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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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a todo conjunto de pontos. Umafigura é plana quan-
do seus pontos pertencem a um mesmo plano, e os pontos são ditos coplan~­
res; caso contrário, a figura é chamada figura reverso e os pontos, nao
coplanares.
r reversa com s
não existe plano (r, s) e
r n s === ,0
(A, B, D) e C ti: Q, então ABCD é quadrilátero reverso.
~a .b-------
Se Q
12. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Três pontos distintos determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um único plano.
c) Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam dois
planos distintos.
d) Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos.
e) Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.
IH. Posições das retas
12. Retos reversos - definição
a e b reversas
não existe plano (a, b) e
a n b === 0
13. Quadrilátero reverso - definição
8
Um quadrilátero é chamado quadrilátero reverso se, e somente se, não
existe plano contendo seus quatro vértices.
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
Tomemos fora de ex um ponto X.
Os pontos distintos P e X determi-
--nam uma reta S '=,P X.
b) Prova de que r e s são reversas:
Se existe um plano {l ~ (r, s), temos:
(r C f3 e P E {l) => f3 ~ (r, P) => {3 "" a
({l = ex, S C /1, X E s) => X E a (o que é absurdo, pois tomamos X €t a).
Logo, não existe um plano contendo r e s.
Assim, obtivemos 'duas retas r e s, reversas.
14. Prove que um Quadrilátero reverso não é paralelogramo.
15. As diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.
18. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Duas retas ou são coincidentes ou são distinta~.
b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) Duas retas distintas determinam um plano.
d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum.
O Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
g) Duas retas concorrentes são coplanares.
h) Duas retas coplanares são concorrentes.
i) Duas retas distintas não paralelas são reversas.
j) Duas retas que não têm ponto comum são paralelas.
k) Duas retas Que não têm ponto comum são reversas.
1) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes.
m) Duas retas não coplanares são reversas.
Classifique em verdadeíro (V) ou falso (F):
a) r (J s "" 0 => ,r e s são reversas.
b) r e s são reversas => r (J s = 0.
c) r (J s = 0 ~ r e s são paralelas.
d)r/ls,r:;r.s => rns=0.
e) A condição r n s = 0 é necessária para que r e s sejam reversas.
f) A condição r 0 s = 0 é suficiente para que r e s sejam reversas.
g) A condição r n s = 0 é necessária para que duas retas distintas r e s sejam
paralelas.
h) A condição r n s = 0 é suficiente para que duas retas r e s sejam paralelas.
16. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si?
17. Duas retas reversas e uma concorrente com as duas determinam dois planos distintos. IV. Interseção de planos
Solução 16. Postulado da ínterseção
(o: ~ {j, P E o: e P E {j = (3 Q I Q ~ P, Q E Ct: e Q E (j)
17. Teorema da interseção
Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a interseção
desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.
Tese
(3 I i I o: n (3 = i e P E i)
Hipótese
.
(o: ~ jJ, P E ex, P E jJ) =
Se dois plan'os distintos têm um ponto comum, então eles têm pelo me-
nos um outro ponto comum.
Sejam r e s duas retas reversas e t
uma reta concorrente com r e con-
corrente com s.
As retas concorrentes r es determi-
nam um plano a.
As retas concorrentes se t determi-
nam um plano {l.
Os planos a e {3 são distintos pois,
se a = {3, as retas r (de a) e s (de (3)
estariam neste plano a = (3, o que
é absurdo, pois contraria a hipóte-
se de serem reversas.
10 11
'J~~ ..
INTRODUÇÃO
INrnODUÇÃO
...
' ••••'. oi; ~ f'· • ••. ~ ~.. ' ..
/
/ I ,3 -------o i.~. _./
I Ct
-
• • ~ .... >
Logo, (3 n 1'= õP. > '~ '.'
• • • '. i . '. . 'Y .;~, •
~ ·.l , •
EXERCÍCIOS
. ~. " .
(P E r, r C (3) =* P E {3
(OI ;o! (3, P E OI, P E (3) - P E i
...
- -...AB n CO =(OJ --
Solução
Logo, a interseçã9 de (3 com OI passa por P.
Solução
~
(O E ~c O E (3
. O E CD =* O E l'
22. Num plano OI há dois segmentos de retaAB e CD, contidos em retas não paralelas
e, fora de OI, há um ponto P. Qual é a interseção dos planos (3 = (P, A, R) e
l' =(P, C, D)?
23. Um ponto P é o traÇO de uma reta r num plano OI. Se {3 é um plano qualquer que
passa por r, o que ocorre com a interseção OI n fJ = i?
20. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos distintos têm um ponto comum, então eles têm uma reta comum
que passa pelo ponto.
b) Dois planos distintos que têm uma reta comum, são secantes.
c) Se dois planos têm uma reta comum, eles são secantes.
d) Se doiS' planos têm uma única reta comum, eles são secantes.
e) Dois planos secantes têm interseção vazia. .
f) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
g) Dois planos secantes têm infinitos pontos comuns.
h) Se dois planos têm um ponto comum, eles têm uma reta comum.
- -...21. Num plano OI há duas retas AR e CD concorrentes num ponto O. Fora de OI há
um ponto P. Qual é a interseção dos planos (3 = (P, A, B) e l' = (P, C, D)?
.. Os planos {3 e 'y são distintos e P .
pertence a ambos.
[1~ parte: Existência
18. Planos secantes - definição
(a ~ (3, P E a, P E (3) =- (3 Q "# P, Q E ex e Q E (3)
ex "# {3, P E ex, P E {3] .._
Q "# P, Q Ea, Q E (3 =- (3 I 11 = PQ, i C a e i C (3)
2~ parte: Unicidade
A reta i determinada pelos pontos
P e Q é comum aos planos a e {3.
Demonstração
Da 1~ parte concluímos que todos
os pontos de i estão em a e em {3. Para
provarmos que i é a interseção de a e
{3, basta provarmos que todos os pon-
tos que estão em a e em {3 estâo em i.
É o que segue:
Se existe um ponto X tal que
X E a, X E (3 e X f$. i, temos:
X f/=. i=-3 I 'Y I 'Y = O, X)
(i C a, X E a, 'Y = (i, X}) =- 'Y - a}
(i C (3, X E {3, 'Y = (i, X» =- 'Y: {3 =- a = f3
Dois planos distintos que se interceptam (ou se cortam) são chamados pla-
nos secantes (ou concorrentes). A reta comum é a interseção desses planos ou
o traço de um deles no outro.
. Os planos (X e {3 coincidem Com o plano 'Y =:: (i, X), o que é absurdo, pois
contraria a hipótese de que a ~ {3.
Logo, i é a interseção de a e {3.
19. Observações
l~) Para se obter a interseção de dois planos distintos basta obter dois
pontos distintos comuns a esses planos. '
2~) Para se provar que três ou mais pontos do espaço são colineares, basta
provar que eles pertencem a dois planos distintos.
12
13
/
INTRODUÇÃO INTRODUÇÃO
24. Duas retas r e s são reversas. Em r há um ponto R e em s há um ponto S. Qual
é a interseção dos planos a = (r, S) e {3 = (s, R)? 2:' caso:
25. Qual é a interseção de duas circunferências de raios congruentes, centros comuns
e situadas em planos distintos?
26. As retas que contêm os lados de um triângulo ABC furam um plano a nos pontos
O, PeR. Prove que 0, P e R são colineares.
27. Os triângulos não coplanares ABC e A'B'C' são tais q~e as retas Ai e E são
~ ~ ..... ~
concorrentes em O; A C e A'C' são concorrentes em P; BC e B'C' são concorren-
tes em R. Prove que 0, P e R são colineares.
1':') a e b são concorrentes:
Supondo, então, que existe P tal que a n b = fP).e ~~~ndo as igualdades
a = b n '"'I, b =< o: n -y ~ a n (3 = c, para substltUlçoes, temos:
I
I
I
I
I
I
I
I
I,
I
'-
a
..
o que é absurdo, por contrariar a hipótese em estudo (a e b não têm ponto
comum).
2~) a e b são paralelas (distintas);
I!' conclusão: Se três planos
são distintos e dois a dois se-
cantes, segundo três retas dis-
tintas, e duas dessas retas são
concorrentes, então todas as
três incidem num mesmo
ponto.
a n c = (Q) ==> a n b n c :::: (Q),
Estudemos as retas a e c. As re-
tas a e c distintas

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