Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Universidade Salvador – UNIFACS Cursos de Engenharia – Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire Integrais Múltiplas Texto 03: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Noções de Coordenadas Polares Introduziremos agora um novo sistema de coordenadas planas que, para certas curvas e problemas de lugar geométrico, apresenta algumas vantagens em relação às coordenadas retangulares, além de facilitar, em alguns casos, o cálculo de integrais. No sistema de coordenadas retangulares a localização de um ponto P do plano é dada através da distância de P a duas retas perpendiculares fixas denominadas de eixos coordenados. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas de um ponto consistem de uma distância e da medida de um ângulo, em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. Fixados um ponto O, denominado pólo ou origem e uma semi-reta de origem nesse ponto, denominada de semi-eixo polar podemos localizar qualquer ponto P do plano se conhecermos a sua distância ao pólo e o ângulo que o segmento OP faz com o semi- eixo polar. P r O semi-eixo polar pólo 2 As coordenadas de um ponto P são representadas pelo par P( r, ) no qual r é denominado raio vetor ou raio polar e corresponde à distância de P ao pólo é denominado ângulo vetorial ou ângulo polar e corresponde ao ângulo de rotação do semi-eixo polar até o segmento OP > 0 se a rotação for no sentido anti-horário < 0 se a rotação for no sentido horário pode ser medido em graus ou radianos Denominamos eixo polar - a reta orientada que contém o semi-eixo polar eixo a 90 ou eixo ortogonal – a reta que passa pelo pólo e é ortogonal ao eixo polar. Exemplo: Marcar no sistema polar os seguintes pontos: P(3, /4); Q(2, /3); R(4, 90) e S(2, 0) Podemos considerar o raio vetor como distância orientada de um ponto P ao pólo O da seguinte maneira: Se r < 0 giramos o semi-eixo polar de ângulo e na semi-reta oposta marcamos r unidades, a partir do pólo Exemplo: Marcar os pontos P( 2, 45); Q ( 1, 30 ); R( 2, 180) P /4 /3 Q R S /4 P 30 Q O R 3 Exemplo: Representar P1 (1, /6); P2(1, 7/6); P3( 1, 5/6); P4(1, 11/6) Observamos pelo exemplo anterior que um mesmo ponto P pode ser obtido por vários pares de coordenadas polares. De um modo geral, conhecidas as coordenadas de um ponto P(r, ), r R e em radianos, P também pode ser representado por ( r, + 2n ) ou ( r, + 2n + ) que resulta na única expressão ( (1)n r, + n ), n Z. A menos que P seja o pólo, esta expressão representa todas as possíveis coordenadas polares de P. Observações: 1. No caso de coordenadas polares não existe uma correspondência biunívoca entre pares e pontos, como no caso das cartesianas. É justamente este fato que leva a resultados que, em alguns casos, diferem dos obtidos no sistema retangular. 2. Dados P1(r1, 1) e P2(r2, 2) então P1 = P2 r1 = r2 = 0 ou n Z tal que r2 = ( 1) n r1 e 2 = 1 + n . 3. Se P é o pólo, então (0, ) representa P qualquer que seja 4. Entre os infinitos pares de coordenadas polares de um ponto P diferente do pólo, existe um único par com raio vetor r positivo e [0, 2[. A este par (ro, o) tal que ro > 0 e 0 o < 2 denominamos par ou conjunto principal de coordenadas polares do ponto P. 5. Convencionamos que o par principal do pólo é P(0,0) P1 /6 7/6 P2 P3 5/6 P4 11/6 4 Equação Polar x Equação Cartesiana Dado um ponto P do plano tendo como coordenadas polares P(r, ) e coordenadas cartesianas P(x,y) temos as seguintes relações entre x, y, r e . 222 ryx senry cosrx e 22 yxr x y tg Exemplos: 1) Encontre o conjunto principal de coordenadas polares para o ponto )1,3(P Solução: 21)3(r 2 O ângulo é tal que 2 3 r x cos e 2 1 r y sen Logo, 6 5 e conjunto principal de coordenadas é ) 6 5 ,2( 2) Encontre as coordenadas cartesianas do ponto ) 4 3 ,2(P Solução: Temos que 1) 2 2 (2)4/3sen(2senry 1) 2 2 (2)4/3cos(2cosrx Logo, o ponto P tem coordenadas cartesianas P( 1, 1) r P(x,y) 5 3) Encontre uma equação polar para as curvas cujas equações cartesianas são A) x2 + y2 = 1 Solução: x = r cos e y = r sen (r cos )2 + (r sen )2 = 1 r2 = 1 r = 1 e r = 1 são equações polares equivalentes da circunferência de centro na origem e raio 1. A equação da circunferência com centro no pólo e raio a é r = a ou r = a B) Circunferência de centro no ponto ( 0, a) e raio a Solução: A equação cartesiana da circunferência é x2 + ( y – a)2 = a2 Usando as relações de transformação x = r cos e y = r sen (r cos)2 + (r sen – a )2 = a2 r2 (cos2 + sen2 ) – 2arsen + a2 = a2 r2 = 2arsen r = 0 ( pólo ) ou r = 2asen. Uma vez que o pólo pode ser obtido na 2a equação podemos concluir que a equação da circunferência é r = 2asen. Analogamente, pode-se mostrar que a equação polar da circunferência de centro em (a,0) e raio a é r = 2acos. O O 6 C) y = x Solução: r sen = r cos tg = 1 = arctg1= 4 De uma maneira geral, a equação = k representa uma reta que passa pelo pólo A Integral Dupla em Coordenadas Polares. As integrais duplas em coordenadas polares são as integrais nas quais o integrando e a região de integração são expressos em coordenadas polares. Em muitas aplicações, se mudamos as coordenadas retangulares para polares, o cálculo da integral é bastante facilitado. Isto ocorre se a região R for limitada por curvas cuja equação é mais simples em coordenadas polares, e, em especial, quando o integrando envolve a expressão x2 + y2, que, em polares , pode ser substituída por r2. Consideremos a região R delimitada pelas retas = e = e as curvas polares r = r1() e r = r2() Se as funções r = r1() e r = r2() forem contínuas e seus gráficos não se interceptarem, então a região é chamada de uma região polar simples O = = r1() r2() 7 As idéias básicas na dedução da integral dupla em retangulares e a interpretação geométrica como volume são análogas no caso polar. No caso retangular a região R foi dividida em retângulos elementares. No caso polar usaremos arcos e raios para subdividir a região R nos chamados retângulos polares. Suponhamos que f(r, ) é não negativa para que possamos interpretar a integral dupla como um volume, ou seja, o volume do sólido limitado por R e por f(r, ) é dado por V = R dA),r(f Consideremos um retângulo polar arbitrário Ri de ângulo central i e espessura radial ri. Escolhendo um ponto arbitrário ( ri, i ) dentro do retângulo, como sendo o centrodesse retângulo, o raio interno desse retângulo polar é ri ri / 2 e o raio externo é ri + ri / 2. = = r1() r2() ri (ri,i) i 8 A área desse retângulo polar Ai é a diferença de área entre dois setores: 4 r rrr 4 r rrr 2 r 2 1 r 2 1 r 2 1 r 2 1 A 2 i ii 2 i 2 i ii 2 i i i 2 iii 2 iii = ri ri i Assim, como no caso de retangulares, fazendo o número de partições da região R tender para infinito temos que V = R dA),r(f = n 1i iiiii n rr),r(flim . O limite sugere que a integral pode ser escrita como a integral iterada R dA),r(f = )(2r )(1r rdrd),r(f . Os limites são escolhidos para cobrir a região R, isto é, fixo entre e e r variando de r1 a r2. Observação: Apesar de termos admitido f(r, ) não negativa, pode-se mostrar que o resultado vale no caso mais geral. Conversão de Integrais Duplas de Coordenadas Retangulares para Polares O cálculo da integral dupla em coordenadas retangulares pode ser facilitado transferindo o cálculo para polares, bastando fazer a substituição x = r cos e y = r sen no integrando e expressando a região de integração em forma polar sapropriado iteslimRR rdrd)senr,cosr(fdA)senr,cosr(fdA)y,x(f 9 Exemplos: 1) Calcule, convertendo para polares, as seguintes integrais A) dAyx R 22 , sendo R a região do plano limitada no 1º quadrante pelo círculo 2yx 22 Solução: A região R de integração corresponde à região interior ao círculo de centro na origem e raio 2 , no 1º quadrante. R corresponde ao retângulo polar 2 0 2r0 Para converter a integral dada para polar devemos substituir no integrando rseny cosrx 222 ryx e o elemento de área dA = rdrd Temos assim que d 3 )2( d 3 r drdrrdrdrdAyx 2/ 0 3 2 0 2/' 0 32/ 0 2 0 2 2/ 0 2 0 2 R 22 3 2 6 22 6 )2( 3 )2( 3 2/ 0 3 B) R )2y2x( dAe , sendo R a região limitada pelo círculo x2 + y2 = 1 Solução: O círculo x2 + y2 = 1 tem, em polares , equação r = 1 e varia de 0 a 2. 10 Portanto, os limites de integração são r = 0 a r = 1 e = 0 a = 2. A região R corresponde ao retângulo polar 20 1r0 Além disso, rseny cosrx 222 ryx e dA=rdrd A integral fica )e1(] 2 )e1( [d 2 1e d] 2 e [rdrde 12 0 12 0 12 0 2 0 1 0 2r1 0 2r C) dA yx x R 22 , sendo R a região no primeiro quadrante limitada pelo círculo 4 1 ) 2 1 y(x 22 ( círculo de centro no ponto (0,1/2) e raio 1/2) Desenvolvendo a equação 4 1 ) 2 1 y(x 22 : yyx 4 1 4 1 yyx 4 1 ) 2 1 y(x 222222 Passando para a forma polar, usando as relações rseny cosrx 222 ryx obtemos: senrrsenryyx 222 A região R, em polar, fica 2 0 senr0 e a integral iterada rdrd r cosr dA yx x 2/ 0 sen 0 2R 22 2/ 0 sen 0 rdrdcos = 11 = 6 1 ] 6 sen [d 2 cossen d] 2 cosr [ 2/ 0 32/ 0 22/ 0 sen 0 2 2) Identifique a região de integração e calcule a integral iterada convertendo para polares 1 0 2x1 0 22 dydx)yx( Solução: Vamos, inicialmente, identificar a região de integração. A região R, em cartesianas corresponde a R: 1x0 x1y0 2 Em polares, R corresponde ao retângulo polar 2 0 1r0 Usando as relações rseny cosrx 222 ryx e dA=rdrd, a integral fica 2/ 0 1 0 3 2/ 0 1 0 2 drdr rdrdr = 8 ] 4 [ 4 d d] 4 r [ 2/0 2/ 0 2/ 0 1 0 4 3) Calcule, usando integral dupla, o volume dos seguintes sólidos Q A) Q é o cilindro de raio a e altura h Solução: O volume do sólido pode ser interpretado como o volume limitado inferiormente pela região R, que é uma circunferência de equação x2 + y2 = a2 e superiormente pelo plano z = h. 12 Usando a simetria teríamos V = 4 dxhdy a 0 2x2a 0 . Usando as coordenadas polares temos V = 4 ha] 2 ha [4d 2 ha 4d] 2 hr [4rdrd h 22/0 22/ 0 22/ 0 a 0 /2 0 a 0 2 B) Q é o sólido limitado inferiormente pelo plano xy, lateralmente por 4yx 22 e superiormente por 8zy . Solução: Q corresponde ao tronco de cilindro cuja base é o círculo 4yx 22 e limitado superiormente pelo plano 8zy . O volume corresponde à integral R dA)y8( , sendo R a região limitada pelo círculo 4yx 22 ( círculo de raio 2) A região de integração circular indica que o caminho é a resolução da integral em polares, cuja região é 20 2r0 Convertendo para polares obtemos dsen 3 r r4drd)senrr8(rdrd)rsen8( 2 0 2 0 3 2 2 0 2' 0 2 2 0 2' 0 32 3 8 3 8 320cos 3 8 )2cos( 3 8 32cos 3 8 16d)sen 3 8 16( 2 0 2 0 Referências Bibliográficas: 1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 3. Cálculo B – Diva Fleming 4. Cálculo – James Stewart vol 2
Compartilhar