CALCULO III TEXTO CALCULO VETORIAL (Derivada Direcional e Gradiente)

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Universidade Salvador – UNIFACS 
Cursos de Engenharia – Cálculo IV 
Profa: Ilka Rebouças Freire 
 
Cálculo Vetorial 
 
Texto 02: Derivada Direcional e Gradiente. 
 
 
A Derivada Direcional 
 
Consideremos a função escalar f: D  R2  R e Po  D. Vimos que 
)P(
x
f
o


 e 
)P(
y
f
o


 
correspondem às taxas de variação de f quando, a partir de Po, há um deslocamento nas direções 
positivas de OX e OY, respectivamente. 
Vamos generalizar esse conceito determinando as taxas de variação de f quando, a partir de Po, há 
um deslocamento numa direção qualquer. 
 
Seja z = f(x,y) uma função com derivadas parciais contínuas e seja 
u
 = ( u1, u2) um vetor unitário 
que faz um ângulo  com o eixo OX. Vamos analisar como f varia quando há um deslocamento na 
direção e sentido de 
u
. 
Sejam P(x,y) e P1 (x + x , y + y)  D( f ), e 
1PP
 o vetor de mesma direção e sentido de 
u
, 
sendo que P1 está a uma distância u de P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definimos a derivada direcional de f na direção do vetor 
u
 como sendo, se existir, o limite 
)P(
u
f



 = 
uΔ
)P(f)P(f
lim 1
0uΔ


. 
Podemos mostrar que a definição da derivada direcional dada, através do limite acima é equivalente 
a que apresentamos a seguir 
 
y 
y + y 
x x + x 
 x 
 y 
P 
P1 
 u 
 
 

u
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 O vetor 
u
 é um vetor unitário, logo podemos escrevê-lo como 
u
 = ( cos, sen ), sendo  
o ângulo que 
u
 faz com o eixo Ox 
 Podemos também considerar 
u
= ( cos, cos), onde  é o complementar de  e cos e 
cos são os cossenos diretores de 
u
. Neste caso escrevemos 
 
βcos)y,x(
y
f
αcos)y,x(
x
f
αsen)y,x(
y
f
αcos)y,x(
x
f
)y,x(
u
f















 
 
 
 
 
 
 
Interpretação Física 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja z = f(x,y) com derivadas parciais contínuas em (x,y) e seja 
u
 = ( u1, u2) um vetor unitário. 
Indicamos por 



u
f
 ( ou Du ) e denominamos por derivada direcional de f no ponto (x,y), na 
direção do vetor 
u
 , a função 
21 u )y,x(
y
f
u )y,x(
x
f
)y,x(
u
f









 
A derivada direcional dá a taxa de variação do valor da função z = f(x,y) em relação à 
distância no plano xy, medida na direção e sentido do vetor 
u
 
x 
y 
 
 
u
u 
 3 
Observações: 
 
1) As derivadas parciais são casos particulares da derivada direcional: 
 
 Se 
u
= (1,0), temos que 
x
f
0
y
f
1
x
f
u
f












 
 Se 
u
= (0,1), temos que 
y
f
1
y
f
0
x
f
u
f












 
 
 
2) Podemos estender a definição de derivada direcional para funções de três variáveis: 
Se w = f(x, y, z) e 
u
 = ( u1, u2, u3 ) é um vetor unitário, então 
321 u
z
f
u
y
f
u
x
f
u
f












 
ou 
 Se ,  e  são os ângulos diretores de 
u
, então 
γcos
z
f
βcos
y
f
αcos
x
f
u
f












 
 
 
Exemplos: 
1) Dada a função f(x,y) = 3x
2
  y2 + 4x e 
u
 o vetor unitário na direção de /6, encontre a derivada 
direcional, na direção de 
u
. 
 
Solução: 
u
= (cos(/6), sen(/6)) = 








2
1
,
2
3
; 
4x6
x
f



 e 
y2
y
f



 
y3)2x3(y2
2
1
2
3
)4x6(αsen
y
f
αcos
x
f
u
f










 
 
2) Calcule 
)1,1,1(
u
f



 sendo f(x,y,z) = x
2
 + y
2
 + z
2
 e 
u
 = 
 k3ji2
 
Temos que 
14941u 

, logo o versor de 
u
 é 








14
3
,
14
1
,
14
2
u
o 



u
f
= 
14
z6y2x4
14
3z2y22x2 


  



u
f
(1,1,1) = 
14
12
 
 
 
 
 4 
A Derivada Direcional e o Gradiente 
Definimos a derivada direcional de f na direção do vetor unitário 
u
= ( u1, u2 ) como sendo 
21 u
y
f
u
x
f
u
f









. Podemos dar uma notação vetorial para a derivada direcional observando 
que ela pode ser escrita como o produto escalar entre os vetores 










y
f
,
x
f
 e 
u
, ou seja 
21 u
y
f
u
x
f
u
f









 = 










y
f
,
x
f
· ( u1, u2 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Quando para cada ponto do domínio de f está definido o vetor gradiente, dizemos 
que no domínio de f está definido um campo vetorial de gradientes. 
 
 
Exemplos: 
 
1) Se z = f(x,y) = x
2
  2xy, determine f (1,1). 
 
Solução: 
x
f


= 2x 2y e 
y
f


= 2x  f(x, y) = (2x 2y, 2x)  f(1,1) = ( 0, 2) 
 
2) Se f(x,y,z) = xy+yz, determine f (x, y, z ) 
 
Solução: 
x
f


= y ; 
y
f


= (x + z) e 
y
z
f



 f(x, y, z ) = ( y, x + z, y ) 
 
 
O resultado a seguir relaciona a derivada direcional e o gradiente: 
 
 
 
 
Seja z = f(x,y) uma função de duas variáveis tal que as suas derivadas parciais existem. 
Definimos o gradiente de f no ponto (x,y) e indicamos por f ( lê-se del f ou nabla f) o vetor 
f (x,y) = 










)y,x(
y
f
),y,x(
x
f
 
Usamos também a notação gradf 
 
Analogamente, se w = f(x,y,z) é uma função de três variáveis, 
f (x,y,z) = 












)z,y,x(
z
f
),z,y,x(
y
f
),z,y,x(
x
f
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D] Seja 
)u,u(u 21
 o vetor unitário . Temos que a medida algébrica da projeção de f sobre 
u
 é 
igual a f · 
u
 = 










y
f
,
x
f
· 
)u,u( 21
 = 









u
f
u
y
f
u
x
f
21
 
 Interpretação Geométrica: 





1OPθcos.fθcosu.f
u
f
, onde  é o ângulo 
formado entre f e 
u
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades do Gradiente 
 
1) 
)y,x(
u
f



 tem valor máximo se f e 
u
 têm o mesmo sentido. Este valor máximo é igual a 
f
. Logo, f tem o sentido em que f cresce mais rapidamente. 
 
De fato: 
θcos.fθcosu.f
u
f


 

, onde  é o ângulo formado entre f e 
u
. 
Se f e 
u
 têm o mesmo sentido  = 0, cos = 1 e 
f
u
f




 
 
 
 
 
2) 
)y,x(
u
f



 tem valor mínimo se f e 
u
 têm sentidos opostos. Este valor mínimo é igual a 

f
. Logo, f tem o sentido em que f decresce mais rapidamente 
De fato: f e 
u
 têm sentido, opostos,  = 180 , cos = 1 e 
f
u
f




 
 
Seja D o domínio de uma função z = f(x,y) para o qual está definido um campo de gradiente. 
Então a derivada direcional de f na direção de 
u
 é a medida algébricada projeção do vetor 
f sobre 
u
 
f 

u
 
f 

u
 
 
f 

u
u 
O 
P1 
 6 
3) 
)y,x(
u
f



= 0 quando f é ortogonal a 
u
 
 
De fato: Neste caso temos que  = 90, cos = 0 e portanto 
)y,x(
u
f



= 0 
 
 
 
4) A derivada direcional de f na direção de um vetor tangente a uma curva de nível é zero, 
isto é, ao longo de uma curva de nível a taxa de variação da função é zero. Ou, 
equivalentemente, o gradiente é ortogonal à reta tangente à uma curva de nível, 
 
Assim, se 
s
 é o vetor direção da reta tangente a uma curva de nível temos que 
 
f · 
s
= 0  










y
f
,
x
f
 · 
s
= 0. Logo podemos considerar 
s
= 











x
f
,
y
f
 
 
 
Observação: Todos os resultados vistos para o caso bidimensional valem para o caso 
tridimensional 
 
 
Exemplos: 
1) Calcule 



s
f
(1,1), sendo f(x,y) == 2x
2
 + 5y
2
 e 
s
 = ( 2, 3 ) 
 
Solução: 
Vamos encontrar inicialmente o versor de 
s
 : 
1394s 

. O versor de 
s
 é portanto 
s

o
 = 






13
3
,
13
2
. Além disso, 
x4
x
f



e 
y10
y
f



 
 



s
f
= 
 0sf
 = 
)
13
3
,
13
2
()y10,x4( 
 = 
13
y30x8
13
3
y10
13
2
x4


  



s
f
(1,1) = 
13
38
 
 
 
 
2) A temperatura T de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos (x,y), é dada por 
2yx
64
)y,x(T
22 

, estando a origem do sistema no centro da placa. Determine a taxa de 
variação de T no ponto ( 1,2) na direção de  = /3 
 
 
f 

u
 
 7 
Solução: 
 
 










2
3
,
2
1
3/πsen,3/πcosu
; 
222 )2yx(
x128
x
T





 e 
222 )2yx(
y128
y
T





 
2
3
)2yx(
y128
2
1
)2yx(
x128
u
T
222222 







  
49
312864
)2,1(
u
T 




 
 
 
 
3) Seja 
zy
2
x
)z,y,x(f 2
2

. Encontre: 
a) f(2, 4, 2) 
b) O valor máximo da derivada direcional 



u
f
(2, 4, 2) 
 
Solução: 
a) 













z
f
,
y
f
,
x
f
f
(x, 2y, 1)  f(2, 4, 2) = (2, 8, 1) 
b) O valor máximo da derivada direcional ocorre na direção e sentido de f e tem valor 
igual a 
691644)1,8,2(f 
 
 
 
4) Dada a função f(x,y) = 2x
2
  y2 + 3x  y, encontre: 
a) Um vetor normal à reta tangente à curva C: 2x2 y2 + 3x  y = 3 no ponto 
 Po(1, 2) 
b) O valor mínimo de 



u
f
 no ponto Po. 
Solução: 
 
a) A curva C é a curva de nível z = 3, portanto o vetor normal corresponde ao gradiente em Po. 
Assim, 











y
z
,
x
z
z
( 4x + 3, 2y 1) e z( 1, 2 ) = (7,3) 
b) O valor mínimo é igual a 
58949)3,7(z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
5) O potencial elétrico em um ponto qualquer do plano XY é, em volts, dado por 
y2cose)y,x(V x2
. Encontre: 
a) A taxa de variação do potencial no ponto (0, /4) na direção do vetor 

s
=(cos/6) i + (sen/6) j 
b) O sentido em que V cresce mais rapidamente, a partir do ponto ( 0, /4) e a taxa de 
crescimento. 
c) O sentido e o valor da taxa de variação mínima de V em (0, /4) 
d) Em que direção, a partir de ( 0. /4), V permanece constante. 
 
 
Solução: 
a) 



 os.V
s
V
; 
 










 os
2
1
,
2
3
6/πsen,6/πcoss
 e 
 y2sene2,y2cose2V x2x2  
 ; 
V(0, /4) = (0, 2). Logo, 
  12,0.
2
1
,
2
3
s
V












 
b) O sentido em que V cresce mais rapidamente é o sentido do gradiente V = (0, 2) e a taxa é 
igual a 
240V 
. 
c) O sentido é V = ( 0, 2) e o valor é 
V
 2 
d) V permanece constante na direção ortogonal a V, ou seja, na direção do vetor ( 2,0) 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. O Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 
2. Cálculo – Um novo horizonte – Anton vol2 
3. Cálculo C – Diva Fleming