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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 1 INDICE UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - ............................................... 3 1.1. Circuitos Concentrados ..................................................................................................... 3 1.2. Elementos Concentrados .................................................................................................. 3 1.3. Sentido de referência ......................................................................................................... 4 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço ............................................................... 4 1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço ............................................................ 5 1.3.3. Sentido de referência associado ................................................................................. 5 1.4. Corrente Elétrica e Tensão ............................................................................................. 6 1.5. Leis de Kircchoff ................................................................................................................. 7 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff .................................................................................... 7 1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff ....................................................................................... 8 UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - ................................................................................. 14 2.1. Resistores ......................................................................................................................... 14 2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente ................................................................... 16 2.3. Equivalente Thevenin e Norton........................................................................................ 18 2.4. Divisão de corrente .......................................................................................................... 18 2.5. Divisão de tensão ............................................................................................................. 20 2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo) ..................................................................................... 23 2.7. Formas de ondas típicas ................................................................................................... 27 2.8. Capacitores ....................................................................................................................... 32 2.9. Indutores .......................................................................................................................... 35 2.10. Potência e Energia .......................................................................................................... 41 2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos .............................................................. 45 UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES - ............................................................................................. 48 3.1. Ligação série de elementos .............................................................................................. 48 3.2. Ligação paralela de elementos ......................................................................................... 53 UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - .................................................. 63 4.1. Definições e propriedades dos circuitos .......................................................................... 63 4.2. Análise nodal .................................................................................................................... 63 4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito........................ 66 4.4. Análise por malhas ........................................................................................................... 69 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 2 UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ............................................................................................ 74 5.1. Teorema de Thevenin....................................................................................................... 74 5.2. Teorema de Norton .......................................................................................................... 76 5.3. Teorema da superposição ................................................................................................ 77 5.4. Teorema da máxima transferência de potência .............................................................. 80 UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – .................................................................................... 85 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem ............................................... 85 6.1.1. Resposta a excitação zero ......................................................................................... 85 6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................... 91 6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente............................................ 97 6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário .................................................................................... 98 UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – .................................................................................. 104 7.1. Resposta a Excitação Zero ............................................................................................. 104 7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................... 104 7.1.2. Circuito RLC série ..................................................................................................... 111 7.2. Resposta ao Estado Zero ............................................................................................... 114 7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante ............................................................. 114 7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante ................................................................ 116 7.3. Resposta Completa ........................................................................................................ 117 UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................... 120 9. AULAS PRÁTICAS ............................................................................................................... 122 9.1 1° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I ................................................................................ 122 9.2 2° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I ............................................................................... 129 10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 132 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 3 UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - 1.1. Circuitos Concentrados É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqüência de interesse. Se esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff. EXEMPLO a) Circuito de áudio b) Circuitos de computador - Não é um circuito concentrado-1.2. Elementos Concentrados A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos um elemento concentrado. quantidades bem definidas Principais elementos concentrados Com dois terminais: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 4 Com mais de dois terminais: 1.3. Sentido de referência 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência. DEFINIÇÕES Braço - Elemento concentrado de dois terminais; Nós – São os terminais dos braços; Tensão de braço – Tensão entre nós; Corrente de braço – Corrente que flui entre os braços UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 5 1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal (+) e sair num (-). 1.3.3. Sentido de referência associado Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA. *P(+), P(-) P(+), *P(-) EXEMPLO: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 6 1.4. Corrente Elétrica e Tensão Corrente elétrica A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada pelas letras: Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo Tensão elétrica As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m. Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos terminais de um elemento. EXEMPLO: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 7 1.5. Leis de Kircchoff 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um nó e saem desse nó é zero. Convenção Corrente chegando no nó negativa (-) Corrente saindo do nó positiva (+) EXEMPLO: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 8 1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer malha fechada é zero. OBS.: 1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por outros nós e voltando ao mesmo nó inicial. 2) Malha Fechada – É um percurso fechado que não contém braços no seu interior. NOTAS A LCK, impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são lineares e homogêneas; A LCK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza do elemento; A LCK expressa a conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem perda de carga. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 9 EXEMPLO Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado EXEMPLOS 1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais como: . É possível determinar todas as correntes de braço restantes? NOTAS A LTK, impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha; A LTK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os elementos do circuitos são lineares, não-lineares, ativas, passivos, etc... A LTK é independente da natureza dos elementos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 10 2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões: . É possível determinar as demais tensões de braço? UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 11 Como não podem ser calculados, é impossível de se resolver pois o número de incógnitas é maior que o número de variáveis. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 12 EXERCÍCIOS 1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções de referência das variáveis de braço a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é uma conseqüência das outras 3 equações. b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são conseqüência das 3 equações de malhas. 2) Calcule UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 13 3) Dado o circuito onde . Determine as outras tensões de braço possíveis. 4) Com o mesmo circuito anterior, onde . Determine as outras correntes de braço possíveis. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 14 UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - 2.1. Resistores Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e se, a qualquer tempo a sua tensão e sua corrente satisfazem uma relação definida como uma curva no plano . Além disso, é necessário que exista uma relação entre a corrente instantânea e a tensão instantânea. Símbolo: Classificação: o Linear: resistor o Não linear: diodo, mosfet, etc. o Não variável no tempo Em circuitosI, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo. Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja característica é uma reta passando pela origem no plano . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 15 Unidades: o o o o Casos particulares: a) Circuito aberto: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 16 b) Curto circuito: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero. 2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente a) Fonte de tensão: Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente, se ele mantém uma tensão especificada nos terminais do circuito ao qual está ligado, independente da corrente através do circuito (carga). Potência (+): absorvida Potência (-): fornecida É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte independente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 17 OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente vai a . b) Fonte de corrente: É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada em seus terminais, independente da tensão aplicada. OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto, pois sua tensão vai a . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 18 2.3. Equivalente Thevenin e Norton Equivalente Thevenin → fonte de tensão Equivalente Norton → fonte de corrente A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes. A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por: 2.4. Divisão de corrente Seja o circuito com dois terminais abaixo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 19 Aplicando: Lei das Correntes de Kircchoff (LCK): Lei das Tensões de Kircchoff (LTK): Pela Lei de Ohm: Resolvendo para V: Logo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 20 Circuito com resistores em paralelo: 2.5. Divisão de tensão Seja o circuito abaixo: Aplicando: LTK: LCK: Pela Lei de Ohm: Resolvendo para I: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 21 Logo: Para um circuito com resistores em série: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 22 Exercícios: 1) Calcule a vista pela fonte e encontre : 2) Uma carga requer e absorve . Se apenas uma fonte de está disponível, calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga. 3) Calcule a vista pela fonte e calcule . 4) Encontre os valores de . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 23 5) Calcule e a potência entregue pela fonte. 6) Calcule e a potência entregue pela fonte. 2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo) OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no circuito, caso contrário, a transformação não valerá. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 24 a) Transformação de Y - ∆: Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo (∆), usamos as seguintes relações de resistências: b) Transforma o de ∆ - Y: Quando temos o circuito em triângulo (∆), e necessitamos transformar para estrela (Y) usamos as seguintes relações de resistências: Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente, desenha-se o Y dentro do ∆, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos resistores. Exercícios: 1) Determinar a resistência equivalente entre . a) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 25 b) c) d) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 26 2) Quando , a potência será de . Determine e o valor de . 3) Determine as correntes indicadas: 4) Calcule : UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 27 5) Calcule : 6) Calcule aplicando as LTK e LCK: 2.7. Formas de ondas típicas a) Constante: , para qualquer tempo . b) Função seno (ou cosseno): UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 28 Onde: c) Função degrau unitário: édefinida como: d) Função degrau unitário defasado: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 29 e) Função de pulso: OBS.: a área de um pulso é sempre . para todo . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 30 f) Função impulso unitário: Relação entre δ(t) e u(t): UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 31 g) Função rampa unitária: Relação entre e Exercícios: a) Faça os seguintes gráficos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 32 2.8. Capacitores Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de sua carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva Esta curva é chamada de curva característica do capacitor. Símbolo: Classificação: o Linear o Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc. o Variável com o tempo o Invariante no tempo Capacitores lineares e invariáveis no tempo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 33 Unidades: Parâmetros: a) Carga no capacitor: b) Corrente no capacitor: c) Tensão no capacitor: Características do capacitor: a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será nula. Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula: Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 34 Ex.: Capacitor carregado . b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele seja nula. Ex.: Capacitor carregado com tensão constante. c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor, pois a corrente tenderia ao infinito. Temos que: Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos: d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu campo elétrico. e) Um capacitor carregado é equivalente a ligação série de um capacitor descarregado em e uma fonte constante . é a condição inicial de tensão no capacitor em . é a tensão no capacitor se, em . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 35 2.9. Indutores • Símbolo: • Comparação do indutor com o capacitor: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 36 • Parâmetros: • Classificação: ◦ Linear ◦ Não linear ◦ Invariante no tempo ◦ Variável no tempo A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação, podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar nesta região, teremos um indutor linear. Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero. Não variando , é zero, portanto . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 37 Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito. a) Energia armazenada: b) Quando a chave é aberta, a corrente I0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo com que haja uma sobre tensão na chave. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 38 Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos: 2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos seguintes casos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 39 3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a forma de onda da tensão: 4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os seguintes casos: 5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os seguintes casos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 40 6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de na fonte de corrente. 7) Seja o circuito abaixo, calcule UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 41 8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com . Calcular e esboçar a forma de onda de para e a potência instantânea e média entregue pela fonte. 2.10. Potência e Energia • – não armazena energia, mas dissipa. • – armazena energia em seu campo elétrico. • – armazena energia em seu campo magnético. • Corrente que entra igual a corrente que sai. a) Potência instantânea: b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de até . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 42 c) Potência média e ativa: Obs.: A expressão só é válidapara corrente cotínua. Para corrente alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por Desenvolvendo: = Indutor: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 43 Obs.: Num sistema periódico, portanto . Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor. Exercícios: 1) Seja o seguinte circuito: Esboce a tensão, potência instantânea e média para: c) d) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 44 2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão é dada por: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 45 2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise e síntese de circuitos físicos. a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa de operação, como: • • • • Ex.: Um resistor de , , pode ter circulando no máximo a seguinte corrente: Então, a tensão máxima aplicada deverá ser: b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos parâmetros dos dispositivos. c) Efeito parasita: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 46 Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão. d) Valores típicos dos componentes físicos: • Resistores: , valores múltiplos de: • Capacitores: . • Indutores: . Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo: Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes casos: c) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 47 d) 2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 48 UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES - 3.1. Ligação série de elementos a) Resistores LTK: LCK: Obs.: são percorridos pela mesma corrente. Característica da curva : UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 49 b) Fontes de tensão: Considerando fontes de tensão em série: LTK: LCK: Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente. c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série: LTK: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 50 Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais. d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série: LTK: LCK: Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 51 e) Indutores: Considerando n indutores em série: LTK: LCK: Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente. f) Resistor e fonte de tensão: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 52 LTK: Equação Característica Se são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente. Para: g) Resistor e diodo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 53 Para: 3.2. Ligação paralela de elementos a) Resistores: LCK: LTK: Como são submetidos à mesma tensão, temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 54 Para resistores: Obs.: A é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 55 b) Fontes de corrente: LCK: LTK: Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma . c) Fontes de tensão: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 56 LCK: LTK: Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais. • Princípio de paralelismo de transformadores: no secundário. d) Indutores: LCK: LTK: Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 57 e) Capacitores: LCK: LTK: Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA -CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 58 f) Resistor e fonte de corrente: LTK: LCK: Para: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 59 g) Resistor e diodo: Para: h) Resistor, diodo e fontes de corrente: Se: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 60 Se: Obs.: Caso singular: Conclusões: 1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento. 2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado no item 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 61 Exercícios: 1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor. 2) Determine : a) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 62 b) 3) Para os circuitos abaixo: a) Determine a característica nos pontos . b) Descrever a característica no plano . c) Obter o equivalente Thevenin. d) Obter o equivalente Norton. 4) Descrever analítica e graficamente a característica do circuito abaixo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 63 UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - 4.1. Definições e propriedades dos circuitos Componentes: podem ser: • Lineares • Não lineares • Variantes no tempo • Invariantes no tempo. Circuitos com: • Componentes lineares → circuitos lineares • Componentes lineares invariantes → circuitos lineares e invariantes no tempo. 4.2. Análise nodal Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são incógnitas. Temos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 64 Passos para a análise nodal: a. Contar o número de nós Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK obriga uma dependência linear entre as tensões de braço. b. Escolher uma referência (nesse caso, ) Como o foi adotado como referência , temos: Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós em relação a esta referência. Concluímos que em um circuito com nós, teremos equações e incógnitas. Exemplos: 1) Pela LCK: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 65 Logo: 2) Logo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 66 Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito. Características da matriz condutância: • É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de corrente. • Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos. 4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó. Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 67 LCK: Logo: Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações igual ao número de incógnitas. Procedimentos práticos para a análise nodal: a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e elementos. b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos nós em ralação a referência. c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz condutância. d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um super nó. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 68 Exercícios: 1) Encontrar as tensões nos nós 2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar 3) Substituir a fonte de por uma fonte de corrente dependente com seta para cima com valor de , onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de Determine 4) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão de com referência positiva dirigida para cima. Determine 5) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão dependente, referência positiva dirigida para baixo e definida como Determine UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 69 4.4. Análise por malhas • Só é possível se o circuito for uma superfície plana. • Somente malhas, não percursos fechados. • n malhas, n equações • Corrente de malha no sentido horário. • Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras. Exemplos: 1) LTK: Logo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 70 2) 3) Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 71 4) 5) 6) Use a análise de malhas para determinar UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOSI Página 72 7) Use análise de malhas para determinar 8) Use análise de malhas para determinar 9) Use análise de malhas para determinar UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 73 Procedimentos práticos para análise de malhas: a) Só é aplicada a uma rede de circuito planar. b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK. c) Emprega-se valores de resistência ao invés de condutância. d) Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o resto dos elementos negativos. e) Se o circuito houver fontes de corrente: 1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin. 2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 74 UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - 5.1. Teorema de Thevenin Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma resistência de Thevenin, onde é a tensão em circuito aberto e a é a resistência equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuito zeradas. Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito. Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 75 Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o Através da análise por malhas podemos achar o valor de Então: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 76 5.2. Teorema de Norton Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais em curto circuito e é a resistência vista pelos terminais com todas as fontes zeradas. Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto. Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo: Curto circuitando os terminais , temos a resistência equivalente UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 77 Com isso, podemos calcular o 5.3. Teorema da superposição Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas. Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 78 Exemplo 3: 1) Para fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito aberto. Logo: 2) Para a fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito aberto. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 79 Logo: 3) Para a fonte de a fonte de e são um curto circuito. Temos então: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 80 5.4. Teorema da máxima transferência de potência Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma fonte de tensão ou corrente. A potência fornecida para é: Sendo: Portanto: Para obter a máxima transferência de potência, faz-se: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 81 Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo: Portanto: Exercícios: 1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos: a) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 82 b) c) d) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 83 e) 2) Determine aplicando análise nodal: 3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 84 4) Determine Ix usando: a) Análise nodal. b) Análise de malhas. 5) Determine empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas fontes. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 85 UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia, podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito será devido a: Fontes independentes, que são as entradas ou excitações; Condições iniciais do circuito. 6.1.1. Resposta a excitação zero Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem: Circuito RC Circuito RL 6.1.1.1. Circuito RC (Resistor-Capacitor) Figura 6.1- Circuito RC Para t<0, a chave S1 fechada e S2 aberta, o capacitor está carregado com tensão V0, dado pela fonte V0; Em t=0, a chave S1 é aberta e S2 é fechada (simultaneamente); Fisicamente, devido a carga inicial do capacitor ( ), aparecerá uma corrente na malha RC. A carga vai decrescendo gradualmente até zero. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 86 Durante este processo a energia no capacitor será dissipada no resistor na forma de calor. Analisando o circuito para t ≥ 0: Figura 6.2- Circuito RC para t ≥ 0 LTK: LCK: As duas equações de braços dos dois elementos serão: Capacitor Quando Vc(t) 0 Resistor Temos, portanto, quatro equações para quatro incógnitas. Supondo que queiramos a tensão no capacitor como resposta: A expressão das correntes será: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 87 Observando a equação das correntes chegamos podemos observar que esta será uma equação diferencial, linear, de primeira ordem, homogênea, com os coeficientes constantes. Então chegamos que a solução para a equação das correntes é dada pela seguinte equação: Onde: K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: RC=τ=constante de tempo No instante de tempo temos que: OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rápido será a descarga. A resposta geral será da seguinte forma: Pelas equações obtidas pela LKC obtemos: Logo: Com as expressões da , , e obteremos os seguintes gráficos: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 88 Figura 6.3 – Gráfico da corrente no capacitor. Figura 6.4- Gráfico da corrente no resistor. Figura 6.5 – Gráfico da tensão no capacitor. A figura 6.5(gráfico da tensão do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva característica é uma exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condições: A ordem da curva em é a condição inicial; A constante de tempo dependerá exclusivamente dos parâmetros do circuito (R, L, C) e da forma como os mesmos estão conectados. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 89 Figura 6.6- Gráfico da tensão do capacitor. 6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor) Figura 6.7 – Circuito RL Para , a chave S1 está ao terminal b e o indutor está carregado com a corrente ; Para , S1 é conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente não pode ficar em circuito aberto; O indutor fica conectado ao resistor (R) e a fonte de corrente fica curto circuitada e a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada no resistor na forma de calor. Analisando o circuito para (figura 6.8) Figura 6.8 – Circuito RL para UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 90 LTK LCK Portando obtemos A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente até zero. Durante este processo, a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada na forma de calor pelo resistor. As equações de braços serão: Indutor Resistor Como queremos como resposta e sabemos que: Então obtemos Onde esta equação corresponde a uma equação diferencial linear, homogênea, de primeira ordem com os coeficientes constantes então a solução para a equação será da seguinte forma: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 91 Onde: K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; No instante de tempo temos que: é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: = τ = constante de tempo OBS.: Todos estes cálculos valem somente para Com a análise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor: Figura 6.9- Gráfico da corrente no indutor. 6.1.2. Resposta ao estado zero 6.1.2.1. Circuito RC Para , S1 é fechada. Obtemos então; UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 92 Figura 6.10 – Circuito Rc em resposta ao estado zero Em , S1 abre, e a fonte de corrente é conectada ao circuito ; Para Após um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos: Figura 6.11 – Circuito RC com S1 aberta. , Pois Pela LTK: A partir disto, obteremos as seguintes considerações: Com a fonte de corrente, a tensão no capacitor não varia instantaneamente; parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto: Em UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 93 Ou seja, a corrente fluirá toda pelo capacitor À medida que cresce, cresce, aplicando uma e diminuindo a LCK: Quando deixarmos o circuito ligado, cresce até um valor e fica estável O capacitor carregado é um circuito aberto e toda a corrente I passará pelo resistor. Isto ocorrerá quando: Considerando a tensão do capacitor como a resposta almejada, temos: Quando analisamos o circuito para , a tensão no capacitor permanece nula, e a corrente no resistor também. A corrente flui então somente pelo capacitor. Logo após, com a corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tensão . Então teremos um , e tende a crescer diminuindo assim, , pois: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 94 OBS.: Para , o capacitor estará carregado, e será considerado um circuito aberto quando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor. Quando isto ocorrer, o capacitor será um circuito aberto. Note que para determinarmos a resposta da tensão do capacitor ao estado zero, dependemos dos parâmetros do circuito e ainda da função de entrada que no nosso caso será . Esta resposta é denominada solução em regime permanente (solução particular) e representa a solução do circuito para um tempo infinitamentegrande e é conhecida como solução em regime permanente, ou solução para o estado zero do circuito. Então a expressão para a solução particular será determinada exclusivamente a partir da forma da função de entrada ( ). Com estas considerações podemos definir que a solução geral para a equação da tensão no capacitor será do tipo: Onde a depende além dos parâmetros do circuito, das condições iniciais no circuito no instante de tempo Onde é determinado pelas condições iniciais. Já a que dependerá dos parâmetros do circuito e ainda da função de excitação de entrada. A partir disto podemos obter a equação da solução geral pela seguinte expressão: Mas para obtermos será realizado pela expressão geral: , UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 95 E as correntes serão dadas pelas equações Logo Podemos obter então a corrente no resistor . Sabemos que: Então Figura 6.12- Gráfico da corrente e da tensão do capacitor. 6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal Considerando o circuito abaixo ao qual é excitado por uma fonte de corrente UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 96 Figura 6.13 – Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal. Onde Amplitude; Frequencia angular ; = Fase A solução geral para o circuito será da seguinte forma: Onde a solução homogênea será E a solução particular Onde as constantes e são as constantes a serem determinadas Solução geral Para determinar , faz-se: , UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 97 6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente Figura 6.14 – Circuito RC para resposta completa. Para , a chave curto-circuita a fonte; Em , vale a seguinte equação: Para : Temos aqui a resposta à excitação e ao estado zero onde: Resposta a excitação zero; Resposta ao estado zero. Solução para : Solução para : Solução geral: Onde: Resposta completa UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 98 Resposta à excitação zero Resposta ao estado zero Isolando Dependerá das condições iniciais e repetina aplicação da excitação que em tende a desaparecer e por causa disto, é chamado de TRANSITORIO; Esta parcela continua conforme o transitório vai se esgotando, sendo, portanto, chamado de regime permanente e é ligado a forma de onda da excitação . Figura 6.15 – Gráfico da tensão em resposta completa. 6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário Para , ; Para , . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 99 Figura 6.16 – Analogia entre a função degrau e uma chave no circuito. Obs.: é análogo a uma chave que atua em t=0 Exemplo: Figura 6.17 – Exemplo do circuito utilizando a função degrau. Para , Para , LTK: UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 100 Solução homogênea: Solução particular ( ) O indutor carregado é um curto circuito Para , Para , Para UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 101 EXERCÍCIOS 1) Determine 2) 3) 4) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 102 5) 6) 7) 8) Determine UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 103 9) Determine para o circuito abaixo 10) Obter . UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 104 UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – 7.1. Resposta a Excitação Zero 7.1.1. Circuito RLC paralelo figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo Pelas equações de braço podemos obter: Resistor Capacitor Indutor Aplicando a LTK Pela LCK temos Com isso, podemos perceber que temos 6 incógnitas, duas em cada equação UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 105 Derivando e dividindo por C obtemos: Por conveniência, vamos definir dois parâmetros: Constante de amortecimento: Freqüência angular ressonante: Substituindo na equação Substituindo por S chegamos na equação característica Raízes: Os zeros do polinômio, ou suas raízes, são chamadas de freqüências naturais do circuito; As raízes deste polinômio nos dizem o tipo de comportamento do circuito; De acordo com os valores de e de , teremos quatro tipos de comportamento Circuito superamortecido; Circuito criticamente amortecido; Por quem definimos e ? Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos dá uma resposta exponencial, hora senoidal UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 106 Circuito subamortecido; Circuito sem perdas. 7.1.1.1 Circuito superamortecido ( ) As freqüências naturaissão raízes reais e negativas, cuja resposta é o somatório de duas exponenciais. Onde K1 e K2 são determinadas pelas condições iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a partir da resposta quando t=0 Derivando UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 107 7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido ( ) As freqüências naturais são reais, negativas e iguas. Resposta: - Surge devido à descarga de corrente do indutor sobre o capacitor aumentando sua tensão. 7.1.1.3 Circuito Subamortecido ( ) As freqüências naturais são raízes imaginárias, complexas, conjugadas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 108 Cuja resposta é: Onde e dependem das condições iniciais 7.1.1.4 Circuito sem perdas ( ) As freqüências naturais são imaginárias. UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 109 Resposta Exemplo: Dado o circuito abaixo determinar para a resposta à excitação zero para cada caso. a) b) c) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 110 a) Cálculo de e - Circuito superamortecido Cálculo das freqüências naturais Determinação de K1 e K2 A tensão no capacitor para é Derivando em Como , temos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 111 Logo 7.1.2. Circuito RLC série Figura 7.2- Circuito RLC série LTK LCK UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 112 Derivando a equação e dividindo por L Substituindo por S Equação característica As raízes deste polinômio nos dão o comportamento do circuito, em relação ao amortecimento. Raízes Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de e são os valores que determinam o tipo de amortecimento do sistema. Circuito superamortecido ( ) Circuito criticamente amortecido ( ) Circuito subamortecido ( ) Circuito criticamente amortecido ( ) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 113 EXERCÍCIOS 1) Seja o circuito Determine e esboçar a forma de onda. 2) Seja o circuito Determine para a) b) c) d) 3) Seja o circuito Determine 4) Repita o exercício 2 para UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 114 5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendo aberta em . Calcular a tensão a partir deste instante 7.2. Resposta ao Estado Zero 7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente LTK LCK Polinômio Solução geral UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 115 Onde são os quatro casos de amortecimento e é para t tendendo para o infinito, regime permanente. Supondo que o sistema seja superamortecido a pode ser expressa por Já a é igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor é um curto circuito, então a tensão no capacitor será igual a zero. Solução Geral Determinação das constantes K1 e K2 , logo Derivando em função do tempo para Onde S1 e S2 são as raízes do polinômio EXEMPLO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 116 7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tensão LTK LCK Derivando e dividindo por L Solução geral Como Então toda tensão da fonte é aplicada no indutor UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 117 7.3. Resposta Completa É determinada pela resposta transitória mais a resposta em regime permanente. Figura 7.5- Circuito RLC série LTK LCK A equação de segundo grau que descreve este circuito é Como logo é um sistema superamortecido. Pela equação característica UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I Página 118 Determinação de K1 e K2 Como
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