Aula - Oscilações Amortecidas e Forçadas

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Oscilações 
Amortecidas
e 
Forçadas
RLN -2009
Oscilações amortecidas
Sistema massa-mola
Serão somente analisadas situações onde a 
força de resistência viscosa Fa é proporcioci
nal, á velocidade, Fa=-ρρρρx, e a força de atri
to com o solo é desprezível.
.
Considere um sistema massa-mola imerso em 
um fluido viscoso
000
Fa
m
x
F- kxk
Fa
m
x
F-k
m
x
F=-k
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O coeficiente de resistência viscosa ρρρρ é sempre posi
tivo. No caso de objetos esféricos tem-se que
ρρρρ=6pipipipirηηηη, onde r é o raio da esfera
e ηηηη é a viscosidade do meio.
Valores típicos de viscosidade
Fluido ηηηη (N.s/m2)
Ar 1,8x10-5
Acetona 4,0x10-4
Água 1,0x10-3
Glicerina 1,2x101
Piche 6x1010
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A equação de movimento será escrita como
)1-
0
2
0
s]([decaimentodetante
-conschamadaaéeoscilaçãode
freqüênciaaém
konde0,xxx
daí0kxxxm
sejaoukxxFaFxm
=γ
==++
=++
−−=+=
γγγγ
ωωωωωωωωγγγγ
ρρρρ
ρρρρ
&&&
&&&
&&&
x+γx+ω0x=0
... 2
Equação do oscilador harmônico amortecido
Equação diferencial linear de segunda 
ordem homogênea
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x+γx+ω0x=0
... 2
Solução da equação diferencial
A solução será a função complexa z(t)=ept, onde
p é complexo e z(t)=x(t)+iy(t)
.
Derivando obtemos z=pept e z=p2ept
..
0)p(pe0epeep 202
ptpt2
0
ptpt2 =++⇒=++ ωωωωγγγγωωωωγγγγ
Para que a equação seja satisfeita para qualquer
instante de tempo t devemos ter
0pp 202 =++ ωωωωγγγγ
Equação característica da equação do oscilador
harmônico amortecido
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Solução da equação característica
2
0
220
2
422
4
p ωωωωγγγγγγγγωωωωγγγγγγγγ −±−=−±−=±
A equação característica tem sempre 2 raízes
dupla.realraiz1temequaçãoa0
4
Se 3)
reais.soluções2temequaçãoa0
4
Se 2)
complexas.soluções2temequaçãoa0
4
Se 1)
2
0
2
2
0
2
2
0
2
=−
>−
<−
ωωωωγγγγ
ωωωωγγγγ
ωωωωγγγγ
A solução geral da equação será
, onde a e b podem ser complexos
A solução do problema físico será x(t)=Re(z(t))
tptp beaez(t) −+ +=
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Discussão das possíveis soluções
γγγγ
2
<ωωωω0 =>1) ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)ωωωω
γγγγ
+=
− tcos(Aex(t) t2
O sistema é oscilatório, mas não periódico. O sistema
após um tempo longo estará na posição de equilíbrio 
Amortecimento sub-crítico
4
22
0
γγγγωωωωωωωω −=
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γγγγ
2
2) >ωωωω0
t
2
(-t
2
(-
beaex(t)
β)β)β)β)γγγγβ)β)β)β)γγγγ +−
+=
A solução x(t) é a soma de duas exponenciais 
decrescentes. O sistema não será mais oscilatório
Amortecimento super-crítico
2
0
2
4
ωωωωγγγγββββ −=
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γγγγ
2
3) =ωωωω0
Pode-se mostrar que a solução geral neste caso será
bt)(aex(t)
t
2
-
+=
γγγγ
)
2
( 0x
4
xx de Solução 0
2
ωωωωγγγγγγγγγγγγ ==++ &&&
Amortecimento crítico
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Pode-se mostrar que, para as mesmas condições 
iniciais, o amortecimento crítico é aquele onde o 
movimento retorna mais rapidamente à posição de 
equilíbrio. 
 Valores numéricos: m=1,0 kg e ωωωω0 =1,25 s
-1 
1) Subcrítico => A=0,41 m ;ϕϕϕϕ=-0,20 rad ; e γ=0,50 s-1 
2) Crítico => a=0,40 m ; b=0,50 m/s e γ=2,5 s-1 
3) Supercrítico => a=0,56 m ; b=-0,16 m/s e γ=3,0 s-1 
 
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Balanço energético 
 
Caso subcrítico - Amortecimento fraco (γ << )0ω 
 
A energia mecânica do oscilador é dada por: 
 
dt
dxv(t)eφ)t cos( ω
t
2Aex(t)onde(t),2kx
2
1(t)2mv
2
1E(t) =+
γ
−
=+= . 
 
 
 
 
Podemos calcular o valor médio E(t) em um ciclo )
ω
2πT( = : 
 ∫=
+τt
t dt')E(t'Τ
1E(t) . Se γ << 0ω pode-se mostrar que 
 
 t0eEE(t) γ −= , onde E0 é a energia mecânica inicial do oscilador. 
 
Os gráficos de E(t) eE(t) , calculados para m=1,0 kg, A=1,0 m, 
=0ω 0,50 s
-1 e γ=0,10 s-1, são mostrados na figura 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












ϕ+γ
+ϕ++ϕ+γ+
=
γ−
)]t ωsen[2(
2
ω
)t (ωsenω)t (ω)cos
4
(ω
emA
2
1
E(t)
222
2
2
0t2
 
t
0eEE(t)
γ −
=
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Oscilações forçadas
e amortecidas
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Oscilações forçadas e amortecidas
A força de resistência viscosa Fa é proporcioci
nal à velocidade, Fa=-ρρρρx, e a força externa 
periódica é dada por Fext=F0cos(ΩΩΩΩt)
.
Considere um sistema massa-mola imerso em 
um fluido viscoso e sujeito à uma força exter
na periódica.
- ρρρρx
m
0 x
-kxk
Fext
- ρρρρx
m
0 x
-kxk
m
0 x
-kxk
Fext
.
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A equação de movimento será escrita como
externa.freqüênciaéedecaimento
deconstanteaéoscilação,denaturalde
freqüênciaaém
kondet),cos(
m
F
xxx
daít)cos(Fkxxxm
sejaout)cos(FkxxFFaFxm
0
02
0
0
0ext
ΩΩΩΩ
γγγγ
ωωωωΩΩΩΩωωωωγγγγ
ΩΩΩΩρρρρ
ΩΩΩΩρρρρ
==++
=++
+−−=++=
&&&
&&&
&&&
Equação do oscilador forçado e amortecido
x+γx+ω0x= cos(Ωt)
... 2 F0
m
Equação diferencial linear de segunda 
ordem não homogênea
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x+γx+ω0x= cos(Ωt)
... 2 F0
m
Solução Geral
x(t)=xh(t)+xp(t)
Solução da homegênea Solução particular
A solução da homegênea já foi discutida. Por exemplo
se γγγγ
2
<ωωωω0 (caso sub-crítico): 
))))ωωωω
γγγγ φ+= − tcos(Bex(t) t2
iniciaiscondiçõesdas
partiradefinidasconstanteseB
4
22
0 φφφφγγγγωωωωωωωω ;−=
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22
02
1
22222
0
0 arctane1
m
F
A(
ΩΩΩΩωωωω
γΩγΩγΩγΩ
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
Ω)Ω)Ω)Ω) ))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(
−
−=
+−
= Ω
































xp(t)=A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]
Equação de um oscilador harmônico de freqüência ΩΩΩΩ
amplitude A(ΩΩΩΩ) e fase inicial ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)
Solução Particular
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Ressonância de Amplitude
A amplitude A(ΩΩΩΩ) da solução estacionária é máxima
2
 02 
222e0
d
d
mínimofor quando máxima éA(
22
0
A
R
222
0
222
0
22222
0
22222
0
γγγγωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
0000ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω Ω)Ω)Ω)Ω)
−=⇒=+−
=+×−⇒=+−
+−
























Efeito da ressonância
























−≈−+=−
<<−
<<→
ΩΩΩΩωωωωωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωωΩΩΩΩωωωω
ωωωω ωωωωΩΩΩΩ
ωωωωγγγγ
0000
22
0
00
0
2
 aressonânci da Próximo
 fraco ntoAmortecime
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













































































−
−≅
−
−
+−
≅
+−
≅
≅Ω
ΩΩΩΩωωωω2222
γγγγ
ΩΩΩΩωωωω2ω2ω2ω2ω
γωγωγωγω
γγγγΩΩΩΩωωωωωωωωωωωωγγγγΩΩΩΩωωωωωωωω
Ω)Ω)Ω)Ω)
))))ϕ(ϕ(ϕ(ϕ(
000
0
22
0
0
0
2
0
22
0
2
0
0
arctanarctan
4
1
2m
F
4
1
m
F
A(
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γγγγ
2
<ωωωω0Exemplo: solução da homogênea para
Solução Geral
x(t)=xh(t)+xp(t)
Be cos(ωωωω0t+φφφφ)+A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]2
γγγγ
- t
x(t)=
transiente estacionária
 m =1,0 kg, =
0
00
0
ω
ωω
ω 5,0 s-1, 
 γ γ γ γ = 0,50 s-1, B =2,0 m , 
 φ = -0.05 rad, F0 = 10 N 
 Ω Ω Ω Ω = 5,0 s-1. 
 
Simulação
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kx)x(mx
dt
dE(t)kx
2
1(t)xm
2
1E(t) 22 +=⇒+= &&&&
F(t)xmkxxm +γ−=+ &&&
 (t)Pxm(t)xF(t)xm
dt
dE 22 +−=×+−=&&& γγγγγγγγ
Balanço Energético
O segundo membro desta equação representa o balanço
entre a potência dissipada pela força de resistência vis
cosa e a potência fornecida pela força externa.
Regime estacionário
x(t)= A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]
x(t)=-ΩΩΩΩA(ΩΩΩΩ)sen[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]
.
x(t)=-ΩΩΩΩ2A(ΩΩΩΩ)cos[ΩΩΩΩt+ϕϕϕϕ(ΩΩΩΩ)]=>x=-ΩΩΩΩ2x
.. ..
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2
0
2 mk e x-x Mas F(t).xmkxxm ωωωω=Ω=+γ−=+ &&&&&
 tsen(AtAcos(t)Acos(-m
dt
dE 22
0 ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)[ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)(ω(ω(ω(ω +ΩΩ−+Ω+ΩΩ−=
 tsen[2(A
2
1)Am
dt
dE 2
0
22 ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω(((( +ΩΩΩΩ= −
x)x-m
dt
dE 22
0
&Ω−= (ω(ω(ω(ω
Tomando a média sobre um período
 0tsen[2(A
2
1)Am
dt
dE 2
0
22 =+ΩΩΩΩ= − ϕ)]ϕ)]ϕ)]ϕ)]ωωωω((((
No regime estacionário, em média, a energia se conserva
 xm(t)P0(t)Pxm
dt
dE 22 && γγγγγγγγ =⇒=+−=
No regime estacionário a potência média fornecida pela
força externa é igual a potência média dissipada pela
pela força de atrito.
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 t(senAm xm(t)P 2222 ϕ)ϕ)ϕ)ϕ)γγγγγγγγ +ΩΩ== &
])2m[(
F
Am
2
1P
22222
0
22
022
ΩΩΩΩγγγγΩΩΩΩωωωω
ΩΩΩΩγγγγγΩγΩγΩγΩ
+−
 
==
1
2
])1
1
2m
F
P Definindo
2
0
222
0
2
0
0
ωωωω
γγγγ
αααα
(α(α(α(αωωωω
γγγγ
ωωωω
ΩΩΩΩαααα
+−
 
 
=⇒=
010)
1 
rdenominado do mínimoP de máximoValor 
ωωωωαααα
αααα
(α(α(α(α =Ω⇒=⇒=−
⇒
0
P
R Potência de aRessonânci ωωωωΩΩΩΩ =⇒
2
 Amplitude de aRessonânci
22
0
A
R
γγγγωωωωΩΩΩΩ −=⇒
P
R
A
R )0( fraco ntoamortecime o Para ΩΩΩΩΩΩΩΩωωωωγγγγ ≅⇒<<
Oscilações acopladas
M
m
d
k
Se M>>m => oscilações forçadas.
O pêndulo menor oscila com a fre
qüência do pêndulo pesado.
Pêndulos idênticos
m
m
k
ll
d
)
)
θθθθ1
θθθθ2
1 2
x1 x2
As equações que descrevem o 
sistema são as seguintes:
m
kxxxx
l
gxxxx
2
112
2
12
2
02
2
012
2
11
2
01
=
=
−−=
−=
+
+
ωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωω
)(
)(
&&
&& }
Sistema de equações diferenciais 
acopladas
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Solução do sistema de equações
2
1
2
022
 e 1 ,2 ,1
2221012
2221011
2esarbitráriaconstantessãoAA
)tcos(A)tcos(A(t)x
)tcos(A)tcos(A(t)x
ωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω
ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω
+=
+−+=
+++=
Modos Normais
x1 x2
Modo simétrico
x1 x2
Modo assimétrico
x1=x2
mola relaxada
l
g
0 =ωωωω
x1=-x2
mola distendida
m
k2
l
g
0 +=ωωωω
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Caso Particular
Pêndulos partindo do repouso com um deles partindo 
da posição de equilíbrio
x1(0)=A ;x2(0)=0 e x1(0)=x2(0)=0
..
2
1
2
02202
201
2 ; t)]cos(t)[cos(
2
A(t)x
t)]cos(t)[cos(
2
A(t)x
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
+=−=
+=
t)]t)sen(
2
Asen((t) x
t)]t)cos(
2
Acos((t) x
)(e)(
2
1 Definindo
2
1
0202
ωωωωωωωω
ωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
∆
=
∆
=
=∆= −+
Simulação
t
t
x1
x2
A
-A
Batimento (∆ω∆ω∆ω∆ω<<ωωωω)
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Outro exemplo de oscilador acoplado
Modo simétrico
x1=x2 m
k
0 =ωωωω
Modo assimétrico
x1=-x2 m
k30 =ωωωω
Oscilações longitudinais
Modos normais
Molas relaxadas
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Oscilações transversais – 3 molas igualmente esticadas
T0 magnitude da força restauradora => T0=k(a-d)
Modos normais
Modo simétrico
ma
T
0
0 =ωωωω
Modo assimétrico
ma
3T
0
0 =ωωωω
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Modos transversais de 4 partículas
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