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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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são coplanares
(a, c C (3) por hipótese.
Se 3 Q 1a n c = [Q), temos, pe-
lo item anterior:
a n b = [P] =- «(3 n -y) n (a n ",) = [P] -. o: n (3 n -y = [P)
lO=> (CI n (3) n ." :: [P) => C n l' = [P] --. P E c.
Logo, se a n b = [PJ, então a n b n c :::: (P) .
'"" ,o,,·
", ;;'
As retas a, b e c podem ser coinci-
dentes.
Solução
I? CilSO:
Solução·
Por uma reta passam infinitos
planos.
. Então, .por a = b = c passam
a. (3 e -y.
Sendo ci = (A, B, C) e a' = (A~, B', C'), temos:
.... ~ .' ...................
AR n A'R' = [OJ ... O E AR e O E A'R'
--(O E AB, AR C a) ~. O E a
--(O E A'R' ,A'B' C a') --. O E a'
O ponto O pertence a a e a' distin-
tos. Analogamente, P E CI e
P E a', R E CI e R E a'.
. Os pontos O, P e R, sendo comuns
.a ~ e a' distintos, são coliueares,
pois pertencem à interseção desses
planos, que é uma única reta.
28. Teorema dos três planos secantes
Se três planos 0:, {3 e '"'I são distintos e dois a dois secantes, segundo três retas a.
b, c ({3 n '"'I =< a, o: n '"'I = b. o: n (3 = c), estude essas três retas.
14 15
INTRODUÇÃO
Logo, a e c são paralelas.
Considerando b e c, de modo análogo, concluímos que b e c são paralelas.
2!' conclusão: Se três planos são distintos e dois a dois secantes, se-
gundo três retas distintas, e duas dessas retas são paralelas, todas as
três são paralelas (duas a duas),
Reunindo as conclusões, temos o teorema dos três planos secantes:
Se três planos distintos são dois a dois secantes, segundo três retas,
ou essas retas passam por um mesmo ponto ou são paralelas duas a
duas.
29, Se dois planos que se cortam passam respectivamente por duas retas paralelas dis-
tintas (cada um por uma), a interseção desses planos é paralela às retas.
30. Duas retas distintas a e b estão num plano IX e fora de a há um ponto P. Estude
a interseção dos planos f3 = (a, P) e l' = (b, P) com relação às retas a e b.
31. Complete:
a) (a = f3 n 1', b = Ct n 1', c = IX n f3 e a n c = [P)) =-
b) (a = {3 n 1', b = Ct n /', c = Ct n (3 e a#c) =- .. ,
c) (a = f3 n ..,., b = Ct n ..,., c = IX fi (3) =- ...
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CAPÍTULO 11
Paralelismo
I. Paralelismo de retas
20. Postulado das paralelas - postulado de Euclides
Por um ponto existe uma única reta paralela a uma reta dada.
21. Transitividade do paralelismo de retas
Se duas retas são paralelas a uma terceira, então elas são paralelas
entre si.
Hipótese Tese
(a#c, b#c) ==> (a#b)
Demonstração
Consideremos o caso mais geral: a ;t. b, a ;t. c, b ;t. c e a, b, c não co-
planares:
1. Pelo postulado das paralelas concluímos que a e b não têm ponto
comum.
2. As retas.a e c determinam um plano {3; b e c determinam um plano
Q:' e c = 01 fi {3.
17
PARALELiSMO
Tomemos um ponto P em b e teremos 'Y ::= (a, P).
,~.:':.x;:,.:.. ·:===========?i:;;;ii::;;;ii:iiiiiiê.·••ii5iiiiii·iiiiiiííiiiiiiiíii7ã7.·•..•.•·••·iIi:-.·-.···.····_ili··iilI
..
PARALELISMO
lI. Paralelismo entre retas e planos
p
22. Definição
Uma reta é paralela a um plano
(ou o plano é paralelo à reta) se, e so-
mente se, eles não têm ponto comum.
aI7Cf .. anCi'" 0
---------a
Os planos distintos a e 'Y têm o ponto P comum, então têm uma reta co-
mum que nomearemos de x (não podemos dizer que é b para não admitirmos
a tese).
(a == fi n 1'. x :; Ct n "/, c = Ct n f3 e aI/c) => (aI/x e c/lx)
O ponto P pertence, então, às retas b e x e ambas são paralelas à reta c.
Logo, pelo postulado das paralelas, x ::;:: b.
Como a 11 x e x = b, vem que a li b.
32. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso são vértices de um parale-
logramo.
33. Num quadrilátero reverso ABCD, os pontos M, N, P, Q, R e S são respectivamen-
te pontos médios de AB, AD, CD, BC, BD e AC. Prove que MNPQ, MSPR e
NSQR são paralelogramos.
34. Considere um quadrilátero reverso e três segmentos: o primeiro com extremidades
nos pontos médios de dois lados opostos, o segundo com extremidades nos pontos~édios do~ outro~ dois lados opostos, o terceiro com extremidades nos pontos mé.
dlOs das dIagonaIs. Prove que esses três segmentos se interceptam num ponto.
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23. Teorema da existência de retas e planos para/e/os
a) Condição suficiente
Se uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta do
plano, então ela é paralela ao plano.
Hipótese Tese
(a([a,allb,bCa) => alia
Demonstração
(a li b, a n b = 0) => 3 {J == (a, b)
(b C a, b C {J, a ~ (J) => b::;:: ex n {J
Se a e a têm um ponto P comum, vem:
(P E a, a C (3) => P E fi
Com P E {J e P E a, decorre P E b. Então P E a e P E b, o que é absurdo
visto que a n b ::;:: 0.
Logo a e Ct ~ão têm ponto comum, isto é, aI/ Ol.
19
PARALELISMO PARALELISMO
24. Observações 25. Observações
1~) Outro enunciado do teorema acima:
.Se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma e não
contem a outra, é paralelo a essa outrá.
2~) O teorema acima dá a seguinte condição suficiente:
Uma condição su.ficiente para que uma reta, não contida num plano, seja
paralela a esse plano e ser paralela a uma reta do plano.
1~) Outros enunciados do teorema anterior:
Se dois planos são secantes e uma reta de um deles é paralela ao outro,
então essa reta é paralela à interseção.
({3 n 0/ = b, a C (3,al/a) =- a!lb
Se uma reta dada é paralela a um plano dado, então qualquer plano que
passa pela reta e intercepta o plano dado, o faz segundo uma reta paralela à
reta dada.
(aI/O/,{3=>a,{3na=b) =- bl/a
b) Condição necessária
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é paralela a uma reta
do plano.
2~) Condição necessária e suficiente:
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta (a), não con-
tida num plano (a), seja paralela a esse plano, é ser paralela a uma reta
(b), contida no plano. .
Hipótese Tese
aI/a => (3 b C a I al/b) IH. Posições relativas de uma reta e um plano
26. Uma reta e um plano podem apresentar em comum:
Demonstração
OI
2':') um único ponto:
a reta e o plano são concorrentes
ou
a reta e o plano são secantes.·
anO/ = (P)
1~) dois pontos distintos:
a reta está contida no pllmo.
a C a, anO/ = a
anOl=0
Conduzimos por a um plano {3 que intercepta a em b.
. As retas a e b são coplanares, pois estão em {3, e não têm ponto comu
POIS: m,
(a n a = 0"b C a) =- a n b = 0
Logo, aI/ b.
3~) nenhum ponto comum:
a reta e o pl~no são paralelos.
a n a = 0
-------1
20 21
PARALELISMO
PARALELISMO
35. Construa uma reta paralela a um plano dado.
.• o'. ···.··.. ·.···EXERCÍCIOS.·•.•..····•··•···· .. ' ... <
IV. Duas retas reversas
27. Problemas que se referem a duas retas Jeversas (r e s) e a um ponto (P)
devem ser analisados em três possíveis hipóteses:
36. Construa um plano paralelo a uma reta dada.
37. Se uma reta é paralela a um plano e por um ponto do plano conduzimos uma reta
paralela à reta dada, então a reta conduzida está contida no plano.
.;:.
J? caso: O ponto pertence a urna das retas.
~,.2;~ caso:\) ponto e uma das retas determinam um plano paralelo à outra
reta.
(r, P) C a li s.Por exemplo: a
~s ..···
(r, P) e O! não paralelo a s e
(s, P) e fj não paralelo a r.
3 ~ caso: O ponto e qualquer uma
das retas determinam um plano não pa-. I.
lo ' : I ~ (':(' , , : """ 4...'j ,I". ,o.
raleio à outra. (\,·f_.-·'>~.. '\. :i, .<"'. , .. ~r~ '.... ..... . "
41. Duas retas r e s são reversas. Prove que as retas paralelas a r, conduzidas por pon-
tos de s. são coplanares.
40. Dadas duas retas reversas r e s, construa por s um plano paralelo ar.
38.. Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção.
39. Se duas retas paralelas são dadas e uma delas é paralela a um plano, então a outra
é paralela ou está contida no plano.
42. Construa por um ponto uma reta paralela a dois planos secante.~.
22 23
ri
PARALEUSMO PARALELISMO
EXERCÍCIOS
43.

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