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1 Engenharia Econômica Lista de exercícios # 1 Gabarito Thiago Fonseca Morello fonseca.morello@ufabc.edu.br sala 301, Bloco Delta, SBC A resolução desta lista deve ser escrita à mão e entregue ao professor, na sala de aula, até no máximo dia 6 de Junho. Apenas será dada nota não-nula aos exercícios cuja resolução estiver detalhada. Todos os exercícios têm o mesmo valor, 1 ponto. (Q.1) [Bueno et al., 2011, Ex1.1, adaptado] Um capital de $20.000,00 é aplicado durante cinco anos a uma taxa de juros efetiva anual de 7.5%. Obter os valores (i) do capital inicial, (ii) do juro e (iii) do investimento (montante) referentes ao final de cada um dos cinco instantes. Para isso, considere taxa de juros simples e compostos. Comparar os regimes de capitalização com o auxílio de um gráfico contendo, no eixo horizontal, os instantes de tempo, e, no eixo vertical, os valores instantâneos dos três componentes. R: esta questão seria mais eficientemente resolvida com o auxílio de uma planilha eletrônica, conforme se pode encontrar no repositório do TIDIA, planilha “lista_1_ex_1.xlsx”. (a) Juro simples Uma forma de montar uma tabela que calcule, a cada instante de tempo, os valores de C0, Ct e Jt é com base no procedimento resumido na tabela abaixo, o qual segue os dois princípios gerais de capitalização e a definição do regime de juro simples (nota de aula 1). Nela, os números dentro de colchetes indicam a ordem de cada passo e também a operação matemática a ser feita. Juro simples t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [C = A + B] Jt [C - C0] 0 C0 NA NA C0 0 1 C0 [1] Ct-1 = C0 [2] iC0 [3 = 1 + 2] [4 = 3 - C0] 2 C0 [5 = 3] Ct-1 = C1 [6] iC0 [7 = 5 + 6] [8 = 7 - C0] 3 C0 [9 = 7] Ct-1 = C2 [10] iC0 [11 = 9 + 10] [12 = 11 - C0] 4 C0 ... ... ... ... 5 C0 ... ... ... ... 2 Trata-se, pois, de aplicar passo a passo os princípios gerais e a definição do regime de juro simples. Fazendo isso para todos os instante t = 1,.., 5, chega-se aos resultados na tabela abaixo. Juro simples t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [A + B] Ct [C0(1+Ti)] Jt 0 20.000,00 NA NA 20.000,00 20.000,00 - 1 20.000,00 20.000,00 1.500,00 21.500,00 21.500,00 1.500,00 2 20.000,00 21.500,00 1.500,00 23.000,00 23.000,00 3.000,00 3 20.000,00 23.000,00 1.500,00 24.500,00 24.500,00 4.500,00 4 20.000,00 24.500,00 1.500,00 26.000,00 26.000,00 6.000,00 5 20.000,00 26.000,00 1.500,00 27.500,00 27.500,00 7.500,00 A coluna “Ct [C0(1+Ti)]” é apenas para fins de checagem e contém a fórmula geral da capitalização a juro simples, como indicado. É importante recordar que o valor absoluto do juro, calculado na terceira coluna, é sempre dado por Jt = Ct – C0. O gráfico abaixo representa os valores de C0, Ct e Jt ao longo do tempo. (b) Juro composto Seguindo um procedimento análogo ao anterior é possível construir uma tabela que reporte, para cada t, C0, Ct e Jt, no caso de juro composto. A única alteração a fazer é a de considerar, ao calcular o acréscimo, que a base de incidência é o montante do período anterior (Ct-1) e não o capital inicial (C0), este sendo a base apenas no caso de juro simples. A tabela a seguir apresenta um procedimento possível. - 5.000,00 10.000,00 15.000,00 20.000,00 25.000,00 30.000,00 1 2 3 4 5 6 Va lo re s m on et ár io s ( C0 , C t, Jt ) Tempo C0 Ct [A + B] Jt 3 Juro composto t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * Ct-1] Ct [C = A + B] Jt [C - C0] 0 C0 NA NA C0 0 1 C0 [1] Ct-1 = C0 [2] iCt-1 = iC0 [3 = 1 + 2] [4 = 3 - C0] 2 C0 [5 = 3] Ct-1 = C1 [6] iCt-1 = iC1 [7 = 5 + 6] [8 = 7 - C0] 3 C0 [9 = 7] Ct-1 = C2 [6] iCt-1 = iC2 [11 = 9 + 10] [12 = 11 - C0] 4 C0 ... ... ... ... 5 C0 ... ... ... ... Deve-se notar que a única alteração no procedimento, em relação ao visto para o caso de juro simples, está na coluna correspondente ao acréscimo. Os resultados se encontram na tabela abaixo e no gráfico que a sucede. Juro composto t C0 Recuperado [A = Ct-1] Acréscimo [B = i * C0] Ct [A + B] Ct [C0(1+Ni)] Jt 0 20000 NA NA 20.000,00 20.000,00 - 1 20000 20.000,00 1.500,00 21.500,00 21.500,00 1.500,00 2 20000 21.500,00 1.612,50 23.112,50 23.112,50 3.112,50 3 20000 23.112,50 1.733,44 24.845,94 24.845,94 4.845,94 4 20000 24.845,94 1.863,45 26.709,38 26.709,38 6.709,38 5 20000 26.709,38 2.003,20 28.712,59 28.712,59 8.712,59 Deve-se notar, apesar de não ser tão nítido, que as curvas para o montante e o juro descrevem linhas não-lineares, enquanto que, a juro simples, tem-se linhas lineares. Isso vai ficar mais claro no próximo passo. 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 1 2 3 4 5 6 C0 Ct [A + B] Jt 4 (c) Comparação dos dois regimes A principal diferença entre os regimes, que é a base de incidência da taxa de juro, resulta em uma diferença na trajetória de crescimento do capital aplicado. Esta trajetória é linear no caso de juro simples e exponencial sob juro composto, o que significa que, para um mesmo período de aplicação (T), um mesmo capital inicial (C0) e uma mesma taxa de juro, o montante obtido ao final é maior sob juro composto. É o que o gráfico a seguir ilustra (notar que a curva referente ao juro composto descola da curva de juro simples a partir de t = 2). Se o montante (Ct) é maior, o juro, dado por Ct-1 – C0, também tem de crescer mais rápido sob juro composto. E é de fato o que se observa no gráfico abaixo. 20.000,00 21.000,00 22.000,00 23.000,00 24.000,00 25.000,00 26.000,00 27.000,00 28.000,00 29.000,00 30.000,00 0 1 2 3 4 5 Montante, juro simples Montante, juro composto 5 (Q.2) (BOVESPA, 2008, Q23, adaptado) [Escolha a alternativa que responde corretamente à questão a seguir, apresentando a dedução do montante no regime de capitalização composta como justificativa para sua escolha.] Em um investimento que está sob o regime de capitalização composta: a) A taxa de juro em cada período de capitalização incide sobre o capital inicial investido b) Os juros em cada período de capitalização tendem a ser constantes c) O valor dos juros gerados a cada período de capitalização decresce em função do tempo d) A taxa de juro incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período de capitalização anterior. R: A dedução pedida no enunciado está apresenta na nota de aula 1 e não será aqui reproduzida para economizar espaço. Ela é a base para a obtenção dos apresentados no item b e é recomendado, pois, que aos alunos que retomem a nota de aula 1. (Item a) A determinação de que este item é falso não depende de uma demonstração, uma vez que ele está em desacordo com a definição de juro composto, a qual estabelece que, sob tal regime de capitalização, a taxa de juro incide sobre o capital inicial e sobre o juro acumulado até o período antecedente; ou seja, incide sobre o valor do montante correspondente ao final do período anterior. - 1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 7.000,00 8.000,00 9.000,00 10.000,00 0 1 2 3 4 5 Juro (absoluto), juro simples Juro (absoluto), juro composto 6 (Item b) Esta afirmação pode ser expressa de maneira mais clara da seguinte forma “o juro (absoluto) é constante ao longo do tempo em que o capital é deixado para acumular”. O que é equivocado, pois, com a taxa de juros incidindo sobre o juro, a cada período, o último tem obrigatoriamente de crescer ao longo do tempo. Basta considerar o que segue. Seja o montante em um dado período T denotado por CT e a taxa de juro denotada por i, então Ct = Ct-1 (1+ i) (i). O montante sempre, em todos instantesde tempo, pode ser expresso como a soma de duas parcelas, o capital inicial, C0, e o juro gerado ao final no instante em questão, Jt. Desta maneira, Ct = C0 + Jt (ii.a) e Ct-1 = C0 + Jt-1 (ii.b). Incorporando (ii.a) e (ii.b) em (i): C0 + Jt = (C0 + Jt-1)(1+ i) ↔ Jt = C0 + iC0 + Jt-1 +iJt-1 - C0 ↔ Jt – Jt-1 = iC0 + iJt-1 > 0 E, portanto, o juro cresce entre dois períodos em uma magnitude positiva, não nula, não sendo, portanto, constante no tempo. Talvez o enunciado quisesse dizer que a magnitude em que o juro cresce de um instante para outro é constante, mas isso também é equivocado. Basta notar que, do lado esquerdo da última equação acima há iJt-1, sendo Jt-1 uma grandeza variável no tempo conforme indica o fato de possuir um índice de tempo “t-1” definindo-a. (Item c) Esta afirmação está equivocada. Como demonstrado no item anterior, a magnitude em que o juro varia entre dois períodos de tempo quaisquer é positiva e, portanto, o valor do juro cresce (aumenta) com o tempo. Uma maneira mais rápida de confirmar é com base na dedução a seguir: Jt = Ct – C0 = C0(1+i)t – C0 Jt = C0[(1+i)t – 1], uma função exponencial do tempo sendo a base, (1+i), é tal que (1+i) > 1. Portanto o valor absoluto do juro aumenta com o tempo (isso pode ser mais rigorosamente confirmado derivado Jt em função de t). (Item d) A afirmação é correta. Por definição, o regime de capitalização composta compreende a incidência de juro sobre a soma do capital inicial e do juro acumulado até o período anterior. Considerando os resultados (i) e (ii.b) obtidos no item b, tem-se que CT = (C0 + JT-1)(1+ i) = CT-1 + i(C0 + JT-1), o que indica que o montante obtido no T-ésimo período é equivalente ao montante obtido no período anterior, T-1, acrescido de um valor, i(C0 + JT-1), que corresponde ao gerado pela incidência da taxa de juro sobre o capital inicial e sobre o juro gerado no período anterior. (Q.3) (BOVESPA, 70) Dada uma taxa efetiva igual a 25,44% ao ano com capitalização semestral, então a correspondente taxa nominal ao ano é mais próxima da taxa de: a) 24% b) 25% 7 c) 23% d) 26% R: (alternativa a) a taxa nominal, ief., tem a seguinte relação com a taxa efetiva quando a última é definida no período de capitalização (semestre): inom. /N = ief. Porém, a taxa efetiva do enunciado está definida em um período anual. Denotando-a por ief.a, tem-se: ief.a = (1 + inom./N)N – 1 Basta isolar inom. na equação acima: inom. = [(ief.a + 1)1/N – 1] N = [(0,2544 + 1)1/2 – 1]2 = 0,24 % a.a. Trata-se de uma taxa anual pois o período de referência é anual, segundo o enunciado, e a taxa nominal é sempre definida em função do período de referência. (Q.4) (BOVESPA, 2008, Q73) Considere uma empresa que precisa de recursos por 12 meses e encontra diversas alternativas: (i) 24% ao ano de taxa de juro efetiva; (ii) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização semestral; e (iii) 24% ao ano de taxa de juro nominal com capitalização mensal. Classifique as alternativas da melhor para a pior: a) (i); (ii) e (iii) b) (i); (iii) e (ii) c) (iii); (ii) e (i) d) (ii); (iii) e (i) R: a resposta a esta questão não exige, obrigatoriamente, a conversão das três taxas de juro em um período comum de capitalização. É preciso recordar que a taxa nominal de i% ao ano corresponde a uma taxa anual efetiva de (1+i/N)N – 1, em que N é o número de vezes que o período de capitalização efetiva da taxa nominal cabe dentro do período de um ano. Além disso, há um detalhe no enunciado que está pouco claro: o objetivo da empresa é tomar crédito às taxas apresentadas e não aplicar seu capital a tais taxas. A incidência do juro para a empresa é, portanto, um custo e não um benefício. Desta maneira, a melhor aplicação para ela é a que requer a menor taxa. Tendo isso em mente, a resolução pode ser apresentada como segue. (1) [relação de (iii) com (i) e de (iii) com (ii)] Uma taxa nominal de 24% ao ano (alternativa iii) corresponde a uma taxa efetiva de 2% ao mês. Se a capitalização ocorresse a juro simples a taxa anual correspondente seria de 24% a.a., e, no semestre, de 12% a.s. Porém, como a capitalização é composta, as taxas correspondentes ao ano e ao semestre são, respectivamente, superiores a 24% a.a., esta a taxa paga pela alternativa (i) e a 12% a.s, esta a taxa efetiva paga pela alternativa (ii). Desta maneira, portanto, a taxa nominal de 24% (alternativa (iii)) representa o maior rendimento para 8 o credor e, consequentemente, o maior custo para a empresa, sendo a prior alternativa da perspectiva da última. (2) [relação de (i) e (ii)] Quanto às taxas (i) e (ii), a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização semestral corresponde a uma taxa semestral efetiva de 12% e a uma taxa anual efetiva superior a 24%, sendo, pois, superior à taxa anual. Para a empresa, a alternativa (ii) é pior pois representa um maior custo. (3) Com base em (1) e (2), as alternativas podem ser ordenadas de maneira crescente de acordo com o custo que representam a empresa da seguinte maneira: (i), (ii) e (iii). A resposta correta é a “a”. (Q.5) (BOVESPA, 2008, Q13) Uma empresa toma empréstimo de R$150.000,00 à taxa de 1,8% ao mês no regime de capitalização simples. Sabendo que a amortização será feita seis meses após a contratação do empréstimo, calcule o montante a ser pago no final deste período. a) R$166.946,73 b) R$312.000,00 c) R$151.620,00 d) R$166.200,00 R: do ponto de vista da organização credora, i.e., do concessor do empréstimo, tal operação consiste em aplicar um capital de R$150.000,00 a juro simples de 1,8% ao mês durante seis meses. O valor final desta aplicação é o valor da dívida a ser paga pelo tomador. Trata-se de: CT = C0(1+Ti) C6 = 150.000(1+6 x 0.018) = R$166.200. A resposta correta é o item d. (Q.6) (BOVESPA, 2008, Q26) Um banco emitiu um CDB de 126 dias úteis no valor de R$1.000.000,00, taxa de 10% ao ano (base 252 dias úteis). O valor dos juros, de acordo com o regime composto de capitalização, ao final do período é: a) R$100.000,00 b) R$50.000,00 c) R$48.809,00 d) R$47.320,00 9 R: A taxa de juro informada é a que seria obtida caso o CDB tivesse duração de um ano, i.e., de 252 dias úteis. Mas, porém, a duração efetiva é corresponde a meio ano, 126 dias úteis. Isso dá a entender que o enunciado se refere a uma taxa nominal, dado que o período de referência da aplicação, 126 dias úteis, não corresponde ao período de capitalização, 252 dias úteis. Porém, o enunciado não é claro o bastante para garantir que esta conclusão esteja correta, a qual estaria de acordo com o item b. De fato, o gabarito oficial aponta para o item c, o qual apenas é correto caso seja considerado que a taxa de 10% é efetiva. Desta maneira, as duas respostas serão consideradas como corretas, b e c e serão apresentadas duas soluções alternativas para o exercício. (Solução 1, assumindo que a taxa de 10% ao ano é nominal) A taxa efetiva corresponde a 0,1/2 = 0,05, uma vez que o período de referência é a metade do período de capitalização. Uma vez que o capital inicial investido é de R$1.000.000,00, uma taxa de juro de 5% aplicada a ele rende um juro de R$50.000,00. A resposta correta é o item b. (Solução 2, assumindo que a taxa de 10% ao ano é efetiva) Neste caso, para obter o juro pago após seis meses ou 126 dias, é preciso, em primeiro lugar, encontrar a taxa diária equivalente que, em 252 dias pagaria um rendimento de 10%. E, em segundo lugar, calcular o rendimento percentual que esta taxa proporciona em 126 dias, ou seja, trata-se de obter a seguinte taxa: (1+0,1)252/126 – 1 = 0,048808848 e então aplicar tal taxa ao capital inicial, o que dá um valor de 48.808,84817 ~ 48.809. O item c seria o correto neste caso. (Q.7) (BOVESPA, 2008,Q42) Um determinado título de renda fixa tem valor nominal de R$1.000,00 no vencimento e pode ser adquirido, a 221 dias úteis do vencimento, por R$904,21. Por sua vez, um determinado banco oferece um CDB com valor de face equivalente a R$100.000,00 na data de emissão, a ser resgatado por R$118.450,30 em 18 meses. Com base nestas informações assinale a alternativa correta: a) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro menor, 12,17% ao ano ante 12,95% ao ano do CDB b) O CDB oferece uma taxa de juro menor, 0,95% ao mês ante 0,96% ao mês do título público c) O CDB e o título de renda fixa possuem a mesma taxa de rentabilidade d) O título de renda fixa oferece uma taxa de juro maior, 12,17% ao ano ante 10,95% ao ano do CDB R: Para resolver este exercício, é preciso conhecer a taxa de juro paga pelas duas oportunidades de aplicação em dois períodos de capitalização, mensal e anual. 10 (Investimento 1, renda fixa) A taxa gerada, após 221 dias, pelo título, é de it,221 = 1000/9004,21 – 1 = 0.10593778. Para encontrar as taxas efetivas nas bases mensal e anual, it,m, it,a, respectivamente, basta fazer os cálculos abaixo. Taxa anual: it,a = (1+i)252/221 = 0.121669379 Taxa mensal: it,m = (1+i)21/221 = 0.009614096 (Investimento 2, CDB) A taxa gerada, após 18 meses, pelo CDB é de 118.450,3/100.000 – 1 = . As taxas efetivas nas bases mensal e anual, iCDB,m, iCDB,a, respectivamente, são encontradas abaixo. Taxa anual: it,a = (1+i)12/18 = 0.119500031 Taxa mensal: it,m = (1+i)1/18 = 0.009451232 Fica nítido, pois, que o título é a melhor aplicação. Mas é preciso avaliar item a item. Item a: equivocado pois não bate com as taxas calculadas. Item b: correto, as taxas informadas equivalem às obtidas, e o título é realmente a melhor aplicação. Item c: equivocado Item d: a taxa informada para o CDB está equivocada. (Q.8) (BOVESPA, 2008, Q208) Um investidor aplica R$40.000,00 à taxa de juro de 18% ao ano. Considerando que este montante fica aplicado por um prazo de três anos e que a capitalização é contínua, calcule o valor de resgate do investimento. a) R$65.721,28 b) R$61.600,00 c) R$47.888,69 d) R$68.640,27 R: Aplicando a fórmula do montante de uma capitalização contínua, tem-se que o valor resgatado é de Ct = 40.000etr, considerando t = 3, tem-se Ct = 40.000e3 x 0.18 = 68640.27449. A resposta correta é o item d. (Q.9) (BOVESPA, 2008, Q211, adaptado) Considere que você tenha aplicado um valor de R$120.000,00 à taxa de juro instantânea (contínua) de 1,85% ao mês. Sabendo que o valor de resgate foi de R$330.000,00, determine o tempo de aplicação deste capital. 11 a) 1 mês b) 25 meses c) 53 meses d) 55 meses R: Basta manipular a fórmula do montante para que ela reporte o tempo de aplicação. Sabemos que Ct = C0etr, aplicando o logaritmo natural na equação resulta que lnCt = lnC0+tr, e, pois, t = ln(Ct/C0)/r. Incorporando os dados do problema: t = ln(330.000/120.000)/0,0185 = 54.68113036 ~ 55 meses. O item d é a resposta correta. (Q.10) (BOVESPA, 2008, Q114) Um banco tomou R$1.000.000,00 por seis meses a uma taxa equivalente a 24% ao ano e aplicou, também por seis meses, a uma taxa equivalente a 2% ao mês. O lucro desta operação foi próximo a: a) R$12.610,00 b) R$11.580,00 c) R$13.920,00 d) R$11.950,00 R: Há duas operações financeiras simultâneas ocorrendo, a tomada de crédito pelo banco e a concessão de crédito pelo mesmo banco. O diagrama abaixo ilustra isso. Em que CRt ≡ valor que o banco tem a receber e CDt ≡ valor que o banco deve devolver (dívida). O lucro da operação, pois, é dado por CRt – CDt, uma vez que lucro sempre se define como a receita deduzida da despesa. Como CRt = 106(1+ir)6 e CDt = 106(1+idm)6, então L= CRt – CDt = 106[(1+ir)6 - (1+ idm)6] (i). A taxa a que foi tomado o empréstimo, id, está originalmente definida em um período de capitalização distinto do período de aplicação e, pois, deve ser convertida, obtendo-se a taxa equivalente mensal, idm. Basta fazer considerar que (1 + idm)12 = (1+ id), tal que idm = (1+ id)1/12 - 1 (ii). Combinando (i) e (ii): L= 106[(1+ir)6 - (1+ id)6/12] = 106[(1+0,02)6 - (1+0,24)6/12] = 1.000.000,00$ CRt ↑ ↑ 0 1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ 1.000.000,00$ CDt 12 106[1,126162419 - 1,113552873] = 12.609,5467 ~ 12.610 (item a).
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