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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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é chamado ângulo de
duas retas orientadas quaisquer se, e so-
mente se, ele tem vértice arbitrário e seus
lados têm sentidos respectivamente con-
cordantes com os sentidos das retas.
Na figura ao lado o ângulo plano
aÔb é o ângulo das retas reversas (orien-
tadas) r e s.
33. Ângulo de duas retas quaisquer - definição
l~) A definição acima visa, principalmente, estabelecer o conceito de ân-
gulo de duas retas reversas. .
2~) Se duas semi-retas têm sentidos concordantes (ou discordantes), elas
estão em retas paralelas.
3~) A arbitr~riedade do vértice é garantida pelo teorema que segue:
Uma reta r de um plano a separa esse plano em dois subconjuntos a' e
a" tais que:
a) a' n a" = 0
b) a' e a" são convexas
c) (A E a', B E a") => AB n r ;é 0
Os subconjuntos a' e a" são cha-
mados semiplanos abertos e os conjun-
tos r U ri' e r U a" são chamados se-
miplanos. A reta r é a origem de cada
um desses semiplanos.
64. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é concorrente com
o outro.
b) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser concorrente
com urna reta do outro.
c) Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser reversa com
uma reta do outro.
d) Dois planos distintos paralelos têm um ponto comum.
e) Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é paralela
ao outro.
f) Se dois pJanos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra reta de
outro podem ser concorrentes.
g) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela
a qualquer reta do outro.
h) Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um e uma reta do outro
são reversas ou paralelas.
i) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
\) Se dois planos são paralelos a uma reta, então são paralelos entre si.
........k) Se um plano c~)Utém duas retas paralelas ii um outro plano, então esses planos
são paralelos.-:.t("'.(~.WJ·A- ""}J v <j\.'vJ, i..\.y,' <.' y.
1) Se um plano_contém duas retas distintas paralelas a Unl outro plano, então es-
ses planos sao paralelos.
m) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas
distintas de um sejam paralelas ao outro.
n) Se duas retas de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas concor-
rentes do outro plano, então esses planos são paralelos.
o) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta que tem um ponto co-
mum com um deles, tem um ponto comum com o outro.
65. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se três retas são, duas a duas, reversas e não paralelas a um mesmo plano, en-
tão por qualquer ponto de uma passa uma reta que se apóia nas outras duas.
b) Se três retas são, duas a duas, reversas e paralelas a um mesmo plano. então
por qualquer ponto de uma passa uma reta que se apóia nas outras duas.
c) Dadas três retas, duas a duas reversas, uma condição necessária e suficiente pa-
ra que por quaJquer ponto de uma sempre passe uma reta que se apóia nas ou-
tras duas é as três serem paralelas a um mesmo plano.
d) Dadas três refas, duas a duas reversas, sempre existe uma reta paralela a uma
delas e que se apóia nas outras duas.
30 31
PARALELISMO PARALELISMO
35. Teoremas sobre ângulos de lados respectivamente paralelos
a) Se dois ângulos têm os lados com sentidos respectivamente con-
cordantes, então eles são congruentes.
Hip6tese
( Da e O'a' têm sentidos concordanteS)Ob e O'b' têm sentidos concordantes
Demonstração
Tese
Analogamente, temos que OBU O' é paralelogramo e daí 00' li BB' e
00' == oBB'. (3)
«2) e (3» ~ (AA' I! BB' e M' = BB') ~ AA'B'B é paralelogramo ~
~ AB == A'B' (4)
~ I\AüB = L::..A'ü'B' =} AÔB =A'Ô'B' ~ aÔb == a'Ô'b'«1) e (4) u
b) Se dois ângulos têm os lados
com sentidos respectivamente discor-
dantes, então eles são congruentes.
É uma aplicação do teorema an-
terior e ângulos opostos pelo vértice.
{~---­~;-::-..-
a
Tese
==> ( aÔb e a'Ô'b' )
são suplementares
_.. ~o'oooo.. b'
--.,_~"-:,. .. . "a'
Demonstração
Hipótese
(
Da e O'a' têm sentid~s concordanteS)
Ob e O'b' têm sentidos discordantes
Tomando a semiereta Ob" oposta à semi-reta Ob, temos a6b" == a'6'b' .
Como aÔb e aÔb" são suplementares, vem que aÔb e a'Ô'b' são suplementares.
c) Se dois ângulos são tais que um
lado de um deles tem sentido concordan-
te com um lado do outro e os outros
dois lados têm sentidos discordantes, en-
tão eles são suplementares.
, \ 1
, 1 \, , \
\ ' I, ,
I , , I
1~.Ci'_>e' , b OOO
1 00 o I o
01~"
o A a
~Ci'OOOOOB' °b'o o 1\ 0000o'~',oo
, oo o. I \ a
.~b
O' ..~-----_
a'
Vamos ~onsiderar o caso I!1ais geral: Oa e Ob não são coincidentes nem
opostas e os angulos a6b e a'O'b' não são coplanares.
Notemos que os planos ~ e Q' dos ângulos a6b e a'6'b' são paralelos.
Tomemos os pontos A E a, B E b, A' E a' e B' E b' tais que:
OA == O'A' e OB == O'B'. (I)
o quadrilátero OAA'O' é paralelogramo, pois as semi-retas õA e M
têm sentidos concordantes e os segmentos OA e O'A' são congruentes. Logo,
00' li AA' e 00':::::: AA'. (2)
O,
!
Resumindo as conclusões acima, temos:
Se dois ângulos possuem lados respectivamente paralelos, então eles
são congruentes ou suplementares:
a) congruentes, se os lados têm sentidos respectivamente concordan·
tes ou respectivamente discordantes;
b) suplementares, se os sentidos de um lado de um e um lado do
outro são concdrdantes e os outros dois lados têm sentidos discordantes.
32 33
PARALEUSMO
36. Retas ortogonais - definição CAPÍTULO UI
Duas retas são ortogonais se, e so-
mente se, são reversas e formam ângu-
1.Q...Le1Q.
Usaremos o símbolo.l para orto-
gonalidade.
Se duas retas a e b formam ângu-
lo reto, então elas são perpendiculares
ou ortogonais. Nesse caso usaremos a
seguinte indicação: a ::!: b.
a :!: b ~ (a.L b ou a.l b)
Perpendicularidade
Uma reta e um plano são oblfquos se, e somente se, são concorrentes e
não são perpendiculares. ~--
Das definições acima, conclui-se que: se duas retas formam ângulo reto,
toda reta paralela a uma delas forma ângulo reto com a outra.
(a :!: b, b#c) =- a::!: c (a ::!: b, a#c) =- b::!: c
66. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F);
a) Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.
b) Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares..
c) Se duas retas são perpendiculares, então elas fonnam ãngulo reto.
d) Se duas retas são ortogonaís, então elas fonnam ângulo reto.
e) Duas retas que formam ângulo reto podem ser reversas.
f) Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares epli"e si.
g) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
h) Se duas retas formam ângulo reto, toda paralela a uma delas forma ângulo reto
com a outra.
I. Reta e plano perpendiculares
37. Defínição
Uma reta eum plano são perpen~
diculares se, e somente se, eles têm um
ponto comum e a reta é pápendicular
a todas as retas do plano que passam por
esse ponto comum.
Se uma reta a é perpendicular a
um plano ex (ou o plano a é perpendi-
cular à reta a), o traço de a em a é cha-
mado pé da perpendicular.
38. Conseqüênéia da defínição
a
aJ.O:'oua.la
-
34
Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo
reto com qualquer reta do plano.
35
ti :;::_ .. .. : J .. ; I
PERPENDICULARIDADE PERPENDICULARIDADE
39. Teorema fundamental - condição suficiente
Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano,
então ela é perpendicular ao plano.
a
A
A
a2?) Tomemos em a doi: pontos
A , simétricos em relaçao a O:A e •
OA = DA',
TomemOS ainda um ponto B E b
e um ponto C E c, tais que BC inter-
cepta X num ponto X (basta que B e C
estejam em semiplanos opostos em re-
lação a x),
Notemos que, nessas

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