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Fundamentos de Matematica Elementar Vol.10 Geometria Espacial, Posição e Métrica (1)

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a, perpendicular a a por um ponto P de r, esta contl a em ,.,
e em (3'., .
'2) Duas retas a e r concorrentes em P estão determinando dois planos :tIS-
tintos {3 e (3' , o que é absurdo, pois contraria um teorema de determma-
ção de plano.
-'--~---"''''fJ', ~, '
a) Construção:
.' oblíqua a ex r li ex rCa
Logo, o plano perpendicular ao plano a, passando por uma reta r não per-
pendicular a a, é único .
I~) Por um ponto P de r conduzimos a reta a perpendicular ao plano ex.
2~) As retas a e r são concorrentes (a .1 a e r .1 ex) e então determinam
um plano {3. O plano {3 = (a, r) é o plano construído.
b) Prova:
o plano {3 contém a reta a e, como a é perpendicular ao plano a,resulta
que o plano {3 = (a, r) é perpendicular ao plano a.
50
90. Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpendicular à
interseção desses planos.
--, 91. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
b) Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
c) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é perpendicular
ao outro.
d) Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único plano, perpen-
dicular ao plano dado.
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre si.
f) Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são paralelos.
g) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a um deles
é paralela ao outro ou está contida neste outro.
h) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é perpendi-
cular ao outro.
i) Uma reta e um plano são paralelos. Se um plano é perpendicular ao plano da·
do, entào ele é perpendicular à reta.
j) Por uma reta passa um plano perpendicular a um plano dado.
k) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles forma ângulo
reto com qualquer reta do outro.
APLICAÇÕES
CAPÍTULO IV 6 Proíeção de uma reta4· )
L Projeção ortogonal sobre um plano
Aplicações
r' = proi" r
P = proj" r
a) Se a reta é perpendicular ao
plano, sua projeção ortogonal sobre o
plano é o traço da reta no plano.
Com base na definição anterior.
temos:
a é O plano de projeção e (3 é o pla-
no projetante de r.
b) Se a reta não é perpendicular
ao plano, temos a particular definição
seguinte:
Chama-se projeção ortogonal de
uma reta r, não perpendicular a um pla-
no a, sobre esse plano, ao Jraço em a,
do plano ,13, perpendicular a a, condu-
Zido por r.
I
•
.p
I
1
1
Definição
44. Projeção de um ponto
P' = proj" P
Chama-se projeção ortogonal de
um p,onto sobre um plano ao pé da per-
pendIcular ao plano conduzida pelo
ponto. O plano é dito plano de proje.
ção e a reta é a reta projetante do ponto,
( :).p'-----.;-~:
I
I
I 47. Projeção de um segmento de reta
Definição
45. Projeção de uma figura
Definição
Chama-se projeção ortogonal de
uma figura sobre um plano ao conjun-
to das projeções ortogonais dos pontos
dessa figura sobre o plano.
I : F
• I
: ;1'
, I
I I • ~
tEY1 '.' '11I J II F' I,
a
F' = proj" F
Chama-se projeção ortogonal so-
~re um plano a de um segmentoAR, con-
tIdo numa reta não perpendicular a "0:,
ao ~egmento A'R' onde A' = proL A
e B ::;: proL B'.
S
A ----r,.----- :
I I
I I
I
I
I S'
1----_--101
52 53
•
APLICAÇÕES
APLICAÇÕES
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) A projeção ortogonal de um ponto sobre \Im plano é um ponto.b) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
c) A projeçãO ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um segmento.d) A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é
menor que o segmento.
e) A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido numa reta,
não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou congruente a ele.O Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo
ao plano de projeção ou está contido nele.g) Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções ortogonais sobre qual-
quer plano são congruentes.
h) Se dois segment.os não congruentes são oblíquos a um plano, então a projeção
ortogonal, sobre o plano, do maior deles é maior.i) A projeção ortogonal de um triângulo, sobre um plano, é sempre um triângulo.
Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são paralelas, então
as retas são paralelas.b) Duas retas paralelas não perpendiculares ao plano de projeção têm projeções
paralelas.
c) Se os planos projetantes de duas retas não perpendiculares ao plano de proje-ção são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas.d) Se dois planos são perpendiculares, as projeções dos pontos de um deles sobre
o outro é o traço dos planos.
e) A projeção ortogonal de um ângulo sobre um plano pode ser uma semi-reta.f) A projeção ortogonal de um ângulo sobre um plano pode ser um segmento
de reta.
g) A projeção ortogonal de um ângulo sobre um plano pode ser uma reta.
95.
B
Tese
(A'B' < AB)
Hipótese
-(AB oblíqua a a, A'B' = proL AB)
Solução
92.
EXERCíCIOS ]
~~buem seglment? de reta é paralelo a um plano, então a sua projeção ortO<Tona[r o p ano e congruente a ele.
"
93. A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano sobre esse plan .menor que o segmento.
,0,e
96. Quais as posições relativas das projeções ortogónais, sobre um plano, de duas
retas concorrentes?
Demonstração
~or A conduzimos uma reta paralela à reta E' que intercepta a reta proJetante de B em B".
-
AA'B'B" é retângulo => A'B';;;;; AB" _._]
6AB"B é retângulo em B' => AB" < AB
97. Quais são as posições relativas das projeções ortogonais. sobre um plano, de duas
retas reversas?
,'. 98. Se duas retas formam ângulo reto. uma delas é paralela ou está contida no planode projeção e a outra não é perpendicular a esse plano. então as projeções orto-
gonais das retas, sobre o plano. são perpendiculares.
Solução
Se uma das extremidades, por exemplo A, pertence ao plano d . ãtemos: e proJeç 0,
DoAB'B é retângulo em B' .- AB' < AB => A'B' < AB.
Hipótese
(
r ::I:. s; s 11 ex ou s C aj )
r,não é ~erpendicular a a;
r = pro)", r, s' = proj", s
Tese
=> (r' 1.. s')
54
55
1'=============================;=·==>:..:z::r:;~... :...~;..,<~,".....!~.:.....=...::===================::.:;:;:.======1
APLICAÇÕES
APLICAÇÕES
57
PA == PB o==> P'A <'= P'B
a) Segmentos oblíquos com projeções congruentes são congruentes.
P'A ~ P'B o==> PA ~ PB
b) Segmentos oblíquos congruentes têm projeções congruentes.
Demonstração
a) De dois segmentos oblíquos de projeções não congruentes, o de
maior projeção é maior.
P'C > P'A o==> PC > PA
Demonstração
- ~ ~- -(PP' comum, PP'A = PP'B, PA = PB) o==> L'lPP'A <'= L'lPP'B o==>
=- P'A ~ P'B.
3?)
Demonstração
- /"--.. ~ - -(PP' comumJ:lP'A <'= PP'B, P'A = P'B) =- 6PP'A == 6PP'B =-
=- PA = PB.
Considerando A' E P'C tal que P'A' == P'A, temos:
P'A' == P'A o==> PA' == PA
e
. O ângulo PA' C é obtuso por ser ângulo externo do L'lPP'A' em que PP'A'
reto L'A ...........---
, . ogo, no tnangulo PA'C, temos: PA'C > PCA' e, como ao maior
angulo está oposto o maior lado, vem que PC > PA', ou seja, PC > PA.
Demonstração
De fato, PP' é cateto de triângulos retângulos, que têm, respectivamente,
~ PB, PC, PD, ... como hipotenusa.
p, -- ---
Logo, PP' < PA, PP' < PB, PP' < PC, PP' < PD, ....
2?)
p
i ,
/h
.
/6.·..·••~.·.'.r.~··..•.... ·.···..··.·.9.
Ç( ....." .......•. .
Demonstração
(sta ou s C 0', s' = proj" s) ==> s' IIs
(5' 11 5, r d:. s) ==> r d:. s'
Sendo i a interseção dos planos projetantes
de r e de s, temos:
(i .L ar s' CO') ==> i.L s'
(s' ::!:. r r ~'l. i, r e i concorrentes)=> S' .L (r; i)
1?)
o segmento perpendicular é menor que qualquer dos oblíquos.

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