, ic. Na prática, é comum que 
esta última taxa corresponda à média ponderada do custo de capital, weighted average 
cost of capital (WACC) em inglês. O que quer dizer que é calculada com base nas taxas 
associadas a múltiplas formas de levantar capital, entre elas, geração de receita a partir 
da atividade-fim da empresa (produção, p.ex.), tomada de empréstimo e emissão de 
ações. 
(notar que o cálculo do VF das receitas e do VP das despesas funciona de maneira a 
simplificar o projeto à ideia básica de montante de uma aplicação a juro, com o capital 
inicial sendo representado pelo VP e o montante pelo VF). 
Uma vez calculados o VF da série de receitas e o VP da série de despesas, pode-se 
calcular a taxa de retorno gerada ao longo de toda a duração do projeto, a qual é 
equivalente a VF/VP – 1. Trata-se da taxa de retorno referente a toda a duração do 
 
2 Este raciocínio assume que os recursos gerados pelo projeto não são utilizados em outros projetos 
paralelamente em execução, algo que não necessariamente é correto para alguns casos práticos (p.ex., o 
de uma empresa que desenvolve múltiplos projetos produtivos). Mas, de qualquer maneira, trata-se 
apenas de um raciocínio abstrato que procura estabelecer um critério para o cálculo da rentabilidade deum projeto de investimento. 
R R R R R
↑ ↑ ↑ ↑ ↑
...
0 1 2 3 4 T
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
D D D D D D
9 
 
projeto. Porém, é mais comum que se tenha interesse em conhecer a taxa equivalente 
com capitalização periódica. Basta, portanto, calcular TIRM = [(VF/VP – 1)+1]1/T – 1 
ou, de maneira mais sintética, TIRM = (VF/VP)1/T – 1, em que “TIRM” representa a 
TIR modificada. 
Para o fluxo de caixa genérico anterior, composto por séries uniformes de receita e de 
despesa, a TIRM pode ser calculada como: 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܴ, ݅, ܶ)
ܸܲ(ܦ, ݅௖, ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൦ ܴ (1 + ݅)் − 1݅
ܦ + ܦ (1 + ݅௖)் − 1݅௖(1 + ݅௖)் ൪
ଵ/்
− 1 
Há uma maneira de definir a TIRM que se aplica a um maior número de possibilidades 
de fluxos de caixa. Tal maneira toma por base (i) o valor presente de fluxos negativos {ܨ௧ି}௧ୀ଴் , calculado a partir de ic, e (ii) o valor futuro de fluxos positivos, {ܨ௧ା}௧ୀଵ் , 
calculado a partir da taxa de mercado, i. I.e.: 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ)
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ൮∑ ܨ௧ା(1 + ݅)்ି௧்௧ୀଵ
∑
ܨ௧
ି(1 + ݅௖)௧்௧ୀ଴ ൲
ଵ/்
− 1 
Esta definição, pois, se aplica a qualquer fluxo de caixa líquido. 
Em alguns livros-texto a TIRM é definida de maneira alternativa, a qual corresponde a 
uma manipulação algébrica das definições aqui apresentadas, como segue. 
݅∗ᇱ:ܶܫܴܯ = ቆ ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ)
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)ቇଵ/் − 1 ⟷ (ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା , ݅,ܶ)ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ , ܶ) ⟷ 
ܸܲ(ܨ௧ି, ݅௖ ,ܶ)(ܶܫܴܯ + 1)் = ܸܨ(ܨ௧ା, ݅,ܶ) 
Esta última fórmula é mais comum nos livros-texto (Bueno e Blank e Tarquin, p.ex.). 
Deve-se afirmar que a TIRM pode ser calculada mesmo que ic = i, i.e., a hipótese de que 
a taxa à qual o investidor toma recursos difere da taxa de mercado não é condição 
necessária para que a TIRM esteja definida (seja calculável). Porém, é uma convenção 
adotada nos livros-texto a de que ambas as taxas difiram, pois de fato é o que ocorre na 
prática. 
 
10 
 
O essencial é que a TIRM é exatamente a taxa de retorno periódica gerada pelo projeto 
de investimento. Enquanto a TIR é a taxa de retorno que torna o VPL nulo. Duas 
definições fundamentalmente distintas. De fato, a TIRM está apoiada em um critério 
mais intuitivo e me parece que é exatamente por isso que ela está livre de dificuldades 
operacionais (desde que, é claro, aplicada à análise de apenas um projeto). 
O critério de decisão acerca de um único projeto com base na TIRM é equivalente ao 
que prevalece para a TIR ordinária. Um projeto com TIRM superior à taxa de mercado, 
i, deve ser realizado. Assim como para o caso da TIR, deve-se evitar o uso da TIRM 
para decidir acerca de dois ou mais projetos. 
Esclarecimento: relação entre WACC e TMAR 
A maneira como WACC e TMAR diferem, i.e., qual das duas taxas é maior, parece, a 
priori, não ser consensual entre os autores. Por exemplo, Bueno et al. (2010, p.134) 
afirmam que a taxa associada à demanda de recursos, ic, tende a ser superior à taxa 
associada à oferta de recursos, i. Ou seja, ic > i. Já Blank e Tarquin (p.186 e 27) afirmam 
que geralmente ic < i, pois somente assim a empresa que demanda recursos pagando ic 
para tanto e investe tais recursos obtendo i poderia ter lucro. 
Em minha interpretação a afirmação de Bueno et al. (2010) é correta para a situação 
abstrata até aqui considerada em que há apenas um investidor e uma entidade financeira. 
Neste caso, como a entidade financeira tem como atividade-fim tomar e emprestar, ela 
teria inevitavelmente prejuízo caso ic < i. E isso pois tal entidade “vende” capital para o 
investidor a uma taxa ic e “compra” do investidor a uma taxa i, obtendo ao fazer isso 
lucro (ic – i)C0, em que C0 é o capital transacionado. Outra forma de notar a 
inconsistência da possibilidade de ter ic < i está em perceber que qualquer empresa não-
financeira poderia lucrar simplesmente tomando recursos de um banco e a ele 
emprestando (ou seja, a empresa se tornaria um banco). Consequentemente a afirmação 
de Blank e Tarquin (2010) é incorreta para a situação abstrata em que existe apenas um 
investidor e uma entidade financeira. 
É possível, contudo, conciliar as duas visões, ao abandonar-se a situação abstrata em 
questão e caminhar no sentido da realidade. Na prática, (i) há múltiplos investidores e 
entidades financeiras, (ii) os investidores diferem em função do conjunto de entidades 
financeiras com as quais interagem (o mesmo vale, mutatis mutandis, para as entidades 
financeiras) e (iii) existem diversas alternativas para levantar e para aplicar o capital, as 
quais diferem em retorno e em risco. Cada investidor e cada entidade financeira tomam 
em conta um mix específico de taxas de levantamento e de aplicação de capital. Ou seja, 
tanto a WACC como a TMAR consideradas na prática são estatísticas-resumo de 
diversas taxas idiossincráticas. Por exemplo, a WACC contém as taxas de juro de 
oportunidades de tomada de empréstimo a que um dado investidor-empresa tem acesso 
e o rendimento percentual implícito às ações que emite (ver cap. 10 de Blank e 
Tarquin). Já a TMAR é um mix de taxas de rendimento inerentes a oportunidades de 
capitalização (ativos) de renda fixa e variável à que o investidor tem acesso. 
11 
 
Deste modo, é possível ter TMAR > WACC da perspectiva dos investidores, sem que o 
setor financeiro tenha prejuízo. Há outro detalhe importante: as entidades financeiras 
que correspondem a bancos não tomam empréstimos à mesma taxa que os investidores, 
mas geralmente por uma taxa menor que é a taxa-base da economia (no Brasil, a 
SELIC, cobrada pelo emprestador de última instância, o Banco Central). 
É recomendada a leitura de Newnan et al. (2004), cap.15 e Blank e Tarquin (2005, 
cap.10) para quem se interessar sobre este tema. 
2.2 Exercícios 
1 (Blank e Tarquin, 7.41) A companhia Swagelok de Solon, Ohio (EUA), produz 
fluxómetros de área variável para medir fluxos líquidos e gasosos. Se os custos de 
ferramental e início da produção foram de $400.000,00 em t = 0 e de $190.000,00 em t 
= 3, determine a taxa externa de retorno utilizando a TIRM. Considere que uma receita 
de 160.000,00 por ano de t=1 a t = 10, uma TMAR de 20% a.a. e uma taxa de tomada 
de recursos de 9% a.a. 
R: 
A tabela com o fluxo de caixa segue abaixo. 
Ano Receitas Despesas Fluxo 
0 0 400.000,00 - 400.000,00 
1 160.000,00 0 160.000,00 
2 160.000,00 0 160.000,00 
3 160.000,00 190.000,00 - 30.000,00 
4 160.000,00 0 160.000,00 
5 160.000,00 0 160.000,00 
6 160.000,00 0 160.000,00 
7 160.000,00 0 160.000,00 
8 160.000,00 0 160.000,00 
9 160.000,00 0 160.000,00 
10 160.000,00 0 160.000,00 
 
Passo 1, cálculo do VP das despesas 
ܸܲ(ܦ) = 400.000 + 190.000(1 + 0,09)ଷ = ܴ$	546.714,86 
Passo 2, cálculo do VF das receitas 
ܸܨ(ܴ) = ෍160.000(1 + 0,2)ଵ଴ି௧ଵ଴
௧ୀଵ
= 160.000 (1 + 0,2)ଶ଴ − 10,2 = 	4.153.389,14	 
Passo 3, cálculo da TIRM 
12 
 
TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (4.153.389,14 /546.714,86)1/10 – 1 = 0,22479717. 
Passo 4, decisão 
Como a TIRM se mostra superior a TMAR, o investimento deve ser realizado. 
2 (Newnan et al, 2004, 7A-2) Um grupo de executivos adquiriu um carro de 
corrida. O fluxo de caixa gerado por este empreendimento está resumido na tabela 
abaixo. Considerando uma TMAR de 10% a.a determine, com base na TIRM se o 
investimento se mostrou economicamente recompensador. 
Ano Receitas Despesas Receita líquida 
0 - 50.000,00 - 50.000,00 
1 80.000,00 85.000,00 - 5.000,00 
2 80.000,00 70.000,00 10.000,00 
3 80.000,00 80.000,00 0 
4 160.000,00 80.000,00 80.000,00 
 
Passo 1, cálculo do VP dos fluxos negativos 
ܸܲ(ܦ) = 50.000 + 5.000(1 + 0,1)ଵ = ܴ$		55.500,00	 
Passo 2, cálculo do VF das receitas 
ܸܲ(ܦ) = 10.000(1 + 0,1)ଶ + 80.000 = ܴ$		92.100,00	 
Passo 3, cálculo da TIRM 
TIRM = (VF/VP)1/T – 1 = (92.100,00 /55.500,00)1/4 – 1 = 0,135. 
Passo 4, decisãoDado que a TIRM se mostrou superior à TMAR, o investimento no carro de corrida foi 
financeiramente recompensador.