A maior rede de estudos do Brasil

Grátis
Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

Pré-visualização | Página 7 de 50

condições, b
é mediatriz de AA ' , c é mediatriz de AA'
e por isso: AB o==: A'B e AC == A'C.
Notemos, ainda, que para chegar-
moS à tese, basta provarmos que x é me-
diatriz de AA' .
3':» (AB = A'B,AC = A'C, BC
comum) => 6ABC = 6A'BC ::$
.r---.. ~ /"-... ~
=> ABC == A'BC => ABX = A'BX
(AR == A'R, ABx = A<Bx. BX co-
mum) => 6ABX == .6A'BX =>
=> XA = XA'
4':» XA = XA' => X é media-
triz de
AA' => X 1. a ~a 1. x J
=>a1.Q
x genérica, x C ex, O E x
a
x'
a O' ~.------
.--.... x
-- . I~
a
I? caso: x passa por O.
Neste caso, pela definição, a 1. x. (I)
Hipótese Tese
(a ..L b, a 1. c; b n c = [O]; b C a, C C a) => a.l a
De fato, sendo a perpendicular a Q em O e x é uma reta qualquer de Q,
temos dois casos a considerar:
2? caso: x não passa por O.
Neste caso, tomamos por O uma reta x', paralela a x. Pela definição,
a 1. x' e, então, a 1. x. (2)
De (1) e (2) vem: (a .1 Q, X C a) => a:b x.
Demonstração
a
40. Observações
I fi) Conseqüências do teorema fundamental
a
l~) Para provarmos que a 1. a,
devemos provar que a é perpendicular
a todas as retas de ex que passam por O.
Para isso, basta provarmos que a é per-
pendicular a uma reta x genérica de a,
que passa por O.
a) Num plano (Q) há duas retas (b
e c) concorren[e~ (emP). Se uma reta
(a) é perpendicular a uma delas (b em
O) e ortogonal à outra (c), então essa re-.
ta (o) é perpendic.ular ao plano (a). -
36 37
, : ,
PERPENDICULARIDADE PERPENDICULARIDADE
Hipótese Tese
(a 1. b em O, a .1 c; b n c = [PJ; b C a, C C a) ~ a.l. a
2~) Generalização do teorema fundamental
Em vista das conseqüências acima, vale o teorema: "!j
Se uma reta forma ângulo reto com duas retas concorrentes de um
plano, então ela é perpendicular ao plano.
Demonstração
Conduzindo por O uma reta c' li c, temos a 1. c'. Então:
(a ..1 b, a ..1. c', b n c' = [oJ; b C a, c' C a) ~ a..l a.
a .L b, a ..1 c a ..1. b, a ~ c a .1 b, a 1- c
, b) Se u':lareta é ortogonal a duas retas concorrentes de um plano, então
ela,z_r:rpendlcular ao plano.
a a a
a
[OJ; b Ca, c C a) ~ a.l. a.(a :!: b, a :!: c; b n c
3~) Condição necessária e suficiente
o teorema enunciado acima e a conseqüência da definição de reta e pIa-
no perpendiculares nos dão a seguinte condição necessária e suficiente:
\
'.
Tese
------_8
Hipótese
(a.l b, a.l c; b n c = [PJ; b C a, C C a)
Demonstração
I?) De que a e a são concorrentes.
. De fato, se a li a ou a C a, con-
duzmdo por P uma reta a' paralela à re-
ta a! teríamos um absurdo: num plano
(a),"por um ponto (P), duas retas dis.
tintas (b e c) perpendiculares a uma re-
ta (a').
Logo; a e a são concorrentes. Se-
ja O o ponto tal que a n a = [oJ.
.......... . . ..-'-
b' --'0- c'
... -"" J ....
'b ----.--c :
a":::'-----p-...... 1 I
I
Uma condição necessária e suficiente para que uma reta seja per-
pendicular a um plano é formar ângulo reto com duas retas concorrentes
do plano .
2?) De que a ..1. a.
~ondu~indo por O uma reta b' li b e uma reta c' li c, temos a ..1 b' e
a ..1 C . Entao:
(a..l b', a..l c'; b' n c' = [oJ; b' C a, c' C a) ~ a.l. a .•
[ E_X_E_R_C_Í_C_IO_S ---'
67. Um triângulo ABC, retângulo em B, e um paralelogramo RCDE estão sítuados
em planos distintos. Prove que as retas ÃB e DÉ são ortogonais.
38 39
·::==:::=========:::=================;:;=====:I:'~~....:.':.,~:::..:<::::.:.:::::.::::::=====:::.=============:::.=====,
PER PENDIC ULAR IDADE
68. a, b e c são três retas no espaço tais que a .L b e c .L a. Que se pod~ concluir a
propósito das posições relativas das retas b e c?
Solução
11.
PERPENDICULARIDADE
N uadrilátero reverso de lados congruentes entre si e congruentes às diago-um q .. d" t b'
. rove que os lados opostos são ortogonaIs, assIm como as lagonals am em
nalS, p d t d
são ortogonais (em o~tros termos: prove que as arestas opostas e um te rae ro
regular são ortogonais).
As retas b e c podem ser:
çOncorrentes, caso em que a é perpendicular ao plano (b, c);
paralelas, caso em que a, b e c são coplanares; ou
reversas, caso em que b e c, sendo perpendiculares à reta a, não são coplanares.
a a a
Teorema das três perpendiculares
72. ==~_---=-----:=--~ ---::~~-~-I
Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a
não passa por O e uma reta c de a passa por q..e é perpendicular a b em
R. Se S é um ponto qualquer da a, então a reta SR é perpendicular à reta b.
concorrentes paralelas
b
c
reversas
Solução
Hipótese
a .L a, a n a = (O]
b C a, O$. b
c C a, O E c
c .L b, c n b [R]
SEa
Demonstração
Tese
++
= SR 1. b
a
69. Dois triângulos ABC e BCD são retângulos em B. Se o cateto AB é ortogonal à
hipotenusa CD, prove que o cateto BD é ortogonal à hipotenusa AC.
70. Os triângulos ABC e DBC são isósceles, de base BC, e estão situados em planos
~ -distintos. Prove que as retas AD e BC são ortogunais.
Seja fi o plano determinado por a e c.
(a 1. a, b C a) = a::!:. b
~(b ::!:. a, b ::!:. c; a n c = (Ol; a C fi, c C (3) => b.l fi
~ ,.....,. ~
(b 1. {3, b n (3 ;;;; [RJ, SR C (3) =- b 1. SR => SR .L b.
Solução
Sendo M o ponto médio de BC, as
- -retas AM e DM são concorrentes,
pois os planos (A, B, C) e (D, B,
C) são distintos.
DARC isósceles => Bê .L ÃM J
- - =>DDBC isósceles => BC .L DM .
- -.. ....,.
=> BC .L (A, M, D) => BC ~ AD
... ++
Caso s = O, então SR = c; como c 1. b, vem que SR .1 b.
73. Uma reta a é perpendicular a um plano a num ponto O. Uma reta b de a não passa
por O e uma reta c de a~ssa por O e é concorrente com b em R. Se S é um ponto
qualquer de a e a reta SR é perpendicular à reta b, então b é perpendicular a c.
(Recíproca do teorema das três perpendiculares.)
74. Seja P o pé da reta r perpendicular a um plano {3 e s uma reta de {3 que não passa
por P. Traçando-se por P uma perpendicular a s, esta encontra s em um ponto
Q. Se A é um p<lnto qualquer de r, diga qual é o ângulo de AQ com s. Justifique.
40
t=:== : H
PERPENDICULARIDADE
PERPENDICULARIDADE
3?) As retas b e c determinam um plano ex = (b, c) pedido.
a) Construção:
(b, c) passa por P, pois a reta b foi conduzida por P.I?) O plano ex
2?) (a .L b, a .L c; b n c = [O); b C ex, c C ex) =- a.L ex.
b) Prova:
l~) Tomamos o plano {3 = (a, P) e um plano "/, contendo a reta a, distinto
de (3. '---'
2~) Em {3. pelo ponto P traçamos a reta bperpendicular à reta a. Seja °
a interseção de b com a. .
Em "1, construímos a reta c, passando por 0, perpendicular à reta a.
75. Uma reta e um plano perpendiculares a uma reta em pontos distintos são paralelos.
76. Duas retas não paralelas entre si são paralelas a um plano. Toda reta que forma
ângulo reto com ambas, é perpendicular ao plano.
77. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessário que eles se-
jam secantes.
b) Uma reta perpendicular a um plano é perpendicular a todas as retas do plano.
c) Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com qualquer reta do
plano.
d) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é
perpendicular ao plano.
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um plano. en-
tão ela está contida no plano.
f) Se uma reta é ortogonal a duas retas distintas de um plano, então ela é perpen-
dicular ao plano.
g) Uma reta ortogonal a duas retas paralelás e distintas de um plano pode ser pa-
ralela ao plano.
h) Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é perpendicular à
primeira e ortogonal à segunda, então ela é perpendicular ao plano.
i) Se uma reta forma ângulo reto com duas retas de um plano, distintas e que
têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao plano.
j) Duas. retas reversas são paralelas a um plano. Toda reta ortogonal a ambas
é perpendicular ao plano.
k) Duas retas

Crie agora seu perfil grátis para visualizar sem restrições.