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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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eA, B e C não colineares.
Pelo postulado da determinação existe o plano O:: :; (A, B, C).'
Pelo postulado da inclusão, temos: (A ~ B; A, B E ti) - t C IX,
Analogamente temos: A C O:: e r C a.
I·
3.
,
4.
5.
~ ""
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~,
\'
•
B
a b
a=b"a#b
A
•
ex = IA. B, C)
,><.
r n s = [P]
/j]jff}
IA '" B, r = AB, A E a, B E a) .. r C a,
4. Postulado da determinação
a) Dois pontos distintos determi-
nam uma única reta que passa por eles.
b) Três pontos não co/ineares de-
terminam um único plano que passa por
eles.
Duas retas são concorrentes se, e
somente se, elas têm um único ponto
comum.
Se umá reta tem dois pontos dis·
tintos num plano, então ela está conti-
da no plano.
7. Retas paralelas - definição
5. Postulado da inclusão
6. Retas concorrentes - definição
2. As proposições (propriedades) geométricas são aceitas mediante demons-
trações. Em particular, as primeiras proposições, as proposições primitivas ou
postulados são aceitos sem demonstração.
Assim, iniciamos a Geometria com alguns postulados, relacionando o pon-
to, a reta e o plano.
Duas retas são paralelas se, e so-
mente se, ou são coincidentes ou são co-
planares e não têm ponto comum.
6. E comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso
plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quiser-
mos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece
com uma mesa de 3 pernas.
2 3
•
,
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
8. Existem quatro modos de determinar planos.
11. Determinação de plano
Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta,
então eles determinam um único plano que os contém.
Tese
==> (3 I a I r C a e s C a)
Hipótese
(r n s = [PJ)
Demonstração
Provemos que a: é o único plano
determinado por r e P.
Se existissem a: e a' por r e P, te-
ríamos:
Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único pla-
no que as contém.
(a =: (r, P); A, B E r) =- a =: (A, B, P») ==> a =: a'
(a' =: (r, P); A, B E r) ==> a' = (A, B, P) j
2~ parte: Unicidade
Logq, não existe mais que um plano (r., P). (2)
Conclusão: «I) e (2» ==> 31 a I P E a e r C a.
10. Teorema 2
Tese
(3 I a I P E a e r C a)
Hipótese
(P fi: r) ==>
Demonstração
1~ modo: por três pontos não colineares.
2~ modo: por uma reta e um ponto fora dela.
3~ modo: por duas retas concorrentes.
4~ modo: por duas retas paralelas distintas.
o primeiro modo é postulado e os demais são os três teoremas que seguem.
9. Teorema 1
Sendo um problema de existência e unicidade, dividimos a demonstração
nestas duas partes.
1~ parte: Existência
a) Construção:
1~ parte: Existência
a) Construção:
Tomamos um ponto A em r e um ponto B em s, ambos distintos de P.
Os pontos A, B e P, não sendo colineares (A, P E r e B fi: r), determi-
nam um plano a.
b) Prova de que a é O plano de r e s.
(a =: (A, B, P); A, P E r; A ~ P) ==> r C a
(a =: (A, B, P); B, P E s; B ~ P) ==> S C a:
Logo, existe pelo men,os o plano Ct construído, passando por r e s. Indica-
remos por Ct =: (r, s). (I)
a: =: (A, B, P) J
==>rCa:A ~ B; A, B E ra: ;;;;: (A, B, P) ==> P E a
b) Prova de que a é O plano de r e P.
Tomamos em r dois pontos distintos, A e B.
Os pontos A, B e P, não sendo colineares (A, B E r e P fi: r), determi-
nam um plano a.
Logo, existe pelo menos o plano a construído por r e P. Indicaremos por
a =: (r, P). (I)
4 5
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
2~ parte: Unicidade
Se existissem a e a' , por r e s con-
correntes, teríamos:
EXERCÍCIOS
(a = (r, s); A, P E r; B E s) => a = (A, B, P) J
(a' = (f, s); A, P E f; B E s) => a' = (A', B', P). =-- ex a'
7. Quantos são os planos que passam por uma reta?
11. Teorema 3
Logo, não existe mais que um plano (r, s). (2)
Conclusão: «1) e (2» =-- 31 a I r C a e s C a.
Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determi-
nam um único plano que as contém.
Infinitos.
a) Construção:
Solução
Seja r a reta. Tomamos. um ponto
A fora de r. A reta r e o ponto A
determinam um plano 0:. Fora de 0:,
tomamos um ponto B. A reta r e o
ponto B determinam um plano {3.
Fora de o: e (3, tomamos um ponto
C. A reta r e o ponto C determinam
um plano 'Y.
Desse modo podemos construir, por
r, tantos planos quantos quisermos, isto é, construímos infinitos planos.
b) Prova:
Tese
=-- (3 1a I r C a e s C a)
Hipótese
(t#s, r :;f; s)
Demonstração
1~ parte: Existência
A existência do plano a = (r, s) é conseqüência da definição de retas pa.
raleias (ou da existência dessas retas), pois: .
Todos os planos assim construídos passam por r, que com os pontos corres·
pondentes os está determinando.
(f #s, r :;f; s) =- (3 a I r C a, S C a e f n s = 0).
Logo, existe pelo menos o plano a (da definição), passando por r e s. (1)
2~ parte: Unicidade
S e _
p
(a, = (r, s); A, B E r; P E s) => a = (A, B, P) }
(a = (r, s); A, B E r; P E s) => a' = (A, B, P)
Logo, não existe mais que um plano (r, s). (2)
Conclusão: «(1) e (2» => 31 a I r C a e s C a.
Solução
Sejam r e s as duas retas, P um pon-
to de s e C( o plano (r, P). As retas
r e s determinam um plano a'. Te-
mos, então:
(a' := (r, s), P E s) ==- 0:' =:; (r, P) =- cl := 0:.
Se o: = 0:' contém s, ~ntão o plano C( contém a reta s.
7
8. Quantos planos passam por dOÍs pontos distintos?
9. Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são co-
planares.
10. Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um pon-
to da outra, contém a outra.
f
a'
B
e
== a
Q!'
A
•
a
6
Vamos Supor que por r e s passam
dois planos a e a' e provemos que eles
coincidem.
Se existissem a e a', por r e s pa-
ralelas e distintas, tomando-se A e B dis-
tintos em r e P em s, teríamos:
· ,',
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
11. Num plano Q' há uma reta r e um ponto P não pertencente a r. Prove que: se con-
duzimos por P uma reta S, paralela a r, então s está contida em ex,
14. Observação
Duas retas são chamadas retas reversos se, e somente se, não existe plano
que as contenha.
9
I
13. Prove a existência de retas reversas.
Em vista de definições anteriores, dadas duas retas distintas r e s,
ou elas são concorrentes, ou paralelas ou reversas. Essas posições podem
ser sintetizadas da seguinte forma:
Solução
a) Construção:
Consideremos uma reta r e um ponto P fora de r. A reta r e o ponto P deter-
minam um plano a •.= (T, P),
EXERCÍCIOS
[
[
' e s têm ponto comum -- r e s concorrentes
r e s ou
r e s coplanares r e s não têm ponto comum __ r e s paralelas
distintas
ou
r e s reversas . .
[
r e s têm ponto comum -- r e s são concorrentes
ou
re s _ [r e s coplanares _ re ssão paralelasdistintas r e s nao . ou
têm ponto comum r e s não coplanares __ r e s são reversas
Se as retas r e s são coincidentes (ou iguais), elas são paralelas.
15. Posições relativas de duas retas
Chamamos figura

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