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Apostila-de-Circuitos-Eletricos - Universidade Federal de Santa Maria

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 1 
 
 
INDICE 
UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - ............................................... 3 
1.1. Circuitos Concentrados ..................................................................................................... 3 
1.2. Elementos Concentrados .................................................................................................. 3 
1.3. Sentido de referência ......................................................................................................... 4 
1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço ............................................................... 4 
1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço ............................................................ 5 
1.3.3. Sentido de referência associado ................................................................................. 5 
1.4. Corrente Elétrica e Tensão ............................................................................................. 6 
1.5. Leis de Kircchoff ................................................................................................................. 7 
1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff .................................................................................... 7 
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff ....................................................................................... 8 
UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - ................................................................................. 14 
2.1. Resistores ......................................................................................................................... 14 
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente ................................................................... 16 
2.3. Equivalente Thevenin e Norton........................................................................................ 18 
2.4. Divisão de corrente .......................................................................................................... 18 
2.5. Divisão de tensão ............................................................................................................. 20 
2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo) ..................................................................................... 23 
2.7. Formas de ondas típicas ................................................................................................... 27 
2.8. Capacitores ....................................................................................................................... 32 
2.9. Indutores .......................................................................................................................... 35 
2.10. Potência e Energia .......................................................................................................... 41 
2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos .............................................................. 45 
UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES - ............................................................................................. 48 
3.1. Ligação série de elementos .............................................................................................. 48 
3.2. Ligação paralela de elementos ......................................................................................... 53 
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - .................................................. 63 
4.1. Definições e propriedades dos circuitos .......................................................................... 63 
4.2. Análise nodal .................................................................................................................... 63 
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito........................ 66 
4.4. Análise por malhas ........................................................................................................... 69 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 2 
 
 
UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ............................................................................................ 74 
5.1. Teorema de Thevenin....................................................................................................... 74 
5.2. Teorema de Norton .......................................................................................................... 76 
5.3. Teorema da superposição ................................................................................................ 77 
5.4. Teorema da máxima transferência de potência .............................................................. 80 
UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – .................................................................................... 85 
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem ............................................... 85 
6.1.1. Resposta a excitação zero ......................................................................................... 85 
6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................... 91 
6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente............................................ 97 
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário .................................................................................... 98 
UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – .................................................................................. 104 
7.1. Resposta a Excitação Zero ............................................................................................. 104 
7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................... 104 
7.1.2. Circuito RLC série ..................................................................................................... 111 
7.2. Resposta ao Estado Zero ............................................................................................... 114 
7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante ............................................................. 114 
7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante ................................................................ 116 
7.3. Resposta Completa ........................................................................................................ 117 
UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................... 120 
9. AULAS PRÁTICAS ............................................................................................................... 122 
9.1 1° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I ................................................................................ 122 
9.2 2° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I ............................................................................... 129 
10. BIBLIOGRAFIA ...................................................................................................................... 132 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 3 
 
 
UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - 
1.1. Circuitos Concentrados 
 
 É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam 
pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta freqüência de interesse. Se 
esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff. 
EXEMPLO 
a) Circuito de áudio 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Circuitos de computador 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Não é um circuito concentrado-1.2. Elementos Concentrados 
 
 A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial 
entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos 
um elemento concentrado. 
 
 
 quantidades bem definidas 
 
 Principais elementos concentrados 
Com dois terminais: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 4 
 
 
Com mais de dois terminais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3. Sentido de referência 
 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço 
 
 Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t 
é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no 
ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência. 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÕES 
 Braço - Elemento concentrado de dois terminais; 
 Nós – São os terminais dos braços; 
 Tensão de braço – Tensão entre nós; 
 Corrente de braço – Corrente que flui entre os braços 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 5 
 
 
 1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço 
 
 Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é 
positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal 
(+) e sair num (-). 
 
 
 1.3.3. Sentido de referência associado 
 
 Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal 
negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA. 
 
*P(+), P(-) 
 
P(+), *P(-) 
EXEMPLO: 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 6 
 
 
1.4. Corrente Elétrica e Tensão 
 
 Corrente elétrica 
A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um 
percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada 
pelas letras: 
 
 
Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo 
 
 
 
 
 
 
 
 Tensão elétrica 
As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se 
quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m. 
Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um 
elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos 
terminais de um elemento. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 7 
 
 
1.5. Leis de Kircchoff 
1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff 
 
 Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer 
instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um 
nó e saem desse nó é zero. 
 
Convenção 
 Corrente chegando no nó negativa (-) 
 Corrente saindo do nó positiva (+) 
 
 
EXEMPLO: 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff 
 
 Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus 
percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de 
braço ao redor de qualquer malha fechada é zero. 
 
 
 
 OBS.: 
1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por 
outros nós e voltando ao mesmo nó inicial. 
2) Malha Fechada – É um percurso fechado que não contém braços no seu 
interior. 
 
 
 
 
 
NOTAS 
 A LCK, impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são 
lineares e homogêneas; 
 A LCK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza 
do elemento; 
 A LCK expressa a conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem 
perda de carga. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 
Página 9 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS 
1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais 
como: . É possível determinar todas as 
correntes de braço restantes? 
 
NOTAS 
 A LTK, impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha; 
 A LTK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os 
elementos do circuitos são lineares, não-lineares, ativas, passivos, etc... 
 A LTK é independente da natureza dos elementos. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência 
associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões: 
 . É possível determinar as demais tensões de braço? 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como não podem ser calculados, é impossível de se resolver pois o número de 
incógnitas é maior que o número de variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
12 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções 
de referência das variáveis de braço 
 
a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é 
uma conseqüência das outras 3 equações. 
b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos 
fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são 
conseqüência das 3 equações de malhas. 
 
 
 
2) Calcule 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
13 
 
 
 
3) Dado o circuito onde 
 . Determine as outras tensões de braço possíveis. 
 
 
 
4) Com o mesmo circuito anterior, onde 
 . Determine as outras correntes de braço possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
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14 
 
 
UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - 
2.1. Resistores 
 
 Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e 
se, a qualquer tempo a sua tensão e sua corrente satisfazem uma relação definida 
como uma curva no plano . Além disso, é necessário que exista uma relação entre a 
corrente instantânea e a tensão instantânea. 
 
 Símbolo: 
 
 
 
 Classificação: 
o Linear: resistor 
o Não linear: diodo, mosfet, etc. 
o Não variável no tempo 
 
Em circuitosI, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo. 
 Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja 
característica é uma reta passando pela origem no plano . 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
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15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Unidades: 
o 
o 
o 
o 
 
 Casos particulares: 
a) Circuito aberto: 
É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus 
terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
16 
 
 
b) Curto circuito: 
É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente 
de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente 
 
a) Fonte de tensão: 
Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente, 
se ele mantém uma tensão especificada nos terminais do circuito ao qual está ligado, 
independente da corrente através do circuito (carga). 
 
 
 
Potência (+): absorvida 
Potência (-): fornecida 
 
 É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte 
independente. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
17 
 
 
 
OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente 
vai a . 
b) Fonte de corrente: 
É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada em seus 
terminais, independente da tensão aplicada. 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto, 
pois sua tensão vai a . 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
18 
 
 
2.3. Equivalente Thevenin e Norton 
 
Equivalente Thevenin → fonte de tensão Equivalente Norton → fonte de corrente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente 
nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes. 
 
A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por: 
 
 
2.4. Divisão de corrente 
 
Seja o circuito com dois terminais abaixo: 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
19 
 
 
 Aplicando: 
Lei das Correntes de Kircchoff (LCK): 
 
Lei das Tensões de Kircchoff (LTK): 
 
Pela Lei de Ohm: 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo para V: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
20 
 
 
 Circuito com resistores em paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Divisão de tensão 
Seja o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 Aplicando: 
LTK: 
 
LCK: 
 
Pela Lei de Ohm: 
 
Resolvendo para I: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para um circuito com resistores em série: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
22 
 
 
Exercícios: 
1) Calcule a vista pela fonte e encontre : 
 
 
 
 
 
 
2) Uma carga requer e absorve . Se apenas uma fonte de está disponível, 
calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga. 
 
3) Calcule a vista pela fonte e calcule . 
 
4) Encontre os valores de . 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
23 
 
 
5) Calcule e a potência entregue pela fonte. 
 
 
6) Calcule e a potência entregue pela fonte. 
 
 
 
2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo) 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no 
circuito, caso contrário, a transformação não valerá. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
24 
 
 
a) Transformação de Y - ∆: 
Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo (∆), 
usamos as seguintes relações de resistências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Transforma o de ∆ - Y: 
Quando temos o circuito em triângulo (∆), e necessitamos transformar para estrela (Y) 
usamos as seguintes relações de resistências: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente, 
desenha-se o Y dentro do ∆, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos 
resistores. 
 
Exercícios: 
1) Determinar a resistência equivalente entre . 
a) 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
25 
 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
26 
 
 
2) Quando , a potência será de . Determine e o valor de . 
 
 
 
3) Determine as correntes indicadas: 
 
 
 
 
4) Calcule : 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
27 
 
 
5) Calcule : 
 
 
6) Calcule aplicando as LTK e LCK: 
 
 
2.7. Formas de ondas típicas 
 
a) Constante: 
 , para qualquer tempo . 
 
b) Função seno (ou cosseno): 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
28 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Função degrau unitário: 
 édefinida como: 
 
 
 
 
 
d) Função degrau unitário defasado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
29 
 
 
e) Função de pulso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: a área de um pulso é sempre . 
 
 
 
 para todo . 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
30 
 
 
 
f) Função impulso unitário: 
 
 
 
 
 
Relação entre δ(t) e u(t): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
31 
 
 
g) Função rampa unitária: 
 
 
 
 
 
Relação entre e 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
a) Faça os seguintes gráficos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
32 
 
 
2.8. Capacitores 
 
 Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de sua 
carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva Esta curva é 
chamada de curva característica do capacitor. 
 
 Símbolo: 
 
 
 Classificação: 
o Linear 
o Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc. 
o Variável com o tempo 
o Invariante no tempo 
 
 Capacitores lineares e invariáveis no tempo: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
33 
 
 
 
 Unidades: 
 
 
 
 Parâmetros: 
a) Carga no capacitor: 
 
b) Corrente no capacitor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Tensão no capacitor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Características do capacitor: 
a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será 
nula. 
 
 
 
 
Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula: 
 
 
 
Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
34 
 
 
 
Ex.: Capacitor carregado . 
 
b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele 
seja nula. 
Ex.: Capacitor carregado com tensão constante. 
 
 
 
 
 
c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor, 
pois a corrente tenderia ao infinito. 
Temos que: 
 
 
 
 
Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos: 
 
 
 
d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu 
campo elétrico. 
e) Um capacitor carregado é equivalente a ligação série de um capacitor 
descarregado em e uma fonte constante . 
 
 
 
 
 
 
 
 é a condição inicial de tensão no capacitor em . 
 
 
 
 
 
é a tensão no capacitor se, em . 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
35 
 
 
 
2.9. Indutores 
 
• Símbolo: 
 
 
• Comparação do indutor com o capacitor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
36 
 
 
• Parâmetros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Classificação: 
◦ Linear 
◦ Não linear 
◦ Invariante no tempo 
◦ Variável no tempo 
A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação, 
podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar 
nesta região, teremos um indutor linear. 
 
Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero. 
 
 
 
 
Não variando , 
 
 
 é zero, portanto . 
 
 
 
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 Página 
37 
 
 
Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito. 
 
 
 
a) Energia armazenada: 
 
 
 
 
b) Quando a chave é aberta, a corrente I0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo 
com que haja uma sobre tensão na chave. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
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38 
 
 
Exercícios: 
1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos: 
 
 
 
 
 
 
2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos 
seguintes casos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
39 
 
 
 
3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a 
forma de onda da tensão: 
 
4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os 
seguintes casos: 
 
 
 
 
 
 
5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os 
seguintes casos: 
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40 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de na fonte de 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
7) Seja o circuito abaixo, calcule 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
41 
 
 
 
8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com 
 . Calcular e esboçar a forma de onda de para e a potência 
instantânea e média entregue pela fonte. 
 
 
 
 
 
2.10. Potência e Energia 
 
• – não armazena energia, mas dissipa. 
• – armazena energia em seu campo elétrico. 
• – armazena energia em seu campo magnético. 
 
 
• Corrente que entra igual a corrente que sai. 
a) Potência instantânea: 
 
b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de até . 
 
 
 
 
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 Página 
42 
 
 
c) Potência média e ativa: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A expressão só é válidapara corrente cotínua. Para corrente 
alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por 
 
Desenvolvendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Indutor: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
43 
 
 
Obs.: Num sistema periódico, portanto . 
Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor. 
Exercícios: 
1) Seja o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
Esboce a tensão, potência instantânea e média para: 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
44 
 
 
 
2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão é dada 
por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
45 
 
 
2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos 
 
Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise 
e síntese de circuitos físicos. 
a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa 
de operação, como: 
• 
• 
• 
• 
Ex.: Um resistor de , , pode ter circulando no máximo a seguinte corrente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a tensão máxima aplicada deverá ser: 
 
 
 
 
 
b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são 
sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos 
parâmetros dos dispositivos. 
c) Efeito parasita: 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
46 
 
 
 
Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão. 
d) Valores típicos dos componentes físicos: 
• Resistores: , valores múltiplos de: 
 
• Capacitores: . 
• Indutores: . 
 
Exercícios: 
1) Seja o circuito abaixo: 
 
Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes 
casos: 
 
 
c) 
 
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 Página 
47 
 
 
d) 
 
2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
48 
 
 
UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES - 
3.1. Ligação série de elementos 
 
a) Resistores 
 
 
 
LTK: 
 
LCK: 
 
 
Obs.: são percorridos pela mesma corrente. 
 
 
 
 
Característica da curva : 
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 Página 
49 
 
 
 
 
 
b) Fontes de tensão: Considerando fontes de tensão em série: 
 
 
 
LTK: 
 
LCK: 
 
Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente. 
 
 
 
 
c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série: 
 
 
 
LTK: 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
50 
 
 
Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais. 
 
 
 
 
d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série: 
 
 
 
LTK: 
 
LCK: 
 
 
Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
51 
 
 
e) Indutores: Considerando n indutores em série: 
 
 
 
 
LTK: 
 
LCK: 
 
 
Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) Resistor e fonte de tensão: 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
52 
 
 
LTK: 
 
 
 
 Equação Característica 
 
Se são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente. 
 
 
Para: 
 
 
 
 
 
 
g) Resistor e diodo: 
 
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 Página 
53 
 
 
Para: 
 
 
 
 
3.2. Ligação paralela de elementos 
 
a) Resistores: 
 
 
LCK: 
 
LTK: 
 
 
Como são submetidos à mesma tensão, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para resistores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
55 
 
 
b) Fontes de corrente: 
 
 
 
 
 
LCK: 
 
LTK: 
 
 
Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma . 
 
 
 
 
c) Fontes de tensão: 
 
 
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 Página 
56 
 
 
LCK: 
 
LTK: 
 
 
Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais. 
• Princípio de paralelismo de transformadores: no secundário. 
 
d) Indutores: 
 
 
LCK: 
 
LTK: 
 
 
 
 
 
Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Capacitores: 
 
 
 
LCK: 
 
 
LTK: 
 
 
Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
58 
 
 
f) Resistor e fonte de corrente: 
 
 
LTK: 
 
LCK: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para: 
 
 
 
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 Página 
59 
 
 
g) Resistor e diodo: 
 
 
Para: 
 
 
 
 
 
 
h) Resistor, diodo e fontes de corrente: 
 
 
Se: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
60 
 
 
Se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Caso singular: 
 
 
 
 
 
 
Conclusões: 
1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a 
tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento. 
2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado 
no item 1. 
 
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 Página 
61 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor. 
 
 
 
 
2) Determine : 
 
a) 
 
 
 
 
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 Página 
62 
 
 
 
b) 
 
 
 
3) Para os circuitos abaixo: 
 
 
a) Determine a característica nos pontos . 
b) Descrever a característica no plano . 
c) Obter o equivalente Thevenin. 
d) Obter o equivalente Norton. 
 
4) Descrever analítica e graficamente a característica do circuito abaixo: 
 
 
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 Página 
63 
 
 
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - 
4.1. Definições e propriedades dos circuitos 
 
 Componentes: podem ser: 
 • Lineares 
 • Não lineares 
 • Variantes no tempo 
 • Invariantes no tempo. 
 
 Circuitos com: 
 • Componentes lineares → circuitos lineares 
 • Componentes lineares invariantes → circuitos lineares e invariantes no tempo. 
 
4.2. Análise nodal 
 
 Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são 
incógnitas. 
 
 
 Temos: 
 
 
 
 
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 Página 
64 
 
 
Passos para a análise nodal: 
 
a. Contar o número de nós 
 Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK 
obriga uma dependência linear entre as tensões de braço. 
 
b. Escolher uma referência (nesse caso, ) 
 Como o foi adotado como referência , temos: 
 
 
 
 Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós 
em relação a esta referência. 
 Concluímos que em um circuito com nós, teremos equações e incógnitas. 
 
Exemplos: 
1) 
 
 
Pela LCK: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
65 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
66 
 
 
 
 
 
Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante 
pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito. 
 
 
Características da matriz condutância: 
• É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de 
corrente. 
• Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos. 
 
 
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito 
 
 
 
Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó. 
Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando 
tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó. 
 
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 Página 
67 
 
 
LCK: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são 
obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações 
igual ao número de incógnitas. 
Procedimentos práticos para a análise nodal: 
a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e 
elementos. 
b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos 
 nós em ralação a referência. 
c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz 
condutância. 
d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um 
super nó. 
 
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 Página 
68 
 
 
Exercícios: 
 
1) Encontrar as tensões nos nós 
 
 
2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar 
 
 
 
3) Substituir a fonte de por uma fonte de corrente dependente com seta para cima 
com valor de , onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de 
Determine 
 
4) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão de com referência positiva 
dirigida para cima. Determine 
 
 
5) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão dependente, referência positiva 
dirigida para baixo e definida como Determine 
 
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 Página 
69 
 
 
4.4. Análise por malhas 
 
• Só é possível se o circuito for uma superfície plana. 
• Somente malhas, não percursos fechados. 
• n malhas, n equações 
• Corrente de malha no sentido horário. 
• Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras. 
 
Exemplos: 
 
1) 
 
 
 
LTK: 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
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 Página 
70 
 
 
2) 
 
 
 
3) 
 
 
 
 
 Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para 
conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
71 
 
 
 
4) 
 
5) 
 
 
 
6) Use a análise de malhas para determinar 
 
 
 
 
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 Página 
72 
 
 
 
7) Use análise de malhas para determinar 
 
 
 
 
8) Use análise de malhas para determinar 
 
 
 
 
9) Use análise de malhas para determinar 
 
 
 
 
 
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 Página 
73 
 
 
 
Procedimentos práticos para análise de malhas: 
 
a) Só é aplicada a uma rede de circuito planar. 
b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK. 
c) Emprega-se valores de resistência ao invés de condutância. 
d) Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é 
simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o resto 
dos elementos negativos. 
e) Se o circuito houver fontes de corrente: 
1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin. 
2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
74 
 
 
UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - 
 
5.1. Teorema de Thevenin 
 
 Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser 
substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma 
resistência de Thevenin, onde é a tensão em circuito aberto e a é a 
resistência equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuito 
zeradas. 
 
Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo: 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
75 
 
 
Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através da análise por malhas podemos achar o valor de 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
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 Página 
76 
 
 
 
5.2. Teorema de Norton 
 
 Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser 
substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma 
resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais em curto 
circuito e é a resistência vista pelos terminais com todas as fontes zeradas. 
 
Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto. 
 
Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 Curto circuitando os terminais , temos a resistência equivalente 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
77 
 
 
 
 
Com isso, podemos calcular o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3. Teorema da superposição 
 
 Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de 
I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente 
de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se 
algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes 
atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas. 
 
Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
78 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
 
 
1) Para fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito aberto. 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
2) Para a fonte de a fonte de é um curto e a de é um circuito 
aberto. 
 
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 Página 
79 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
3) Para a fonte de a fonte de e são um curto circuito. 
 
 
 
 
 
 
Temos então: 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
80 
 
 
5.4. Teorema da máxima transferência de potência 
 
 Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma 
fonte de tensão ou corrente. 
 
 
 
 
A potência fornecida para é: 
 
 
Sendo: 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
Para obter a máxima transferência de potência, faz-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
81 
 
 
 
 
Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios: 
 
1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
82 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
83 
 
 
e) 
 
 
 
2) Determine aplicando análise nodal: 
 
 
 
3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
 
 
 Página 
84 
 
 
4) Determine Ix usando: 
a) Análise nodal. 
b) Análise de malhas. 
 
 
 
 
5) Determine empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas 
fontes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
85 
 
 
UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – 
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem 
 
 Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta 
poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira 
ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia, 
podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em 
uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo 
considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito 
será devido a: 
 Fontes independentes, que são as entradas ou excitações; 
 Condições iniciais do circuito. 
6.1.1. Resposta a excitação zero 
 
 Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal 
circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito 
no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem: 
 Circuito RC 
 Circuito RL 
 
6.1.1.1. Circuito RC (Resistor-Capacitor) 
 
 
Figura 6.1- Circuito RC 
 Para t<0, a chave S1 fechada e S2 aberta, o capacitor está carregado com tensão 
V0, dado pela fonte V0; 
 Em t=0, a chave S1 é aberta e S2 é fechada (simultaneamente); 
 Fisicamente, devido a carga inicial do capacitor ( ), aparecerá uma 
corrente na malha RC. A carga vai decrescendo gradualmente até zero. 
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 Página 
86 
 
 
Durante este processo a energia no capacitor será dissipada no resistor na forma de 
calor. 
Analisando o circuito para t ≥ 0: 
 
Figura 6.2- Circuito RC para t ≥ 0 
 
 LTK: LCK: 
 As duas equações de braços dos dois elementos serão: 
 Capacitor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando Vc(t) 0 
 
 
 Resistor 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos, portanto, quatro equações para quatro incógnitas. Supondo que queiramos a 
tensão no capacitor como resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A expressão das correntes será: 
 
 
 
 
 
 
 
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87 
 
 
 Observando a equação das correntes chegamos podemos observar que esta será uma 
equação diferencial, linear, de primeira ordem, homogênea, com os coeficientes constantes. 
Então chegamos que a solução para a equação das correntes é dada pela seguinte equação: 
 
Onde: 
 K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; 
 é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
RC=τ=constante de tempo 
No instante de tempo temos que: 
 
 
 
OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rápido será a descarga. 
 A resposta geral será da seguinte forma: 
 
 
 
 Pelas equações obtidas pela LKC obtemos: 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com as expressões da , , e obteremos os seguintes gráficos: 
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88 
 
 
 
Figura 6.3 – Gráfico da corrente no capacitor. 
 
 
Figura 6.4- Gráfico da corrente no resistor. 
 
Figura 6.5 – Gráfico da tensão no capacitor. 
A figura 6.5(gráfico da tensão do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a 
descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva característica é uma 
exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condições: 
 A ordem da curva em é a condição inicial; 
 A constante de tempo dependerá exclusivamente dos parâmetros do circuito (R, L, C) 
e da forma como os mesmos estão conectados. 
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89 
 
 
 
Figura 6.6- Gráfico da tensão do capacitor. 
 
 
6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor) 
 
 
Figura 6.7 – Circuito RL 
 
Para , a chave S1 está ao terminal b e o indutor está carregado com a corrente ; 
 Para , S1 é conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente não pode ficar 
em circuito aberto; 
O indutor fica conectado ao resistor (R) e a fonte de corrente fica curto circuitada e a 
energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada no resistor na forma de calor. 
 Analisando o circuito para (figura 6.8) 
 
Figura 6.8 – Circuito RL para 
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90 
 
 
LTK 
 
LCK 
 
Portando obtemos 
 
A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente até zero. 
Durante este processo, a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada na 
forma de calor pelo resistor. 
As equações de braços serão: 
 Indutor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resistor 
 
 
 
 
 
 
Como queremos como resposta e sabemos que: 
 
 
Então obtemos 
 
 
 
 
 
 
Onde esta equação corresponde a uma equação diferencial linear, homogênea, de 
primeira ordem com os coeficientes constantes então a solução para a equação será da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
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 Página 
91 
 
 
Onde: 
 K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; 
No instante de tempo temos que: 
 
 
 
 é a freqüência de amortecimento dada pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = τ = constante de tempo 
OBS.: Todos estes cálculos valem somente para 
 
 
 Com a análise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor: 
 
 
Figura 6.9- Gráfico da corrente no indutor. 
 
6.1.2. Resposta ao estado zero 
 
6.1.2.1. Circuito RC 
 
 Para , S1 é fechada. Obtemos então; 
 
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92 
 
 
 
Figura 6.10 – Circuito Rc em resposta ao estado zero 
 
 
 Em , S1 abre, e a fonte de corrente é conectada ao circuito ; 
 Para 
Após um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos: 
 
 
Figura 6.11 – Circuito RC com S1 aberta. 
 , 
Pois 
 
 
Pela LTK: 
 
 A partir disto, obteremos as seguintes considerações: 
 Com a fonte de corrente, a tensão no capacitor não varia instantaneamente; 
 parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto: 
 
Em 
 
 
 
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93 
 
 
Ou seja, a corrente fluirá toda pelo capacitor 
 À medida que cresce, cresce, aplicando uma e diminuindo a 
 
 
LCK: 
 
 Quando deixarmos o circuito ligado, cresce até um valor e fica estável 
 
 
 
 O capacitor carregado é um circuito aberto e toda a corrente I passará pelo resistor. 
Isto ocorrerá quando: 
 
 
 
 
Considerando a tensão do capacitor como a resposta almejada, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando analisamos o circuito para , a tensão no capacitor permanece nula, e a 
corrente no resistor também. A corrente flui então somente pelo capacitor. Logo após, com a 
corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tensão . 
 
 
 
 
 
 
 
Então teremos um , e tende a crescer diminuindo assim, , pois: 
 
 
 
 
 
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94 
 
 
OBS.: 
 Para , o capacitor estará carregado, e será considerado um circuito aberto 
quando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor. 
 
 
 
Quando isto ocorrer, o capacitor será um circuito aberto. 
 
 
Note que para determinarmos a resposta da tensão do capacitor ao estado zero, 
dependemos dos parâmetros do circuito e ainda da função de entrada que no nosso caso será 
 . Esta resposta é denominada solução em regime permanente (solução particular) e 
representa a solução do circuito para um tempo infinitamentegrande e é conhecida 
como solução em regime permanente, ou solução para o estado zero do circuito. Então a 
expressão para a solução particular será determinada exclusivamente a partir da forma da 
função de entrada ( ). 
Com estas considerações podemos definir que a solução geral para a equação da 
tensão no capacitor será do tipo: 
 
Onde a depende além dos parâmetros do circuito, das condições iniciais 
no circuito no instante de tempo 
 
Onde é determinado pelas condições iniciais. 
 Já a que dependerá dos parâmetros do circuito e ainda da função de 
excitação de entrada. 
 
 A partir disto podemos obter a equação da solução geral pela seguinte expressão: 
 
 Mas para obtermos será realizado pela expressão geral: 
 , 
 
 
 
 
 
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95 
 
 
 
 
 
 E as correntes serão dadas pelas equações 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
 
Podemos obter então a corrente no resistor . Sabemos que: 
 
Então 
 
 
 
 
 
Figura 6.12- Gráfico da corrente e da tensão do capacitor. 
 
6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal 
 
 Considerando o circuito abaixo ao qual é excitado por uma fonte de corrente 
 
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96 
 
 
 
Figura 6.13 – Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal. 
Onde 
 Amplitude; 
 Frequencia angular ; 
 = Fase 
A solução geral para o circuito será da seguinte forma: 
 
Onde a solução homogênea será 
 
 
 
 E a solução particular 
 
 
 Onde as constantes e são as constantes a serem determinadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução geral 
 
 
 
 Para determinar , faz-se: 
 , 
 
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97 
 
 
 
 
 
 
 
6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente 
 
Figura 6.14 – Circuito RC para resposta completa. 
 
 Para , a chave curto-circuita a fonte; 
 Em , vale a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para : 
 
Temos aqui a resposta à excitação e ao estado zero onde: 
 
 Resposta a excitação zero; 
 Resposta ao estado zero. 
 Solução para : 
 
 
 
Solução para : 
 
 
 
Solução geral: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 Resposta completa 
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98 
 
 
 
 
 
 Resposta à excitação zero 
 
 
 Resposta ao estado zero 
 Isolando 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dependerá das condições iniciais e repetina aplicação da 
excitação que em tende a desaparecer e por causa disto, é chamado de 
TRANSITORIO; 
 Esta parcela continua conforme o transitório vai se esgotando, sendo, portanto, 
chamado de regime permanente e é ligado a forma de onda da excitação 
. 
Figura 6.15 – Gráfico da tensão em resposta completa. 
 
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário 
 
 Para , ; 
 Para , . 
 
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99 
 
 
 
 Figura 6.16 – Analogia entre a função degrau e uma chave no circuito. 
 
Obs.: é análogo a uma chave que atua em t=0 
Exemplo: 
 
Figura 6.17 – Exemplo do circuito utilizando a função degrau. 
 
Para , 
 
Para , 
LTK: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Solução homogênea: 
 
 
 
 
Solução particular ( ) 
 
O indutor carregado é um curto circuito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para , 
 
 
Para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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101 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Determine 
 
 
 
2) 
 
 
3) 
 
4) 
 
 
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102 
 
 
5) 
 
 
6) 
 
 
7) 
 
8) Determine 
 
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103 
 
 
 
9) Determine para o circuito abaixo 
 
 
10) Obter . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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104 
 
 
UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – 
 
 7.1. Resposta a Excitação Zero 
7.1.1. Circuito RLC paralelo 
 
 
figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo 
 
 
 
 Pelas equações de braço podemos obter: 
 Resistor 
 
 
 
 
 
 
 Capacitor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Indutor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando a LTK 
 
Pela LCK temos 
 
 
Com isso, podemos perceber que temos 6 incógnitas, duas em cada equação 
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 Página 
105 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando e dividindo por C obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por conveniência, vamos definir dois parâmetros: 
 
 Constante de amortecimento: 
 
 
 
 
 
 Freqüência angular ressonante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo 
 
 
 por S chegamos na equação característica 
 
 
 
 Raízes: 
 Os zeros do polinômio, ou suas raízes, são chamadas de freqüências naturais 
do circuito; 
 As raízes deste polinômio nos dizem o tipo de comportamento do circuito; 
De acordo com os valores de e de , teremos quatro tipos de comportamento 
 Circuito superamortecido; 
 Circuito criticamente amortecido; 
Por quem definimos e ? 
 Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos dá 
uma resposta exponencial, hora senoidal 
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 Página 
106 
 
 
 Circuito subamortecido; 
 Circuito sem perdas. 
 
7.1.1.1 Circuito superamortecido ( ) 
 
 As freqüências naturaissão raízes reais e negativas, cuja resposta é o somatório de 
duas exponenciais. 
 
Onde K1 e K2 são determinadas pelas condições iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a 
partir da resposta quando t=0 
 
 Derivando 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
107 
 
 
 7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido ( ) 
 
As freqüências naturais são reais, negativas e iguas. 
 
 
 
Resposta: 
 
 
 - Surge devido à descarga de corrente do indutor sobre o capacitor aumentando sua 
tensão. 
7.1.1.3 Circuito Subamortecido ( ) 
 
 As freqüências naturais são raízes imaginárias, complexas, conjugadas. 
 
 
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 Página 
108 
 
 
 
Cuja resposta é: 
 
 
Onde e dependem das condições iniciais 
 
 
 
 
7.1.1.4 Circuito sem perdas ( ) 
 
As freqüências naturais são imaginárias. 
 
 
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 Página 
109 
 
 
 
 
Resposta 
 
 
 
Exemplo: 
Dado o circuito abaixo determinar para a resposta à excitação 
zero para cada caso. 
a) 
b) 
c) 
 
 
 
 
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110 
 
 
a) 
 
 Cálculo de e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Circuito superamortecido 
 
 
 Cálculo das freqüências naturais 
 
 
 
 Determinação de K1 e K2 
 
A tensão no capacitor para é 
 
 
 
 
Derivando em 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , temos 
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 Página 
111 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.1.2. Circuito RLC série 
 
 
Figura 7.2- Circuito RLC série 
 
LTK 
 
 
LCK 
 
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 Página 
112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando a equação e dividindo por L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo 
 
 
 por S 
 
 
Equação característica 
As raízes deste polinômio nos dão o comportamento do circuito, em relação ao 
amortecimento. 
Raízes 
 
Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de e são os valores que 
determinam o tipo de amortecimento do sistema. 
 Circuito superamortecido ( ) 
 
 
 
 Circuito criticamente amortecido ( ) 
 
 
 
 Circuito subamortecido ( ) 
 
 
 
 
 
 Circuito criticamente amortecido ( ) 
 
 
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 Página 
113 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Seja o circuito 
 
Determine e esboçar a forma de onda. 
2) Seja o circuito 
 
Determine para 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
3) Seja o circuito 
 
 
Determine 
4) Repita o exercício 2 para 
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114 
 
 
5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendo 
aberta em . Calcular a tensão a partir deste instante 
 
 
 
 
7.2. Resposta ao Estado Zero 
 
7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante 
 
 
Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente 
 
 
 
LTK 
 
LCK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polinômio 
 
 
Solução geral 
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 Página 
115 
 
 
 
 
Onde são os quatro casos de amortecimento e é para t 
tendendo para o infinito, regime permanente. 
Supondo que o sistema seja superamortecido a pode ser expressa por 
 
Já a é igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor é um curto 
circuito, então a tensão no capacitor será igual a zero. 
Solução Geral 
 
 Determinação das constantes K1 e K2 
 , logo 
 
 Derivando em função do tempo para 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde S1 e S2 são as raízes do polinômio 
 
 
 
 EXEMPLO 
 
 
 
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 Página 
116 
 
 
7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante 
 
 
Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tensão 
 
 
LTK 
 
 LCK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivando e dividindo por L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução geral 
 
 
 Como 
 
 Então toda tensão da fonte é aplicada no indutor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Página 
117 
 
 
7.3. Resposta Completa 
 
 É determinada pela resposta transitória mais a resposta em regime permanente. 
 
Figura 7.5- Circuito RLC série 
 
 
LTK 
 
LCK 
 
A equação de segundo grau que descreve este circuito é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como logo é um sistema superamortecido. 
 
 
 
 
Pela equação característica 
 
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 Página 
118 
 
 
 
 
 Determinação de K1 e K2 
Como

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