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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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não paralelas entre si sãG paralelas a um plano. Se uma reta forma
ângulo reto com as duas, então ela é perpendicular ao plano.
1) Uma reta e um plano são paralelos. Toda reta perpendicular à reta dada é per-
pendicular ao plano.
m) Uma reta e um plano são perpendiculares. Toda reta perpendicular à reta dada
é paralela ao plano ou está contida nele.
n) Uma reta e um plano, perpendiculares a uma outra reta em pontos distintos,
são paralelos.
78. Existência e unicidade do plano perpendicular à reta por um ponto
Por um ponto P pode-se conduzir um único plano perpendicular a uma reta a.
Logo, existe pelo menos um plano (ex) passando por P, perpendicular à reta a.
No 2? caso (P E a), a construção é análoga, sendo (3 e 'Y planos distintos
quaisquer contendo a reta a.
Solução
1? caso: P $. a 2? caso: P E a
2~ parte: Unicidade
No I? caso (P $. a).
1~ parte: Existência
No I? caso (P $ a).'
Se existissem dois planos distintos a e ex' perpendiculares à reta a, por P,
teríamos:
43
PERPENDICULARIDADE PERPENDICULARIDADE
Existência e unicidade da reta perpendicular ao plano por um ponto
19. ------------:-----:----:-:-----::--:--:==:-:-1
por u:m p?~tof pode-se conduzir uma ~nica retaperpendicula.r a um plano a.
h a
1) a e a' interceptam-se em uma reta i.
2) A reta a e o ponto P determinam um plano (3 que nào contém i.
Solução
I,Q casO: P E1: a
1~ parte: Existência
No I? caso (P E1: a).
a) Construção:
p
•
2? caso: P E ex
p
•
3) O plano {3 intercepta a em uma reta b, perpendicular à reta á. O plano
(3 intercepta a'em uma reta b', perpendicular à reta a.
4) Em {3, as retas b e b' são concorrentes em P e ambas perpendiculares à
reta a, o que é absurdo, pois num plano, por um pontó;passa uma única
, reta, perpendicular ªumá reta dada." I'V ~,t < ..
Logo, o plano perpendicular à reta a passando por P é único.
No 2? caso (P E a), o procedimento é análogo, sendo {3 um plano qualquer
que passa por a" .. .
p
a
44
a
I?) Tomamos em ex duas retas b e c concorrentes num ponto O.
2?) Consideremos por P os planos (3 perpendicular à reta b e "y perpendicu-
lar à reta c (como ensina o exercício anterior). .
3?) Os planos {3 e 'Y são distintos (pois são respectivamente perpendiculares
a duas retas b e c concorrentes) e têm o ponto P comum. Logo, eles se
interceptam segundo uma reta a, que é a reta pedida.
45
.._" ~._===::~~Ê~~·í~i~~~::~;~;;.;;:;.;;.;;;;;;;.;;.;;:;::;;cii';;.;ii:;II;1==•••••••••••~p~,.,.:." _
PERPENDICULARIDADE PERPENDICULARIDADE
Relacionamento entre paralelismo e perpendicularismo
a) Se dois plaI10s s.ão p"erpendiculares a uma mesma reta, então eles são paralelos
entre si:~' . - . ,----... ' '0 o •
b) Se doisplano~_osão paralelos, então toda reta perpendicular a um deles é per-
pendlcular ao outro," . o
b) Prova:
A reta a passa por P, pois é a interseção dos planos {3 e "y conduzidos por P.
(b 1. (3, a C (j) == b oh a (c .l y, a C 'Y) -=> C oh a
(a J" b, a :h c; b n c = iO); b C a, c. C a) =- a.l a
Logo, existe pelo menos uma reta (o) passando por P, perpendí~ular ao pla-
n~c:;/
No 2? caso (P E a), a construção é análoga, bastando tomar em a as retas
b e c concorrentes no ponto P.
2~ parte: Unicidade
No I? caso (P $ a).
80.
Solução Hipótese Tese
(Oi 11 (3, a .1 a) => a.l .13
a
Y il o
Se existissem duas retas distintas a e a' perpendiculares a a, por P, teríamos:
1) Essas retas determinam um plano {3 = (a, a').
2) ° plano (3 intercepta a em uma reta i.
3) Em {3 temos duas retas distintas a e o', passando por um ponto P e per-
pendiculares a uma reta i, o que é absurdo.
Logo, a reta perpendicular aq plano a,passando por P, é única.
No 2? caso (P E a), o procedimento é idêntico ao executado para p rt a.
I
t
Demonstração
I?) Se Oi 11 f3, sendo Çf = (3, temos: (a = (3, o 1. a) => a.l f3.
2?) Se ali f3, sendo Oi n {3 = 0, vem:
/~ ,....
1. A reta a que intercepta a num pomo A, também intercepta {3 num ponto B.
2. Consideremos um plano 'Y passando pela reta a. O plano "( intercepta Oi
numa reta b e intercepta fJ numa reta y e ainda b 11 y (pois ali (3).
Consideremos outro plano li, distinto de '}', passando pela reta a. O pla-
no {j intercepta a numa reta c e intercepta (3 numa reta z e ainda c11 z
(pois a 11 (3).
3. (a 1. a em A; b C a, A E b; c C Oi, A E c) => (a.l b e a 1. c).
4. Em "(o temos: (a 1. b, blly) => a 1. y.
Em li, temos: (a .l c, c 11 z) => a.l z.
5. (a .1 Y. a .1 z; yn z '= [BJ; Y C {3, z C (3) =- a.l (3.
c) Se duas retas são paralelas, então todo plano perpendicular a uma delas é per-
pendicular à outra.
d) Se duas retas são perpendiculares a um mesmo plano, então elas são paralelas
entre si._
81. Duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.
82. Dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.
47
PERPENDICULARIDADE PERPENDICULARIDADE
11. Planos perpendiculares
41. Definição
Um plano a é perpendicular a um plano {3 se, e somente se Q' co~tém
uma reta perpendicular a {3. ' •
A existência de um plano perpendicular a outro baseia-se na existência
de uma reta perpendicular a um plano.
42. Teorema
2~) Condição necessária e suficiente:
Reunindo os resultados acima, podemos formular o seguin.te enunciado:
Uma condição necessária e suficiente para que dois planos secantes
sejam perpendiculares é quetoda reta de um deles, perpendicular à inter-
seção, seja perpendicular ao outro. . .
3~) Planos oblíquos:
Dois planos secantes, não perpendiculares, são ditos planos oblíquos.
- ,'--"". .
Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta de um deles
é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular
ao outro lado.
Hipótese Tese
(a .1 {3, i = a n (3, r C a, r .1 i) => r.l {3
[ E_X_E_R_C_ÍC_I_O_S--.;... I
83. Se um plano ~ contém uma reta a, perpendicular a um plano {J, então {3 contém
uma reta perpendicular a a.
Df?monstração
Hipótese Tese
(a .L (3, a .1 f3, P E a, P Ea) - a Ca
Consideremos em a, por P, a reta
x, perpendicular à interseção i dea
e 13, Notemos que. x C a.
Demonstração
Solução
(a .L {3, i '" a n (3, x C a, x .1 í) = x .1 (3
(P E a, a .L (3, P E x, x .L (3) -> a = x
(a ::: X, X C a) => a C a
84. Se uma reta a está num plano a, perpendicular a uma reta b, então a reta b tam-
bém está num plano perpendicular à reta a,
85. Se dois planos são perpendiculares entre si e uma reta perpendicular a um deles
tem um ponto comum com o outro, então essa reta está contida nesse outro plano.
------ ---- ----
"
,
,
/ il
Em a, temos: (o ..1. i, r ..1. i) =>
~ o!lr,
Se a .1 {3, então Q' contém uma re-
ta a, perpendicular a {3. Essa reta a é,
então, perpendicular a i.
Agora, se a!l r e sendo a .1 {3,
vem que r J. {3.
43. Observações
1~) Pela definição, se uma reta é
perpendicular a um plano, qualquer ou-
tro plano que a ~ontenha é perpendicu-
lar ao primeiro ..
(a J. Q', {3 :> a) => {3 J. Ct'
48 49
:' ....,. ..
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Bibliotecâ Juvenil do Colégio de Aplicaçi
PERPENDICULARIDADE
86. Se dois planos são perpendiculares entre si, toda reta perpendicular a um deles é
paralela ou está contida no outro.
87. Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendicular
ao outro.
88. Se uma reta a e um plano <t' são paralelos, todo plano {3, perpendicular à reta a,
também é perpendicular ao plano <t'.
89. Existência e unicidade
Por uma reta r não perpendicular a um plano a, existe um único plano (3
perpendicular a <t'.
Solução
1~ parte: Existência
PERPENDICULARIDADE
2~ parte: Unicidade
S . tissem dois planos distintos (3 e (3' , perpendiculares a a, por r, teríamos:e eX1S • 'd R
I) Uma reta

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