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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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Fundamentos de' '.
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Matemática Elementar
Osvaldo Dolce
José Nicolau Pompeó
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Neste volume 10 - Geometria Espacial: posição e métrica - a
teoria foi revisada e os exercícios selecionados e reordenados. Em cada
capítulo os exercícios foram graduados do seguinte modo: os iniciais fo-
ram introduzidos por figuras, com dados numéricos e literais; os demais
por enunciados, e por fim apresentamos os exercícios demonstrativos.
Para todos os exercícios sào fornecidas respostas ou é apontada uma se-
qüência de passos que permite obter suas soluções ou demonstrações.
A reordenação ea seleção dos exercícios nos capítulos de Geome-
tria de Posição tiveram a participação do professor Luiz Belloni Jr., e
nos capitulas de Geometria Métrica contamos com a colaboração ex-
pressiva dos professores Arnaldo Bentó Rodrigues, Clementino de Oli-
veira, Roberto Périgo e Sonia Regina Cavallini. A eles os nossos agra.
decimentos pela valorizaçào da qualidade dos exercícios.
Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o an-
seio dos autores e o valor de sua obra; gostaríamos de receber dos cole-
gas professores uma apreciação sobre este trabalho, notadamente os co-
mentários críticos, os quais agradecemos.
Os Autores.
SUDlário
CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO...... 1
I. Conceitos primitivos e postulados 1
II. Determinação de plano 4
11I. Posições das retas 8
IV. Interseção de planos :...................... 11
CAPÍTULO 11 - PARALELlSMO . 17
I. Paralelismo de retas ;...... 17
11. Paralelismo entre retas e planos 19
III. Posições relativas de uma reta e um plano 21
IV. Duas retas reversas 23
V. Paralelismo entre planos 25
VI. Posições relativas de dois planos 27
VII. Três retas reversas duas a duas 29
VIII. Ângulo de duas retas - Retas ortogonais 31
CAPÍTULO IH - PERPENDICULARIDADE .. 35
I. Reta e plano perpendiculares 35
11. Planos perpendiculares 48
CAPíTULO IV - APLICAÇÕES.. 52
I. Projeção ortogonal sobre um plano 52
lI. Segmento perpendicular e segmentos oblíquos a um plano por
um ponto 56
1I1. Distâncias geométricas 59
IV. Ângulo de uma reta com um plano 68
V. Reta de maior declive de um plano em relação a outro... 69
VI. Lugares geométricos 71
Leitura: Tales, Pitágoras e a geometria demonstrativa 78
b
CAPÍTULO V - DIEDROS .
I. Definições ..
lI. Secções .
m. Diedros congruentes - Bissetor - Medida .
IV. Secções igualmente inclinadas - Congruência de diedros .
CAPÍTULO VI - TRIEDROS .
I. Conceitos e elementos .
11. Relações entre as faces .
lU. Congruência de triedros ..
IV. Triedros polares ou suplementares .
V. Critérios ou casos de congruência entre triedros .
VI. Ângulos poliédricos convexos , .
CAPiTULO VII - POLIEDROS CONVEXOS .
1. Poliedros convexos .
11. Poliedros de Platão .
lU. Poliedros regulares .
CAPiTULO VIII - PRISMA .
L Prisma ilimitado .
11. Prisma .
1I1. Paralelepípedos e romboedros ..
IV. Diagonal e área do cubo .
V. Diagonal e área do paralelepípedo retângulo ..
VI. Razão entre paralelepípedos retângulos ..
VIL Volume de um sólido .
VIU. ",:olume do paralelepípedo retângulo e do cubo ..
IX. Area lateral e área total do prisma ..
X. Princípio de Cavalieri .
XI. Volume do prisma .
XII. Secções planas do cubo .
XIII. Problemas gerais sobre prismas .
Leitura: Cavalieri e os indivisíveis ..
CAPÍTL1LO IX - PIRÂMIDE .
I. Pirâmide ilimitada .I;;: ~~~~~ed~ .. i~â~i· .. ·· .. ·.. ·· .. ·.. ············· .. ·..·..·.. ·· ..·.. ·.. ··
IV. Área 1aterate áread~;i~i·d~·pi;â~id~·:::::::::::::::::::::::::::
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80
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84
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185
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CAPÍTULO X - CILINDRO .
I. Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies
cilíndricas .
11. Cilindro .
lU. Áreas lateral e total .
IV. Volume do cilindro ..
CAPÍTULO XI - CONE ..
L Preliminar: noções intuitivas de geração de superfícies cônícas
11. Cone ..
IIL Áreas lateral e total ..
IV. Volume do cone ..
CAPÍTULO XII - ESFERA ..
L Definições .
lI. Área e volume ..
1I1. Fuso e cunha ..
IV. Dedução das fórmulas das áreas do cilindro, do cone e da
esfera ..........•.........................................................
Leitura: Lobachevski' e as geometrias não euclidianas ..
CAPÍTULO XIII - SÓLIDOS SEMELHANTES - TRONCOS
I. Secção de uma pirâmide por um plano paralelo à base .
11. Tronco de pirâmide de bases paralelas ..
111. Tronco de cone de bases paralelas ..
IV. Problemas gerais sobre sólidos semelhantes e troncos ..
V. Tronco de prisma triangular ..
VI. Tronco de cilindro .
CAPiTULO XIV INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE
SÓLIDOS .
I. Esfera e cubo .
lI. Esfera e octaedro regular ..
III. Esfera e tetraedro regular .
IV. Inscrição e circunscrição envolvendo poliedros regulares .
V. Prisma e cilindro ..
VI. Pirâmide e cone ..
VII. Prisma e pirâmide .
VIII. 'Cilindro e cone ..
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312
313
316
CAPÍTULO I
IX. Cilindro e esfera 318
X. Esfera e cone reto : 321
XI. Esfera, cilindro equilátero e cone equilátero 327
XII. Esfera e tronco de cone 329
XIII. Exercícios gerais sobre inscrição e circunscrição de sólidos 331
CAI'ÍTULO XV - SUPERf"ÍCIES ESÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 333
I. Superfícies de revolução 333
11. Sólidos de revolução........... 335
CAPÍTULO XVI - SUPERFÍCIES E SÓLIDOS ESfÉRICOS 348
I. Superfícies - Definições 348
n. Áreas das superfícies esféricas 349
111. Sólidos esféricos: definições e volumes 354
IV. Deduções das fórmulas de volumes dos sólidos esféricos. 364
Leitura: Riemann, o grande fílósofo da geometria 370
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ..: ; 372
nsn:s DE VESTIBULARES 395
Rf:SPOSTAS DOS TESTES 440
Introdução
~.
I. Conceitos primitivos e postulados
1. As noções (conceitos, termos, entes) geométricas são estabelecidas por meio
de definições. Em particular, as primeiras noções, os conceitos primitivos (no-
ções primitivas) da Geometria, são adotadas sem definição.
Adotaremos sem definir os conceitos de:
PONTO, RETA e PLANO. ·1
A
•
o ponto A. A reta r. O plano OI.
Do ponto, da reta e do plano temos um conhecimento intuitivo decorrente da
experiência e da observação.
~/I O espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto desenvolvere-
mos a Geometria EspaciM.
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INffiODUÇÃO INffiODUÇÃO
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3. Postulado da existência
a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.
b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos.
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". EXERCÍCIOS
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Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
Três retas, duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto, estão
contidas no mesmo plano.
1. Demonstre que num plano existem infmitas retas.
2. Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois
a dois distintos, se:
a) A, B e C são colineares. b) A, B, C e D não são coplanares.
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