provas de álgebra linear prof. Cícero José 2017.1

Prévia do material em texto

Universidade de Pernambuco
Departamento Básico
Prof. Cícero José. 01/06/2017
Álgebra Linear Turma: LT
Resolva as questões com todos os detalhes.
Não é permitido qualquer tipo de consulta.
1a) Questão: ( 3,0 pontos )
1Seja T : R3! R2 uma transformação linear, de…nida por:
T (x; y; z) = (x� y; x+ y) :
Pede-se:
(i) Veri…car se: T é injetora e obter a dimKer (T ).
(ii) dim Im (T ) e uma base para Im(T ): T é sobrejetora?
2a) Questão: ( 4,0 pontos )
(i) Obter a aplicação A : R2 ! R2 que é uma expansão de fator p2 seguida
de um rotação anti-horária de �=4 rad :
(ii) Seja T : P1(R)! R2 uma transformação linear bijetora, de…nida por:
T (ax+ b) = (a+ b; a� b) :
Obtenha: T�1
3a) Questão: ( 3,0 pontos )
Sejam T : R3 ! R2 e G : R2 ! R3 transformações lineares, tais que:
T (x; y; z) = (3x+ y; x+ z) e G (x; y) = (2x; x+ y; x� y) :
Pede-se:
(i) [G � T ] e (ii) [T �G]
1Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
1
Universidade de Pernambuco
Departamento Básico
Prof. Cícero José. 01/06/2017
Álgebra Linear Turma: GT
Resolva as questões com todos os detalhes.
Não é permitido qualquer tipo de consulta.
1a) Questão: ( 3,0 pontos )
2Seja T : R3 !M2(R) uma transformação linear dada por:
T (a; b; c) =
�
a� b 0
0 a+ c
�
:
Pede-se:
i) Ker(T ) e dimKer (T ) ;
ii) Uma base � para a Im (T ) : T é sobrejetora? Justi…que.
2a) Questão: ( 4,0 pontos )
(i) Obter a aplicação A : R2 ! R2 que é uma homotetia de fator 2 seguida
de um rotação horária de �=4 rad :
(ii) Seja T : R2! P1(R) uma transformação linear bijetora, de…nida por:
T (a; b) = a+ (b� a)x:
Obtenha: T�1:
3a) Questão: ( 3,0 pontos )
Sejam T : R3 ! R2 e G : R2 ! R3 transformações lineares, tais que:
T (x; y; z) = (x� y; x+ y + z) e G (x; y) = (x+ y; 2x; x� y) :
Pede-se:
(i) [G � T ] e (ii) [T �G]
2Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
2
Universidade de Pernambuco
Departamento Básico
Prof. Cícero José. 01/06/2017
Álgebra Linear Turma: GT
Resolva as questões com todos os detalhes.
Não é permitido qualquer tipo de consulta.
1a) Questão: ( 3,0 pontos )
3Seja T : R3 !M2(R) uma transformação linear dada por:
T (a; b; c) =
�
a� b 0
0 a+ c
�
:
Pede-se:
i) Ker(T ) e dimKer (T ) ;
ii) Uma base � para a Im (T ) : T é sobrejetora? Justi…que.
2a) Questão: ( 4,0 pontos )
(i) Obter a aplicação A : R2 ! R2 que é uma homotetia de fator 2 seguida
de um rotação horária de �=4 rad :
(ii) Seja T : R2! P1(R) uma transformação linear bijetora, de…nida por:
T (a; b) = a+ (b� a)x:
Obtenha: T�1:
3a) Questão: ( 3,0 pontos )
Sejam T : R3 ! R2 e G : R2 ! R3 transformações lineares, tais que:
T (x; y; z) = (x� y; x+ y + z) e G (x; y) = (x+ y; 2x; x� y) :
Pede-se:
(i) [G � T ] e (ii) [T �G]
3Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
3
4UPE POLI Prof. Cícero José
Álgebra linear LT/Cálculo
Resoluções e Comentários
1. ( 3,0 pontos )
Seja T : R3! R2, de…nida por:
T (x; y; z) = (x� y; x+ y) :
(i) A…rmação: T não é injetora. De fato, o núcleo de T é descrito por:
Ker (T ) =
�
(xo; yo; zo) 2 R3;T (xo; yo; zo) = (0; 0)
	
:
T (xo; yo; zo) = (xo � yo; xo + yo) = (0; 0) =)
�
xo � yo = 0
xo + yo = 0
=) xo = yo = 0: Portanto,
Ker (T ) = f(0; 0; zo) 2 R3; zo 2 Rg = [(0; 0; 1)] :
Segue-se daí que: T não e injetora. Além disso, dimKer (T ) = 1: �
(ii) Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:
3 = dimR3 = 1 + dim Im(T ) =) dim Im(T ) = 2
e Im (T ) � R2: Assim, Im (T ) = R2 e, portanto, T é sobrejetora.
Vamos determinar os geradores para Im (T ) : T (x; y; z) = x (1; 1)+y (�1; 1) :
Daí, vem: Im (T ) = [(1; 1) ; (�1; 1)]. Como dim Im(T ) = 2; segue-se que
� = f(1; 1) ; (�1; 1)g é uma base para Im(T ): �
2.( 4,0 pontos )
(i) Obter A : R2 ! R2 que é uma expansão de fator p2 seguida
de um rotação anti-horária de �=4 rad :
R2
E(
p
2)�! R2
A = R(�=4) � E(p2) & # R(�=4)
R2:
Assim,
[A] =
h
R(�=4) � E(p2)
i
=
�
R(�=4)
� h
E(
p
2)
i
=
=
 p
2
2 �
p
2
2p
2
2
p
2
2
!� p
2 0
0
p
2
�
=
�
1 �1
1 1
�
:
4Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
4
Desta forma, A na forma matricial, é dada por:
[A]
�
x
y
�
=
�
1 �1
1 1
��
x
y
�
=
�
x� y
x+ y
�
:
Ou ainda,
A (x; y) = (x� y; x+ y) :�
(ii) 5Seja T : P1(R)! R2 uma transformação linear bijetora, de…nida por:
T (ax+ b) = (a+ b; a� b) :
T�1 : R2! P1(R); T�1 (k1; k2) = �1x+ �1 () T (�1x+ �1) = (k1; k2) :
Vejamos
T (�1x+ �1) = (�1 + �1; �1 � �1) = (k1; k2) :
Daí, obtemos: �
�1 + �1 = k1
�1 � �1 = k2 =)
�
�1 =
k1+k2
2
�1 =
k1�k2
2
:
De sorte que:
T�1 (k1; k2) =
�
k1 + k2
2
�
x+
�
k1 � k2
2
�
:
�
3. ( 3,0 pontos )
Sejam T : R3 ! R2 e G : R2 ! R3 transformações lineares, tais que:
T (x; y; z) = (3x+ y; x+ z) e G (x; y) = (2x; x+ y; x� y) :
Pede-se:
(i) [G � T ] = [G]:[T ] =
0@ 2 01 1
1 �1
1A :� 3 1 0
1 0 1
�
=
0@ 6 2 04 1 1
2 1 �1
1A :
(ii) Procedendo de forma análoga, temos:
[T �G] = [T ]:[G] =
�
3 1 0
1 0 1
�
:
0@ 2 01 1
1 �1
1A = � 7 1
3 �1
�
: �
5Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
5
6UPE POLI Prof. Cícero José
Álgebra linear GT/Cálculo
Resoluções e Comentários
1. ( 3,0 pontos )
Seja T : R3 !M2(R) uma transformação linear dada por:
T (a; b; c) =
�
a� b 0
0 a+ c
�
:
i) A…rmação: T não é injetora. De fato, o núcleo de T é descrito por:
Ker (T ) =
�
(ao; bo; co) 2 R3;T (ao; bo; co) =
�
0 0
0 0
��
:
Com efeito, T (ao; bo; co) =
�
ao � bo 0
0 ao + co
�
=
�
0 0
0 0
�
=)
�
ao � bo = 0
ao + co = 0
=)
�
bo = ao
co = �ao : Portanto,
Ker (T ) =
�
(ao; ao;�ao) 2 R3; ao 2 R
	
= [(1; 1;�1)] :
Segue-se daí que: T não e injetora. Além disso, dimKer (T ) = 1: �
(ii) Agora, pelo teorema do núcleo e da imagem, temos:
3 = dimR3 = 1 + dim Im(T ) =) dim Im(T ) = 2;
Im (T ) �M2 (R) e dimM2 (R) = 4: Assim, Im (T ) 6=M2 (R) e, portanto,
T é não é sobrejetora.
Vamos determinar os geradores para Im (T ) :
T (a; b; c) =
�
a� b 0
0 a+ c
�
= a
�
1 0
0 1
�
+ b
� �1 0
0 0
�
+ c
�
0 0
0 1
�
:
Daí, vem: Im (T ) =
��
1 0
0 1
�
;
� �1 0
0 0
�
;
�
0 0
0 1
��
. Como
dim Im(T ) = 2; segue-se que � =
�� �1 0
0 0
�
;
�
0 0
0 1
��
é uma base
para Im(T ): �
2.( 4,0 pontos )
(i) Obter a aplicação A : R2 ! R2 que é uma homotetia de fator 2 seguida
de um rotação horária de �=4 rad :
R2
H(2)�! R2
A = R(��=4) �H(2) & # R(��=4)
R2:
6Curso de Álgebra Linear do Prof. Cícero José.
6
Assim,
[A] =
�
R(��=4) �H(2)
�
=
�
R(��=4)
� �
H(2)
�
=
=
 p
2
2
p
2
2
�
p
2
2
p
2
2
!�
2 0
0 2
�
=
� p
2
p
2
�p2 p2
�
:
Desta forma, A na forma matricial, é dada por:
[A]
�
x
y
�
=
� p
2
p
2
�p2 p2
��
x
y
�
=
� p
2(x+ y)
�p2x+p2y
�
=
� p
2(x+ y)p
2(y � x)
�
:�
Ou ainda,
A (x; y) =
�p
2(x+ y);
p
2(y � x)
�
:
(ii) 7Seja T : R2! P1(R) uma transformação linear bijetora, de…nida por:
T (a; b) = a+ (b� a)x:
Com efeito,
T�1 : P1(R) �! R2; T�1 (�1x+ �1) = (k1; k2)() T (k1; k2) = �1x+ �1:
Vejamos
T (k1; k2) = k1 + (k2 � k1)x: = �1 + �1x:
Daí, obtemos: �
k1 = �1
k2 � k1 = �1 =)
�
k1 = �1
k2 = �1 + �1
:
De sorte que:
T�1 (�1x+ �1) = (�1; �1 + �1):�
3. ( 3,0 pontos )
Sejam T : R3 ! R2 e G : R2 ! R3 transformações lineares, tais que:
T (x; y; z) = (x� y; x+ y + z) e G (x; y) = (x+ y; 2x; x� y) :
Pede-se:
(i) [G � T ] = [G]:[T ] =
0@ 1 12 0
1 �1
1A :� 1 �1 0
1 1 1
�
=
0@ 2 0 12 �2 0
0 �2 �1
1A :
(ii) Procedendo de forma análoga, temos:
[T �G] = [T ]:[G] =
�
1 �1 0
1 1 1
�
:
0@ 1 12 0
1 �1
1A = � �1 1
4 0
�
: �]
7Curso de Álgebra Lineardo Prof. Cícero José.
7