Funcoes inversas de Tan Sec Cot Csc

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EP 11 – 2016-1 – GABARITO – Inversas: Tangente-Secante-Cotangente-Cossecante Pré-Cálculo 
 
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CEDERJ 
Gabarito – EP 11 
Pré-Cálculo 
 
Exercício 1 
a) Desenhe o círculo trigonométrico e marque o semicírculo que corresponde aos possíveis 
resultados da função 𝜃 = arctan 𝑥. Marque os ângulos notáveis nesse semicírculo e os correspondentes 
valores da tangente desses ângulos. Confira se você acertou, esse desenho está na página 2 desse EP11. 
Se não acertou, corrija os seus erros, isso é muito importante para fazer os cálculos dos próximos 
exercícios. 
b) Faça a mesma coisa que fez no exercício anterior, agora para a função 𝜃 = arccot 𝑥. 
 
Resolução: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2: Calcule, se possível, os seguintes valores: 
a) arctan⁡(1) b) arctan (
√3
3
) c) arctan (sen (−
𝜋
2
)) 
d) arctan(−√3) e) sec(arctan(−1)) f) arccot (−
3
√3
) 
g) arcsec(−2) h) sen(arccsc 10) i) cos(arcsec(−10)) 
 
Resolução: 
a) arctan(1) =
𝜋
4
 b) arctan (
√3
3
) =
𝜋
6
 
 
c) arctan (sen (−
𝜋
2
)) = arctan(−1) = −
𝜋
4
 d) arctan(−√3) = −
𝜋
3
 
 
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e) sec(arctan(−1)) = sec (−
𝜋
4
) =
1
cos(−𝜋/4)
=
1
√2/2
=
2
√2
=
2√2
2
= √2 
 
f) arccot (−
3
√3
) = arccot (−
3√3
3
) = arccot(−√3) =
5𝜋
6
 
 
g) arcsec(−2) = arccos (
1
−2
) =
2𝜋
3
 
 
h) sen(arccsc 10) = sen (arcsen (
1
10
)) =
1
10
 , pois 
1
10
∈ [−1,1] e sen(arcsen(𝑥)) = 𝑥 ∀𝑥 ∈ [−1,1]. 
 
i) cos(arcsec(−10)) = cos (arccos (
1
−10
)) = −
1
10
⁡, pois −
1
10
∈ [−1,1] e 
cos(arccos(𝑥)) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ [−1,1]. 
 
Exercício 3: Resolva: 
a) arctan (
3𝑥−12
√3
) =
𝜋
3
⁡⁡ b) arccot(2𝑥2 + 𝑥) =
𝜋
4
 c) arcsec(sec(𝑥4)) = 1/16 
 
Resolução: 
a) arctan (
3𝑥−12
√3
) =
𝜋
3
⁡⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡⁡
3𝑥−12
√3
= tan (
𝜋
3
) ⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡
3𝑥−12
√3
=⁡√3 ⁡⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡3𝑥 − 12 = ⁡√3⁡√3 ⁡⁡⁡⁡⟺ 
⁡3𝑥 − 12 = 3⁡ ⟺ 3𝑥 = 15⁡ ⟺ 𝑥 = 5. Solução 𝑆 = {5}. 
 
b) arccot(2𝑥2 + 𝑥) =
𝜋
4
⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡2𝑥2 + 𝑥 = cot (
𝜋
4
) ⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡2𝑥2 + 𝑥 = 1⁡⁡⁡⁡ ⟺ ⁡⁡2𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0⁡⁡⁡ ⟺ 
𝑥 =
−1±√12−4∙2∙(−1)
2∙2
=
−1±√9
4
=
−1±3
4
⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡𝑥 =
2
4
⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡𝑥 = −
4
4
 ⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡𝑥 =
1
2
⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡𝑥 = −1. 
Solução 𝑆 = {−1,
1
2
}. 
 
c) arcsec(sec(𝑥4)) =
1
16
. 
Sabemos que arcsec(sec 𝑦) = 𝑦 para todo 𝑦 ∈ [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋]. 
Como ⁡⁡
1
16
∈ [0,
𝜋
2
)⁡,⁡⁡ temos que arcsec(sec(𝑥4)) =
1
16
⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡ 𝑥4 =
1
16
⁡. 
Resolvendo: 𝑥4 =
1
16
⁡⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡ (𝑥2)2 =
1
16
⁡⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡ 𝑥2 =
1
4
 ou 𝑥2 = −
1
4
. 
Mas, 𝑥2 = −
1
4
 não tem solução pois −
1
4
< 0⁡⁡⁡𝑒⁡⁡𝑥2 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Logo, só temos a opção ⁡𝑥2 =
1
4
⁡⁡⁡, donde segue que, 𝑥2 =
1
4
⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡⁡𝑥 =
1
2
⁡⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 = −
1
2
. 
Portanto a solução é 𝑆 = {−
1
2
,
1
2
}. 
 
 
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Exercício 4: Verifique que as seguintes propriedades são verdadeiras: 
a) arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
)⁡ para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 
b) arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
)⁡ para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0 
c) arccot(𝑥) = π + arctan (
1
𝑥
)⁡ para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 0 
d) arctan(𝑥) = −π + arccot (
1
𝑥
)⁡ para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 < 0 
 
Resolução: 
Esse exercício é teórico, não se preocupe caso não tenha conseguido provar nenhuma das quatro 
propriedades, o importante é você conhecer cada propriedade no intervalo adequado. Observe com 
cuidado as provas das propriedades, preste atenção nos intervalos. 
a) Queremos provar: arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
)⁡, se 𝑥 > 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arctan (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arccot(𝑥)⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 > 0, então, temos que cot(𝑦) = 𝑥,⁡⁡⁡𝑥 > 0,⁡⁡⁡⁡0 < 𝑦 <
𝜋
2
. 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 > 0,⁡⁡⁡0 < 𝑦 <
𝜋
2
,⁡⁡⁡tan(𝑦) > 0,⁡⁡⁡ cot(𝑦) > 0 e cot(𝑦) =
1
tan(𝑦)
. 
Logo, 
𝑦 = arccot(𝑥) ,⁡⁡⁡𝑥 > 0⁡⁡ ⟹⁡⁡ cot(𝑦) = 𝑥 ⁡
⁡⁡⁡cot(𝑦)⁡=⁡⁡
1
tan(𝑦)
⁡⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡
1
tan(𝑦)
= 𝑥⁡⁡
⁡⁡𝑥≠0⁡⁡
⇒ ⁡ tan(𝑦) =
1
𝑥
⁡⁡⟹ 
arctan(tan(𝑦)) = arctan (
1
𝑥
) ⁡⁡⁡⁡
⁡⁡⁡𝑦∈(0,
𝜋
2
),⁡⁡⁡arctan(tan(𝑦))=𝑦⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 = arctan (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arccot(𝑥) = arctan (
1
𝑥
) se 𝑥 > 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Queremos provar: arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
)⁡, se 𝑥 > 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arccot (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arctan(𝑥)⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 > 0, então, temos que tan(𝑦) = 𝑥,⁡⁡⁡𝑥 > 0,⁡⁡⁡⁡0 < 𝑦 <
𝜋
2
. 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 > 0,⁡⁡⁡0 < 𝑦 <
𝜋
2
,⁡⁡⁡tan(𝑦) > 0,⁡⁡⁡ cot(𝑦) > 0 e tan(𝑦) =
1
cot(𝑦)
. 
Logo, 
𝑦 = arctan(𝑥) ,⁡⁡⁡𝑥 > 0⁡⁡ ⟹⁡⁡ tan(𝑦) = 𝑥 ⁡
⁡⁡⁡tan(𝑦)⁡=⁡⁡
1
cot(𝑦)
⁡⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡
1
cot(𝑦)
= 𝑥⁡⁡
⁡⁡𝑥≠0⁡⁡
⇒ ⁡cot(𝑦) =
1
𝑥
⁡⁡⟹ 
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arccot(cot(𝑦)) = arccot (
1
𝑥
) ⁡⁡⁡⁡
⁡⁡⁡𝑦∈(0,
𝜋
2
),⁡⁡⁡arccot(cot(𝑦))=𝑦⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡⁡⁡⁡𝑦 = arccot (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arctan(𝑥) = arccot (
1
𝑥
) se 𝑥 > 0. 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Queremos provar: arccot(𝑥) = 𝜋 + arctan (
1
𝑥
)⁡, se 𝑥 < 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arctan (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arccot(𝑥)⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 < 0, então, temos que cot(𝑦) = 𝑥,⁡⁡⁡𝑥 < 0,⁡⁡⁡⁡
𝜋
2
< 𝑦 < 𝜋. 
Também temos que: 
𝜋
2
< 𝑦 < 𝜋⁡⁡⁡ ⟹⁡⁡⁡
𝜋
2
− 𝜋 < 𝑦 − 𝜋 < 𝜋 − 𝜋⁡⁡ ⟹⁡⁡−
𝜋
2
< 𝑦 − 𝜋 < 0. 
Como a função cotangente tem período igual a 𝜋, sabemos que cot(𝑦) = cot(𝑦 − 𝜋). 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 < 0,−⁡
𝜋
2
< 𝑦 − 𝜋 < 0,⁡⁡⁡ tan(𝑦 − 𝜋) < 0, ⁡⁡⁡cot(𝑦) = ⁡ cot(𝑦 − 𝜋) < 0 e cot(𝑦 − 𝜋) =
1
tan(𝑦−𝜋)
. 
Logo, 
𝑦 = arccot(𝑥) ,⁡⁡⁡𝑥 < 0⁡⁡ ⟹⁡⁡⁡ cot(𝑦) = 𝑥 ⁡⁡⁡⁡
⁡cot(𝑦)=cot(𝑦−𝜋)⁡
⇒ ⁡⁡ ⁡⁡⁡cot(𝑦 − 𝜋) = 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡
⁡⁡⁡cot(𝑦−𝜋)⁡=⁡⁡
1
tan(𝑦−𝜋)
⁡⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡ 
1
tan(𝑦−𝜋)
= 𝑥⁡⁡
⁡⁡𝑥≠0⁡⁡
⇒ ⁡⁡⁡ tan(𝑦 − 𝜋) =
1
𝑥
⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡ arctan(tan(𝑦 − 𝜋)) =arctan (
1
𝑥
)⁡ 
⁡
⁡⁡⁡(𝑦−𝜋)⁡∈(−⁡
𝜋
2
,⁡⁡⁡0),⁡⁡⁡arctan(tan(𝑦−𝜋))=𝑦−𝜋⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡𝑦 − 𝜋 = ⁡arctan (
1
𝑥
) ⁡⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡𝑦 = 𝜋 + ⁡arctan (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arccot(𝑥) = ⁡𝜋 + arctan (
1
𝑥
) se 𝑥 < 0. 
 
d) Queremos provar: arctan(𝑥) ⁡= −𝜋 + arccot (
1
𝑥
), se 𝑥 < 0. 
Primeiro observe que 𝑥 ≠ 0, logo podemos calcular 
1
𝑥
 e consequentemente podemos calcular arccot (
1
𝑥
). 
Agora, se 𝑦 = arctan(𝑥)⁡⁡⁡⁡𝑒⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 < 0, então, temos que tan(𝑦) = 𝑥,⁡⁡⁡𝑥< 0,⁡⁡⁡ −
𝜋
2
< 𝑦 < 0. 
Também temos que: −
𝜋
2
< 𝑦 < 0⁡⁡ ⟹⁡⁡−
𝜋
2
+ 𝜋 < 𝑦 + 𝜋 < 0 + 𝜋⁡⁡ ⟹⁡⁡
𝜋
2
< 𝑦 + 𝜋 < 𝜋. 
Como a função tangente tem período igual a 𝜋, sabemos que tan(𝑦) = tan(𝑦 + 𝜋). 
Assim, temos as seguintes informações, que serão usadas a seguir: 
𝑥 < 0,
𝜋
2
< 𝑦 + 𝜋 < 𝜋,⁡⁡⁡ cot(𝑦 + 𝜋) < 0, ⁡⁡⁡tan(𝑦) = ⁡ tan(𝑦 + 𝜋) < 0 e tan(𝑦 + 𝜋) =
1
cot(𝑦+𝜋)
. 
Logo, 
𝑦 = arctan(𝑥) ,⁡⁡⁡𝑥 < 0⁡⁡ ⟹⁡⁡⁡ tan(𝑦) = 𝑥 ⁡⁡⁡⁡
⁡tan(𝑦)=tan(𝑦+𝜋)⁡
⇒ ⁡⁡ ⁡⁡⁡tan(𝑦 + 𝜋) = 𝑥 ⁡⁡⁡⁡⁡
⁡⁡⁡tan(𝑦+𝜋)⁡=⁡⁡
1
cot(𝑦+𝜋)
⁡⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡ 
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1
cot(𝑦+𝜋)
= 𝑥⁡⁡
⁡⁡𝑥≠0⁡⁡
⇒ ⁡⁡⁡ cot(𝑦 + 𝜋) =
1
𝑥
⁡⁡⟹⁡⁡⁡ arccot(cot(𝑦 + 𝜋)) =arccot (
1
𝑥
)⁡ 
⁡
⁡⁡⁡(𝑦+𝜋)⁡∈(⁡
𝜋
2
,⁡⁡⁡𝜋),⁡⁡⁡arccot(cot(𝑦+𝜋))=𝑦+𝜋⁡⁡⁡
⇒ ⁡⁡𝑦 + 𝜋 = ⁡arccot (
1
𝑥
) ⁡⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡𝑦 = −𝜋 + ⁡arccot (
1
𝑥
), 
Portanto, 𝑦 = arctan(𝑥) = − 𝜋 + arccot (
1
𝑥
) se 𝑥 < 0. 
 
Exercício 5: Calcule os seguintes valores: 
a) arctan (cot (
𝜋
3
)) b) cot (arctan (−
1
15
)) c)⁡cos(arccsc(−10)) 
 
Resolução: 
a) arctan (cot (
𝜋
3
)) = arctan (
√3
3
)⁡ =
𝜋
6
. 
Outra maneira de resolver é usando a propriedade cot(𝑥) = tan (
𝜋
2
− 𝑥), como está resolvido a seguir, 
⁡arctan (cot (
𝜋
3
)) = arctan (tan (
𝜋
2
−
𝜋
3
)) = arctan (tan (
𝜋
6
)) =
𝜋
6
⁡ 
 
b) Podemos resolver esse exercício usando a propriedade provada no exercício (4d), 
cot (arctan (−
1
15
)) = cot (−𝜋 + arcot (
1
−⁡
1
⁡15
))⁡⁡⁡⁡⁡=⁡⁡⏞
⁡⁡(∗)
⁡cot (arcot (
1
−⁡
1
⁡15
)) = cot(arcot(−15)) = −15. 
(*) usamos cot(−𝜋 + 𝜃) = cot(𝜃). 
 
c) Podemos resolver esse exercício usando inicialmente a propriedade provada no EP11, 
arccsc(𝑥) = arcsen (
1
𝑥
)⁡, para todo 𝑥 ∈ (−∞,−1] ∪ [1,∞). Logo, 
cos(arccsc(−10)) = cos (arcsen (
1
−10
)). 
Atribuindo uma letra para arcsen (
1
−10
), temos: θ = arcsen (
1
−10
), precisamos calcular cos(𝜃). 
θ = arcsen (
1
−10
) ⁡⟹⁡⁡ sen(θ) = −
1
10
 
Da equação trigonométrica fundamental, 
cos(𝜃) = ±√1 − sen2(𝜃) = ±√1 − (−
1
10
)
2
= ±√1 −
1
100
= ±√
99
100
= ±
√99
10
 . 
Temos que decidir qual dos sinais, + ou −, devemos considerar em ±
√99
10
. 
θ = arcsen (
1
−10
), logo sabemos que θ ∈ (−
𝜋
2
, 0), isto é, θ está no 4º. quadrante, donde cos(𝜃) > 0. 
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Portanto, cos(𝜃) =
√99
10
. 
Exercício 6: Determine o domínio de cada função: 
a) 𝑓(𝑥) = arccot(2𝑥 − 3) b) 𝑔(𝑥) =
1
√−arctan𝑥
 
c) 𝑝(𝑥) = arcsec(𝑥 − 3) d) 𝑞(𝑥) = √arccot 𝑥 
e) 𝑟(𝑥) =
2
π+4arccsc(2𝑥−√2)
 f) 𝑠(𝑥) = √4 − (arctan 𝑥)2 
Resolução: 
a) 𝑓(𝑥) = arccot(2𝑥 − 3). 
Sabemos que o domínio da função arco cotangente é o intervalo (−∞,∞), logo não há restrição para a 
expressão 2𝑥 − 3, portanto 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑓) = (−∞,∞). 
 
b) 𝑔(𝑥) =
1
√−arctan𝑥
. Sabemos que o domínio da função arco tangente é o intervalo (−∞,∞)⁡ portanto 
as restrições do domínio são: 
I) O radicando deve ser positivo ou nulo, ou seja, −arctan(𝑥) ≥ 0. 
II) O denominador deve ser não nulo, ou seja, 
 √−arctan 𝑥 ≠ 0⁡⁡ ⟺⁡⁡− arctan 𝑥 ≠ 0⁡ 
Podemos escrever as duas restrições como uma única 
restrição,⁡− arctan(𝑥) > 0. 
Resolvendo, −arctan(𝑥) > 0 ⁡⁡⟺⁡⁡ arctan(𝑥) < 0. 
Visualizando no círculo trigonométrico ao lado, concluímos que 
arctan(𝑥) < 0 ⁡⁡⟺⁡−
𝜋
2
< arctan(𝑥) < 0 ⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡𝑥 < 0. 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑔) = (−∞, 0). 
 
c) 𝑝(𝑥) = arcsec(𝑥 − 3) 
Sabemos que o domínio da função arco secante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞). Logo, 
𝑥 − 3 ≤ −1⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡⁡𝑥 − 3 ≥ 1⁡⁡⁡ ⟺ ⁡⁡⁡⁡𝑥 ≤ 3 − 1⁡⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 ≥ 3 + 1⁡⁡⁡ ⟺ ⁡⁡⁡⁡𝑥 ≤ 2⁡⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 ≥ 4 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑝) = (−∞, 2] ∪ [4,∞). 
 
d) 𝑞(𝑥) = √arccot 𝑥 
Sabemos que 0 < arccot 𝑥 < 𝜋, para todo 𝑥 ∈ (−∞,∞), logo o radicando será positivo. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑞) = (−∞,∞). 
 
e) 𝑟(𝑥) =
2
π+4arccsc(2𝑥−√2)
. Temos duas restrições para o domínio: 
I) o domínio da função arco cossecante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞), ou seja, 
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2𝑥 − √2 ≤ −1 ou 2𝑥 − √2 ≥ 1. 
II) o denominador deve ser não nulo, ou seja, π + 4arccsc(2𝑥 − √2) ≠ 0. 
Resolvendo-as: 
I) 2𝑥 − √2 ≤ −1⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡2𝑥 − √2 ≥ 1⁡⁡⁡⁡ ⟺ ⁡⁡2𝑥 ≤ √2 − 1⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡2𝑥 ≥ √2 + 1⁡⁡⁡⁡⁡. 
𝑥 ≤
√2−1
2
⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 ≥
√2+1
2
⁡⁡⁡⟺ ⁡⁡𝑥 ≤
√2
2
−
1
2
⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 ≥
√2
2
+
1
2
⁡ 
Logo a solução de (I) é: 𝑆𝐼 = (−∞,
√2
2
−
1
2
] ∪ [
√2
2
+
1
2
, ∞). 
II) π + 4arccsc(2𝑥 − √2) ≠ 0⁡⁡ ⟺⁡⁡⁡ arccsc(2𝑥 − √2) ≠ −
𝜋
4
⁡⁡⁡⟺ ⁡2𝑥 − √2 ≠ csc (−
𝜋
4
) ⁡⟺ 
⁡⁡2𝑥 − √2 ≠⁡
1
sen(−
𝜋
4
)
⁡⁡⟺ ⁡⁡2𝑥 − √2 ≠
1
−⁡
√2
2
⁡⟺ ⁡⁡2𝑥 − √2 ≠ −√2 ⁡⁡⟺ ⁡⁡⁡2𝑥 ≠ 0⁡⁡ ⟺ ⁡⁡⁡𝑥 ≠ 0. 
Logo a solução de (II) é: 𝑆𝐼𝐼 = (−∞,0) ∪ (0,∞). 
O domínio da função 𝑟 é 𝑆𝐼 ∩ 𝑆𝐼𝐼⁡ temos que verificar se o valor 0 pertence a um dos intervalo𝑠⁡de 𝑆𝐼. 
Verificando, 0 <
√2
2
−
1
2
⁡⁡⟺⁡
1
2
<
√2
2
⁡⁡⟺ ⁡⁡1 < ⁡√2 . Como a última desigualdade é verdadeira e todas são 
equivalentes, podemos concluir que a primeira é verdadeira. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑟) = (−∞, 0) ∪ (0,
√2
2
−
1
2
] ∪ [
√2
2
+
1
2
, ∞). 
 
f) 𝑠(𝑥) = √4 − (arctan 𝑥)2 
A única restrição é o radicando positivo ou nulo, ou seja: 4 − (arctan𝑥)2 ≥ 0. 
Resolvendo, 
4 − (arctan𝑥)2 ≥ 0⁡ ⟺⁡−(arctan 𝑥)2 ≥ −4⁡⁡ ⟺⁡⁡ (arctan 𝑥)2 ≤ 4⁡ ⟺⁡⁡√(arctan 𝑥)2 ≤ 2⁡⁡ ⟺⁡⁡ 
|arctan 𝑥| ≤ 2⁡⁡ ⟺⁡⁡−2 ≤ arctan 𝑥 ≤ 2. 
Sabemos que arctan 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) para todo 𝑥 ∈ ℝ e também sabemos que 3 < 𝜋 < 4. 
Logo, 3 < 𝜋 < 4⁡⁡⁡⁡ ⟹ ⁡⁡⁡
𝜋
2
< 2⁡⁡⁡𝑒⁡ −
𝜋
2
> −2⁡, donde (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) ⊂ (−2,2). 
Conclusão: arctan 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
,
𝜋
2
) ⊂ (−2,2) ⁡⁡⁡⟹⁡arctan 𝑥 ∈ ⁡ (−2,2)⁡⁡⁡para todo 𝑥 ∈ ℝ. 
Portanto 𝐷𝑜𝑚⁡(𝑠) = (−∞,∞). 
 
Exercício 7: Esboce o gráfico de cada função, dê o domínio e imagem: 
a) 𝑓(𝑥) =
1
2
(
𝜋
2
⁡– arccot 𝑥) b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥) c) ℎ(𝑥) = arcsec(1 − 𝑥) 
 
Resolução: 
a) Sabemos que: 
𝜋
2
⁡– arccot 𝑥 = arctan 𝑥 para todo 𝑥 ∈ (−∞,∞), 
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podemos simplificar a função: 𝑓(𝑥) =
1
2
(
𝜋
2
⁡– arccot 𝑥) =
1
2
arctan 𝑥. 
Domínio: como não há restrição no domínio da função arco tangente, 𝑫𝒐𝒎⁡(𝒇) = (−∞,∞). 
Imagem: a imagem da função arco tangente é o intervalo (−
𝜋
2
,
𝜋
2
), ou seja, , −
π
2
<arctan 𝑥 < ⁡
π
2
. 
Agora, −
𝜋
2
< arctan 𝑥 < ⁡
π
2
⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡−
π
2
∙
1
2
<
1
2
arctan 𝑥 < ⁡
π
2
⁡ ∙
1
2
⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡−
π
4
<
1
2
arctan 𝑥 < ⁡
π
4
⁡. 
Portanto, 𝑰𝒎⁡(𝒇) = (−
𝝅
𝟒
,
𝝅
𝟒
). 
Como 
1
2
< 1, o gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
2
arctan 𝑥, é obtido por uma redução vertical do gráfico de 
𝑦 = arctan 𝑥, e o fator multiplicativo é igual a 
1
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥) 
Domínio: como não há restrição no domínio da função arco tangente, 𝑫𝒐𝒎⁡(𝒈) = (−∞,∞). 
Imagem: a imagem da função arco tangente é o intervalo (−
𝜋
2
,
𝜋
2
),ou seja, , −
π
2
<arctan 𝑥 < ⁡
π
2
. 
Agora, −
π
2
< arctan 𝑥 < ⁡
π
2
⁡⁡⁡⟹ ⁡⁡⁡−
π
2
∙ 2 < 2 arctan 𝑥 < ⁡
π
2
⁡ ∙ 2⁡⁡ ⟹⁡⁡⁡−π < 2arctan 𝑥 < π⁡⁡ ⟹⁡. 
−π + π < 𝜋 + 2arctan 𝑥 < π⁡ + π⁡⁡⁡ ⟹⁡⁡⁡ 0 < 𝜋 + 2arctan 𝑥 < 2π⁡. 
Portanto, 𝑰𝒎⁡(𝒇) = (𝟎, 𝟐𝝅) 
Uma possível sequência de transformações para obter o gráfico de 𝑔(𝑥) = 𝜋 − 2 arctan(𝑥), é: 
𝑦 = arctan(𝑥)
⁡⁡(1)⁡⁡
→ 𝑦 = 2 arctan(𝑥)⁡
⁡⁡(2)⁡⁡
→ 𝑦 = −2arctan(𝑥)⁡
⁡⁡(3)⁡⁡
→ 𝑦 = 𝜋 − 2arctan(𝑥)⁡ 
(1) Como 2 > 1, há um alongamento vertical no gráfico de 𝑦 = arctan(𝑥), por fator multiplicativo 2. 
(2) Reflexão no eixo 𝑥, do gráfico de 𝑦 = 2arctan(𝑥). 
(3) Translação vertical do gráfico de 𝑦 = −2arctan(𝑥) de 𝜋 unidades para cima. 
 
 
 
 
 
EP 11 – 2016-1 – GABARITO – Inversas: Tangente-Secante-Cotangente-Cossecante Pré-Cálculo 
 
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c) ℎ(𝑥) = arcsec(1 − 𝑥) 
Domínio: o domínio da função arco secante é o conjunto (−∞,−1] ∪ [1,∞), ou seja, 
1 − 𝑥 ≤ −1⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡⁡1 − 𝑥 ≥ ⁡1⁡⁡⁡ ⟺ ⁡⁡−𝑥 ≤ −2⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡ − 𝑥 ≥ 0⁡⁡ ⟺ ⁡⁡⁡𝑥 ≥ 2⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡𝑥 ≤ 0. 
Portanto, 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = (−∞,𝟎] ∪ [𝟐,∞). 
Imagem: a imagem da função arco secante é o conjunto [0,
𝜋
2
) ∪ (
𝜋
2
, 𝜋] , ou seja, 
0 ≤ arcsec(1 − 𝑥) <
𝜋
2
⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑜𝑢⁡⁡⁡⁡⁡⁡
𝜋
2
≤ arcsec(1 − 𝑥) < 𝜋. 
Portanto, 𝑰𝒎(𝒉) = [𝟎,
𝝅
𝟐
) ∪ (
𝝅
𝟐
, 𝝅]. 
Uma possível sequência de transformações para obter o gráfico de ℎ(𝑥) = arcsec(1 − 𝑥), é: 
𝑦 = arcsec(𝑥)
⁡⁡(1)⁡⁡
→ 𝑦 = arcsec(𝑥 + 1)⁡
⁡⁡(2)⁡⁡
→ 𝑦 = arcsec(−𝑥 + 1) = arcsec(1 − 𝑥) 
(1) Translação horizontal do gráfico de 𝑦 = arcsec(𝑥) de 1 unidade para esquerda. 
(2) Reflexão no eixo 𝑦, do gráfico de 𝑦 = arcsec(𝑥 + 1).