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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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s
A
D
A
Caso o prisma seja inscrito na pirâmide, destacar as semelhanças:
A
6ADE - 6ABC;
6EFC 6ABC;
6ADE 6EFC.
c
cci!' Nota: Se tivermos cilindro inscrito em pirâmide, basta circunscrever ao
lndro um prisma.
]
Base
o raio da base do cone é
o apótema da base da pi-
râmide. A geratriz do co-
ne é o apótema da pirâ-
mide.
EXERCíCIOS
m'
929. A área total de um cone reto é 9611" em2 e o raio da base mede 6 em. Determine
o volume do cone e da pirâmide de base quadrada inscrita no cone.
930. Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cone de revolução. O
perímetro da base da pirâmide mede 2012 em. Calcule a altura do cone, saben-
do que a sua geratriz tem o mesmo comprimento da diagonal da base.
312 313
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
J.M.. ,: t.=.. : +
••, ~§t:::: ;1: a =;. ::: .: :::::;.:. ri:::::::: '~7?';'==:'-:::'::t:=';'"': ::
INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
_____E_X_ER_C_ÍC_I_O_S J mine o volume do octaedro cujos vértices são os pontos médios das faces5 Deter ~ I d d' - b93 . do paralelepípedo reto-retangu o e Imensoes a, , c.
934. Uma pirâmide regular de base quadrada tem o lado da base igual a 1 e a alt
igual a h. Seccione-a com um plano paralelo à base de modo que o prisma Ufa
- d " 'd I 'd d ' qUetem por bases a secçao a plraml e com o pano consl era o e a projeção OH
gonal dessa secção sobre a base da pirâmide, tenha superfície lateral 482• ObtO~
nha a distância da secção ao vértice da pirâmide. e
937.
Dada a medida f da aresta de um cubo, determine a área late;al. e o volume de
uma pirâmide que tem para base uma face do cubo e para vertlce o centro da
face oposta.
Calcule o volume do cubo inscrito numa pirâmide quadrangular regular a 6 m
de altura e 3 m de aresta da base, sabendo que o cubo tem vértices sobre as ares-
tas da pirâmide.
941. Prove que o volume do tetraedro regular é a terça parte do paralelepípedo cir-
cunscrito.
Solução
A A
I
i
i
!
I
_.dDE ,-',- 1
y,:2 i
~2-!
f
r
i
__._.-r.ds
C '-'---J2
2
938.
939.
940.
Dá-se a altura h de uma pirâmide regular de base quadrada e constrói-se sobre
a base um cubo, de modo que a face oposta à base corte a pirâmide num quadra-
do de lado a. Calcule o lado da base da pirâmide.
Um prisma quadrangular regular de 12.J2 m2 de área lateral está inscrito num
octaedro regular de 3213 m2 de área total. Calcule o volume do prisma, saben-
do que seus vértices pertencem a arestas de octaedro.
Num paralelepípedo retângulo a, b, c, assinalemos os pontos médios de todas
as arestas e unamos dois a dois aqueles pontos médios que pertencem a arestas
concorrentes num mesmo vértice. Suprimindo os oito tetraedros que ficam assim
determinados nos triedros do paralelepípedo, obtém-se um poliedro. Determine
o volume desse poliedro em função de a, b, c.
Sendo x a distância pedida e y a aresta da base do e.:isma, vem:
Área lateral = 452 == 4· y(h - x) = 452 =- y(h - x) = 52 (1)
942. Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilin-
dro equilátero circunscrito a esse octaedro.
xDa semelhança: h
,J2
y-
2
=~
2
== y
x
h .
943. Um vaso cilíndrico cujo raio da base é r e cuja altura é 2 r está cheio de água.
Mergulha-se nesse vaso um tetraedro regular até que sua base fique inscrita na
base do cilindro. Há transbordamento da água. Retirando-se o tetraedro do va-
so, qual é a altura da coluna de água'?
314
h + Jh(h - 452)
Em (1): ~ (h - x) = 52 ~ x2 - hx + 52h = O ~ x = 2
Condição: h - 4S2 ? O =- h?l 452•
315
~JI•.- II!I:•.•.••.•,.------:_--.--- - ..- 111.111;111,•..1II ,·•.•~!iI!,:!'!I••I!l!_L·.••.•'.·!..'.!II!.•~•.III••lIIr'•.•'"i""•••III:;:~(:""/,~..;:I!I::,.!III_!.._•.III.~), _-~- "li.IIIIII•..•.,.•.IIII!I-- --_.,:II!I:!II; ---.,i:!;.:-_-,
INSCRiÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓUDOS INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓUDOS
VIII. Cilindro e cone
262. Cilindro circular reto inscrito em cone reto C_--E-X-E-R-C.......Í-C-IO-S-----
949. Um cilindro de revolução tem raio R e altura 2 R. No seu interior constroem-se
dois cones, cada um tendo por vértice o centro de uma das bases do cilindro e
por base a base oposta do cilindro. Calcule a porção do volume do cilindro exte-
rior aos dois cones.
317
Determine o volume do cilindro equilátero inscrito num cone de revolução, sen-
944. do 24 em a altura do cone e J2 em o raio da base do cone.
947. Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um
cone menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do
cilindro, sabendo que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.
950. Em um cone de revolução inscrevemos um cilindro cuja altura é igual ao raio
da base do cone. Determine o ângulo que o eixo do cone e sua geratriz formam,
sabendo que a superfície total do cilindro e a área da base do cone estão entre
si como 3/2.
Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro
945. de revolução nele inscrilO cuja geratriz seja igual ao raio da base.
É dado um cone cujo raio da base é R e cuja altura é h. lnscreva um cilindro
946. de modo que a área lateral deste seja igual à área lateral do cone parcial, determi-
nado pela base superior do cilindro.
9il8. Inscreva um cilindro num cone dado de raio R e ap6tema G, de modo que a área
lateral do cone que está acima do cilindro seja igual à área da coroa cujas circun-
ferências são a base do cilindro e a do cone.
951. Um Cone e um cilindro têm uma base comum, e o vértice do cone se encontra
no centro da outra base do cilindro. Determine a medida do ângulo formado pe-
b eixo do cone e sua geratriz, sabendo que as superfícies totais do cilindro e do
COne estão entre si como 7/4.
952. Em um cone cuja geratriz g forma com o plano da base um ângulo a, inscreve-
mos um prisma regular quadrangular; sendo as arestas laterais do prisma con-
gruentes, determine a superfície total do prisma.
953. Um Cone de revolução tem o vértice no centro de uma face de um cubo de aresta
a e a base circunscrita à face oposta do cubo. Determine a diferença entre o volu-
Ille do cubo e o volume do cone.
B
H-h
H
R - f h
-
R H
f H-h
=R - f h
A
5
G - g
...!... = _f_ =
G R
G-g
G
g
A
Usando os elementos indicados nas figuras, temos:
6ADE - 6EFC =>
L'.EFC - 6ABC =>
.6ADE - L'.ABC =>
316
Nota: Caso se tenha prisma inscrito em cone, basta circunscrever um
cilindro ao prisma.
':"1
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRiÇÃO DE SÓLIDOS
INSCRIÇÃO E CIRCUNSCRIÇÃO DE SÓLIDOS
Determine a razão entre os volumes de uma esfera e do cilindro equilátero nela
inscrito.
Uma esfera está inscrita em um cilindro de 1507f em2 de área total. Determine
a área e o volume dessa esfera.
Um cilindro está circunscrito a uma esfera. Determine as razões da superfície e
do volume da esfera para a superfície e o volume do cilindro.
Determine a altura de um cilindro inscrito em uma esfera de raio r, sendo 2 7( 0 2
a área total do cilindro.
Determine o volume da .esfera inscrita no cilindro de volume 18 em3 •
Determine a área total de um cilindro equilátero circunscrito a uma esfera de su-
perfície 400 11' m2•
Determine a área de uma esfera inscrita em um cilindro de revolução cuja secção
meridiana tem 225 em2 de área.
Em lima vasilha de forma cilíndrica colocamos uma esfera de raio R. Sabendo
9l1e o raio da base da vasilha mede r, responda: em quanto se elevará o nível da
agua contida na vasilha, sabendo que a esfera está totalmente submersa na água?
A área lateral de um cilindro reto é 487r em2 e sua altura é 8 em. Sabendo que
o cilindro está inscrito em uma esfera, detennine o raio da esfera e a relação entre
o volume do cilindro e o volume da esfera. Calcule ainda a relação entre o volu-
':1
ct
e do cilindro equilátero inscrito nessa mesma esfera e o volume do cilindro con-
SI

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